文档内容
八年级数学•上 新课标[北师]
第二章 实 数
1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行
有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.
2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.
经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能
力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.
一、本章主要内容及要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.
2.掌握必要的运算(包括估算)技能.
3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应
的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.
6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用
它们进行有关的简单四则运算.
二、教材分析
从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行
的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学
生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数
系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数
系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及
其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.
具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平
方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教
材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类
比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主
题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实
性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?
a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.
【重点】
1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.
2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方
运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.
4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的
点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.
6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
【难点】
1.无理数概念的理解及应用.
2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.
3.运算性质的掌握与应用.
1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.
概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概
念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入
的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴
进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方
根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9
的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学
生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?
负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新
学的概念.
2.鼓励学生自主探索和合作交流.
本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积
为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要
性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的
探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.
3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.
七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、
运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进
知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则
也是通过类比得出的.
1 认识无理数 2课时
2 平方根 2课时3 立方根 1课时
4 估 算 1课时
5 用计算器开方 1课时
6 实 数 1课时
7 二次根式 3课时
回顾与思考 1课时
1 认识无理数
1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.
2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.
3.会判断一个数是不是无理数.
1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.
2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.
1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践
的.
2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.
【重点】 理解无理数的概念.
【难点】 判断一个数是不是无理数.
第 课时
感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.
通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.
【重点】 感受无理数产生的背景.
【难点】 会判断一个数是不是无理数.
【教师准备】 两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.
【学生准备】 两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.
导入一:
七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:
(1)一个整数的平方一定是整数吗?
(2)一个分数的平方一定是分数吗?
[设计意图] 做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很
好的铺垫作用.
导入二:
一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.
【总结】 我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩
充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?
探究活动
[过渡语] 我们研究一下下面的问题.
1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方 ,并提出问题:x是整数(或
分数)吗?
2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?
出示教材P21图2 - 1.
图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.
问题1拼成后的正方形是什么样的呢?
问题2
拼成后的大正方形面积是多少?
问题3
若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?
【总结】 没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.
[设计意图] 选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引
入本节课题.
[过渡语] 前面的问题中,我们都不能用有理数来表示,再看下面的问题.
思路一
(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?
(3)b是有理数吗?
【问题解答】
(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.
(2) b2=5.
(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.
思路二
在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.
【问题解答】 构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的
线段有CD,GH,MN.
[设计意图] 创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新
知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必
要性.
[过渡语] 我们所学的有理数已经不够用了,需要再扩大数的范围,先在数轴中感受一下.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示
有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就
是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.
通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.
1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )
A.是有理数 B.不是有理数
C.不确定 D.4
答案:B
2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )
A.16 B.25
C.2 D.4
答案:C
3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数
的线段为 .
答案:略
第1课时
1.拼接正方形.
2.做一做.
3.a,b存在,但不是有理数.
一、教材作业
【必做题】
教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.
【选做题】
教材第22页习题2.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有 ,在图
中再画一条边长不是有理数的线段.
【能力提升】
2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a,b是两个有理数,且a5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.
2
(2)设误差为k(k必为一个纯小数,且k可能为负数),则x=2.2+k,所以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k
是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.
实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即
2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.223,所以π-3>0,
所以(3-π)2的算术平方根为π-3.
[解题策略] 出现求类似(3-π)2形式的数的算术平方根时,注意判断括号内数的正负.求一个式子的算术
平方根时,应先求出这个式子的值,再求这个值的算术平方根.
第 课时
1.了解数的平方根、开平方的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.
2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的平方根.
经历平方根概念的形成过程,发展求同和求异的思想,通过比较,提高思考问题、辨析问题的能力.
在学习的过程中,养成严谨的科学态度.
【重点】
1.数的平方根的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.
2.(❑√a)2
=a(a≥0)的得出和应用.
【难点】
1.开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的平方根.
2.(❑√a)2 =a(a≥0)和❑√a2=|a|的区别和联系.
【教师准备】 练习题的多媒体课件.
【学生准备】 复习算术平方根的概念.[过渡语] 上节学习了算术平方根,首先我们复习一下.
导入一:
1.什么叫算术平方根?
3的平方等于9,那么9的算术平方根就是3.
2 4 4 2
的平方等于 ,那么 的算术平方根就是 .
5 25 25 5
展厅的地面为正方形,其面积为49平方米,则其边长为7米.
2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何?
平方有没有逆运算?
平方与算术平方根之间是什么关系?
【例如】 正方形ABCD的面积为1,则边长为1.将它扩展,若其面积变为原来的2倍,则边长为❑√2;若其
面积变为原来的3倍,则边长为❑√3;若其面积变为原来的n倍,则边长为❑√n.
导入二:
4
【问题】 平方等于9, ,49的数还有吗?
25
4
回忆在七年级学习有理数的平方时,我们是如何找到平方等于9, ,49的数的?根据平方的定义,32=9,
25
(2) 2 4 ( 2) 2 4
(-3)2=9, = , - = ,72=49,(-7)2=49.
5 25 5 25
[设计意图] 这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白
“平方”和“算术平方根”的关系,让学生在几何图形中认识、熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题
制作成Flash情景引入,增加动画效果. 借助多媒体吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣.
【说明】 数学知识源于生活,并服务于生活.这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣,
并让他们产生解决问题的强烈欲望.
一、共同探究
思路一
[过渡语] 根据我们的实践,平方为9的数不只有3,那请同学们填写下面的空.
填空.
形成概念:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).
表达式为:若x2=a,则x叫做a的平方根.记作±❑√a.
【例如】 (±4)2 =16,则+4和-4都是16的平方根,即16的平方根是±4.4是16的算术平方根.
【结论】 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.
【定义】 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数.
思路二
前面我们学习算术平方根,知道9的算术平方根是3,根据七年级我们学过的平方的意义,-3的平方也是
9,也就是说,平方为9的数有两个:3和-3.一个正数a的算术平方根有一个,通过进一步的思考知道平方为a的
数有两个,另外一个我们也不能把它给丢了,今天再学习一个平方根的概念.
[过渡语] 知道了平方根的定义,和我们上一节学习的算术平方根的联系和区别是什么呢?
给出几组具体的数据,由平方探知开平方与平方的互逆关系.
平方根与算术平方根的联系与区别.
【联系】
1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0,算术平方根也是0.
【区别】
1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.
2.表示法不同:平方根表示为 ±❑√a,而算术平方根表示为❑√a.
[设计意图] 形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识的基础上,由平方运算反推出平方
根的概念和定义,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,并明白它们之间的互逆关系,辨析概念
“平方根”与 “算术平方根”的区别与联系,使之与上节课紧密联系. 由于遵循了从具体到抽象的过程,注
重学生原有认知基础的回顾,并和原有的概念进行了比较与辨析,因此,学生对这一抽象的概念掌握得比较牢
靠.
【说明】 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点,也是学生经常容易出错的地方.对这两个
概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握.
二、例题讲解
(教材第28页例3)求下列各数的平方根.
49
(1)64; (2) ; (3)0.0004;
121
(4)(-25)2; (5) 11.
解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±❑√64=±8.
( 7 ) 2 49 49 7 √ 49 7
(2)因为 ± = ,所以 的平方根是± ,即± ❑ =± .
11 121 121 11 121 11
(3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±❑√0.0004=±0.02.
(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25, 即±❑√(-25)2=±25.
(5)11的平方根是±❑√11.
[设计意图] 通过例题的讲解,要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟练地求出一
个数的平方根,然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.
[知识拓展] 平方根的性质:(1)一个正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根“❑√a”,另一个是“-
❑√a”,它们互为相反数,合起来记作“±❑√a”,读作“正、负根号a”.例如:5的平方根是±❑√5.(2)0的平方根
是0.(3)负数没有平方根.1.平方根的概念:若x2=a,则x叫做a的平方根,x=±❑√a.
2.平方根的个数:正数有2个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.
3.平方与开平方之间的关系.
4.求平方根的方法:求一个数的平方根就是转化为寻找哪个数的平方等于这个数.
4
1.(-5)2的平方根是 ,❑√81的算术平方根是 , 的平方根是 .
9
2
答案:±5 3 ±
3
2.(❑√64)2= ,❑√(-5)2= ,±❑√64= ,❑√0.04= .
答案:64 5 ±8 0.2
3.❑√a2= ,当a≥0时,(❑√a)2= .
答案:|a| a
4.下列说法正确的是 .
①-3是❑√81的一个平方根;②25的平方根是5;③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的平方
根是8.
答案:①④
5.下列说法不正确的是 ( )
A.0的平方根是0
B.(-2)2的平方根是±2
C.负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
答案:C
第2课时
1.平方根.
2.平方根与算术平方根的联系与区别.
3.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第29页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第29页习题2.4第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.代数式x2+1,❑√x,|y|,(m-1)2中,一定是正数的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法中,错误的是 ( )
A.4的算术平方根是2
B.❑√81的平方根是±3
C.121的平方根是±11
D.-1的平方根是±1
3.(-6)2的算术平方根是 .
4.2的平方根是 .
5.若❑√a2=-a,则a 0.
7
6.求2 的平方根和算术平方根.
9
【能力提升】
7.求下列各式中的x.
(1)(x-1)2=4; (2)4x2-2=14.
8.5+❑√11的小数部分为a,5-❑√11的小数部分为b,求a+b的值.
【拓展探究】
9.如果一个非负数的平方根是2a+1与a-3,求a的值.
10.已知ΔABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c满足❑√a-3+|b-4|+c2-6c+9=0,试判断ΔABC的形状,并求ΔABC
的周长.
11.已知实数a,b满足b2+❑√a-4+9=6b.
(1)若a,b为ΔABC的两边长,求第三边长c的取值范围;
(2)若a,b为ΔABC的两边长,第三边长c等于5,求ΔABC的面积.
【答案与解析】
1.A(解析:只有x2+1一定是正数.)
2.D(解析:负数没有平方根.)
3.6(解析:(-6)2=36.)
4.±❑√2(解析:根据平方根的定义解题.)
5.≤(解析:当a≥0时,❑√a2=a;当a<0时,❑√a2=-a.等号在a<0上也可以.)
7 25 25 5 25 5
=
6.解:2 , 的平方根为± , 的算术平方根为 .
9 9 9 3 9 3
7.解:(1)x-1=±2,所以x=3或-1. (2)4x2=16,x2=4,x=±2.
8.解:因为3<❑√11<4 ,所以5+❑√11的整数部分为8,5-❑√11的整数部分为1,所以5+❑√11的小数部分a=5+
❑√11-8=❑√11-3,5-❑√11的小数部分b=5-❑√11-1=4-❑√11,所以a+b=❑√11-3+4-❑√11=1.
2
9.解:因为一个非负数的平方根是2a+1与a-3,由平方根的性质,得2a+1+a-3=0,所以a= .
3
10.解:ΔABC为等腰三角形.理由如下:由❑√a-3+|b-4|+c2-6c+9=0,得❑√a-3+|b-4|+(c-3)2=0,由非负数的性质,得
a-3=0,b-4=0,c-3=0,解得a=3,b=4,c=3,所以ΔABC为等腰三角形,周长为10.
11.解:(1)b2+❑√a-4+9=6b,整理得(b-3)2+❑√a-4=0,所以b=3,a=4,所以第三边长c的取值范围为15.6,
因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.
