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第二章 二次函数（北师大版）
选拔卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（2021·河北·廊坊市第六中学九年级月考）设y＝y﹣y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，
1 2 1 2
则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
2．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则
该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·河北东光·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函
数 ， 分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．（2021·安徽宣城·九年级期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数
y＝ 与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
5．（2021·全国·八年级课时练习）有一块缺角矩形地皮 （如图），其中
．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影
部分表示）的实验大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，正方形ABCD的边长为1．E、F、G、H分别为各边
上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为 ，则S关于 的函数图象大
致是（ ）A． B． C． D．
7．（2021·湖北武昌·九年级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部
分对应值如表：
x ﹣1 0 3
y n 3 3
当n＜0时，下列结论中一定正确的有（ ）个．
①abc＜0；②若点(﹣2，y)，D(π，y)在该抛物线上，则y＜y；③n＜4a；④对于任意实数t，总
1 2 1 2
有4（at2+bt）≤9a+6b．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020·山东潍坊·模拟预测）已知二次函数 （其中 是自变量），当
时， 随 的增大而增大，且当 时， 的最大值为9，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
9．（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于
A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，
连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
10．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，抛物线 与抛物线
交于点 ，且它们分别与 轴交于点 、 ．过点 作 轴的平行线，分别与两抛物线交于
点 、 ，则以下结论：
①无论 取何值， 总是负数；
②抛物线 可由抛物线 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当 时，随着 的增大， 的值先增大后减小；
④四边形 为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
11．（2021·广东·深圳市新华中学九年级期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑
料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．
已知整个隔离区塑料膜总长为 ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超
过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为 ；小亮认为：隔离区的面积可能为 ，则（ ）A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两
人均错误
12．（2021·福建省福州格致中学九年级期中）如图，抛物线y＝ x2+7x﹣ 与x轴交于点A，
B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C 将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B，D，若直线
1 1 2 2
y＝ x+m与C ，C 共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）
1 2
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·辽宁甘井子·九年级月考）如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是
延长线上的一点， ．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长
的函数关系是______．
14．（2020·福建·莆田市城厢区南门学校九年级期中）如图，正方形 的边长为2， 与 负半轴的夹角为15°，点 在抛物线 的图象上，则 的值为_．
15．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，
的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该
卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次
函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的
概率为 ___．
16．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C
（4，3），与y轴交于点A．把抛物线向上平移，使得顶点E落在x轴上点F处，点A平移至点D
处，则两条抛物线、对称轴EF和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积为 ___．
17．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个
小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处
弹起，己知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同
的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是
_______________________m18．（2021·江苏姑苏·九年级期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，
AB∥x轴，cosB＝ ．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿
线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．
设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图②中的曲
线段OE、线段EF与曲线段FG．说法正确的是__________．
①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝ t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣ t2+9t；
⑤若△BPQ 的面积是四边形 OABC 的面积的 ，则时间t＝2 或t＝ ．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·全国·九年级课时练习）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图
形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总
数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关
系是什么？
20．（2021·福建连江·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2a﹣1（a≠0）与平
行于x轴的一条直线交与A，B两点．
（1）若抛物线的图象过（0，1），求a的值；
（2）若点A的坐标为（﹣1，﹣3），求点B的坐标；
（3）若直线AB与抛物线的对称轴交于点N，与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线的顶点M到点
N的距离为3，求抛物线的解析式．
21．（2021·福建连江·九年级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像回答
下列问题：
（1）观察图像，当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为 ；
（3）观察图像，当函数值小于0时，自变量x的取值范围为 ．22．（2021·湖北武昌·九年级期中）如图1，抛物线G：y＝﹣ x2+bx+c经过点B(6，0)，顶点为
A，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当 ABC面积最大时，求C点的坐标；
（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线 与x轴交于点E、F，平行
于x轴的直线l经过点(0，8)，若点P为x轴上方的抛物线 上的动点，分别连接EP、FP，并延长
交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
23．（2021·安徽·合肥市五十中学东校九年级月考）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，
其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销
售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，
且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价
格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
24．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝
4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不△与点B重合），点Q从A向B运动，
BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
