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第二章 不等式与不等式组（复习讲义）
1. 了解不等式、一元一次不等式及不等式组的意义，体会不等式性质与等式性质的异同，理解解集与函数
图象之间的整体联系。
2. 能用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，能准确求出一元一次不等式及不等式组的解集，并用数
轴表示解集。
3. 理解并利用解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）解决不等式的
求解问题。
4. 掌握列不等式解决实际问题的基本步骤，能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解。
5. 能利用一次函数的图象直观理解一元一次不等式的解集，体会数形结合思想在解决不等式问题中的应用。知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一
次不等式组．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
3.一元一次不等式（组）的整数解
①利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到
下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
②已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中
对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点06 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求
出解集．④写出符合题意的解．
知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.【题型一 不等式的基本性质】
【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知 ，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，关键是熟练应用性质进行判断；根据不等式的基本性质对各选项逐一
分析判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴根据不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得 ，
故A选项错误；
∵ ，
∴根据不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，得 ，
故B选项正确；
∵ ，
∴根据不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，得 ，
故C选项错误；
∵ ，
∴移项得 ，
故D选项错误；
故答案选：B.
【变式1-1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立．
【详解】解：∵ ，
A、两边同时乘以 ，不等号方向改变，则 ，故本选项不符合题意；
B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则 ，故本选项不符合题意；
C、两边同时乘以 ，不等号方向改变，则 ，再两边加 1，则 ，故本选项符合题意；
D、由 ，则 ，故本选项不符合题意；
故选：C．【变式1-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
根据不等式的性质逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，
∴若 ，则 ，选项A正确；
∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，
∴若 ，则 ，选项B正确；
∵当 时， ，此时 ，不满足 ，
∴选项C的说法不正确；
∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，
∴若 ，则 ，选项D正确；
故选：C．
【变式1-3】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： 、若 ，则 ，符合等式对称性，正确，不符合题意；
、若 ，则 ，但当 时， 恒成立， 与 不一定相等，推理错误，符合题意；
、若 ，则 ，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意；
、若 ，则 ，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意；
故选： ．
【题型二 一元一次不等式（组）的定义】【例2】（24-25七年级下·河南周口·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．根据一元一次不等
式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析．
【详解】解：A． 是分式，故不是一元一次不等式；
B． 的次数为二次，故不是一元一次不等式；
C．含有 、 两个未知数，故不是一元一次不等式；
D．是一元一次不等式，符合题意；
故选：D．
【变式2-1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）若 是关于x的一元一次不等式，则a的值
为（ ）
A．2 B．－1 C．0 D．0或2
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x
的次数为1且系数不为0，求出 的值即可．
【详解】 一元一次不等式未知数x的次数为1，
，
解得： 或 ，
一元一次不等式未知数x的系数不为0，
，
解得： ，
综上，a的值为0．
故选：C．
【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各
选项．
【详解】解：A、包含等式 ，不是全由不等式组成，不符合题意；
B、包含不等式 ，其中未知数的次数为 ，不是一元一次不等式，不符合题意；
C、含有 和 两个未知数，不是一元，不符合题意；
D、两个不等式都只含一个未知数 ，且未知数的次数为 ，都是一元一次不等式，符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不
等式组逐一判断即可．
【详解】解： 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
② 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
③ 含有两个未知数x和y，不符合定义，
∴它不是一元一次不等式组，
④ 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，⑤ 未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义，
∴它不是一元一次不等式组，
∴符合条件的有①②④，共3个，
故选：B．
【题型三 解一元一次不等式（组）】
【例3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出 ，再在数轴上表示出来，即可作
答．
（2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：（2）解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集是 ，
在同一数轴上分别表示不等式组的解集：
【变式3-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式：