三、比较无理数的大小
❑√5-1 1
【问题】 比较 与 的大小.
2 2
❑√5-1 1
【问题解决】 与 的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即(❑√5)2>22,所以❑√5
2 2
❑√5-1 1
>2,所以❑√5-1>1,所以 > .
2 2
[知识拓展] 1.确定无理数近似值的方法(估算法).
(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要
求的误差大小确定小数部分.例如:估算❑√385的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<❑√385<20,所以
❑√385的整数部分是19,由于误差小于1,所以❑√385的估算值是19或20,即❑√385约等于19或20.若要确定
十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即
19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72=388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<❑√385
<19.7.
(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位
置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n (n
是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移
动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定❑√12345的整数部分,因为
❑√1.2345≈1.111,把❑√1.2345中的被开方数的小数点向右移动4位,得❑√12345,其算术平方根1.111的
小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以❑√12345的整数部分是111.
2.比较无理数大小的方法.❑√10-3 1 ❑√10-3 1
(1)估算法.例如:比较 与 的大小,因为3<❑√10<4,所以0<❑√10-3<1,所以 < .
2 2 2 2
❑√10-3 1
(2)作差法.若❑√a-❑√b>0,则❑√a>❑√b;若❑√a-❑√b<0,则❑√a<❑√b.例如:比较 与 的大小,也可
2 2
❑√10-3 1 ❑√10-4 ❑√10-3 1
以这样解:因为 - = <0,所以 < .
2 2 2 2 2
(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2❑√6和3❑√3
的大小,因为(2❑√6)2 =24,(3❑√3)2 =27,所以2❑√6<3❑√3.
(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则❑√a>❑√b,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.
另外还有倒数法、作商法.
❑√2 ❑√2
比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较 和 的大小,因为分子都
3 2
❑√2 ❑√2
是❑√2,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以 < .也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的
3 2
反而小.
1.确定无理数近似值的方法——估算法.
2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.
1.已知❑√13的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.
解:因为9<13<16,所以3<❑√13<4,所以a=3,b=❑√13-3,所以原式=9-3-(❑√13-3)=6-❑√13+3=9-❑√13.
2.比较❑√5-1与1.5的大小.
解:用作差法可得❑√5-1-1.5=❑√5-2.5<0,所以❑√5-1<1.5.
4 估 算
1.引例探究.
2.例题讲解.
3.比较无理数的大小.
一、教材作业
【必做题】
教材第34页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第34页习题2.6第1,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结果正确吗?请说明理由.
(1)❑√2536≈60.4;
(2)√319863 ≈351;(3)❑√1234≈35.1;
(4)√31200≈10.6.
2.通过估算,比较下面各组数的大小.
❑√10-1 8
(1) 与 ;
2 9
(2)√330与3.1.
【能力提升】
3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为❑√39 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).
4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120000000 m2.
(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?
(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?
(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误
差小于1 m)
5.设a=❑√1003+❑√997,b=❑√1001+❑√999,c=2❑√1001,则a,b,c之间的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.
(❑√2+1)(❑√2-1)=1,
(❑√3+❑√2)(❑√3-❑√2)=1,
(❑√4+❑√3)(❑√4-❑√3)=1,
(❑√5+❑√4)(❑√5-❑√4)=1……
(1)根据上面的规律,计算下列式子.
1 1 1 1
+ +
+…+ ·(
❑√2013+1).
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2013+❑√2012
(2)利用上面的规律,试比较❑√12-❑√11与❑√13-❑√12的大小.
【拓展探究】
7.先填写下表,通过观察后再回答问题.
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 …
❑√a… …
(1)被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根❑√a的小数点位置移动有无规律?
(2)已知❑√a=1800,-❑√3.24=-1.8,你能求出a的值吗?
(3)试比较❑√a与a的大小.
【答案与解析】
1.解:(1)错误.因为❑√2536显然小于60. (2)错误.因为√319863显然小于100. (3)正确.因为35.12=1232.01.
(4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以√31200≈10.6.
❑√10-1 8 ❑√10-1 8
2.解:(1) 因为3<❑√10<3.2, 所以1< <1.1,而1> ,所以 > . (2)因为3.13=29.791,而
2 9 2 9
30>29.791,所以√330>3.1.
3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2 +(3x)2=(❑√39)2 ,即4x2+9x2=39,13x2 =39,x2 =3,x=
❑√3.所以长为3x =3❑√3≈5.20(cm),宽为2x=2❑√3≈3.46(cm).
4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120000000,x2=40000000,x=❑√40×1000.因为❑√40
<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m. (2)因为❑√40≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m. (3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=❑√8500=❑√85×10,因为81<85<100,所以
❑√81<❑√85<❑√100,即9<❑√85<10,所以❑√85的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<❑√85<9.3,
所以92<❑√8500<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.
5.D(解析:∵a2=2000+2❑√1003×997,b2=2000+2❑√1001×999,c2=4004=2000+2×1002,1003×997=1000000-
9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)
1 1 1 1
6.解:(1)由上面的规律可直接写出
=❑√n+1
-
❑√n,则 + +
+…+
❑√n+1+❑√n ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3
1
·(
❑√2013+1)=[( ❑√2-1)+( ❑√3- ❑√2)+( ❑√4- ❑√3)+…+( ❑√2013- ❑√2012)]·( ❑√2013+1)=(
❑√2013+❑√2012
❑√2013-1)(❑√2013+1)=2012.
1 1
(2)∵
=❑√12+❑√11, =❑√13+❑√12,又❑√12+❑√11<❑√13+❑√12,∴
❑√12-❑√11 ❑√13-❑√12
1 1
< ,∴❑√12-❑√11>❑√13-❑√12.
❑√12-❑√11 ❑√13-❑√12
7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平
方根❑√a的小数点相应地向左(或向右)移动1位. (2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数
点向右移动6位,即a=3240000. (3)当0a;当a=1或0时,❑√a=a;当a>1时,❑√a3.85.
2 2
❑√5-1 5
3.提示:要比较 与 的大小,只要比较4(❑√5-1)与5的大小即可,即4❑√5与9的大小,而(4❑√5)2=80<92,
2 8
❑√5-1 5
所以4❑√5<9,所以 < .
2 8
4.解:(1)不正确.因为❑√8955显然大于10. (2)不正确.因为√312345显然小于100.
5.提示:约为4 m.
(1 ) 2
6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2= x +4.82,解得x=❑√25.92>5.
3
估计 ❑√6+1的值在 ( )
A.2到3之间 B.3到4之间
C.4到5之间 D.5到6之间
〔解析〕 利用“夹逼法”得出❑√6的取值范围,继而便可得出❑√6+1的取值范围.因为22<(❑√6)2 <32,
所以2<❑√6<3,所以3<❑√6+1<4.故选B.
已知a,b为两个连续整数,且a<❑√17❑√2.
[设计意图] 熟悉用计算器进行开方运算.有了上个环节的铺垫,此环节操作很顺利.
[知识拓展] 用不同型号的计算器进行开方运算,按键顺序可能有所不同.有的计算器在进行开平方运算
的时候,先按被开方数,再按开平方键.
【议一议】 (1)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开
平方运算……随着开平方次数的增加,你发现了什么?
(2)改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似规律.
[设计意图] 这是一个蕴含极限思想的数学问题,教学中重点让学生动手去探索规律,而不必作其他的拓
展.
【问题解决】 (1) 随着开平方次数的增加,运算结果越来越接近1.
(2)仍有类似(1)中的规律.
1.如何使用计算器进行开方运算?
2.利用计算器比较数的大小,寻找数的变化规律.
1.利用计算器求下列各式的值(精确到0.001).
(1)❑√9.110; (2)-❑√3.28;
(3)❑√32.106; (4)√383; (5)-√3100.
解:(1)3.018. (2)-1.811. (3)5.666. (4)4.362. (5)-4.642.
2.利用计算器比较下列各组数的大小.
(1)π-3.14,3-❑√8.99;
(2)√372,❑√56.解:(1)π-3.14<3-❑√8.99.
(2)√372<❑√56.
3.(1)用计算器求3651的算术平方根的按键顺序是什么?
(2)用计算器求-31.25的立方根的按键顺序是什么?
解析:对于开平方运算,按键顺序为:❑√ ,被开方数,=,S⇔D;对于开立方运算,按键顺序为SHIFT,❑√ ,被
开方数,=.
解:(1)在计算器上依次键入❑√ ,3,6,5,1,=,S⇔D,显示60.42350536. (2)在计算器上依次键入SHIFT,
❑√ ,(-),3,1,·,2,5,=,显示-3.149802625.
5 用计算器开方
1.学习使用计算器求平方根和立方根.
2.做一做.
3.议一议(对任一正数一直进行开平方运算会发现什么规律).
一、教材作业
【必做题】
教材第37页随堂练习.
【选做题】
教材第37页习题2.7第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.利用计算器求下列各式的值.
(1)√3260(精确到1);
(2)❑√125.7(精确到0.1).
2.利用计算器,比较下面各组数的大小.
❑√3-1 1
(1) , ;
2 2
(2)❑√15,2.85.
【能力提升】
3.用计算器求下列各数的立方根.(精确到0.01)
(1)1972; (2)-86.73.
【拓展探究】
4.(1)利用计算器,将下列各数按从小到大排列起来.
❑√1+❑√12,❑√2+❑√11,❑√3+❑√10,❑√4+❑√9,❑√5+❑√8,❑√6+❑√7.
(2)上面各数有什么共同的特征?能由此得出什么规律?
(3)利用这个规律,猜想❑√a-❑√a-1与❑√a+1-❑√a的大小,再选择一些具体的数代入验证这个猜想.
思路点拨:(3)中❑√a-❑√a-1,❑√a+1-❑√a与(1)中形式不一致,能否转化为(1)中和的形式?
【答案与解析】
1.解:(1)√3260≈6. (2)❑√125.7≈11.2.
❑√3-1 1 ❑√3-1 1
2.解:(1)∵ ≈0.366, =0.5,∴ < .
2 2 2 2
(2)∵❑√15≈3.87,3.87>2.85,∴❑√15>2.85.3.解:(1)√31972≈12.54. (2)√3 -86.73≈-4.43.
4.解:(1)按从小到大的顺序是:❑√1+❑√12,❑√2+❑√11,❑√3+❑√10,❑√4+❑√9,❑√5+❑√8,❑√6+❑√7. (2)它们
都是两个算术平方根和的形式,而且根号内两数的和都是13,当根号内两数比较接近时,和比较大. (3)比较
❑√a-❑√a-1与❑√a+1-❑√a的大小,可以转化为比较❑√a+❑√a与❑√a+1+❑√a-1的大小.这样两个式子也
是两个平方根和的形式了,而且根号内两数的和相等,前面式子中根号内两数相等,因此,猜想
❑√a+❑√a>❑√a+1+❑√a-1,那么,❑√a-❑√a-1>❑√a+1-❑√a.具体的数字代入也支持这个猜想.
这节课学生通过自己阅读计算器的使用说明书学会了操作步骤,利用计算器得到了某些数的估计值,并
根据结果比较两数的大小、两式的大小.
由于计算器的型号不同,计算方法可能不同,课堂略显混乱.
