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第二章 二次函数（北师大版）
选拔卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（2021·河北·廊坊市第六中学九年级月考）设y＝y﹣y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，
1 2 1 2
则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】
设y＝kx，y＝kx2，根据y＝y﹣y 得到y＝kx﹣k x2，由此得到答案．
1 1 2 2 1 2 1 2
【详解】
解：设y＝kx，y＝kx2，
1 1 2 2
则y＝kx﹣k x2，
1 2
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】
此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
2．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则
该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入
到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由 ， ；
∴对应的原抛物线上点的坐标为 ；
代入原抛物线解析式可得： ，
∴新抛物线的解析式为： ；
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式
等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代
入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
3．（2021·河北东光·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函
数 ， 分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答
案．
【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线 与二次函数 交于A、B，
∴当 时， ，得 ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴CD=4 ，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2 ，
∴D（2 ，2），
将点D的坐标代入 ，得8a=2，
解得a= ，
故选：B．
【点睛】
此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是
解题的关键．
4．（2021·安徽宣城·九年级期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数
y＝ 与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先根据二次函数的图象可得 的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得．
【详解】
解： 抛物线的开口向上，与 轴的交点位于 轴的正半轴，
，
抛物线的对称轴位于 轴的右侧，
，
，
由 可知，反比例函数 的图象位于第一、三象限，
由 可知，正比例函数 的图象经过原点，且经过第二、四象限，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．5．（2021·全国·八年级课时练习）有一块缺角矩形地皮 （如图），其中
．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影
部分表示）的实验大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题利用矩形的性质，等腰直角三角形的性质以及函数的性质进行做题．
【详解】
解：如图，作DG⊥AB于G，EF⊥BC于F，DG，EF交于O，设CN=x，
那么∠EDO=∠EDC-90°=45°，
因此△EOD是等腰直角三角形，同理△EQR，△RPD均为等腰直角三角形，
∴EO=OD=AB-CD=20，RP=DP=CN=x，EQ=QR=AM=EO-RP=20-x，AE=BC-OD=60，
如果设阴影部分MRNB的面积为y，
那么y=MR•RN=（AE+QR）•（CD+RP）=（80-x）（x+90）=7200-10x-x2
因为y是x的开口向下的抛物线，其对称轴为直线x=-5，
所以当x≥0时，二次函数为减函数，
所以此函数的最大值就是当x=0时，y=7200，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质以及函数的性质等知识点的应用，要注意多知识点的融会贯通．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，正方形ABCD的边长为1．E、F、G、H分别为各边
上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为 ，则S关于 的函数图象大
致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件可知 ，设 为 ，则 ，根据勾股定理
，进而可求出函数解析式，由此可求出答案．
【详解】
解： 四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
（SAS）．
设 为 ，则 ，根据勾股定理，得 ，
即
，
所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线 ．
由题意可知自变量的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．
关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴．
7．（2021·湖北武昌·九年级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部
分对应值如表：
x ﹣1 0 3
y n 3 3
当n＜0时，下列结论中一定正确的有（ ）个．
①abc＜0；②若点(﹣2，y)，D(π，y)在该抛物线上，则y＜y；③n＜4a；④对于任意实数t，总
1 2 1 2
有4（at2+bt）≤9a+6b．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即
可得解．
【详解】
解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，
且对称轴为x＝ ＝1.5，∴a＜0，b＞0，
又∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴点C（﹣2，y）到对称轴的距离大于D（π，y）到对称轴的距离，
1 2
∴y＜y，故②正确；
1 2
③∵c＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+3，
∵当x＝﹣1时，y＝n，
∴a﹣b+3＝n，
∵﹣ ＝1.5，
∴b＝﹣3a，
∴a+3a+3＝n，
∴4a＜n，故③错误；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴对于任意实数t，at2+bt+c≤ a+ b+c，
∴4（at2+bt）≤9a+6b，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的系数与图像的关系是解本题的关键．
8．（2020·山东潍坊·模拟预测）已知二次函数 （其中 是自变量），当
时， 随 的增大而增大，且当 时， 的最大值为9，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】B
【分析】
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，
y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．
【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=- =-1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a-6=0，
∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．
故选：B．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其其定义.