（2）解不等式组： ，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】（1） ；（2） ，数轴表示见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，
尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变；
（1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示．
【详解】（1）解：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解：解不等式 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
即 ，
∴ ．
解不等式 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
合并同类项，得 ，
移项，得 ．
∴ 不等式组的解集为 ．
不等式组的解集在数轴上表示为：
【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）（1）解不等式： ，并将解集表示在下列数轴
上；
（2）解不等式组： ，并求它的最大整数解．
【答案】（1） ，图见解析；（2） ，最大整数解为
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键．
（1）不等式移项合并，把 系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再求出最大整数解即可．
【详解】解：（1）原不等式移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
数轴表示如下：（2） ，
解①得： ，
解②得： ；
，
整数解为： ，
最大整数解为 ．
【变式3-3】（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列不等式（组）：
(1) ．
(2) ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
【答案】(1)
(2) ，数轴见解析，整数解为： 、 、
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，解题的关键在
于熟练掌握解一元一次不等式基本步骤．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无
解)”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，并确定所有整数解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
．（2）解： ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
不等式组的解集为 ，在数轴上表示如图所示，
它的所有整数解为 、 、 ．
【题型四 求一元一次不等式（组）的整数解】
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式 的正整数解为 ．
【答案】1，2，3，4
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数．
【详解】解：解不等式 ，
两边同时减去 得
两边同时除以 （负数）, 不等号方向改变, 得 ,
∴正整数解为 ．
故答案为： ．
【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）不等式 的非负整数解为 ．
【答案】0，1
【分析】先求解不等式，得到 的取值范围，再找出非负整数解．
【详解】解： ，
两边同乘 得 ，
去括号得： ，
移项得： ，合并同类项得： ，
系数化为 得： ，
即 ．
非负整数解为 和 ．
故答案为 ．
【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组： 整数解之和 ．
【答案】0
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求
出不等式组的解集是解此题的关键．
先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再
作和．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集是 ，
所以不等式组的整数解是 ， ，0，1，2，
，
故答案为： ．
【变式4-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组 的所有整数解的和为 ．
【答案】7
【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再找出解集中的所有整数解，最后
计算这些整数解的和．
【详解】解：首先解不等式组：解不等式①：
．
解不等式②：
．
故： ．
满足 的整数为 ， ．
∴整数解的和 ．
故答案为： ．
【题型五 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】
【例5】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并
完成相应的任务．
解：去分母，得 ． 第一步
移项，得 ． 第二步
合并同类项，得 ． 第三步
系数化成1，得 ． 第四步
根据以上材料，解答下列问题：
(1)去分母的依据是不等式基本性质________；（填“1”或“2”或“3”）
(2)在解答过程中，共出现________处错误，其中最后一处错误在第_______步，错误的原因是________；
(3)请写出解不等式 的正确解答过程．
【答案】(1)2
(2)三，四，不等式的两边同除以 时，不等号方向没有改变(3) ，过程见解析
【分析】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；
（1）根据不等式的性质，进行作答即可；
（2）根据解不等式的步骤，进行判断即可；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可．
【详解】（1）去分母的依据是不等式基本性质2，
故答案为： ．
（2）在解答过程中，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以
时，不等号方向没有改变；
故答案为：三，四，不等式的两边同除以 时，不等号方向没有改变．
（3）解：
去分母，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化成1，得 ．
【变式5-1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是小茗同学解不等式 的过程，请认
真阅读，完成相应任务．
解：去括号，得： ，第一步
即 ，第二步
移项得： ，第三步
计算得到： ，第四步
系数化为1，两边同时除以 ，得： ．第五步
任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ；
（2）第五步的解题依据是 ；
任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ；
任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即
可）
【答案】（1）一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号；（2）不等式的基本性质3；（3）；（4）移项时，不等号的方向不变
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
任务一：（1）观察解答过程，按照解一元一次不等式的容易出现的问题进行解答即可；
（2）观察第五步的解答过程，利用不等式的性质进行解答即可；