考虑不同型号的计算器,设计不同小组进行教学.
随堂练习(教材第37页)
5 ❑√5-1
解:(1)√311<❑√5. (2) > .
8 2
习题2.7(教材第37页)
1.提示:(1)49.07138. (2)-2.70443. (3)1.82827. (4)8.21584. (5)9.08331. (6)0.02804.
8 ❑√5-1
2.解:(1)❑√8<√325. (2) < .
13 2
3.解:随着开立方次数的增加,结果越来越趋向于1或-1.
4.解:(1)结果越来越小,趋向于0. (2)结果越来越大,但也趋向于0.
借助计算器计算下列各题.
(1)❑√42+32= ;
(2)❑√442+332= ;
(3)❑√4442+3332= ;
(4)❑√44442+33332= .
√⏟444…42+3⏟33…32
仔细观察上面几道题及其计算结果,试猜想❑ = .
2013个4 2013个35⏟55…5
〔答案〕 (1)5 (2)55 (3)555 (4)5555
2013个5
[解题策略] 用计算器得出(1)~(4)的结果后,仔细观察便可得出规律:被开方数是两个正整数的平方和,这
两个数分别是由数字4和3组成的,且数字4的个数和数字3的个数相等,得到的结果是由数字5组成的,且
数字5的个数与数字4或3的个数相等,因此当被开方数是2013个4组成的数和2013个3组成的数的平方
5⏟55…5
和时,所得结果应为由2013个5组成的数 .
2013个5
6 实 数
1.了解实数的概念和意义,并能按要求对实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应,知道实数的绝对值、相反数的意义,会求已知数的绝对值和相反数.
通过用类比的方法探索发现实数性质的过程,培养学生类比联想的能力,以及观察、分析、解决问题的
能力.
通过介绍我国古代数学家祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进行爱国主义教育.
【重点】 实数的意义及分类.
【难点】
1.实数的分类.
2.把无理数在数轴上表示出来.
【教师准备】 预设学生在实数分类的过程中会遇到的困难.
【学生准备】 复习有理数和无理数的有关概念和性质.
导入一:
[过渡语] 现在复习一下有理数和无理数的有关知识.
(1)什么是有理数?有理数怎样分类?(2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?
[设计意图] 回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入实数的概念做准备.学生主动思考并积极回答,
通过相互补充完善,较为全面地复习了旧知识,通过对有理数分类的复习,使学生进一步明确了分类要按同一
标准才能不重不漏.通过举例明确了无理数的表示形式,也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备.
导入二:
如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿它们
的一条对角线剪开,得到四个全等的等腰直角三角形,即可拼成一个大正方形.容易知道,这个大正方形的面积
是2,所以大正方形的边长为❑√2.你能在数轴上找到表示❑√2的点吗?
一、实数的概念
1.把下列各数分别填入相应的集合内.
1 5 √20 √4
√32, ,❑√7,π,- ,❑√2, ❑ ,-❑√5,-√38, ❑ ,0,0.3737737773……(相邻两个3之间的7的个数逐次加1).
4 2 3 9
知识整理:有理数和无理数统称为实数,即实数可分为有理数和无理数.
[设计意图] 通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.学生动手填写,并进行小组
交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识.
2.你能把上面各数填入下面相应的集合内吗?
无理数和有理数一样,也有正负之分.
[过渡语] 总结一下,实数可以怎样分类呢?
1.从符号考虑,实数可以分为正实数,0,负实数,即:正实数
{
实数 0
负实数
2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:
正有理数
{ {
有理数 0
负有理数
实数
无理数{正无理数
负无理数
[设计意图] 在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0,0不能放入上面的任何
一个集合中,此处强调0是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作为一类.提醒学生分类可以有不同的方
法,但要按同一标准分类才能不重不漏.让学生讨论回答,达成共识.
二、实数的相关概念
1.有理数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么?
2.❑√2的相反数是什么?√35的倒数是什么?❑√3,0,-π的绝对值分别是什么?
总结:在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完
全一样.
[设计意图] 从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的
意义和有理数范围内的意义是一致的.学生类比有理数的相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、
绝对值的意义.
【想一想】 (1)a是一个实数,它的相反数为 ,绝对值为 ;
(2)如果a≠0,那么它的倒数为 .
【知识整理】
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0.
1
(2)倒数:当a≠0时,a与 互为倒数(0没有倒数).
a
(3)绝对值:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
{
a(a>0),
即|a|= 0(a=0),
-a(a<0).
[设计意图] 加深学生对相关概念的理解.学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对
值等知识.
三、实数的运算
[过渡语] 回忆有理数的运算法则和运算律,比较一下,在实数范围内,这些运算法则和运算律是否适用
呢?
1.在有理数范围内,能进行哪些运算(如加、减、乘、除、乘方)?适用哪些运算律?
2.判断下列各式是否成立.
❑√2·❑√5=❑√5·❑√2;
1 ( 1 )
❑√3·❑√5· =❑√3· ❑√5· =❑√3;
❑√5 ❑√5
4√32+7√32=(4+7)√32=11√32.总结:实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数
仍然适用.
[设计意图] 从复习入手,类比有理数的运算法则及运算律,得到有理数的运算法则及运算律对实数仍然
适用.
四、实数与数轴上的点的一一对应关系
[过渡语] 我们知道有理数能用数轴上的点表示,那么实数呢?
【议一议】 (1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应的数是什么?它介于哪两个整数之间?
(2)你能在数轴上找到❑√5对应的点吗?与同伴进行交流.
【知识整理】
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数
轴上的点是一一对应的.
(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
[知识拓展] 1.无理数是指无限不循环小数,并不是带根号的数都是无理数.
2.数的范围从有理数扩充到实数后,要注意有理数与无理数的区别.
1.在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一
样.
2.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍
然适用.
3.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数
轴上的点是一一对应的.
4.在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
1.判断下列说法是否正确.
(1)无限小数都是无理数.
(2)无理数都是无限小数.
解:(1)不正确. (2)正确.
2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1)√3 -27; (2)❑√25; (3) ❑√11; (4) 2-❑√2.
1
解:(1)√3 -27=-3,√3 -27的相反数是3,倒数是- ,绝对值是3.
3
1
(2)❑√25=5,❑√25的相反数是-5,倒数是 ,绝对值是5.
5
1
(3)❑√11的相反数是-❑√11,倒数是 ,绝对值是❑√11.
❑√11
1
(4)2-❑√2的相反数是-(2-❑√2)=❑√2-2,倒数是 ,绝对值是2-❑√2.
2-❑√26 实 数
1.实数的概念.
2.实数的相关概念.
3.实数的运算.
4.实数与数轴上的点的一一对应关系.
一、教材作业
【必做题】
教材第39页随堂练习第1,3题,第40页习题2.8第1,2,3.
【选做题】
教材第40页习题2.8第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法不正确的是 ( )
A.有理数和无理数统称为实数
B.无理数是无限不循环小数
C.无理数包括正无理数、零、负无理数
D.无理数都可以用数轴上的点来表示
2.-❑√2的倒数是( )
1 ❑√2
A.-❑√2 B.- C.❑√2 D.
❑√2 2
3.下列各组数中,互为相反数的是( )
1
A.-2与- B.|-2|与2
2
C.-2与❑√(-2)2 D.-2与√3 -8
4.把下列各数分别填在相应的集合里.
1 1 2 π ··
- ,0 ,0.16 ,3 ,0.15,❑√3,- ❑√5, ❑√16,√3 -0.125 ,3.1415 ,-0.7892 ,-❑√3+❑√2 .
2 2 3 3
有理数集合{ …};
无理数集合{ …};
正实数集合{ …};
负实数集合{ …}.
【能力提升】
5.如图所示,以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以表示2的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数
轴于点A,则点A表示的数是 ( )
A.-❑√2 B.2-❑√2
C.1-❑√2 D.-26.一个等腰直角三角形的三角板沿着数轴正方向向前滚动,起始位置如图所示,顶点C和A在数轴上的位置
表示的实数分别为-1和1.那么当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数是 .
7.在数轴上作出❑√13和-❑√17对应的点.
【拓展探究】
8.如图所示,已知A,B,C三点分别对应数轴上的数a,b,c.
(1)化简|a-b|+|c-b|+|c-a|;
x+ y
(2)若a= ,b=-z2,c=-4mn,且满足x与y互为相反数,z是绝对值最小的负整数,m,n互为倒数,试求
4
98a+99b+100c的值;
(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D,到点A,C的距离之和为10,且点D表示整数,并求出所有这些整数的和.
【答案与解析】
1.C
2.B
3.C
1 1 ·· 2
4.有理数集合 - ,0 ,0.16 ,3 ,0.15
,√3 -0.125
,3.1415,-0.7892 ,… ;无理数集合
❑√3
,-
❑√5
,
2 2 3
π 1 π 1
❑√16
, -
❑√3+❑√2
, … ;正实数集合 0.16 ,3 ,0.15 ,
❑√3
,
❑√16
,3.1415 ,… ;负实数集合 - ,-
3 2 3 2
2 ··
❑√5 ,√3 -0.125
, -0.7892 ,-
❑√3+❑√2
,… .
3
5.B(解析: 由勾股定理得正方形的对角线长为❑√2,设点A表示的数为x,则2-x=❑√2,解得x=2-❑√2.故选B.)
6.3+2❑√2(解析: 在等腰直角三角形ABC中,AC=CB=2,根据勾股定理可以得到AB=2❑√2,则当顶点C下一次
落在数轴上时,所在的位置表示的实
数是3+2❑√2.故填3+2❑√2.)
7.解:如图所示,点C是❑√13对应的点,点G是-❑√17对应的点.8.解:(1)由数轴可知:a-b>0,c-b<0,c-a<0,所以原式=(a-b)-(c-b)-(c-a)=a-b-c+b-c+a=2a-2c. (2)由题意可知
x+y=0,z=-1,mn=1,所以a=0,b=-(-1)2=-1,c=-4,∴98a+99b+100c=-99-400=-499. (3)满足条件的点D表示的整数
为-7或3,它们的和为-4.
本节课作为有理数的扩张,关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这样学生
比较容易接受.
八年级的学生的认知状况不同,这种借助类比思想学习实数的有关知识,对有些学生来说比较困难,因为
这样的设计使课堂容量增大不少.
根据学生的认知状况,借助类比学习实数的有关知识,如果学生整体认知水平较高,教学过程可以更加开
放,在讨论了实数的两个分类标准之后,引导学生尝试自主地进行实数的分类,再进行交流.
随堂练习(教材第39页)
1.解:(1)不正确. (2)正确. (3)不正确.
1 1
2.解:(1)❑√7的相反数是-❑√7,倒数是 ,绝对值是❑√7. (2)√3 -8的相反数是2,倒数是- ,绝对值是2. (3)
❑√7 2
1
❑√49的相反数是-7,倒数是 ,绝对值是7.
7
3.解:如图所示.
习题2.8(教材第40页)
2 ·· √ 9 √ 9 2 ··
1.(1)7.5,4, ,√3 -27,0.31,0.15 (2) ❑√15, ❑ ,-π (3)7.5, ❑√15,4, ❑ , ,0.31,0.15 (4)√3 -27,-π
3 17 17 3
5 1
2.解:(1)-3.8, ,3.8. (2)❑√21,- ,❑√21.
