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第二章 二次函数
提分小卷
（考试时间：30分钟 试卷满分：50分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．（2021·湖北安陆·九年级期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为 ，
它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则
y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】
根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】
解：由题意可得：2x+2y=10，S=xy，
即：y=5﹣x，S=x(5﹣x)=﹣x2+5x，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二
次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
2．（2021·广东·广州市育才中学九年级期中）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的
是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点(1，0)和(3，0)
【答案】A
【分析】
由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令y＝0，
解关于x的一元二次方程则可求得答案．
【详解】
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故C正确；
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，
故A不正确；
当x≥1时，y随x的增大而减小，
故B正确；
令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝1，x＝3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
故D正确．
故选：A
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点
坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2021·北京市回民学校九年级期中）函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（
）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个
图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【详解】
解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道
a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
4．（2021·山东莒南·九年级期中）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的
对应值如表：
… …
… …
以上结论正确的是（ ）
A．抛物线 的开口向下 B．当 时， 随 增大而增大
C．方程 的根为 或 D．当 时， 的取值范围
【答案】C
【分析】
利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】
将 ， ， 代入抛物线 得；
，
解得： ， ，
所以抛物线的解析式为： ，
A、 ，抛物线开口向上，故A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线 ，在 时，y随x增大而增大，故B选项错误；
C、方程 的根为0和2，故C选项正确；
D、当 时，x的取值范围是 或 ，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解
析式，然后利用函数的图象及性质解答．5．（2021·浙江·杭州仁和实验学校九年级期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
则对如下两个结论的判断正确的是（ ）
①不论a为何值，函数图象的顶点始终在一条直线上；
②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
【答案】A
【分析】
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对2个结论作出判断即可．
【详解】
解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴顶点为（a，a﹣1），
∴不论a为何值，函数图象的顶点始终在直线y＝x﹣1上；
②∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，
∴a≥2；
综上，①②都对，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题．
6．（2021·浙江台州·九年级期中）如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点
．现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻
转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
过B 作B D ⊥x轴于D ，根据点 ．求出三角形三边分别为OB=3，AB=4，OA=
２ ２ ２ ２
，根据三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4余2，可得
与△ABC 位置相同，一个周期长为3+4+5=12，然后求出A（7，0），B （ ， ），C
2 2 2 3 ２ ２
（12，0），利用待定系数法求过A （7，0），B （ ， ），C （12，0）的抛物线解析式为
２ ２ ２
，再利用向右平移48个单位即可．
【详解】
解：过B 作B D ⊥x轴于D ，
2 ２ ２ ２
∵在平面直角坐标系中放置 ， 点 ．
∴OB=3，AB=4，OA= ，
∵三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4．．．2，
∴ 与△ABC 位置相同，一个周期长为3+4+5=12，
2 2 2∵OA=OB+BA=3+4=7，OC =OB+BA+AC =3+4+5=12，
2 1 1 ２ 1 1 2 2
∵△A B C 是直角三角形，
２ ２ ２
∴S A B C = B D ·A C = A B ·B C ，即 ，
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
△
∴ ，
∴AD= ，OD = ，
2 2 2
∴A （7，0），B （ ， ），C （12，0），
２ ２ ２
∴设过A （7，0），B （ ， ），C （12，0）的抛物线解析式为y=a（x-7）（x-12），
２ ２ ２
把点B （ ， ）代入抛物线解析式， ，
２
解得 ，
过△ABC 的抛物线解析式为 ，
2 2 2
将抛物线向右平移四个循环4×12=48，得抛物线为 ．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平
移，掌握三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平
移是解题关键．
7．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与
现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
【答案】A
【分析】
以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，用待
定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点 、 的横坐标，从而可得 的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系：
， ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入，得：
，解得： ，
抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
， ，
，
故选：
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB
边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合）△，过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，
△AEF面积为y，则y关于x的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理以及面积法求得AB、CD、AD、BD的长，分00时，当二次函数C 经过点A（－3 ,1）时， ，
2
当二次函数C 经过点B（1,1）时， ，
2
∴ ．
当k<0时，
即 ，
∵y2=kx2+kx(k≠0) 的图象，与线段AB只有一个交点，
∴ ,
解得， (舍)或 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的基本性质是解题
的关键．
15．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，
上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），己知城门宽度为4米，最高处离
地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角
坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的货车需要通过该城门进入城区，请问该货车能否正常进入？
（3）由于城门年久失修，需要搭建一个矩形“巩固门”ABCD，该“巩固门”关于抛物线对称轴对
称，如图2所示，其中AB、AD、CD为三根承重钢支架，小D在抛物线上，B、C在地面上，己知
钢支架每米300元，问搭建这样-一个矩形“巩固门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？【答案】（1）y=- x+2x+4（0≤x≤4）；（2）消防车能正常进入；（3）3900元
【分析】
（1）由题意得，抛物线的顶点为（2，6），设抛物线的表达式为： ，因为抛物线
经过点E（0，4），则可求出 ，即可得
（2）由题意得，当货车走最中间时，进入可能性最大，即当 时，求出函数值，与4.5比较，
即可得；
（3）设B点的横坐标为m，AB+AD+CD的长度为L，则 ，即 ，
，则 ，根据二次函数的性质得，当 时，L最大，求出L
的最大值，再乘300即可得．
【详解】
解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（2，6），
∴设抛物线的表达式为： ，
∵抛物线经过点E（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为： ，即 ；（2）由题意得，当货车走最中间时，进入的可能性最大，
即当 时， ，
∴该货车能正常进入；
（3）设B点的横坐标为m，AB+AD+CD的长度为L，则 ，
由题意知， ，即 ， ，
∴ ，
当 ，L最大，L = +2×1+12=13，
最大
（元），
则最多需要花费3900元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质．