任务二：（3）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集即可；
任务三：（4）按照解一元一次不等式容易出现的问题进行解答即可．
【详解】解：任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第一步开始出现错误，他的错误原因是：括号前
是“－”号，去括号后第二项没有变号，
故答案为：一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号；
（2）第五步的解题依据是：不等式的基本性质3，
故答案为：不等式的基本性质3；
任务二：（3） ，
，
，
，
，
，
故答案为：
任务三：（4）移项时，不等号的方向不变（答案不唯一）．
【变式5-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成
相应任务．
解不等式： ．
解： ．……第一步
．……第二步
．……第三步
．……第四步
．……第五步任务一：
①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的；
②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______；
任务二：请写出该不等式的正确解集为_______；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一
条建议；
（2）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以 ，不等号的方向没有改变； ；解不
等式移项时，注意变号；（2） ，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集．
（1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解；
任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为 即可求解；
任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前
若是负号，括号内各项要变号等．
（2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2；
②五，不等式的两边都除以 ，不等号的方向没有改变；
任务二： ；
任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）；
（2）解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
将解集在数轴上表示出来如图所示．．
【变式5-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题：
解不等式
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)第______步出现错误，错误的原因是______；
(2)该不等式的正确解集为：______，
在下面的数轴上表示这个解集；
(3)直接写出不等式组 的解集．
【答案】(1)五，不等式两边除以 时，不等号的方向没改变
(2) ，画图见解析
(3)
【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键．
（1）根据不等式的性质判断求解即可；
（2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可；
（3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：∵第五步中，不等式 两边都除以 ，不等式的方向没有改变，
∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变；
（2）解：该不等式的正确解集为 ；
在数轴上表示其解集如下：
；（3）解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： .
【题型六 根据一元一次不等式的解集求参数】
【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）已知 为非零实数，若 的解集为 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等
式的解法是解题的关键．
由不等式解集的形式判断 的符号，再根据解集端点建立方程求解．
【详解】解：∵ 的解集为 ，
．
当 时，解不等式 ，得 ．
又 该不等式的解集为 ，
，
解得 ．
检验： 符合题意，
故答案为： ．
【变式6-1】（25-26八年级下·全国·周测）若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式
的解集是 ．
【答案】【分析】先根据已知不等式 的解集 ，判断出 的符号，并得到 与 的数量关系，再将该
关系代入待求不等式 ，化简后求解．
【详解】解： 关于 的不等式 的解集是 ，
∴ ， ．
∴ ．
将 代入不等式得：
．
∵ ，两边同时除以 （负数），不等号方向改变：
．
约去 后得到： ．
故答案为： ．
【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式 的解都能使不等式
成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系
建立新不等式求参数是解题的关键．
先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，
第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围．【详解】解：解不等式 ，
去分母得 ，
化简得 ，
解得 ；
解不等式 ，
移项得 ，
解得
因为不等式 的解都能使不等式 成立，
所以 ，
解得
故答案为 ．
【变式6-3】（25-26八年级下·全国·周测）关于 的一元一次不等式 的解集为 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负
数，不等号方向要改变的性质是解题的关键．
通过解不等式求出 的值，再代入表达式计算．
【详解】解：解不等式 ，
两边同乘以 得 ，
移项得 ，
两边同除以 得 ．
由解集为 ，得 ，
解得 ．
代入 得 ．
故答案为： ．【题型七 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围】
【例7】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于 的不等式 的负整数解是 ， ，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．
首先解不等式得到 的取值范围，然后根据负整数解是 和 ，确定 和 满足不等式，而
不满足，从而得到关于 的不等式组，求解即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
由于负整数解是 ， ，
因此 和 满足不等式，即 ，得 ；
同时 不满足不等式，即 ，得 ；
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式7-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式 只有3个正整数解，则a的取
值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式 ，得到 ，再由不
等式只有3个正整数解，从而得到答案．
【详解】解： ，
， ∵
∴不等式只有3个正整数解，
∵ ，
∴故答案为： ．