19 ❑√211 1 3 10 3
(3)π,- ,π. (4)-❑√3, ,❑√3. (5)- , , .
π ❑√3 10 3 10
❑√10
3.解:如图所示,点A就是- 对应的点.
4.解:如图所示,ΔABC为钝角三角形,且面积为3,AB=AC=❑√10,BC=6.(答案不唯一)
-❑√2的绝对值是 ( )
A.❑√2 B.-❑√2
❑√2 ❑√2
C. D. -
2 2
〔解析〕 |-❑√2|=❑√2.故选A.
如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为❑√2和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有 (
)
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
〔解析〕 因为1<❑√2<2,5<5.1<6,所以A,B两点之间表示整数的点所对应的数为2,3,4,5,共有4个.故选
C.
[解题策略] 根据数轴的特点把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相
辅相成,在学习中要注意数形结合思想的应用.
如图所示,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是 .
〔解析〕
因为OB=❑√12+12=❑√2,所以OA=OB=❑√2,因为点A在数轴上原点的左边,所以点A表示
的数是-❑√2.故填-❑√2.
7 二次根式1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.
2.探究并掌握二次根式的性质.
3.会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算,并解决简单的实际问题.
1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.
2.从具体实例出发,归纳出无理数的运算律.
3.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律.
发展学生的运算技能,关注解决问题方式的多样性,提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力.
【重点】 利用化简对实数进行简单的四则运算.
【难点】 掌握有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
第 课时
1.了解二次根式和最简二次根式的概念.
2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.
【重点】 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【难点】 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【教师准备】 预设学习过程中学生会遇到的问题.【学生准备】 复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.
导入一:
问题1
√ 49
❑√5,❑√11,❑√7.2, ❑ ,❑√(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征?
121
【问题解决】 都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.
二次根式的定义:一般地,形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.
强调条件:a≥0.
问题2
二次根式有哪些性质呢?
这是我们本节课要解决的新问题.
[设计意图] 通过问题,回顾旧知识,为学习新知识打好基础.
导入二:
电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系r=❑√2Rh,其中R是地球半
径,R≈6400 km.若某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?
【问题探究】 由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=❑√2×6400×200.那么如何快速计算
❑√2×6400×200呢?
一、活动探究
【做一做】
(1)计算下列各式,你能得到什么猜想?
❑√4×9= ,❑√4×❑√9= ;
√4 ❑√4
❑ = , = ;
9 ❑√9
√25 ❑√25
❑ = , = .
49 ❑√49
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流.
√6 ❑√6
❑√6×7与❑√6×❑√7, ❑ 与 .
7 ❑√7
问题1
观察上面的结果,你得出什么结论?
问题2
从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?
√a ❑√a
【问题解决】 ❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0, b>0).
b ❑√b
积的算数平方根,等于算数平方根的积;
商的算数平方根,等于算数平方根的商.√a ❑√a
[设计意图] 最终归纳出❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0, b>0).
b ❑√b
说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不可忽略.
二、例题讲解
化简.
(1)❑√81×64;
(2)❑√25×6;
√5
(3) ❑ .
9
√a ❑√a
〔解析〕 直接运用两个公式❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0, b>0)进行计算.
b ❑√b
解:(1)❑√81×64=❑√81×❑√64=9×8=72.
(2)❑√25×6=❑√25×❑√6=5❑√6.
√5 ❑√5 ❑√5
(3) ❑ = = .
9 ❑√9 3
观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
[设计意图] 由于现在还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的
形式呈现了有关结论.
❑√5
例1的化简结果5❑√6, 中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含
3
分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
化简.
√2 1
(1)❑√50; (2) ❑ ; (3) .
7 ❑√3
解:(1)❑√50=❑√25×2=❑√25×❑√2=5❑√2.
√2 ❑√2 ❑√2×❑√7 ❑√14
(2) ❑ = = = .
7 ❑√7 ❑√7×❑√7 7
1 1×❑√3 ❑√3
= =
(3) .
❑√3 ❑√3×❑√3 3
[设计意图] 例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简
的,然后利用所学公式灵活的化为最简二次根式.
❑√14
【议一议】 (1)你是怎么发现❑√50的被开方数含有开得尽方的因数的?你是怎么判断 是最简二
7
次根式的?
(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会?与同伴进行交流.
策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现❑√50含有开
❑√14
得尽方的因数,14=2×7,故判断 是最简二次根式.
7
说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一部分移到了根号外面,具体来说是能开得尽方的因数,开
方后写到了根号外面.从而明确:被开方数若有开得尽方的因数,一般需要进行化简.
[知识拓展] 对于二次根式应注意以下几点:
(1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“❑√ ”.
(2)在二次根式❑√a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成部分,不
可省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,❑√a没有意义.
(3)在二次根式❑√a中,被开方数a可以是数,也可以是代数式,如❑√2,❑√x- y(x≥y),❑√a2+1等都是二次根
式.
(4)二次根式❑√a(a≥0)是非负数a的算术平方根,即❑√a(a≥0)是非负数,也就是说,式子❑√a包含两个非负
数:①被开方数a,即a≥0(这是使❑√a有意义的条件);②❑√a本身,❑√a≥0(这是由算术平方根的意义所决定的).
2
(5)书写二次根式时不能写成2
❑√5的形式,也就是说,当根号前的系数是带分数时,要改写成假分数,这
3
和代数式的书写要求是一致的.
(6)要使❑√ab有意义,则被开方数ab≥0,因此a与b同号或至少有一个为零.
(7)如果一个二次根式的被开方数中的因数或因式是完全平方数或完全平方式,则可以利用性质
❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0)及❑√a2=a(a≥0)将这些因数(式)开出来,从而将二次根式化简.
√a ❑√a
掌握并会运用公式❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0,b>0).
b ❑√b
1.化简.
√8 √125
(1)❑√45; (2) ❑ ; (3) ❑ .
9 16
解:(1)❑√45=❑√9×5=❑√9×❑√5=3×❑√5=3❑√5.
√8 ❑√8 ❑√4×2 ❑√4×❑√2 2×❑√2 2❑√2
(2) ❑ = = = = = .
9 ❑√9 3 3 3 3
√125 ❑√125 ❑√25×5 ❑√25×❑√5 5×❑√5 5❑√5
(3)❑ = = = = = .
16 ❑√16 4 4 4 4
2.下列式子中,属于最简二次根式的是 ( )
√1
A.❑√9 B.❑√7 C.❑√20 D.❑
3
√1 ❑√3
解析:A.❑√9 =3,C.❑√20 = 2❑√5,D. ❑ = .故选B.
3 3
3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,则另一边长是多少?
解:当另一边为斜边时,其边长为❑√42+52=❑√41,当另一边为直角边时,其边长为❑√52-42=3.故边长为
❑√41或3.第1课时
√a ❑√a
1.❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0,b>0).
b ❑√b
2.最简二次根式.
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第64页随堂练习.
【选做题】
教材第65页习题2.9第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简下列各式.
(1)❑√4×36; (2)❑√75;
√1 1
(3) ❑ ; (4) .
2 ❑√12
2.化简❑√(-3)2 的结果是 .
3.若❑√20n是整数,则正整数n的最小值为 .
【能力提升】
4.下列二次根式中, 已经化成最简二次根式的是 ( )
√1
A.❑ B.❑√20
5
C.2❑√2 D.❑√121
5.如图所示,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影部分的面积.
【拓展探究】
6.观察下列各式:
√ 2 √8 √4×2 √2
❑2- = ❑ = ❑ =2 ❑ ;
5 5 5 5√ 3 √27 √9×3 √ 3
❑3- = ❑ = ❑ =3 ❑ ……
10 10 10 10
√ 5
猜想 ❑5- 等于多少,并通过计算验证你的猜想.
26
【答案与解析】
√1 1×❑√2 ❑√2
1.解:(1)❑√4×36=❑√4×❑√36=2×6=12. (2)❑√75=❑√25×❑√3=5❑√3. (3) ❑ = = .
2 ❑√2×❑√2 2
1 1 1×❑√3 ❑√3
(4) = = = .
❑√12 2❑√3 2×❑√3×❑√3 6
2.3(解析:❑√(-3)2=3.)
3.5(解析:❑√20n=❑√4×5×n,所以n的最小值为5.)
4.C(解析:根据最简二次根式的定义可得.)
5.解:由题意,得AB=2,BE=CD=❑√2,所以阴影部分的面积=BE×(AB-CD)=❑√2·(2-❑√2)=2❑√2-2.
√ 5 √ 5 √ 5 √125 √25×5 √ 5
6.解: ❑5- =5❑ .验证: ❑5- = ❑ =❑ =5❑ .
26 26 26 26 26 26
本节课经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清
楚新旧知识的区别和联系.
本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法则的理解,
能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等,对于
较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进行运算.
教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供
层次高一些的学生及班级选用.
随堂练习(教材第42页)
解:(1)❑√32=❑√16×2=❑√16×❑√2=4❑√2. (2)❑√72=❑√36×2=❑√36×❑√2=6❑√2. (3)
√12 √12×7 ❑√4×21 2❑√21 √3 √6 ❑√6 ❑√6
❑ =❑ = = . (4)❑√1.5=❑ =❑ = = . (5)
7 7×7 ❑√72 7 2 4 ❑√4 2
1 √1 √ 5 ❑√5 ❑√5
=❑ =❑ = = .
❑√5 5 25 ❑√25 5
习题2.9(教材第43页)1.解:(1)❑√9×49=❑√9×❑√49=3×7=21. (2)❑√16×7=❑√16×❑√7=4❑√7. (3)
√12 ❑√4×3 2❑√3
❑ = = . (4)❑√27=❑√9×3=❑√9×❑√3=3❑√3. (5)❑√18=❑√9×2=❑√9×❑√2=3
25 ❑√25 5
√ 3 √ 3×13 ❑√39 ❑√39 √ 9 √ 18 ❑√18 3❑√2
❑√2. (6) ❑ =❑ = = . (7)❑ =❑ = = . (8)
13 13×13 ❑√132 13 50 100 ❑√100 10
1 √1 √ 2 ❑√2
=❑ =❑ = .
❑√2 2 2×2 2
2.解:由勾股定理得另一条直角边的长=❑√152-102=❑√125=❑√25×5=❑√25×❑√5=5❑√5(cm).
3.解:面积为8的正方形的边长为❑√8,面积为2的正方形的边长为❑√2.由图形可以看出面积为8的正方形的
边长是面积为2的正方形的边长的2倍,所以有❑√8=2❑√2.
4.解:如图所示.线段AB的长等于❑√20,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=❑√AC2+BC2=❑√42+22=❑√20.
如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.
(1)若被开方数是整数并且比较大时,可用小学学过的“短除法”先将被开方数分解成若干个因数的乘
积,两个相同的因数开出一个因数,如化简❑√1080,由于1080=2×2×2×3×3×3×5=22×32×2×3×5,所以
❑√1080=❑√22×❑√32×❑√2×3×5=2×3×❑√30=6❑√30.
