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第二章 不等式与不等式组
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一
次不等式组．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2.一元一次不等式（组）的整数解
（1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所
需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的
值，进而非常容易的解决问题．
（1）一元一次不等式组的整数解
①利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得
到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
②已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目
中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点06 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求
出解集．④写出符合题意的解．
知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b2，参数a能否等于2）。
2. **方向对应错误**：将解集表示在数轴上时，参数变化方向与不等式组解集范围对应反了。
3. **多种情况遗漏**：解集为“无解”“有解”“整数解几个”时，分类讨论不全（如有解包括无数种情
况，但列不等式时漏掉边界）。
**注意事项**：
- **画数轴辅助**：将已知解集和参数解集在数轴上标出，直观判断包含关系。
- **口诀记端点**：“同大取大，同小取小”等口诀要熟练，特别注意等号的传递性。
- **逆向检验**：求出参数范围后，取特殊值代入验证是否满足原解集要求。
- **分情况完整**：“无解”要列不等式组相互矛盾，“有唯一整数解”要列整数在区间内的不等式组。
【例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集 ，
确定参数 的取值范围．
【详解】解：解不等式组
解不等式 ，
．
解不等式 ，
得 ．
已知不等式组的解集为 ，根据“同大取大”的原则，要使 成为解集，必须满足 ．
故答案为: ．
【变式】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）关于x的不等式组 无解，则a的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组无解问题．分别解不等式组中的两个不等式，得到 和 ．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公
共部分，即 ，解此不等式即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ；
不等式组无解，则 ，
即 ，
所以 ．
故答案为： ．
易错点3 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数的问题
**易错总结**
1. **解方程符号错误**：解含参方程时移项、去分母符号出错，导致参数表达式错误。
2. **不等号方向忽略**：将方程解代入不等式时，未注意乘除负数要变号。
3. **整数解条件遗漏**：求整数解时，忽略“整数”这一关键限制，未在范围内筛选。
4. **方程组解的关系误判**：将方程组解的和、积等关系代入不等式时，未先解出各未知数。
**注意事项**：
- **先解后代**：先准确解出方程(组)的解(用参数表示)，再代入不等式。
- **注意变号**：不等式两边乘除负数时，牢记改变不等号方向。
- **整数解筛选**：求出参数范围后，根据整数解个数或具体值进一步缩小范围。
- **检验端点**：参数临界值是否取等要代入原题验证。
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方
程组中的两个方程相加可得 ，则 ，再根据 可得一个关于 的不等式
组，解不等式组即可得．
【详解】解： ，由① ②得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
（1）若方程组的解满足 ，则 的值为 ；
（2）若方程组的解满足 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知加减消元法是解题的关键．
（1）用 得到 ，再根据条件 ，得到 ，解方程即可；
（2）利用加减消元法求出 ，再根据 建立不等式求解即可．
【详解】（1） ，
①-②，得： ，
，
，
解得 ；
（2） ，
由①+②，得： ，
，
，，
，
解得 ．
故答案为： ， ．
易错点4 不等式与不等式组中的新定义型问题
**易错总结**
1. **定义转化错误**：未将新定义准确翻译为常规不等式(如[a]表示不大于a的最大整数，误作四舍五入)。
2. **多重条件遗漏**：新定义常含多个限制条件(如同时满足范围和整数要求)，顾此失彼。
3. **解集表示不当**：求得解后，未按新定义要求的形式(如特定区间、整数解个数)规范表达。
**注意事项**：
- **精确转化**：逐字理解新定义，用数学符号准确表示。
- **分类讨论**：定义域分段时，各段分别求解再取并集。
- **验证边界**：端点值是否符合定义要逐一检验。
- **规范作答**：最终答案按题目要求的形式(集合、区间、列举)呈现。
【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数 ， ，定义一种新运算 ．
例如： ．请根据上述定义解决以下问题：
(1)若 ，求实数 的取值范围．
(2)若 ，且 的解集中有3个整数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运
算法则是本题的关键．
（1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可；