【变式7-2】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组 恰有3个整数解，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定．首先解不等式，根据解的情况确定 的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
此不等式组有3个整数解，
这3个整数解为3，4，5，
的取值范围是 ，
故答案为： ．
【变式7-3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，
则所有满足条件的整数a的值之和 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据
有且仅有4个整数解，得到 ，解得 ，整数 的值为 ， ， ，求和即可，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
故不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且仅有4个整数解，
∴整数解为 ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴整数 的值为 ， ， ，
∴和为 ，
故答案为： ．【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
【例8】（25-26八年级下·全国·期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集 ，
确定参数 的取值范围．
【详解】解：解不等式组
解不等式 ，
．
解不等式 ，
得 ．
已知不等式组的解集为 ，根据“同大取大”的原则，要使 成为解集，必须满足 ．
故答案为: ．
【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交
集，即 ，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的不等式组 无解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．【变式8-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组 有解、则a的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定 的
取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ；
由于不等式组有解，
则 ．
故答案为： ．
【变式8-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数 使关于 的不等式组 的解集为 ，
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中
的两个不等式，再根据解集为 确定 的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵数 使关于 的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型九 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】
【例9】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为 ．
【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式．
先解方程求 的值，然后根据解是正数，求出 的取值范围即可．
【详解】解：解原方程得 ．
∵原方程的解是正数，即 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【变式9-1】（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组 ．若方程组的解满
足 ，则m的非正整数和为 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组
两方程相加得到 ，即 ，代入条件 得 ，解得 ，非正
整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可
【详解】解：∵ 方程组 ，
① + ② 得：
∴ ，
∵
∴
∴
∴
则m的非正整数为 ，
∴ ．故答案为： ．
【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方
程组中的两个方程相加可得 ，则 ，再根据 可得一个关于 的不等式
组，解不等式组即可得．
【详解】解： ，
由① ②得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于 的不等式组 的解集为 ．
（1） 的取值范围是 ；
（2）若整数 使得关于 ， 的二元一次方程组 的解为整数，则符合条件的所有整数 的和
是 ．
【答案】 6
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及
解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
（1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围．
（2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题．【详解】解：（1）由题知，
解不等式 得， ；
解不等式 ，得， ．
∵不等式组的解集为 ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解方程组 得， ．
∵此方程组的解为整数，且整数m为整数，
∴ 或 或 ，
解得 或 或5或1或4或2．
又∵ ，
∴符合条件的所有整数m的和是： ．
故答案为：6．
【题型十 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】
【例10】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数 与正比例函数
的图象相交于点 ，下列判断错误的是( )
A．关于 的方程 的解是
B．关于 的不等式 的解集是C．当 时，函数 的值比函数 的值大
D．关于 ， 的方程组 的解是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程
组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的
一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行
判断即可．
【详解】解：∵一次函数 是常数， 与正比例函数 是常数， 的图象相交
于点 ，
∴关于x的方程 的解是 ，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式 的解集是 ，选项B判断错误，符合题意；
当 时，函数 的值比函数 的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于 的方程组 的解是 ，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
【变式10-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数 与 （ ， ， 为
常数）的图象交于点 ，则关于 的一元一次不等式 的解为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键．
根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式 的解集．【详解】解：∵点 为一次函数 与 的图象交点，
且点 的横坐标为 ，
根据一次函数与不等式的关系，
可判断出 的解集为 ，
故答案为： ．