9．（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于
A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，
连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】
先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶
点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′ ，CD=，CD′= ，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，
∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：∵抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线 ，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′= ，CD= ，
CD′= ，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得 ，
∵a＞0，∴ ；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得 ，
∴ ，
∴综合得a的值为 或 ．
故答案选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数
法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
10．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，抛物线 与抛物线
交于点 ，且它们分别与 轴交于点 、 ．过点 作 轴的平行线，分别与两抛物线交于
点 、 ，则以下结论：
①无论 取何值， 总是负数；
②抛物线 可由抛物线 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当 时，随着 的增大， 的值先增大后减小；
④四边形 为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③【答案】B
【分析】
①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线 的解析式，再根据抛物线
的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出 时，观察图像可知
，然后计算 ，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出 的坐标，
根据正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】
① ，
，
，
无论 取何值， 总是负数，
故①正确；
② 抛物线 与抛物线 交于点 ，
，
即 ，
解得 ，
抛物线 ，
抛物线 的顶点 ，抛物线 的顶点为 ，
将 向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为 ，
即将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线 ，
故②正确；
③ ，将 代入抛物线 ，
解得 ，
，
将 代入抛物线 ，
解得 ，
，
，从图像可知抛物线 的图像在抛物线 图像的上方，
当 ，随着 的增大， 的值减小，
故③不正确；
④设 与 轴交于点 ，
，
，
由③可知
， ，
， ，
当 时， ，即 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，综合运用以上知识
是解题的关键．
11．（2021·广东·深圳市新华中学九年级期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑
料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．
已知整个隔离区塑料膜总长为 ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超
过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为 ；小亮认为：隔离区的面积可能为 ，则（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两
人均错误
【答案】B
【分析】
设隔离区靠近墙的长度为x m（0＜x≤5），隔离区的面积为S m2，根据矩形的面积公式列出S关于
x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质可得S的最大值；令S＝9，求得方程的
解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【详解】
解：设隔离区靠近墙的长度为x m（0＜x≤5），隔离区的面积为S m2，由题意得：＝ ，
∴对称轴为x＝ ，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
S ＝
max
∵9＜ ＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9＝ ，
解得：x＝9（舍），x＝3，
1 2
∴x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2021·福建省福州格致中学九年级期中）如图，抛物线y＝ x2+7x﹣ 与x轴交于点A，
B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C 将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B，D，若直线
1 1 2 2
y＝ x+m与C ，C 共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）
1 2A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先求出点 和点 的坐标，然后求出 解析式，分别求出直线 与抛物线 相切时
的值以及直线 过点 时 的值，结合图形即可得到答案．
【详解】
解：将y＝0代入 ，
得： ，
解得： ， ，
抛物线 与 轴交于点 、 ，
， ，
抛物线向左平移4个单位长度，
∵ ，
平移后解析式 ，
如图，当直线 过 点，有2个交点，
，
解得： ，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
整理得： ，
相切，
，
解得： ，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查抛物线与 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画
出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·辽宁甘井子·九年级月考）如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是延长线上的一点， ．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长