(2)若被开方数是分数,且分母是质数,则利用分数的基本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简
√ 3 ❑√3 ❑√3×❑√13 ❑√39
❑ = = = ;若被开方数是分数,且分母不是质数,则先将分母分解因数,再考虑分
13 ❑√13 ❑√13×❑√13 13
√ 9 ❑√9 ❑√9×❑√2 3❑√2
子、分母同乘以几,如化简 ❑ = = = .
50 ❑√50 ❑√25×2×❑√2 10
观察下列各个二次根式:
①❑√52-42,②❑√172-82,③❑√372-122,④❑√652-162……(1)求①,②,③,④的值;
(2)仿照①,②,③,④写出第⑤个二次根式;
(3)仿照①,②,③,④,⑤写出第n个二次根式,并化简.
〔解析〕 (1)根据二次根式的性质进行计算即可;(2)根据(1)中的规律写出第⑤个二次根式即可;(3)根据
(1)中的规律,用字母表示第n个二次根式,并化简.
解:(1)①原式=❑√9=3;②原式=❑√225=15;
③原式=❑√1225=35;④原式=❑√3969=63.
(2)第⑤个二次根式为❑√1012-202.
(3)第n个二次根式为❑√(4n2+1)2-16n2(n≥1,且n为整数).
❑√(4n2+1)2-16n2=❑√(4n2-4n+1)(4n2+4n+1)=❑√(2n-1)2(2n+1)2=(2n-1)
(2n+1)(n≥1,且n为整数).
第 课时
1.经历二次根式的运算法则的探索过程,了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
2.会进行二次根式简单的四则运算.
1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.
2.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律.
在探究与合作活动中,发展探究能力和合作意识,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【重点】 会进行二次根式简单的四则运算.
【难点】 正确应用二次根式的运算法则进行四则运算.
【教师准备】 预想学生构建知识体系遇到的困难.
【学生准备】 复习二次根式的性质.
导入一:[过渡语] 前面学习了二次根式的性质,我们复习一下.
【问题】 二次根式的性质是什么?用公式如何表示?
【问题解决】
积的算数平方根,等于算数平方根的积.
商的算数平方根,等于算数平方根的商.
√a ❑√a
❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0, b>0).
b ❑√b
[设计意图] 借助复习,在巩固旧知识的同时,导入新课.
导入二:
装风筝的包装盒是一个底为正方形的长方体盒子,正方形的边长为30 cm,长方体盒子的高为5 cm,长方
体盒子在包装时需用彩带沿正方形的对角线进行包装,则所需要彩带的长度最少是多少厘米?
【问题】 由于长方体盒子要用彩带沿正方形的对角线进行包装,所以彩带的长最少应为4×(对角线长
+高),而正方形对角线的长可以根据勾股定理求得,即❑√302+302,那么如何计算4(❑√302+302+5)呢?
一、活动探究
思路一
√a ❑√a
[过渡语] 将上节课探究的公式❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0), ❑ = (a≥0, b>0)等号的左边与右边
b ❑√b
对换,可以得到二次根式的乘法法则和除法法则:
❑√a √a
❑√a·❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0), = ❑ (a≥0,b>0).
❑√b b
思路二
计算下列各式,你能得到什么猜想?
❑√16×❑√25= ,❑√16×25= ;
❑√9 √ 9
= , ❑ = .
❑√25 25
❑√16×❑√25=4×5=20,❑√16×25=❑√400=20,所以❑√16×❑√25=❑√16×25.
❑√9 3 √ 9 3 ❑√9 √ 9
= , ❑ = ,所以 = ❑ .
❑√25 5 25 5 ❑√25 25
我们可以得到二次根式的乘法法则和除法法则:
❑√a √a
❑√a·❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0), = ❑ (a≥0,b>0).
❑√b b
二、例题讲解
(教材例3)计算.
√2 ❑√6×❑√3 ❑√2
(1)❑√6× ❑ ; (2) ; (3) .
3 ❑√2 ❑√5
〔解析〕 常常要把被开方数的分子与分母同时乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数,然后把
分母开出来.
√2 √ 2
解:(1)❑√6× ❑ = ❑6× =❑√4=2.
3 3❑√6×❑√3 ❑√6×3 √6×3
(2) = = ❑ =❑√9=3.
❑√2 ❑√2 2
❑√2 √2 √2×5 ❑√10
(3) = ❑ = ❑ = .
❑√5 5 5×5 5
(教材例4)计算.
(1)3❑√2×2❑√3;
(2)❑√12×❑√3-5;
(3)(❑√5+1)2
;
(4)(❑√13+3)(❑√13-3);
( √1)
(5) ❑√12-❑ ×❑√3;
3
❑√8+❑√18
(6) .
❑√2
〔解析〕 二次根式也可以进行加减运算,以前学过的有理数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果
运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应该将这些项合并.第(3)(4)题要用到乘法公式
中的完全平方公式和平方差公式.
解:(1)3❑√2×2❑√3=3×2×❑√2×3=6❑√6.
(2)❑√12×❑√3-5=❑√12×3-5=❑√36-5=6-5=1.
(3)(❑√5+1)2=(❑√5)2+2❑√5+1=5+2❑√5+1=6+2❑√5.
(4)(❑√13+3)(❑√13-3)=(❑√13)2-32=4.
( √1) √1
(5) ❑√12-❑ ×❑√3=❑√12×❑√3- ❑ ×❑√3=❑√36-❑√1=6-1=5.
3 3
❑√8+❑√18 ❑√8 ❑√18
(6) = + =❑√4+❑√9=2+3=5.
❑√2 ❑√2 ❑√2
[设计意图] 从本例开始,正式进行二次根式的加、减、乘、除运算,设计时注意了题目的梯度.本例侧
重于乘、除运算,只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用(如交换律、结合律、分配律、乘法公式等)了.
教学中,注意体会这些题目之间的层次性,教学中务必循序渐进地开展相关技能训练,让更多的学生感受到成
功的喜悦.
(教材例5)计算.
(1)❑√48+❑√3;
√1
(2)❑√5- ❑ ;
5
(√4 )
(3) ❑ +❑√3 ×❑√6.
3
〔解析〕 把二次根式化为最简二次根式,能合并的要合并.
解:(1)❑√48+❑√3=❑√16×3+❑√3=❑√16×❑√3+❑√3=4❑√3+❑√3=5❑√3.√1 √ 5 ❑√5 ❑√5 4
(2)❑√5- ❑ =❑√5- ❑ =❑√5- =❑√5- = ❑√5.
5 25 ❑√25 5 5
(√4 ) √4
(3) ❑ +❑√3 ×❑√6= ❑ ×6+❑√3×6=❑√8+❑√18=2❑√2+3❑√2=5❑√2.
3 3
[知识拓展] 1.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
2.在❑√a·❑√b=❑√ab中,a,b必须满足a≥0,b≥0,否则❑√a,❑√b就没有意义.
3.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算,如❑√x·❑√y·❑√z=❑√xyz(x≥0,y≥0,z≥0).
4.二次根式的除法法则中被开方数的取值范围:由于b为分母,因此被开方数a,b的取值范围分别是
a≥0,b>0.
5.二次根式的除法法则中的a,b既可以是数,也可以是代数式.
6.在运算中应注意约分要彻底.
二次根式的乘法法则和除法法则:
❑√a √a
❑√a·❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0), =❑ (a≥0,b>0).
❑√b b
二次根式也可以进行加减运算,实数的运算法则、运算律仍然适用.
1.化简.
√2 ❑√2
(1)❑√5× ❑ ; (2) ;
5 ❑√8
√2
(3)2❑√12+❑√48; (4) ❑ +❑√50-❑√32;
9
√1
(5)3❑√20-❑√45- ❑ ; (6)(❑√6-❑√2)2.
5
√2 √ 2
解:(1)❑√5× ❑ =❑5× =❑√2.
5 5
❑√2 √2 1
(2) = ❑ = .
❑√8 8 2
(3)2❑√12+❑√48=2❑√4×3+❑√16×3=2×❑√4×❑√3+❑√16×❑√3=2×2×❑√3+4×❑√3=4❑√3+4❑√3=8
❑√3.
√2 ❑√2 ❑√2 ❑√2
(4) ❑ +❑√50- ❑√32= +❑√25×2-❑√16×2= +❑√25×❑√2-❑√16×❑√2= +5❑√2-4
9 ❑√9 3 3
4
❑√2= ❑√2.
3
√1 √ 5 ❑√5
(5) 3❑√20-❑√45- ❑ =3❑√4×5-❑√9×5-❑ =3×❑√4×❑√5-❑√9×❑√5- =6❑√5-3❑√5-
5 25 ❑√25
❑√5 14
= ❑√5.
5 5
(6)(❑√6-❑√2)2=(❑√6)2-2❑√6·❑√2+(❑√2)2=6-2❑√12+2=8-4❑√3.2.化简.
√1 ❑√12+❑√27
(1) 7❑√3-❑ ; (2) ;
3 ❑√3
❑√12·❑√6
(3) ; (4)(❑√5+❑√3)(❑√5-❑√3).
❑√8
√1 ❑√3 20❑√3
解:(1) 7❑√3-❑ = 7❑√3- = .
3 3 3
❑√12+❑√27 2❑√3+3❑√3
(2) = =5.
❑√3 ❑√3
❑√12·❑√6 6❑√2
(3) = =3.
❑√8 2❑√2
(4)(❑√5+❑√3)(❑√5-❑√3)=(❑√5)2-(❑√3)2=5-3=2.
第2课时
二次根式的乘法法则和除法法则:
❑√a √a
❑√a·❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0), = ❑ (a≥0,b>0).
❑√b b
例3
例4
例5
一、教材作业
【必做题】
教材第45页随堂练习.
【选做题】
教材第46页习题2.10第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
√4
1.化简❑√5× ❑ 的结果是( )
5
2 ❑√2
A. B.2 C.❑√2 D.
5 2
2.下列计算错误的是 ( )
A.❑√2×❑√3=❑√6 B.❑√2+❑√3=❑√6
C.❑√12÷❑√3=2 D.❑√8=2❑√2
√2
3.化简 ❑ ×❑√12= ;❑√(-15)×(-27)= .
3
4.化简.
√1
(1) ❑√12× ❑ ;
3
(2) (1-❑√6)(1+❑√6).
5.计算.(1)3❑√3×❑√3;
(2)❑√0.5×❑√24;
3 √2
(3) ❑√45× ❑ .
2 3
【能力提升】
6.化简(❑√3+❑√2)2014(❑√3-❑√2)2015.
【拓展探究】
x2+xy+ y2
7.x=❑√3+❑√2,y=❑√3-❑√2,求 -(x+y).
x+ y
【答案与解析】
1.B
2.B
3.2❑√2 9❑√5
√1 √12
4.解:(1) ❑√12× ❑ = ❑ =❑√4=2. (2)(1-❑√6)(1+❑√6)=12-(❑√6)2 =1-6=-5.
3 3
3 √2 3
5.解:(1)3❑√3×❑√3=9. (2)❑√0.5×❑√24=2❑√3. (3) ❑√45× ❑ = ❑√30.
2 3 2
2014
6.解:(❑√3+❑√2)2014(❑√3-❑√2)2015=[(❑√3+❑√2)(❑√3-❑√2)] (❑√3-❑√2)=❑√3-❑√2.
x2+xy+ y2 x2+xy+ y2-(x+ y)2 -xy -(❑√3+❑√2)(❑√3-❑√2) -1
7.解: -(x+y)= = = = =-
x+ y x+ y x+ y ❑√3+❑√2+(❑√3-❑√2) 2❑√3
❑√3
.