（2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“ 的解集中有3
个整数解”求出 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
，；
（2）解： ，
，
，
，
的解集中有3个整数解，
的整数解为 ， ， ，
，
．
【变式】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组 的解都是一元一次不等式组
的解，那么称一元一次不等式组 是一元一次不等式组 的“相容不等式组”，如果一元一次不等式
组 的解都不是一元一次不等式组 的解，那么称一元一次不等式组 是一元一次不等式组 的“相斥
不等式组”．
(1)根据上述定义，判断不等式组 是不等式组 的______ 填序号 “相容不等式组”或 “相
斥不等式组” ；
(2)若关于 的不等式组 是 的“相斥不等式组”，求 的范围；
(3)若关于 的不等式组 是 的“相容不等式组”，且 和 的整数解相同，
求 的范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确
计算是关键．（1）依据题意，由不等式组 的解集是 ，不等式组 的解集是 ，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由关于 的不等式组 是 的“相斥不等式组”，且不等式组 的解集为
，则 或 ，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由 是 的“相容不等式组”，则 ，可得 ，又
和 的整数解相同，可得 ，进而可得 ，最后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意， 不等式组 的解集是 ，不等式组 的解集是 ，
不等式组 是不等式组 的“相斥不等式组”．
故答案为： ．
（2）由题意， 关于 的不等式组 是 的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为 ，
或 ．
或 ．
（3）由题意， 是 的“相容不等式组”，
．
．的整数解为 ，且 和 的整数解相同，
．
．
．
综上所述： ．
易错点5 一元一次不等式与一次函数综合问题
**易错总结**
1. **数形结合错位**：函数图象与不等式对应关系混淆，如将 \(y_1 > y_2\) 理解为图象在上方还是下方
判断错误。
2. **交点意义不清**：联立方程求交点后，不能正确根据交点划分区间确定不等式的解集。
3. **实际应用忽略范围**：实际问题中自变量取值范围（如时间、长度非负）被忽略，导致解集无效。
**注意事项**：
- **明确不等关系**：根据题意准确建立函数表达式，再转化为不等式。
- **图象辅助分析**：画出草图，标出交点，观察函数值大小对应的图象位置。
- **结合实际背景**：求出解集后，用实际意义检验取舍（如取整数、非负数等）。
【例5】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线 分别交x，y轴于 ， 两点，
直线 分别交y轴、x轴于 ，B两点，直线 ， 相交于点E，且点E的横坐标为4．(1)方程组 的解是________，不等式组 的解集是________．
(2)求直线 ， 与x，y轴围成的四边形 的面积．
(3)过点E的直线把三角形 的面积平分，则该直线的表达式为________．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）先分别求出 ， 的解析式，再根据一次函数与方程组和不等式组的关系求解；
（2）根据割补法求解；
（3）该直线经过 的中点和点 ，通过待定系数法即可求出直线解析式.
【详解】（1）解：（1）由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
由图象得：方程组 的解是： ，
不等式组 的解集是： ；
故答案为： ， .
（2）由（1）得： ．
∴ ，
（3）由（1）得，点 坐标为： ，
∵过点 的直线把三角形 的面积平分，
∴该直线经过 的中点： ，
设该直线解析式为： ，
由题意得： ，解得： ，
∴该直线的解析式为： ，
故答案为： .
【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数
的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中 ；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 ，当 时，y随x的增大而 ；
(4)进一步探究：
①不等式 的解集是 ；
②若关于x的方程 只有一个解，则k的取值范围是 ．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3) ，减小
(4)① 或 ；② 或
【分析】本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的
关系等知识﹒
（1）把 代入 即可求解；
（2）根据（1）表格描点，连线即可；
（3）结合函数图象即可求解；（4）①结合函数图象即可得当 时， 或 ，问题得解；
②当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，若关于x的方程
只有一个解，结合图象得k的取值范围是 或 ﹒
【详解】（1）解：当 时， ﹒
故答案为：3
（2）解：该函数图象的另一部分如图所示：
；
（3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是 ，当 时，y随x的增大而减小﹒
故答案为： ，减小；
（4）解：①由图象得 的解集是 或 ﹒
故答案为： 或 ；
②∵当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，
∴若关于x的方程 只有一个解，结合图象得k的取值范围是 或 ﹒
故答案为： 或 ．一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
先解方程求出 关于 的表达式，再根据解为负数列不等式求解.