的函数关系是______．
【答案】 ##
【分析】
由已知图形可以分析得到矩形 的长 为 cm，宽 为 cm，由面积公式即可
计算得到正确答案．
【详解】
解：∵正方形 的边长是 ，且
∴矩形 的长 的长为 cm，宽 的长为 cm
∴矩形 的面积为：
故答案为：
【点睛】
本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类
题的关键．
14．（2020·福建·莆田市城厢区南门学校九年级期中）如图，正方形 的边长为2， 与 负
半轴的夹角为15°，点 在抛物线 的图象上，则 的值为_．【答案】
【分析】
连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB= ，根据三角函数
和勾股定理可得点B的坐标为（ , ）,代入抛物线 即可求解．
【详解】
如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴∠BOA=45°，OB= ，
∵AC与x轴负半轴的夹角为15°，
∴∠AOD=45°﹣15°=30°，
∴BD= OB= ，OD= = = ,
∴点B的坐标为（ , ）,
∵点B在抛物线 的图象上，
则： ，
解得： ，
故答案为故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟
练掌握所学知识求得点B的坐标．
15．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，
的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该
卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次
函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的
概率为 ___．
【答案】
【分析】
根据二次函数满足的条件先求出a的取值范围，然后再由一元二次方程有解，确定a，b满足的范
围，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足 ，
解得： ；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴ 且 ，∴ 且 ，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当 时， ，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足 ；
当 时， ，
∴仅有b取﹣4时，满足 ；
综上分析，当 时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当 时，b取﹣4满足题意；共有5
种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查概率公式求解概率，涉及到二次函数的性质，一元二次方程的定义和根的判别式，理解二
次函数的基本性质，掌握一元二次方程的根的判别式以及概率公式是解题关键．
16．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C
（4，3），与y轴交于点A．把抛物线向上平移，使得顶点E落在x轴上点F处，点A平移至点D
处，则两条抛物线、对称轴EF和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积为 ___．
【答案】2
【分析】将点 、点 的坐标代入抛物线中，求出抛物线的解析式，计算出点 的坐标，从而可以得出点
的坐标，得出 的长，再根据阴影部分的面积等于平行四边形 的面积，进行计算即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接 ，
∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3）
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：
∵
∴点 坐标为
∵抛物线向上平移，使得顶点E落在x轴上点F处
∴
∴
∵阴影部分的面积等于平行四边形 的面积
∴
∴阴影部分的面积等于2
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，以及二次函数图像与几何变
换，根据平移的性质将阴影部分的面积转化为平行四边形 的面积进行计算是解答此题的关键．
17．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个
小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处
弹起，己知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同
的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是
_______________________m
【答案】
【分析】
以OC为x轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，根据点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）设抛
物线的解析式为 ，求出 ，点B的纵坐标为2，将y=2代入解析式，
，得出点B（4，2），再求点D（2.8，3）利用待定系数法直线BD解析式为
，可求点Q（ ，0），过BQ的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解方程组即可
【详解】
解：以OC为x轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3,
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过BQ的抛物线解析式为 ，代入坐标得解得
∴小球弹起时的最大高度是 m
故答案为
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式以及直线解析式，求抛物线最值掌握建
立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式以及直线解析式，求抛物线最值是解题关键
18．（2021·江苏姑苏·九年级期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，
AB∥x轴，cosB＝ ．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿
线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．
设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图②中的曲
线段OE、线段EF与曲线段FG．说法正确的是__________．①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝ t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣ t2+9t；
⑤若△BPQ 的面积是四边形 OABC 的面积的 ，则时间t＝2 或t＝ ．
【答案】①③④⑤
【分析】
①、②结合函数图象得出当3秒时，BP＝3，此时△BPQ的面积为13.5cm2，进而求出AO为9cm，