6
本节课推导出二次根式的乘法法则和除法法则,通过不同形式的练习,学生掌握较好,理解了法则,并会应
用法则进行计算.
本节课的教学设计中未考虑学生的层次不同,对知识的要求也不同.
增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.
随堂练习(教材第45页)
√ 9 √9 3 2❑√3×❑√6
1.解:(1)原式= ❑5× = ❑ = . (2)原式= =2❑√6. (3)原式=2+2❑√3-❑√3-3=❑√3-1.
20 4 2 ❑√3
(4)原式=(2❑√3)2-4❑√3+1=13-4❑√3.
(5)原式=❑√81+1=10. (6)原式=❑√9-❑√4=1.
2❑√98×2 10
(7)原式=3❑√3-5❑√3=-2❑√3. (8)原式=2❑√9- =- .
3 32.解:(1)不正确. (2)不正确. (3)不正确.
习题2.10(教材第45页)
20 5
1.提示:(1)1. (2)3. (3)7+2❑√10. (4)-1. (5)❑√5-1. (6)-14❑√2. (7) ❑√3. (8) ❑√10.
3 2
2.解:(1)两个有理数相加、相减、相乘、相除,结果一定是有理数. (2)两个无理数相加、相减、相乘、相除,
❑√6
结果不一定是无理数.如(1+❑√2)+(1-❑√2)=2,❑√3-❑√3=0,(❑√5+1)(❑√5-1)=4, =1,结果都是有理数.
❑√6
1 1 1
3.解:S =3×4- ×2×4- ×3×1- ×3×1=5.
ΔABC 2 2 2
❑√3 ❑√6 2.449
=
4.解: ≈ =1.2245.
❑√2 2 2
同学们,我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了
二次根式,那么所有的非负数都可以看做是一个数的平方,如3=(❑√3)2,5=(❑√5)2.
先阅读理解,再回答问题.
(❑√2-1)2=(❑√2)2-2·1·❑√2+12=2-2❑√2+1=3-2❑√2,
反之,3-2❑√2=2-2❑√2+1=(❑√2-1)2,
所以3-2❑√2=(❑√2-1)2,
所以❑√3-2❑√2=❑√2-1.
(1)求 ❑√3+2❑√2;
(2)求 ❑√4+2❑√3;
(3)你会算❑√4-❑√12吗?
(4)若❑√a±2❑√b=❑√m±❑√n,则m,n与a,b的关系是什么?并说明理由.
解:(1)❑√3+2❑√2=❑√(❑√2+1)2=❑√2+1.
(2)❑√4+2❑√3=❑√(❑√3+1)2=❑√3+1.
(3)❑√4-❑√12=❑√(❑√3-1)2=❑√3-1.
(4)由❑√a±2❑√b=❑√m±❑√n,得a±2❑√b=m+n±2❑√mn,则a=m+n,b=mn.
第 课时
进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简.利用二次根式的化简解决简单的数学问题,通过独立思考,能选择合理的方法解决问题.
在运算过程中巩固知识,通过与他人交流总结方法.
【重点】 利用二次根式的化简,解决简单的数学问题.
【难点】 根号内含有字母的二次根式的化简.
【教师准备】 教具(方格纸等).
【学生准备】 复习二次根式的性质和运算法则.
导入一:
(1)说一说什么是最简二次根式.
(2)二次根式化简过程中,你有哪些体会?
❑√3
(3)上节课课后作业:已知❑√2≈1.414,❑√3≈1.732,❑√6≈2.449,计算 .你是怎样解决的?
❑√2
[设计意图] 借助复习,在巩固旧知识的同时,导入新课.
导入二:
在七年级学习有理数的时候,我们学过混合运算,二次根式也同有理数一样,能够进行混合运算,运算顺序
和有理数一样,先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号内的,下面我们通过几个例题,来感受
一下.
例题讲解
(教材例6)计算.
√3 √2
(1) ❑ -❑ ;
2 3
√1
(2)❑√18-❑√8+❑ ;
8
( √1)
(3) ❑√24-❑ ÷❑√3;
6
√25
(4) ❑ +❑√99-❑√18.
2
〔解析〕 二次根式也有混合运算,运算顺序和有理数一样,结果要化为最简二次根式.
√3 √2 √3×2 √2×3 1 1 (1 1) 1
解:(1) ❑ - ❑ = ❑ - ❑ = ❑√6- ❑√6= - ×❑√6= ❑√6.
2 3 2×2 3×3 2 3 2 3 6√1 √ 2 1 5
(2)❑√18-❑√8+❑ =❑√32×2-❑√22×2+❑ =3❑√2-2❑√2+ ❑√2= ❑√2.
8 16 4 4
( √1) √1 √1 √ 1
(3) ❑√24-❑ ÷❑√3=❑√24÷❑√3- ❑ ÷❑√3=❑√24÷3-❑ ÷3=❑√8-❑ =❑√4×2-
6 6 6 6×3
√ 2 1 11
❑ =2❑√2- ❑√2= ❑√2.
6×6 6 6
√25 √25×2 5 1
(4) ❑ +❑√99-❑√18= ❑ +❑√9×11- ❑√9×2= ❑√2+3❑√11-3❑√2=- ❑√2+3❑√11.
2 2×2 2 2
说明:可以放手让学生独立完成,然后通过交流,发现问题,给出意见.
[过渡语] 下面我们来解决一个实际问题.
【做一做】 如图所示,图中小正方形的边长为1,试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法?与同伴进
行交流.
(1)直接求法.
过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE都是某一个直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得
1
AB=5❑√2, CD=❑√2,DE=3❑√2,梯形ABCD的面积是 ×(5❑√2+❑√2)×3❑√2=18.
2
(2)间接求法(割补法).
将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个小三角形的面积,得梯形ABCD的面积
1 1 1
是5×7- ×5×5- ×4×2- ×1×1=18.
2 2 2
[知识拓展] 二次根式的混合运算几种主要的题型分别是什么?
(1)❑√a(❑√b+❑√c+❑√d)(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0)型,运用分配律化简.
(2)(❑√a+❑√b)(❑√c+❑√d)型,可类比多项式乘多项式进行计算,即(❑√a+❑√b)(❑√c+❑√d)=
❑√ac+❑√ad+❑√bc+❑√bd(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).
(3)(❑√a+❑√b)(❑√a-❑√b)型,即(❑√a+❑√b)(❑√a-❑√b)=(❑√a)2 -(❑√b)2
=a-b(a≥0,b≥0),运用平方差公式.
(4)(❑√a±❑√b)2 型,即(❑√a±❑√b)2 =a±2❑√ab+b(a≥0,b≥0),运用完全平方公式.
(5)(❑√a+❑√b)÷(❑√a-❑√b)型,要进行分母有理化,即(❑√a+❑√b)÷(❑√a-❑√b)=
❑√a+❑√b (❑√a+❑√b)(❑√a+❑√b) a+2❑√ab+b
= =
(a≥0,b≥0,且a≠b).
❑√a-❑√b (❑√a-❑√b)(❑√a+❑√b) a-b在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:
(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算
括号内的.
(2)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“多项式”,
因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式
的运算中仍然适用.
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式
的和或差,或有理式.
1.化简.
(1)(2❑√3+3)(2❑√3-3); (2)(❑√3x-❑√y)2; (3)(❑√2-1)÷(❑√2+1).
解:(1)(2❑√3+3)(2❑√3-3)=(2❑√3)2-32=12-9=3.
(2)(❑√3x-❑√y)2=(❑√3x)2-2❑√3x×❑√y+(❑√y)2=3x-2❑√3xy+y.
(3)(❑√2-1)÷(❑√2+1)
❑√2-1 (❑√2-1)(❑√2-1)
=
=
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2-1)
(❑√2)2-2❑√2+1
=
(❑√2)2-1
=2-2❑√2+1=3-2❑√2.
2.计算.
√1
(1)❑√28+4 ❑ -(❑√7-❑√2);
2
1+(2+❑√3)2
(2) .
(❑√7-❑√3)(❑√7+❑√3)
√1
解:(1)❑√28+4 ❑ -(❑√7-❑√2)=2❑√7+2❑√2-(❑√7-❑√2)=2❑√7+2❑√2-❑√7+❑√2=❑√7+3❑√2.
2
1+(2+❑√3)2 1+4+4❑√3+3 8+4❑√3
(2) = = =2+❑√3.
(❑√7-❑√3)(❑√7+❑√3) 4 4
【方法归纳】 在计算过程中,注意在有理数中学到的公式法则,在二次根式的运算中同样适用.比如平
方差公式、完全平方公式.
第3课时
教材例6.
做一做.
一、教材作业【必做题】
教材第47页随堂练习.
【选做题】
教材第48页习题2.11第2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列运算中错误的是 ( )
1 ❑√2
A.❑√2×❑√3=❑√6 B. =
❑√2 2
C.2❑√2+3❑√2=5❑√2 D.❑√(❑√2-❑√3)2=❑√2-❑√3
2.化简.
❑√50+❑√32
(1) - 4;
❑√8
√1
(2)(❑√6-2❑√15)×❑√3-6 ❑ .
2
【能力提升】
3.长方形的长和宽分别为3❑√10 cm,2❑√15 cm,这个长方形的面积是 .
4.三角形的三边长分别是❑√20 cm,❑√40 cm,❑√45 cm,这个三角形的周长是 .
2 3
5.直角三角形的两直角边长分别是 cm, cm,这个直角三角形的斜边长是 .
5 5
a b
6.已知a=❑√2,b=❑√3,求 + 的值.
b a
1+❑√2
7.化简 .
1-❑√2
8.解下列方程.
(1)❑√6(x+1)=❑√7(x-1);
❑√3 2❑√2
(2) x+1= x.
❑√2 ❑√3
【拓展探究】
a2-b2
9.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,求 -❑√cd的值.
a2+b2
【答案与解析】
1.D(解析:❑√(❑√2-❑√3)2=|❑√2-❑√3|=❑√3-❑√2.)
5❑√2+4❑√2 9 1
2.解:(1)原式= -4= -4= . (2)原式=3❑√2-6❑√5-3❑√2=-6❑√5.
2❑√2 2 2
3.30❑√6 cm2(解析:3❑√10×2❑√15=30❑√6(cm2).)
4.(5❑√5+2❑√10)cm(解析:❑√20+❑√40+❑√45=5❑√5+2❑√10(cm).)
❑√13 √ (2) 2 (3) 2 ❑√13
5. cm(解析: ❑ + = (cm).)
5 5 5 5a b a2+b2 (❑√2)2+(❑√3)2 5❑√6
6.解: + = = = .
b a ab ❑√2·❑√3 6
1+❑√2 (1+❑√2)2 1+2❑√2+2
7.解: = = =-3-2❑√2.
1-❑√2 (1-❑√2)(1+❑√2) 1-2
8.提示:(1)x=13+2❑√42. (2)x=❑√6.
a2-b2 (a+b)(a-b)
❑√cd=
9.解:因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,所以a+b=0,cd=1,所以 - -1=0-1=-1.
a2+b2 a2+b2
本节课主要学习二次根式的混合运算,通过练习,使学生掌握计算方法和运算技巧,能够灵活运用.