【详解】解：解关于 的方程 得， ，
∵ 该方程的解为负数，
，即 ，
解得： ，
故选：C．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组 无解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式
组解的情况．
先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
∵解不等式 ，
移项得 ，
即 ，
∴ ；
∵不等式组无解；
∴两个解集无公共部分，即 ，
∴解得 ，
故选：D．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 ， 的方程组 其中 ．若 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解方程组用t表示x和y，代入 得到 ，再根据t的范围求M的范围．
本题考查了含参不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ 方程组
② − ①，得
∴ ，
代入②，得
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
故选：B．
4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号 ，例如：
．若关于 的不等式组 ，恰好有4个整数解，则 的取值
范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次
不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可．
【详解】解：∵定义 ，
∴第一个不等式转化为： ，
化简得： ，
即 ，
，
第二个不等式转化为： ，
化简得： ，
，
，
则不等式组的解集为 ，
∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为 ，0，1，2，
，
不等式两边同乘7得：
解得： ．
故选：B．
二、填空题
5．（25-26八年级下·全国·周测）若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式
的解集是 ．
【答案】【分析】先根据已知不等式 的解集 ，判断出 的符号，并得到 与 的数量关系，再将该
关系代入待求不等式 ，化简后求解．
【详解】解： 关于 的不等式 的解集是 ，
∴ ， ．
∴ ．
将 代入不等式得：
．
∵ ，两边同时除以 （负数），不等号方向改变：
．
约去 后得到： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质和含参数不等式的解法，解题关键是：通过已知解集判断系数的符
号，建立参数间的关系，再代入目标不等式求解．
6．（25-26八年级上·重庆·期末）关于 的不等式组 有且只有 个整数解，则满足条件的整数
的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参
数 的范围，进而求出所有满足条件的整数 并求和．
【详解】解：解不等式 ，得 ，即 ，
∴
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵有且只有三个整数解，整数解为 ，
故需满足 ，即
∴整数 为 和 ，和为
故答案为： ．
7．（2026八年级·全国·专题练习）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用 表示出
和 是解本题的关键．
方程组两方程相加减表示出 与 ，代入不等式组计算即可求出 的范围．
【详解】解：
得： ，即 ，
得： ，∵关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组 ，
∴
解得： ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于 ， 的二元一次方程组 有解，且关于 的一
元一次不等式组 有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】19
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得 ，
根据方程组有解得 ，不等式组 解得 ，根据不等式组有且只有 个整数解得出
，从而确定 的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取
大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
【详解】解：∵关于 ， 的二元一次方程组 有解，
∴联立得 ，
∴∴ ，
解不等式组 得，
∵关于 的一元一次不等式组 有且仅有4个整数解，
∴整数解为 ， ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴整数 ， ， ， ，和为 ．
故答案为：19．
三、解答题
9．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组
(1)若这个不等式组有解，求a的取值范围．
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、
大大小小找不到是解题的关键．
（1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于 的不等式，
从而求出 的取值范围；
（2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于 的
不等式，从而求出 的取值范围．
【详解】（1）解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ．∵这个不等式组有解，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
（2）解：由（1）得：
∵这个不等式组无解，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
10．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 回答下列问题：
(1)若方程组的解满足 ，求a的取值范围．
(2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求 、解方程组后根
据解的正负列不等式组是解题的关键．
（1）将两个方程相加，整体求出 的表达式，代入不等式求解 的范围；
（2）先解方程组得到 的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围．
【详解】（1）解：
，得 ，③，得 ．
∵ ，
∴ ，
解不等式，得 ，
∴ 的取值范围为 ．
（2）解：由（1）可知， ．④
，得 ．
将 代入④中，
解得 ，
∴方程组的解是
∵方程组的解均为正数，
∴
解不等式组，得 ，
∴ 的取值范围为 ．
11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组 有解且解集为 ，则称 为
的“绝对距离”，若 的绝对距离是不等式组 的解，则称不等式组 对于不等式组 “绝对包含”．
(1)已知关于 的不等式组 以及不等式组 ，判断不等式组 是否对于不等式组 绝
对包含，并写出判断过程．
(2)已知关于 的不等式组 和关于 的不等式组 ，若不等式组 对于不等式组 绝
对包含，当 时，求满足条件的所有整数 的和．
(3)已知关于 的不等式组 以及不等式组 ，且不等式组 对于不等式
组 绝对包含，求 的取值范围．【答案】(1)不等式组 对于不等式组 绝对包含，理由见解析；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组
的解集及解的判断问题．
（1）先求解不等式组 的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组 的解集即可；
（2）先确定不等式组 的绝对距离，求解不等式组 的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于 和
的不等式，结合 的取值范围确定整数 的取值，最后求和；
（3）分别求解不等式组 和 的解集，计算 的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于 的不等
式组，结合不等式组有解的条件确定 的取值范围．
【详解】（1）解：解不等式组 ： ，得 ，
其绝对距离为 ；
不等式组 的解集为 ，且 ，即3是不等式组 的解，
不等式组B对于不等式组 绝对包含；
（2）解： 不等式组 ： 有解，
，其绝对距离为 ；
解不等式组 ，得 ；
不等式组D对于不等式组 绝对包含，
是 的解，即 ，
由不等式①得 ，
解得： ，
，
，此条件与不等式组C有解的条件一致，
由不等式②得 ；又 ，且 ，
整数 的取值为 ；
这些整数的和为 ；
（3）解：解不等式组 ： ，得 ，
不等式组 有解，
，解得 ，
其绝对距离为 ；
解不等式组 ： ，
