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第二章 不等式与不等式组
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一
次不等式组．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2.一元一次不等式（组）的整数解
（1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所
需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的
值，进而非常容易的解决问题．
（1）一元一次不等式组的整数解
①利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得
到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
②已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目
中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点06 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求
出解集．④写出符合题意的解．
知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b2，参数a能
否等于2）。
2. **方向对应错误**：将解集表示在数轴上时，参数变化方向与不等式组解集范围对应反了。
3. **多种情况遗漏**：解集为“无解”“有解”“整数解几个”时，分类讨论不全（如有解包括无数种情
况，但列不等式时漏掉边界）。
**注意事项**：
- **画数轴辅助**：将已知解集和参数解集在数轴上标出，直观判断包含关系。
- **口诀记端点**：“同大取大，同小取小”等口诀要熟练，特别注意等号的传递性。
- **逆向检验**：求出参数范围后，取特殊值代入验证是否满足原解集要求。
- **分情况完整**：“无解”要列不等式组相互矛盾，“有唯一整数解”要列整数在区间内的不等式组。【例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
．
【变式】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）关于x的不等式组 无解，则a的取值范围
是 ．
易错点3 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数的问题
**易错总结**
1. **解方程符号错误**：解含参方程时移项、去分母符号出错，导致参数表达式错误。
2. **不等号方向忽略**：将方程解代入不等式时，未注意乘除负数要变号。
3. **整数解条件遗漏**：求整数解时，忽略“整数”这一关键限制，未在范围内筛选。
4. **方程组解的关系误判**：将方程组解的和、积等关系代入不等式时，未先解出各未知数。
**注意事项**：
- **先解后代**：先准确解出方程(组)的解(用参数表示)，再代入不等式。
- **注意变号**：不等式两边乘除负数时，牢记改变不等号方向。
- **整数解筛选**：求出参数范围后，根据整数解个数或具体值进一步缩小范围。
- **检验端点**：参数临界值是否取等要代入原题验证。
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则
的取值范围是 ．
【变式】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
（1）若方程组的解满足 ，则 的值为 ；
（2）若方程组的解满足 ，则 的取值范围为 ．
易错点4 不等式与不等式组中的新定义型问题**易错总结**
1. **定义转化错误**：未将新定义准确翻译为常规不等式(如[a]表示不大于a的最大整数，误作四舍五入)。
2. **多重条件遗漏**：新定义常含多个限制条件(如同时满足范围和整数要求)，顾此失彼。
3. **解集表示不当**：求得解后，未按新定义要求的形式(如特定区间、整数解个数)规范表达。
**注意事项**：
- **精确转化**：逐字理解新定义，用数学符号准确表示。
- **分类讨论**：定义域分段时，各段分别求解再取并集。
- **验证边界**：端点值是否符合定义要逐一检验。
- **规范作答**：最终答案按题目要求的形式(集合、区间、列举)呈现。
【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数 ， ，定义一种新运算 ．
例如： ．请根据上述定义解决以下问题：
(1)若 ，求实数 的取值范围．
(2)若 ，且 的解集中有3个整数解，求实数 的取值范围．
【变式】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组 的解都是一元一次不等式组
的解，那么称一元一次不等式组 是一元一次不等式组 的“相容不等式组”，如果一元一次不等式
组 的解都不是一元一次不等式组 的解，那么称一元一次不等式组 是一元一次不等式组 的“相斥
不等式组”．
(1)根据上述定义，判断不等式组 是不等式组 的______ 填序号 “相容不等式组”或 “相
斥不等式组” ；
(2)若关于 的不等式组 是 的“相斥不等式组”，求 的范围；
(3)若关于 的不等式组 是 的“相容不等式组”，且 和 的整数解相同，
求 的范围．
易错点5 一元一次不等式与一次函数综合问题
**易错总结**1. **数形结合错位**：函数图象与不等式对应关系混淆，如将 \(y_1 > y_2\) 理解为图象在上方还是下方
判断错误。
2. **交点意义不清**：联立方程求交点后，不能正确根据交点划分区间确定不等式的解集。
3. **实际应用忽略范围**：实际问题中自变量取值范围（如时间、长度非负）被忽略，导致解集无效。
**注意事项**：
- **明确不等关系**：根据题意准确建立函数表达式，再转化为不等式。
- **图象辅助分析**：画出草图，标出交点，观察函数值大小对应的图象位置。
- **结合实际背景**：求出解集后，用实际意义检验取舍（如取整数、非负数等）。
【例5】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线 分别交x，y轴于 ， 两点，
直线 分别交y轴、x轴于 ，B两点，直线 ， 相交于点E，且点E的横坐标为4．
(1)方程组 的解是________，不等式组 的解集是________．
(2)求直线 ， 与x，y轴围成的四边形 的面积．
(3)过点E的直线把三角形 的面积平分，则该直线的表达式为________．
【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数
的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中 ；(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，
请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 ，当 时，y随x的增大而 ；
(4)进一步探究：
①不等式 的解集是 ；
②若关于x的方程 只有一个解，则k的取值范围是 ．
一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组 无解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 ， 的方程组 其中 ．若 ，
则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号 ，例如：
．若关于 的不等式组 ，恰好有4个整数解，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（25-26八年级下·全国·周测）若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式
的解集是 ．
6．（25-26八年级上·重庆·期末）关于 的不等式组 有且只有 个整数解，则满足条件的整数
的和为 ．
7．（2026八年级·全国·专题练习）若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式组
则 的取值范围为 ．
8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于 ， 的二元一次方程组 有解，且关于 的一
元一次不等式组 有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数 的值之和是 ．三、解答题
9．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组
(1)若这个不等式组有解，求a的取值范围．
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围．
10．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 回答下列问题：
(1)若方程组的解满足 ，求a的取值范围．
(2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________．
11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组 有解且解集为 ，则称 为
的“绝对距离”，若 的绝对距离是不等式组 的解，则称不等式组 对于不等式组 “绝对包含”．
(1)已知关于 的不等式组 以及不等式组 ，判断不等式组 是否对于不等式组 绝
对包含，并写出判断过程．
(2)已知关于 的不等式组 和关于 的不等式组 ，若不等式组 对于不等式组 绝
对包含，当 时，求满足条件的所有整数 的和．
(3)已知关于 的不等式组 以及不等式组 ，且不等式组 对于不等式
组 绝对包含，求 的取值范围．
12．（20-21八年级下·重庆北碚·开学考试）小张根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进
行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整：x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 －1 0 k 2 …
(1)表中的 ______；
(2)在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______；
(3)已知直线 与函数 的图象相交，则当 时， 的取值范围是______；