本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化
简,仍然要求化成最简二次根式.这部分内容对学生的要求较高,基础不好的学生掌握得不好.
习题可以分层次布置,以满足不同层次的学生的需要.
随堂练习(教材第47页)
❑√10 ❑√10 ❑√10 ❑√3 4❑√3 √1
解:(1)原式= - = . (2)原式=2❑√3-❑√3+ = . (3)原式=❑√18×❑√8-❑ ×❑√8
5 10 10 3 3 2
=10. (4)原式=10❑√3+2❑√2-3❑√3=7❑√3+2❑√2.
习题2.11(教材第48页)
12❑√7 ❑√6 3❑√5 16❑√3 7❑√2
1.提示:(1) . (2) - . (3) . (4) +4❑√3.
7 6 5 3 2
2.解:因为AB=❑√52+52=5❑√2,BC=❑√42+22=2❑√5,CD=❑√2,AD=6,所以梯形ABCD的周长
=AB+BC+CD+AD=2❑√5+6❑√2+6.
3.解:❑√4a2b3=2ab❑√b.
1 2-❑√3 2 2(❑√5+❑√3)
4.解: = =2-❑√3, = =❑√5+❑√3.
2+❑√3 (2+❑√3)(2-❑√3) ❑√5-❑√3 (❑√5-❑√3)(❑√5+❑√3)
复习题(教材第49页)
π 1 1
1.(1) √311,0.3, ,❑√25,0.5757757775…(相邻两个5之间7的个数逐次加1) (2)- ,√3 -27 (3)- ,0.3,❑√25,
2 7 7
π
√3 -27,0 (4) √311, ,0.5757757775…(相邻两个5之间7的个数逐次加1)
27 7
2.提示:(1)±1.5,1.5. (2)±19,19. (3)± , . (4)±10-2,10-2.
6 6
3
3.提示:(1)-8. (2)0.2. (3)- . (4)102.
4
5 2 5
4.提示:(1) . (2)0.5. (3)- . (4)-1. (5)- . (6)-10-2.
11 9 3
5.提示:(1)8.66. (2)-5.37. (3)2.49. (4)10.48. (5)-89.44.
6.提示:(1)6.6. (2)4.
·
7.提示:(1)|-1.5|<1.5. (2)-❑√2<1.414. (3)√3 9>❑√3.
55 7
8.提示:(1)1. (2)5. (3)1. (4)16❑√3. (5)- ❑√7. (6) ❑√2.
7 2
9.解:(1)❑√b2-4ac= ❑√102-4×1×(-15)=4❑√10. (2)❑√b2-4ac= ❑√(-8)2-4×2×5=2
❑√6.
10.解:(1)点A表示-❑√5. (2)-❑√5>-2.5.
1
11.解:面积为 ×2×1=1.周长为2+2❑√2≈4.83.
2
13.解:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根分别为:±1,±❑√2,±❑√3,±2,±❑√5,±❑√6,±❑√7,±2❑√2,±3,±❑√10,立方根分别为:
1,√32,√33,√3 4,√35,√36,√37,2,√3 9,√310.有理数有:±1,±2,±3,1,2.无理数有:±❑√2,±❑√3,±❑√5,±❑√6,±❑√7,±2❑√2,±
❑√10,√32,√33,√3 4,√35,√36,√37,√3 9,√310.
14.(1)0,1 (2)0 (3)0,1 (4)0,±1 (5)1,2,3
(6)-1,0,1,2
15.(1)✕ (2)✕
16.解:不对,如无理数π,0.101001000100001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
17.解:按如图(1)所示剪开,拼成的正方形如图(2)所示,边长为❑√5.
18.解:设正方形的边长为x cm,则x2=π,x= ❑√π≈1.77.答:正方形的边长约是1.77 cm.
19.解:设此木箱的棱长为x m.x3=4,x=√3 4≈1.6.答:此木箱的棱长约为1.6 m.
4 √9850×3
20.解: πr3=9850,r= 3 ≈13.3(cm).
3 4π
21.解:设长方形的长为5x cm,宽为3x cm,34x2=68,x2=2,x=❑√2.故长约为7.1 cm,宽约为4.2 cm.
1
22.解:(1)因为p= ×(5+6+7)=9,所以S=❑√9×(9-5)×(9-6)×(9-7)=❑√9×4×3×2=6❑√6,S=
2
√ 1[ (52+62-72
)
2]
❑ 52×62- =
4 2√1 1
❑ ×24×62 =6❑√6. (2)因为p= ×(❑√5+❑√6+❑√7),所以S=
4 2
√1 1
❑ ×(❑√5+❑√6+❑√7)× ×(❑√6+❑√7-❑√5)·
2 2
√1 1 1
❑ ×(❑√5+❑√7-❑√6)× ×(❑√5+❑√6-❑√7)= ❑√26.因为a=❑√5,b=❑√6,c=❑√7,所以
2 2 2
a2=5,b2=6,c2=7,所以S=❑
√1[
5×6-
(5+6-7) 2]
=
1
❑√30-4=
1
❑√26.
4 2 2 2
√0.5 60
23.解:T=2π❑ ≈1.42(s). ≈42(次).
9.8 1.42
24.解:v=16❑√20×1.2≈78.4(km/h).
U2 U2 1502 1702
25.解:因为P= ,所以R= ,当U=150 V时,R= =15(Ω);当U=170 V时,R= ≈19.3(Ω).所以15
R P 1500 1500
Ω0),请
你在图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)上画出对应的ΔABC,并求出它的面积;
(3)若ΔABC三边的长分别为❑√m2+16n2,❑√9m2+4n2,2❑√m2+n2(m>0,n>0且m≠n),试运用构图法
求出这个三角形的面积.
7
解:(1)
2(2)❑√17a可看做两直角边长为4a和a的直角三角形的斜边长,同理,❑√5a,2❑√2a也分别为某个直角三
1 1 1
角形的斜边长,画出ΔABC如图③所示(位置不唯一),S =2a×4a- ×a×2a- ×2a×2a- a×4a=3a2.
ΔABC 2 2 2
1 1 1
(3)构造ΔABC如图④所示, S =3m×4n- ×m×4n- ×3m×2n- ×2m×2n=5mn.
ΔABC 2 2 2
1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.
2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进行实数的相关运算.
4.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用
它们进行有关的简单四则运算.
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.
2.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程.
3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.
4.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
1.发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价
值.
【重点】
1.实数的概念和意义.
2.会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.
4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
【难点】
1.无理数概念的理解及应用.
2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.
3.运算性质的掌握与应用.
实数
{有理数{整数
分数
实数分类
{
无理数{正无理数
负无理数
{定义:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根
平方根 表示:若x2=a,则x=±❑√a
算术平方根:若x2=a,则a的算术平方根为❑√a
{定义:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x叫做a的立方根
立方根
表示:若x3=a,则x=√3 a
{定义:形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式
二次根式
最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式
{
(❑√a)2=a(a≥0)
❑√a2=|a|
重要性质
(√3 a)3=a
√3 a3=a
❑√ab=❑√a·❑√b(a≥0,b≥0)
{
√a ❑√a
❑ = (a≥0,b>0)
积、商的算术平方根的性质 b ❑√b
及二次根式的乘、除法法则 ❑√a·❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0)
❑√a √a
=❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
专题一 实数的相关概念、性质和运算
【专题分析】
有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法则和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实
数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.
无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的基础.实数是中学数学的重要基础,很多数
学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.
下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?❑√23,√35,3.14159265,❑√9,-π,❑√3-1,(-❑√5)2 ,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
〔解析〕 整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数.
解:3.14159265,❑√9,(-❑√5)2 是有理数.❑√23,√35,-π,❑√3-1,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐
次加1)是无理数.
[知识总结] 此题考查有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理
数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含
π的数;③是无限小数且不循环.
[易错提示] (-❑√5)2=5,是有理数,不是无理数.
1 √1 4
【针对训练1】 下列各数- ,❑ , π,√3 -0.001,(❑√2)2中,是无理数的是 .
3 3 3
√1 4
〔解析〕 根据无理数的定义判断.故填 ❑ , π.
3 3
[解题策略] 判断是不是无理数时,不要只看表面形式,如√3 -0.001=-0.1,(❑√2)2=2都是有理数.
计算.
√ 1
(1) ❑ -❑√40;
10
√1 1
(2) 5❑√12-9 ❑ + ❑√48.
3 2
〔解析〕 本题主要考查实数的运算法则及二次根式的化简.
√ 1 1 ❑√10 19❑√10
解:(1) ❑ - ❑√40= -❑√4·❑√10= -2❑√10=- .
10 ❑√10 10 10
√1 1 1 1 ❑√3
(2)5❑√12-9❑ + ❑√48=5❑√4·❑√3-9 + ❑√16·❑√3=10❑√3-9· +2❑√3=10❑√3-3❑√3+2❑√3=9
3 2 ❑√3 2 3
❑√3.
【针对训练2】 (1)已知a,b满足❑√a-2+|b+3|=0,求(a+b)2015的值;
(2)已知y=❑√2x-4-2❑√4-2x+3,求xy的值.
解:(1)∵❑√a-2≥0,|b+3|≥0,且❑√a-2+|b+3|=0,∴❑√a-2=0,|b+3|=0,∴a=2,b=-3,∴(a+b)2015=(2-
3)2015=(-1)2015=-1.
(2)∵2x-4≥0,4-2x≥0,∴2x-4=4-2x=0,∴x=2,∴y=0-0+3=3,∴xy=23=8.
[解题策略] 运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.
【针对训练3】 已知ΔABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为多少?
〔解析〕 分ΔABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况.
解:如图(1)所示,当ΔABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当
ΔABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.[知识总结] 此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ΔABC的形状有
两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能
力.
专题二 与二次根式有关的规律探究题
【专题分析】
二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐
关注此类的规律探索题.
在解决此类题目时,通过已知条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.
1,❑√2,❑√3,❑√6按如图所示的方式排列.
若规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是 ( )
A.1 B.2
C.2❑√3 D.6
〔解析〕 若将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,❑√2,❑√3,❑√6这四个数循环排列的数列,
(1+m-1)(m-1) m(m-1) 4×(4-1)
那么(m, n) 是第 +n= +n个数,即 (4, 2) 是第 +2=8 个数,
2 2 2
21×(21-1)
8÷4=2,故 (4, 2)表示的数是 ❑√6.(21, 2) 是第 +2=212 个数,212÷4=53,所以 (21, 2)表示的
2
数是❑√6,所以 (4,2)与(21,2)表示的两数之积是6.故选D.
【针对训练4】 观察下列各式及其验证过程,然后回答后面的问题.
√ 2 √2 √ 2 √8 √22×2 √2
❑2+ =2❑ ,验证:❑2+ =❑ =❑ =2❑ ;
3 3 3 3 3 3
√ 3 √3 √ 3 √27 √32×3 √3
❑3+ =3❑ ,验证:❑3+ =❑ =❑ =3 ❑ .
8 8 8 8 8 8
√ 4
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想❑4+ 的变形结果并进行验证;
15
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
〔解析〕 (1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数
和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内
的分子相同,根号内的分母是分子的平方减去1.