【变式10-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线 和直线 相交于点
，直线 分别与 轴和 轴相交于点 和点 ，直线 与 轴交于点 ．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)直接写出不等式组 的解集_____．
【答案】(1)直线为 ，直线 ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平
行问题，解题时要能利用数形结合是关键．
（1）先将点 分别代入直线 和直线 ，求出 的值，再代入即可；
（2）依据题意得，不等式组 的解集是直线 在直线 的下方，且都在 轴
下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解．
【详解】（1）解：∵直线 和直线 相交于点 ，
∴将 代入直线 中，得 ，即 ，
将 代入直线 中，得 ，即 ，∴直线为 ，直线 ．
（2）解：依据题意得，不等式组 的解集是直线 在直线 下方，且都在
轴下方部分对应的自变量的取值范围，
∵ ，
∴结合函数图象可得， ．
【变式10-3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A
书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元．
(1)求A，B两种书签每张的购买价格．
(2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的 ，已知A，B两种书
签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利
润？最大利润是多少？
【答案】(1)5元；8元
(2)购进15张A书签，45张B书签；255元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系
式．
（1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“购买15张A书签与25张B书签
需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设购进m张A种书签，则购进 张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三
分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获
得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售
利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每张A书签的进价是 元，每张B书签的进价是 元，
根据题意，得 ，解得 ，
答：每张A书签的进价是5元，每张B书签的进价是8元；
（2）解：设购进 张A书签，则购进 张B书签，根据题意，得
．
解得 ．
设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为 元，则
，
即 ．
，
随 的增大而增大．
当 时， 取得最大值，
最大值为 ．
此时 ．
答：当购进15张A书签，45张B书签时，文具店在这批书签全部售出后获得利润最大，最大利润是255
元．
【题型十一 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】
【例11】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末） 年 月，浙江城市篮球赛 浙 在全省范围内举行，各
地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种
玩偶的单价是 元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的 ．
(1)求乙种玩偶的单价．
(2)某游客计划用不超过 元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多 个，求该游
客最多可以购买多少个甲种玩偶．
【答案】(1) 元
(2) 个
【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。
（1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的 ，直接用甲种玩偶的单价乘以 即可求出乙种玩偶的单价。
（2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多 个表示出乙种玩偶的数量，再根据总
费用不超过 元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。
【详解】（1）解： 元 ．
答：乙种玩偶的单价为每个 元．
（2）解：设该游客购买了 个甲种玩偶．
由题意得 ，
解得
因为 为整数，所以该游客最多购买 个甲种玩偶．
【变式11-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工
艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售 个小号佛手柑挂件和 个大号佛手柑挂件共可
获利 元，销售 个小号佛手柑挂件的获利和销售 个大号佛手柑挂件的获利相等．
(1)求销售 个小号佛手柑挂件和 个大号佛手柑挂件分别获利几元？
(2)该店某天销售佛手柑挂件共 个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的 倍还
多，获得的总利润不足 元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？
【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利 元，销售一个大号佛手柑挂件获利 元
(2)销售小号佛手柑挂件 个，销售大号佛手柑挂件 个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，
（1）设销售一个小号佛手柑挂件获利 元，销售一个大号佛手柑挂件获利 元，根据“销售 个小号佛手
柑挂件和 个大号佛手柑挂件共可获利 元，销售 个小号佛手柑挂件的获利和销售 个大号佛手柑挂件
的获利相等”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售小号佛手柑挂件 个，则销售大号佛手柑挂件 个（ 为正整数），根据“销售的大号
佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的 倍还多，获得的总利润不足 元”，可列出关于 的一
元一次不等式组，解之即可得出结论；
解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一
元一次不等式组．
【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利 元，销售一个大号佛手柑挂件获利 元，依题意，得： ，
解得： ，
答：销售一个小号佛手柑挂件获利 元，销售一个大号佛手柑挂件获利 元；
（2）解：设销售小号佛手柑挂件 个，则销售大号佛手柑挂件 个（ 为正整数），
依题意，得： ，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ （个），
答：销售小号佛手柑挂件 个，销售大号佛手柑挂件 个．
【变式11-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某商场筹集资金 万元，一次性购进空调、彩电共 台，
根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于 万元，其中空调、彩电的进价
和售价如右表所示：
