文档文本内容
第二章 二次函数
提分小卷
（考试时间：30分钟 试卷满分：50分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．（2021·湖北安陆·九年级期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为 ，
它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则
y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】
根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】
解：由题意可得：2x+2y=10，S=xy，
即：y=5﹣x，S=x(5﹣x)=﹣x2+5x，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二
次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
2．（2021·广东·广州市育才中学九年级期中）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的
是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点(1，0)和(3，0)
【答案】A
【分析】
由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令y＝0，
解关于x的一元二次方程则可求得答案．
【详解】
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故C正确；
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，
故A不正确；
当x≥1时，y随x的增大而减小，
故B正确；
令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝1，x＝3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
故D正确．
故选：A
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点
坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2021·北京市回民学校九年级期中）函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（
）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个
图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【详解】
解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道
a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
4．（2021·山东莒南·九年级期中）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的
对应值如表：
… …
… …
以上结论正确的是（ ）
A．抛物线 的开口向下 B．当 时， 随 增大而增大
C．方程 的根为 或 D．当 时， 的取值范围
【答案】C
【分析】
利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】
将 ， ， 代入抛物线 得；
，
解得： ， ，
所以抛物线的解析式为： ，
A、 ，抛物线开口向上，故A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线 ，在 时，y随x增大而增大，故B选项错误；
C、方程 的根为0和2，故C选项正确；
D、当 时，x的取值范围是 或 ，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解
析式，然后利用函数的图象及性质解答．5．（2021·浙江·杭州仁和实验学校九年级期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
则对如下两个结论的判断正确的是（ ）
①不论a为何值，函数图象的顶点始终在一条直线上；
②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
【答案】A
【分析】
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对2个结论作出判断即可．
【详解】
解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴顶点为（a，a﹣1），
∴不论a为何值，函数图象的顶点始终在直线y＝x﹣1上；
②∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，
∴a≥2；
综上，①②都对，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题．
6．（2021·浙江台州·九年级期中）如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点
．现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻
转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
过B 作B D ⊥x轴于D ，根据点 ．求出三角形三边分别为OB=3，AB=4，OA=
２ ２ ２ ２
，根据三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4余2，可得
与△ABC 位置相同，一个周期长为3+4+5=12，然后求出A（7，0），B （ ， ），C
2 2 2 3 ２ ２
（12，0），利用待定系数法求过A （7，0），B （ ， ），C （12，0）的抛物线解析式为
２ ２ ２
，再利用向右平移48个单位即可．
【详解】
解：过B 作B D ⊥x轴于D ，
2 ２ ２ ２
∵在平面直角坐标系中放置 ， 点 ．
∴OB=3，AB=4，OA= ，
∵三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4．．．2，
∴ 与△ABC 位置相同，一个周期长为3+4+5=12，
2 2 2∵OA=OB+BA=3+4=7，OC =OB+BA+AC =3+4+5=12，
2 1 1 ２ 1 1 2 2
∵△A B C 是直角三角形，
２ ２ ２
∴S A B C = B D ·A C = A B ·B C ，即 ，
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
△
∴ ，
∴AD= ，OD = ，
2 2 2
∴A （7，0），B （ ， ），C （12，0），
２ ２ ２
∴设过A （7，0），B （ ， ），C （12，0）的抛物线解析式为y=a（x-7）（x-12），
２ ２ ２
把点B （ ， ）代入抛物线解析式， ，
２
解得 ，
过△ABC 的抛物线解析式为 ，
2 2 2
将抛物线向右平移四个循环4×12=48，得抛物线为 ．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平
移，掌握三角形翻滚规律探究，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积桥，勾股定理，抛物线平
移是解题关键．
7．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与
现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
【答案】A
【分析】
以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，用待
定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点 、 的横坐标，从而可得 的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系：
， ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入，得：
，解得： ，
抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
， ，
，
故选：
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB
边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合）△，过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，
△AEF面积为y，则y关于x的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理以及面积法求得AB、CD、AD、BD的长，分0<x 1.8和
1.8<x<5两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=3，BC=4，
∴AB= ，
∵ AB CD= AC BC，
∴CD= =2.4，AD= 1.8，BD=AB-AD=3.2，
当0<x 1.8，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴△AEF ADC，
△
∴ ，即 ，
∴EF= ，
∴y= = (0<x 1.8)，开口向上的一段抛物线；
当1.8<x<5，
同理可证△BEF BDC，
△
∴ ，即 ，
∴EF= ，∴y= = (1.8<x<5) ，开口向下的一段抛物线；