√ 4 √ 4
解:(1) ❑4+ =4 ❑ .
15 15
验证如下:√ 4 √64 √42×4 √ 4
❑4+ = ❑ = ❑ = 4 ❑ .
15 15 15 15
√ n √ n
(2) ❑n+ =n ❑ .
n2-1 n2-1
验证如下:
√ n √n(n2-1)+n √ n3 √ n
❑n+ =❑ =❑ =n ❑ .
n2-1 n2-1 n2-1 n2-1
阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2❑√2=(1+❑√2)2,善于
思考的小明进行了以下探索:
设a+b❑√2=(m+n❑√2)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2,∴a=m2+2n2,b=2mn.这样
小明就找到了一种把部分形如a+b❑√2的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b❑√3=(m+n❑√3)2,用含m,n的式子分别表示a,b,则a= ,b=
;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空: + ❑√3=( + ❑√3)2;
(3)已知a+4❑√3=(m+n❑√3)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
〔解析〕 (1)根据完全平方公式运算法则,即可得出a,b的表达式.∵a+b❑√3=(m+n❑√3)2 ,∴a+b❑√3
=m2+3n2+2mn❑√3,∴a=m2+3n2,b=2mn.(2)首先确定好m,n的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a,b的值.设
m=1,n=1,则a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1或m=1,n=2,然
后即可确定a的值.
解:(1)m2+3n2 2mn
(2)4 2 1 1
(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,
∵4=2mn,且m,n为正整数,
∴m=2,n=1或m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.
【针对训练5】 研究下列算式,你发现有什么规律?
❑√1×3+1=❑√4=2;❑√2×4+1=❑√9=3;❑√3×5+1=❑√16=4;❑√4×6+1=❑√25=5……
请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.
解:❑√n(n+2)+1=❑√(n+1)2=n+1(n为正整数).
【针对训练6】 先观察下列等式,再回答下列问题:
√ 1 1 1 1 1
① ❑1+ + =1+ - =1 ;
12 22 1 1+1 2
√ 1 1 1 1 1
② ❑1+ + =1+ - =1 ;
22 32 2 2+1 6√ 1 1 1 1 1
③ ❑1+ + =1+ - =1 .
32 42 3 3+1 12
√ 1 1
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想❑1+ + 的结果,并验证;
42 52
(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).
√ 1 1 1 1 1
解:(1) ❑1+ + =1+ - =1 .
42 52 4 4+1 20
√ 1 1 √ 1 1 √ 25 16 √441 1
验证:❑1+ + =❑1+ + =❑1+ + = ❑ =1 .
42 52 16 25 400 400 400 20
√ 1 1 1 1 1
(2) ❑1+ + =1+ - =1+ (n为正整数).
n2 (n+1)2 n n+1 n(n+1)
[方法归纳] 找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出
发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.
专题三 实数与数轴
【专题分析】
数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.
数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.
如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到
达点O',点O'所对应的数值是 .
〔解析〕 圆的周长为2πr,将r=0.5代入,得周长为π.故填π.
【针对训练7】 若❑√a2=-a, 则实数a在数轴上的对应点一定在 ( )
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
〔解析〕 当a≤0时,❑√a2=-a.故选C.
【针对训练8】 实数a, b在数轴上的位置如图所示,化简|a-❑√5|+|b-❑√2|.
〔解析〕 由数轴可知10 B.x≥-2
C.x≥2 D.x≤2
6.若a,b均为正整数,且a>❑√7,b>√32,则a+b的最小值是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2
7.在实数- ,0,❑√3,-3.14,❑√4中,无理数有 ( )
3
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
( 1) 2
8.已知√3 a=-1,❑√b=1, c- =0,则abc的值为 ( )
2
1 1
A.0 B.-1 C.- D.
2 2
9.(2014·福州中考)若(m-1)2+❑√n+2=0,则m+n的值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.有一个数值转换器,原理如图所示.当输入的x=64时,输出的y等于 ( )
A.2 B.8 C.3❑√2 D.2❑√2
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.已知:若❑√3.65≈1.910,❑√36.5≈6.042,则❑√365000≈ ,±❑√0.000365≈ .
12.绝对值小于π的整数有 .
13.0.0036的平方根是 ,❑√81的算术平方根是 .
14.(2014·荆州中考)若-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是 .
15.已知a,b为两个连续的整数,且a>❑√28>b,则a+b= .
16.(2014·福州中考)计算(❑√2+1)(❑√2-1)= .17.实数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简(❑√b)2+❑√(b-a)2-|a|= .
√3
18.(2014·黄冈中考)计算❑√12- ❑ = .
4
三、解答题(共58分)
19.(12分)计算.
❑√2×❑√6 √4
(1) - ❑ +❑√27×❑√8;
❑√8 3
(2)(1+❑√3)(❑√2-❑√6)-(2❑√3-1)2;
(3)❑√2+3❑√2-5❑√2.
20.(8分)比较大小,并说明理由.
(1)❑√35与6;
❑√2
(2)-❑√5+1与- .
2
21.(8分)已知某数的平方根是a+3和2a-15,b的立方根是-2,求-b-a的平方根.
22.(8分)如图所示,数轴上表示1,❑√2的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,求x+
2
x
的值.
23.(10分)如图所示的是一个正方体纸盒的展开图,在其中的三个正方形A,B,C内填入适当的数,使得折成正
方体后相对的面上的两个数满足下列条件:A面上的数a与它对面上的数互为倒数,B面上的数b是它对面上
的数的绝对值,C面上的数c与它对面上的数互为相反数,则a+b+c的值是多少?
24.阅读下面的解题过程:
化简:
4❑√10 (8+4❑√10+5)-13 (❑√8+❑√5)2-13 (❑√8+❑√5+❑√13)(❑√8+❑√5-❑√13)
= = =
❑√8+❑√5+❑√13 ❑√8+❑√5+❑√13 ❑√8+❑√5+❑√13 ❑√8+❑√5+❑√13
=❑√8+❑√5-❑√13.
请回答下列问题.
2❑√6
(1)按上述方法化简 ;
❑√2+❑√3+❑√5
(2)请认真分析化简过程,然后找出规律,写成一般形式.
【答案与解析】1.B(解析:因为-❑√9<-❑√5<-❑√4,即-3<-❑√5<-2,-❑√4<-❑√3<-❑√1,即-2<-❑√3<-1,❑√1<❑√3<❑√4,即1<❑√3<2,
❑√4<❑√5<❑√9,即2<❑√5<3,所以这四个数中,只有-❑√3在-2与1之间.故选B.)
2.D(解析:8的平方根是±❑√8=±2❑√2.)
3.C(解析:∵|a-2|+❑√-b2=0,∴ a=2,b=0,∴b-a=0-2=-2.故选C.)
4.C(解析:A.因为❑√25=5,所以A项正确;B.因为±❑√1=±1,所以1是1的一个平方根,B项正确;C.因为±
❑√(-4)2=±❑√16=±4,所以C项错误;D.因为±❑√0=0,❑√0=0,所以D项正确.故选C.)
5.D(解析:∵二次根式的被开方数为非负数,∴ 2-x≥0,解得x≤2.)
6.C(解析:∵a,b均为正整数,且a>❑√7,b>√32,∴a的最小值是3,b的最小值是2,则a+b的最小值是5.故选C.)
2 2
7.A(解析:因为❑√4=2,所以在实数- ,0, ❑√3,-3.14,❑√4中,有理数有:- ,0,-3.14,❑√4,只有❑√3是无理数.)
3 3
( 1) 2 1 1
8.C(解析:∵√3 a=-1,❑√b=1, c- =0,∴a=-1,b=1,c= ,∴abc=- .故选C.)
2 2 2
9.A(解析:根据偶次方、算术平方根的非负性及(m-1)2+❑√n+2=0,得m-1=0,n+2=0,解得m=1,n=-2,∴m+n=1+
(-2)=-1.)
10.D(解析:64的算术平方根是8,8的算术平方根是2❑√2.故选D.)
11.604.2 ±0.0191(解析:❑√365000=❑√36.5×104≈604.2,±❑√0.000365=±❑√3.65×10-4
≈±0.0191.)
12.±3,±2,±1,0(解析:π≈3.14,大于-π的负整数有:-3,-2,-1;小于π的正整数有:3,2,1;0的绝对值也小于π.)
13.±0.06 3(解析:±❑√0.0036=±0.06,❑√81=9,9的算术平方根是3,所以❑√81的算术平方根是3.)
{m-n=4, {m=2,
14.2(解析:若-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,则 解方程组得 ∴m-3n=2-3×(-2)=8,8的立方
2m+n=2, n=-2.
根是2.故填2.)
15.11(解析:∵a>❑√28>b, a,b为两个连续的整数,又❑√25<❑√28<❑√36,∴a=6,b=5,∴a+b=11.)
16.1(解析:根据平方差公式进行计算,(❑√2+1)(❑√2-1)=(❑√2)2-12=2-1=1.)
17.2b(解析:由数轴可得a<0|b|,所以(❑√b)2+❑√(b-a)2-|a|=b+b-a+a=2b.故填2b.)
3❑√3 √3 ❑√3 4❑√3-❑√3 3❑√3
18. (解析:❑√12- ❑ =2❑√3- = = .)
2 4 2 2 2
❑√6 2 ❑√6 2 13❑√6 2
19.解:(1)原式= - ❑√3+3❑√3×2❑√2= - ❑√3+6❑√6= - ❑√3. (2)原式=❑√2-❑√6+❑√6-3
2 3 2 3 2 3
❑√2-(13-4❑√3)=4❑√3-2❑√2-13.
(3)原式=(1+3-5)×❑√2=-❑√2.
❑√2
20.解:(1)∵ 6=❑√36,35<36,∴❑√35<6. (2)∵ -❑√5+1≈-2.236+1=-1.236,- ≈
2
❑√2
-0.707,-1.236<-0.707,∴-❑√5+1<- .
2
21.解:∵一个数的平方根互为相反数,∴有a+3+2a-15=0,解得a=4,又b的立方根是-2,则b=-8,∴-b-a=4,其平方根
为±2,即-b-a的平方根为±2.2
22.解:根据题意得AB=❑√2-1,由对称性知AC=AB,所以AC=❑√2-1,所以x=1-(❑√2-1)=2-❑√2,所以x+ =2-
x
2
❑√2+ =2-❑√2+2+❑√2=4.
2-❑√2
1 ❑√2
23.解:因为A面与❑√2所在的面相对,所以a= = .因为B面与0所在的面相对,所以b=0.因为C面与
❑√2 2
❑√2 ❑√2
√3 4所在的面相对,所以c=-√3 4.所以a+b+c= +0+(-√3 4)= -√3 4.
2 2
24.解:(1)原式=
(2+3+2❑√6)-5 (❑√2+❑√3)2-(❑√5)2 (❑√2+❑√3+❑√5)(❑√2+❑√3-❑√5)
= = =❑√2+❑√3-
❑√2+❑√3+❑√5 ❑√2+❑√3+❑√5 ❑√2+❑√3+❑√5
2❑√ab
❑√5. (2)由题意可得 =❑√a+❑√b-❑√a+b(a>0,b>0).
❑√a+❑√b+❑√a+b
