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第二章 二次函数单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2022·浙江·温州市龙湾区实验中学九年级阶段练习）若抛物线 经过点 ，则a的值
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·浙江·杭州市文澜中学九年级阶段练习）二次函数 的图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2022·河南·安阳市龙安区教学研究室九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线 先向右
平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河北·廊坊市第四中学九年级阶段练习）某种正方形板材的成本y（元）与它的面积成正比，设
边长为x厘米，即 ，当 时， ，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．36厘米 B．6厘米 C．12厘米 D．24厘米
5．（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分
别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线 的图像上，则k的值是（ ）A． B． C． D．
6．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·福建·闽清天儒中学九年级阶段练习）已知抛物线 与y轴交于点A，与直线 （k为
任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（ ）A．存在实数k，使得 为等腰三角形 B．存在实数k，使得 的内角中有两个角为
C．存在实数k，使得 为直角三角形 D．存在实数k，使得 为等边三角形
8．（2023·全国·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，
并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
9．（2022·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，抛物线 过点 ，
对称轴为直线 ，给出结论：① ；② ；③若点 、 为抛物线上的
两点，则 ；④ ；⑤ ．其中正确的序号是（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
10．（2022·全国·九年级课时练习）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销
售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为
（元/千克）（ ，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法：
①当 时，
② 与 之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
11．（2022·浙江杭州·九年级阶段练习）已知二次函数 ．当自变量x取值在 范围内
时，最大值和最小值分别是（ ）
A．14， B．14，7 C．7， D．14，2
12．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直
安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到
最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）A． B． C． D．
13．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为
整数的点为整点．对于题目：抛物线 与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左
侧）， ，线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有5个整点，求a的
取值范围．嘉嘉的结果是 ，淇淇的结果是 ，则（ ）
A．嘉嘉的结果正确 B．淇淇的结果正确
C．嘉嘉、淇淇结果合在一起才正确 D．嘉嘉、淇淇结果合在一起也不正确
14．（2022·云南省楚雄第一中学模拟预测）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 或 ；
③若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 上，则
方程 的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·江苏·苏州草桥中学九年级阶段练习）将二次函数 化为 的形式，那
么 的值为_____．
16．（2022·江苏·连云港外国语学校九年级阶段练习）已知二次函数 图象上三点
、 、 ，则 ， ， 的大小关系为___________．（请用“<”号连接）
17．（2022·广东·丰顺县汤西中学九年级阶段练习）已知二次函数 的图像与 轴的一个交点为，则关于 的方程 的两实数根分别是_______．
18．（2022·山东·济南九中模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由
出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为： 和 ，求：
（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）已知抛物线 ．
(1)写出它的对称轴和顶点坐标；
(2)若 为该函数图象上的一点，若 ，求n的取值范围．
20．（2022·吉林大学附属中学九年级阶段练习）如图，抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ．直线 的解析式为 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)当 时， 的取值范围是________；
(3)当 的取值范围是________时， 和 都随着 的增大而减小；
(4)当 时， 的取值范围是________；
(5)当 时， 的取值范围是________．21．小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第 天的销售量与销
售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：
销售量 （千
克）
当 时，
销售单价
（元/千克）
当 时，
设第 天的利润 元．
（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？
（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量
22．（2022·江苏·苏州市南环实验中学校九年级阶段练习）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖
直高度 为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像；
把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．下边缘抛物线是由上边
缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿
化带的距离 为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
23．（2022·山东·日照市新营中学九年级阶段练习）某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，
已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销
售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中 段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．
(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
①求出当 时的函数关系式；
②求出当 时的函数关系式．
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；
24．（2022·河南洛阳·九年级阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探
究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如表：其中， ______．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象
的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现；
①函数图象与 轴有______个交点，所以对应的方程 有______个实数根；
②方程 有______个实数根；
③关于 的方程 有 个实数根时， 的取值范围是______．
25．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）如图1，抛物线 与x轴交于A、
B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线 直线 ，交抛物线y于另一点D，点
P为直线 上方抛物线上一动点．
(1)求线段 的长．
(2)过点P作 轴交 于点Q，交直线 于点F，过点P作 于点E，求 的最大
值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线 向右平移3个单位得到新抛物线 ，点M为新抛物线上一点，
点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，
并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
26．（2022·山西太原·九年级阶段练习）综合与实践如图， 是等边三角形， ，在 内任作一个正方形 ，点 在 上，点 在
内，边 在 上．
(1)尺规作图：在图1中，以点 为位似中心，作正方形 的位似正方形 ，点 在 边上，
点 在 边上，点 在 边上（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求（1）中作出的正方形 的边长；
(3)如图2，当 时，在 中再放入正方形 ，点 在射线 上，点 在边 上，边
在边 上，直接写出这两个正方形面积和的最大值和最小值．