综上，符合题意的函数关系的图象是D；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函
数，在图象中应注意自变量的取值范围．
二、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分。
9．（2021·广东·广州市育才中学九年级期中）若y＝（m﹣2） 是关于x的二次函数，则常数m
的值为_________．
【答案】﹣2
【分析】
根据二次函数的定义即可得出关于 的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵ 是关于x的二次函数，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次函数的定义，列出关于 的方程和不等式，是解题的关键．
10．（2021·湖北·武汉市武珞路中学九年级期中）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安
装一根长度为 水管 ，在水管的顶端 点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中
心的水平距离 处达到最高，水柱落地处离池中心距离 ，则抛物线形水柱的最高点
到地面的距离 是______ ．
【答案】5【分析】
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴，建立坐标系，则 ， ，抛物线的
对称轴为 ，求出抛物线解析式，即可求解．
【详解】
解：以 为原点，分别以 所在的直线为 轴，建立坐标系，则 ， ，抛物
线的对称轴为
设抛物线为
则 ，解得 ，即解析式为
将 代入 得：
故答案为5
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质并根据题意求得二次函数的解析式是解题的
关键．
11．（2021·北京市回民学校九年级期中）下表是二次函数 的x，y的部分对应值：则
对于该函数的性质的判断：
x … － 0 1 2 …
－ －
y … － m － n …
1 1
①该二次函数有最大值；②不等式y＞－1的解集是x＜0或x＞2；③方程 的两个实数
根分别位于－ ＜x＜0和2＜x＜ 之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的
是__________
【答案】②③【分析】
由图表可得二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，a＞0，即可判断①④不正确，由图表可
直接判断②③正确．
【详解】
解：∵当x＝0时，y＝−1；当x＝2时，y＝−1；
当x＝ ，y＝− ；当x＝ ，y＝− ；
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，
x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．
∴a＞0即二次函数有最小值
则①④错误
由图表可得：不等式y＞−1的解集是x＜0或x＞2，故②正确；
由图表可得：方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别位于− ＜x＜0和2＜x＜ 之间，故③正确；
故正确的结论有：②③，
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值，理解图表中信息是本题的关
键．
12．（2021·江苏东台·九年级期中）如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，点P是线段
AB上的一个动点，过点P作 轴的平行线交直线 于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转
45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是_____________【答案】
【分析】
设△OPQ绕点O顺时针旋转45°到达了△ODC的位置，根据旋转性质，得到阴影部分的面积等于
，设点P的坐标为（m，-2m+2），则Q（m，-m+3），
计算OP，OQ，代入公式计算，构造关于m的二次函数求最值即可．
【详解】
如图，设△OPQ绕点O顺时针旋转45°到达了△ODC的位置，
则△OPQ≌△ODC，
∴ ，
设阴影部分的面积为S，
∴S= ，
设点P的坐标为（m，-2m+2），则Q（m，-m+3），∴ ， ，
∴S=
=
=
= ，
当 时，S有最大值，且为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式，旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的最值，灵活运用割补法
表示阴影的面积，并构造二次函数计算最值是解题的关键．
13．（2021·重庆南川·九年级期中）类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y＝|x2﹣
1
4|的图象和性质进行了探究．其探究过程中的列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 0 3 n 3 0 5 …
（1）求表中m，n的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质；
（4）再画出y＝﹣x＋2的函数图象．结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x2﹣4|＞
2
﹣x＋2的解集．【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3）函数的对称轴为 轴（答案不唯一）；（4）
或 且
【分析】
（1）将表格中 分别代入解析式即可求得 的值；
（2）根据表格中的数据描点，连线，画出函数图象；
（3）根据函数图像可从对称轴，最小值，增减性等分析；
（4）根据图象分析，找到当 时， 的取值范围即可．
【详解】
（1）当 时， ，则
当 时， ，则
（2）根据表格中的数据，描点，连线，如图；（3）该函数的一条性质：函数的对称轴为 轴（答案不唯一）；
（4）如图，
根据图图象可知当 时， 的取值范围为： 或 且
|x2﹣4|＞﹣x＋2的解集为 或 且
【点睛】
本题考查了画函数图象，二次函数的图象与性质，根据函数图图象求不等式的解集，数形结合是解
题的关键．
14．（2021·北京市回民学校九年级期中）已知：二次函数C ： ．
1（1）求二次函数C 的对称轴；
1
（2）已知二次函数C 的图象经过点A（－3，1）．
1
①求a的值；
②点B在二次函数C 的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C ：
1 2
的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
【答案】（1）对称轴：x=－1；（2）① ；② 或
【分析】
（1）将原式整理为二次函数顶点式解答即可；
（2）①直接A（－3，1）代入函数解析式即可；
②求出点 的坐标，然后分析即可．
【详解】
解：（1） ，
对称轴：x=－1；顶点坐标（-1，-1）；
（2）①∵二次函数C 经过点A（－3,1），
1
则 ，
∴a= ；
②∵A（－3,1），对称轴：x=－1，
∴B（1,1）．当k>0时，当二次函数C 经过点A（－3 ,1）时， ，
2
当二次函数C 经过点B（1,1）时， ，
2
∴ ．
当k<0时，
即 ，
∵y2=kx2+kx(k≠0) 的图象，与线段AB只有一个交点，
∴ ,
解得， (舍)或 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的基本性质是解题
的关键．
15．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，
上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），己知城门宽度为4米，最高处离
地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角
坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的货车需要通过该城门进入城区，请问该货车能否正常进入？
（3）由于城门年久失修，需要搭建一个矩形“巩固门”ABCD，该“巩固门”关于抛物线对称轴对
称，如图2所示，其中AB、AD、CD为三根承重钢支架，小D在抛物线上，B、C在地面上，己知
钢支架每米300元，问搭建这样-一个矩形“巩固门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？【答案】（1）y=- x+2x+4（0≤x≤4）；（2）消防车能正常进入；（3）3900元
【分析】
（1）由题意得，抛物线的顶点为（2，6），设抛物线的表达式为： ，因为抛物线
经过点E（0，4），则可求出 ，即可得
（2）由题意得，当货车走最中间时，进入可能性最大，即当 时，求出函数值，与4.5比较，
即可得；
（3）设B点的横坐标为m，AB+AD+CD的长度为L，则 ，即 ，
，则 ，根据二次函数的性质得，当 时，L最大，求出L
的最大值，再乘300即可得．
【详解】
解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（2，6），
∴设抛物线的表达式为： ，
∵抛物线经过点E（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为： ，即 ；（2）由题意得，当货车走最中间时，进入的可能性最大，
即当 时， ，
∴该货车能正常进入；
（3）设B点的横坐标为m，AB+AD+CD的长度为L，则 ，
由题意知， ，即 ， ，
∴ ，
当 ，L最大，L = +2×1+12=13，
最大
（元），
则最多需要花费3900元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质．