即可得出Q点的速度，进而求出AB的长即可；
③由①、②可知 EF段表示的是△BPQ底在增大，高不变的过程；
④首先得出PB＝t，BQ＝30﹣3t，则QM＝ （30﹣3t）＝18﹣ t，利用S ＝ t（18﹣ t）求
PBQ
△
出即可；
⑤首先得出△BPQ的面积，房两种情形分别列出方程即可解决问题；
【详解】
解：①由题意可得出：当3秒时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运动3秒，
当3秒时，BP＝3，此时△BPQ的面积为13.5cm2，
∴AO为9cm，
∴点Q的运动速度为：9÷3＝3（cm/s），
故答案①正确；
②当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO＝6cm，
∵cosB＝ ，
∴可求出AB＝6+12＝18（cm），
∴B（18，9）；
故答案②错误；
③S ＝ t×9= t（3≤t≤5）
PBQ
△
∴线段 EF段的函数解析式为S＝ t；故答案③正确；
④如图（1）：PB＝t，BQ＝30﹣3t，
过点Q作QM⊥AB于点M，
则QM＝ （30﹣3t）＝18﹣ t，，
∴S ＝ t（18﹣ t）＝﹣ t2+9t；（5≤t≤10），
PBQ
△
即曲线FG段的函数解析式为：S＝﹣ t2+9t；
故答案④正确；
⑤∵S ＝ （6+18）×9＝108，
梯形OABC
∴S＝ ×108＝12，
当0＜t＜3时，S＝ t2，S＝12时，t＝2 或﹣2 （舍弃），
当5＜t＜10时，12＝﹣ t2+9t；
解得t＝ 或 （舍弃），
综上所述：t＝2 或t＝ ，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的 ．
故答案⑤正确；
所以正确答案为：①③④⑤
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，具体的关键是学会以分类讨论的思想思考问题，学会理由方程的思想解决问题，属于中考压轴题
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·全国·九年级课时练习）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图
形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总
数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关
系是什么？
【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第
5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）
【分析】
（1）首先，观察每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个
图中小圆圈的个数；
（2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可；
（3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数
之间的关系．
【详解】
（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总 1 7 1 37 61数 9
（3）结合（1）（2）可知， 与 之间的函数关系为：
首尾相加得
．
【点睛】
本题主要考察根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根
据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题．
20．（2021·福建连江·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2a﹣1（a≠0）与平
行于x轴的一条直线交与A，B两点．
（1）若抛物线的图象过（0，1），求a的值；
（2）若点A的坐标为（﹣1，﹣3），求点B的坐标；
（3）若直线AB与抛物线的对称轴交于点N，与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线的顶点M到点
N的距离为3，求抛物线的解析式．
【答案】（1） ；（2） （3） 或
【分析】
（1）将点（0，1）代入抛物线解析式求解即可；
（2）求得抛物线的对称轴，根据题意可得 关于对称轴对称，即可求解；（3）根据题意可得 的纵坐标为 ，根据题意可求得顶点 的坐标，求解即可．
【详解】
解：（1）将点（0，1）代入抛物线解析式 得
，解得
故答案为 ；
（2）由抛物线解析式 ，可得
抛物线的对称轴为
由题意可得： 关于对称轴 对称
∵点A的坐标为（﹣1，﹣3）
∴点 的坐标为
故答案为 ；
（3）根据题意可得 的纵坐标为 ，
点 都在对称轴 上，∴
当点 在点 的上方时，顶点M到点N的距离为3，则
将 代入抛物线解析式得， ，解得
此时抛物线解析是为
当点 在点 的下方时，顶点M到点N的距离为3，则
将 代入抛物线解析式得， ，解得
此时抛物线解析式为
所以抛物线解析式为 或
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，根据题意
正确求出顶点的坐标．
21．（2021·福建连江·九年级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像回答
下列问题：（1）观察图像，当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为 ；
（3）观察图像，当函数值小于0时，自变量x的取值范围为 ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） 或
【分析】
（1）观察函数图像可得，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即可求解；
（2）由二次函数与一元二次方程的关系可得， 两点的横坐标为一元二次方程的两个根，根据
对称性求解即可；
（3）函数值小于0，可得函数图像在 轴的下方，即可求解．
【详解】
解：（1）观察函数图像可得，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
此时x的范围为 ；
故答案为 ；
（2）由二次函数与一元二次方程的关系可得，
两点的横坐标为一元二次方程 的两个根，
由图像可得 点的横标为 ，且 两点关于 对称
所以 点的横坐标为
∴一元二次方程 的两个根为 ，
故答案为 ， ；
（3）当函数值小于0时，函数图像在 轴的下方，即在点 的左侧或点 的右侧
此时x的范围为 或
故答案为 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图像的性质，二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，解题
的关键是掌握它们之间的关系，利用数形结合的思想进行求解．
22．（2021·湖北武昌·九年级期中）如图1，抛物线G：y＝﹣ x2+bx+c经过点B(6，0)，顶点为
A，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当 ABC面积最大时，求C点的坐标；
（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线 与x轴交于点E、F，平行
