文档内容
九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）
第二章 一元二次方程（基础过关）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）
1.方程x2+x﹣12＝0的根是（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：（x﹣3）（x+4）＝0，
x﹣3＝0或x+4＝0，
所以x＝3，x＝﹣4．
1 2
故选：A．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
2.一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝5，x＝﹣5 D．x＝1，x＝5
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣3）2﹣4＝0，
∴（x﹣3）2＝4，
则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x＝5，x＝1，
1 2
故选：D．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
3.若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
4.一元二次方程x（x﹣2）＝﹣3根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【解答】解：方程化为一般式为：x2﹣2x+3＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【知识点】根的判别式
5.关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax＝5得1+a＝5，
解得a＝4．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的解
6.已知x、x 是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x•x 等于（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【答案】C
【解答】解：∵x、x 是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
1 2
∴x•x＝ ．
1 2
故选：C．
【知识点】根与系数的关系
7.已知x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．0 D．0或4
【答案】A
【解答】解：因为x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，
所以22+2m+4＝0，
解得m＝﹣4．
故选：A．
【知识点】一元二次方程的解
8.某小区2018年屋顶绿化面积为2000m2，计划2020年屋顶绿化面积要达到2880m2．设该小区2018年至
2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2000（1+2x）＝2880
B．2000×（1+x）＝2880
C．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880
D．2000（1+x）2＝2880
【答案】D
【解答】解：依题意得：2000（1+x）2＝2880．
故选：D．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
9.若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
【答案】D
【解答】解：∵（x+6）2＝64，
∴x+6＝8或x+6＝﹣8，
故选：D．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法、解一元一次方程
10.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每
轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程：1+x+x（1+x）＝121．
解得：x＝10，x＝﹣12（舍去），
1 2
即每轮传染中平均一个人传染了10人，
故选：D．
【知识点】一元二次方程的应用
11.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的
方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x＝2，x＝﹣1，得，x≠2x，
1 2 1 2
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x＝2，
1
因此x＝1或x＝4，
2 2
当x＝1时，m+n＝0，
2
当x＝4时，4m+n＝0，
2
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
③∴ ，x
2
＝﹣q，∴ ，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为： ， ，
若x＝2x，则 ，
1 2
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x＝x 时，则 ，
1 2
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的解、根与系数的关系、根的判别式
12.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影
部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（ ）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【解答】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，
依题意，得：
×（16﹣2x）＝130，
化简，得：x2﹣24x+63＝0，
解得：x＝3，x＝21．
1 2
当x＝3时，16﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝21时，16﹣2x＝﹣26＜0，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是130cm2，纸盒的高为3cm．
故选：C．
【知识点】一元二次方程的应用
二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）
13.方程x2＝2020x的解是 ．
【答案】x=0，x=2020
1 2
【解答】解：∵x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x＝0，x＝2020，
1 2
故答案为：x＝0，x＝2020．
1 2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
14.已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x＝1，x＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是 ．
1 2
【解答】解：把方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣6，
所以x＝﹣1，x＝﹣ ．
1 2
故答案为x＝﹣1，x＝﹣ ．
1 2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、根与系数的关系、换元法解一元二次方程
15.某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1
元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求
解可列方程为 ．【答案】（25-x）×（100+5x）=1500
【解答】解：原来售价为每件50元，进价为每件25元，利润为每件25元，又每件售价降价x元后，利润
为每件（25﹣x）元．
每降价1元，每星期可多卖出5件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出5x件，现在的销
量为（100+5x）．
根据题意得：（25﹣x）×（100+5x）＝1500，
故答案为：（25﹣x）×（100+5x）＝1500．
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
16.将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，这个记号叫做2阶行列式．定义
，若 ，则x＝ ．
【解答】解：由题意，得：（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（1﹣x）＝6，
∴x2+2x+1+x2﹣2x+1＝6，
∴2x2+2＝6，
∴x＝± ．
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
三、解答题（9小题，共52分）
17.解方程：4（x﹣1）2﹣9＝0．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣1）2＝ ，
直接开平方，得
x﹣1＝± ，
解得x＝ ，x＝﹣ ．
1 2
【知识点】解一元二次方程-直接开平方法
18.解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）2x2﹣6＝x．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2+2x+1＝5，
∴（x+1）2＝5，
∴x＝﹣1± ；
∴x＝﹣1+ ，x＝﹣1﹣ ．
1 2
（2）原方程化为2x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣2）（2x+3）＝0，∴x＝2或x＝ ．
1 2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法
19.解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝1，x＝2；
1 2
（2）∵3x（x﹣1）＝2x﹣2，
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x＝1，x＝ ．
1 2
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
20.解下列一元二次方程．
（1）（x+3）2＝x+3；
（2）x2+6x+3＝0．
【解答】解：（1）∵（x+3）2＝x+3，
∴（x+3）（x+3﹣1）＝0，
∴x＝﹣3或x＝﹣2．
（2）∵x2+6x+3＝0，
∴x2+6x+9＝6，
∴（x+3）2＝6，
∴x＝﹣3± ．
【知识点】解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-因式分解法
21.已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，求m2﹣2015m+ 的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根，
∴m2﹣2016m+1＝0，
∴m2﹣2015m＝m﹣1，m2+1＝2016m，
∴ ＝ ＝ ，
∴m2﹣2015m+ ＝m﹣1+ ＝ ﹣1＝2016﹣1＝2015．
【知识点】一元二次方程的解
22.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＝5﹣4m＞0，
∴m＜ ．
（2）由（1）可知：m＝1，
∴x2+3x+2＝0，
∴（x+1）（x+2）＝0，
∴x＝﹣1或x＝﹣2．
【知识点】根的判别式
23.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝
2有一个相同的根，求此时k的值．
【解答】解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴ ，
解得：m≥ 且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义
24.小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈
利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率．
（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？
【解答】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：6000（1+x）2＝7260，
解得：x＝0.1＝10%，x＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：每月盈利的平均增长率为10%．
（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．
答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．【知识点】一元二次方程的应用
25.某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰好是销
售收入的25%．如果第一天的销售收入5万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是 1.8万元，
（1）求第三天的销售收入是多少万元？
（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？
【解答】解：（1）1.8÷25%＝7.2（万元）．
答：第三天的销售收入是7.2万元．
（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是x，
依题意，得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x＝0.2＝20%，x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是20%．
【知识点】一元二次方程的应用