于x轴的直线l经过点(0，8)，若点P为x轴上方的抛物线 上的动点，分别连接EP、FP，并延长
交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
【答案】（1）y＝﹣ x2+x+3；（2）C(4，3) ；（3）mn＝﹣16
【分析】
（1）用待定系数法即可求得解析式为y＝﹣ x2+x+3；
（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，设C的坐标为（x，﹣ x2+x+3），求出
直线AB的解析式，则可求得点H的坐标，由S＝S +S ＝﹣ （x﹣4）2+2，即可求解；
CHA CHB
△ △
（3）抛物线G′的表达式为y＝﹣ x2+4，则点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），设点P
的坐标为（p，﹣ p2+4），由点P、E的坐标可求得直线PE的表达式，当y＝8时，可解得x＝
＝m，同理可得：n＝ ，即可求解．【详解】
（1）由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣ x2+x+3；
（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，
当x＝2时，y＝﹣ x2+x+3＝4，即抛物线G的顶点A的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式为y＝kx+t，
把A、B两点的坐标代入上式中得： ，解得 ，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
设C的坐标为（x，﹣ x2+x+3），则点H（x，﹣x+6），
∴
设△ACH与△BCH的边CH上的高分别为h 和h，则
1 2
设△ABC面积为S，
则
= ×4×（﹣ x2+2x-3）＝﹣ （x﹣4）2+2，
故当x＝4时，△ABC面积最大，则点C（4，3）；
（3）由于抛物线G的顶点为（2，4），则将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，抛物线G′的表达式为y＝﹣ x2+4，
令y＝﹣ x2+4＝0，解得x＝±4，故点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），
设点P的坐标为（p，﹣ p2+4），
设直线PE的解析式为： ，
把点P、E的坐标代入上式得： ，解得： ，
∴直线PE的表达式为y＝﹣ （p﹣4）x+4−p，
当y＝8时，即y＝﹣ （p﹣4）x+4−p＝8，解得x＝ ＝m，
同理可得：n＝ ，
故mn＝﹣16．
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的最值，二
次函数图象的平移，三角形的面积等知识，灵活运用这些知识并数形结合是问题的关键．
23．（2021·安徽·合肥市五十中学东校九年级月考）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，
其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销
售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，
且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价
格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
【答案】（1） （ ）；（2）当 时，w最大值为4410元；（3）
．【分析】
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当 时， 与 的关系式为： ．
（2）根据销售利润 销售量 （售价 进价），列出每天的销售利润 （元 与销售价 （元
之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润 （元 随 的增大而增大，则对称轴 ，求得
即可．
【详解】
解：（1）依题意，当 时， ； 时， ，
当 时，设 ，
则有 ，解得 ，
与 的关系式为： ．
（2）依题意，
，
，
整理得， ，
当 时，
随 增大而增大，
时，取最大值 ，
当 时，
，，
时， 取得最大值，此时 ，
综上所述， 为32时，当天的销售利润 （元 最大，最大利润为4410元．
（3）依题意，
，
第31天到第35天的日销售利润 （元 随 的增大而增大，
对称轴 ，得 ，
故 的最小值为3．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
24．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝
4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不△与点B重合），点Q从A向B运动，
BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当
点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
【答案】（1）证明见详解；（2）y与x之间的函数解析式为 ；（3）当
x的值为 ， ， 时，△HDE是等腰三角形．【分析】
（1）A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，可得 ，DH=AH，根据等边对等角
可得 ，可得△DHQ∽△ABC；
（2）在Rt ABC中根据勾股定理求出AB= ，AQ=QD=BP=PE= x，分两种情况，①如图1，当
△
时， ED= ，利用相似三角形性质求出QH= ，利用三角形面积可求
．②如图2，当 时，ED= ，QH= ，利
用三角形面积 即可；
（3）等腰三角形分两类情况，D、E相遇前与相遇后，D、E相遇前，当DH=DE时，列方程
；D、E相遇后分三种情况当ED=EH时，在Rt QBE中根据勾股定理列方程
△
，当DE=DH时列方程 ，当
EH=DH时，列方程3x-5=x，然后解方程即可．
【详解】
证明（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴ ，DH=AH，
∴ ，
∴△DHQ∽△ABC．解：（2）在Rt ABC中AB= ，BP的长为x，AQ=BP=x，点D，E分别是
△
点A，B以Q，P为对称中心的对称点，AQ=QD=BP=PE= x，
①如图1，当 时， ED= ，
∵HQ⊥AB，
∴∠AQH=∠C=90°，
∵∠QAH=∠CAB，
∴△QAH∽△CAB，
∴ 即
∴QH= ，
此时 ．
②如图2，当 时，
∵ED= ，QH= ，
此时 ．∴y与x之间的函数解析式为 ；
解：（3）等腰三角形分两类情况，D、E相遇前与相遇后，
D、E相遇前，当DH=DE时，QD=x，QH= ，
∴DH= ，DE=5-4x，
∴ ，
解得 ；
当ED=EH时，AE=5-BE=5-2 x，QE=5-3 x，QH= ，
在Rt QBE中， ，
△
解得 ；当DE=DH时， ，
解得 ；
当EH=DH时，
∵HQ⊥ED，
∴EQ=DQ，
∵EQ=EB-QB=2x-(5-x)=3x-5，
∴3x-5=x，
解得x= ；当x的值为 ， ， 时，△HDE是等腰三角形．
【点睛】
本题考查轴对称性质，三角形相似判定与性质，三角形面积，以及面积函数，等腰三角形判定，一
元方程及其解法，掌握轴对称性质，三角形相似判定与性质，三角形面积，以及面积函数，等腰三
角形判定，一元方程及其解法，利用分类思想解题是解题关键．