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
项目 空调 彩电
进价（元/台）
售价（元/台）
(1)试写出 与 之间的函数关系式；
(2)商场有哪几种进货方案可以选择？
(3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)有三种购买方案：方案1：购买空调 台，彩电 台，方案2：购买空调 台，彩电 台，方案3：购
买空调 台，彩电 台
(3)购买空调 台，彩电 台时，利润最大，最大利润为 元【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用．
(1)根据空调和彩电的利润列出 与 之间的函数关系式；
(2)根据总利润不低于 万元，进货资金不超过 万元，列不等式组，解不等式组可得 ，又
因为 为整数，可得进货方案；
(3)根据一次函数的性质可得最大利润．
【详解】（1）解：购进空调 台，则购进彩电 台，
销售空调的利润是 元，销售彩电的利润是 元，
，
与 之间的函数关系式是 ；
（2）解：由题意得： ，
解得： ，
为整数，
或 或 ，
有三种购买方案，
方案1：购买空调 台，彩电 台，
方案2：购买空调 台，彩电 台，
方案3：购买空调 台，彩电 台；
（3）解： 一次函数 ，中 ，
该函数 随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，此时 ，
时，利润最大，最大利润为 元．
【变式11-3】（24-25九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂
“生产的防疫物资全部运往 两地，甲厂有防疫物资 吨，乙厂有防疫物资 吨， 地需防疫物资
吨， 地需防疫物资 吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往 地防疫物资
吨．
接收地 地 地出发地
甲厂
乙厂
(1)直接写出 的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到 地的运输费用每吨增加了 百元，从乙厂“到 地的运输费用每吨降低了
百元，其它每吨运输费用不变，且 ，请你探究总运费可以达到的最小值．
【答案】(1)
(2)从甲厂运往 地防疫物资 吨，从甲厂运往 地防 疫物资 吨，从乙厂运往 地防疫物资 吨，从
乙厂运往 地防疫物资 吨，运输费用最低，最低费用为 百元
(3) 百元
【分析】（ ）由题意可得从甲厂运往 地防疫物资 吨，从乙厂运往 地防疫物资 吨，从乙
厂运往 地防疫物资 吨，进而列出不等式组解答即可求解；
（ ）设总费用为 百元，根据题意求出 与 的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求
解；
（ ）设总费用为 百元，根据题意求出 与 的一次函数关系式，再分 、 和 三
种情况，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵从甲厂运往 地防疫物资 吨，
∴从甲厂运往 地防疫物资 吨，从乙厂运往 地防疫物资 吨，从乙厂运往 地防疫物 资
吨，
则 ，
解得 ，故答案为： ；
（2）解：设总费用为 百元，
根据题意得， ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 的值最小，最小值为 百元，
∴从甲厂运往 地防疫物资 吨，从甲厂运往 地防疫物资 吨，从乙厂运往 地防疫物资 吨，从乙
厂运往 地防疫物资 吨，运输费用最低，最低费用为 百元；
（3）解：设总费用为 百元，
根据题意得， ，
当 ，即 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ 时， 的值最小，最小值为 百元；
当 ，即 时， 百元；
当 ，即 时， 随 的增大而增 大，
∴当 时， 的值最小，最小值为 ，
当 时， ， 此时 的最小值为 百元；
综上所述，总运费可以达到的最小值是 百元．
基础巩固通关测
一、单选题1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是()
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的
不等式．根据定义，逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵A项 中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式．
∵B项 中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式．
∵C项 是方程，不是不等式，∴不符合．
∵D项 中没有未知数，∴不是一元一次不等式．
∴属于一元一次不等式的是B项．
故选：B．
2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
直接代入具体数据判断A，根据不等式的性质判断B、C、D即可．
【详解】解：A选项：取 ， ，满足 ，但 ， ， ，
故 不恒成立，A错误；
B选项：∵ ，根据不等式性质2，不等式两边同乘正数4，不等号方向不变，
∴ ，故B错误；
C选项：∵ ，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数 ，不等号方向改变，
∴ ，再根据不等式性质1，不等式两边同加4，不等号方向不变，
∴ ，故C错误；
D选项：∵ ，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数 ，不等号方向改变，∴ ，故D正确；
故选：D．
3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点 在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关
键．
根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵点 在第二象限
∴
解不等式 ，得
，
解不等式 ，得
，
∴m的取值范围是 ．
故选B．
4．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的
取值可以是（ ）
A．6 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的
解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出 的取值范围即可求解．
【详解】解： ，
两边乘2得， ，解得， ；
，
移项得， ，
解得， ，
不等式组的解集为 ．
恰有2个整数解，
整数解为2和3，
，
即 ，
对比选项，只有3.5满足．
故选：B．
二、填空题
5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数 的值，使 大于 ，则这个整数 的值可以是
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式 得到 ，从而确定整数 为负整数．
【详解】解：由题意得： ，
移项得： ，
即 ，
两边同时除以 ，不等号方向改变得： ，
所以 ，
因此整数 可以是任何负整数，如 ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案．【详解】解：解不等式 ，得 ；
∵不等式组 无解，
∴ ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 的不
等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在正比例函数
的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵直线 与直线 相交于点 ，
∴关于 的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值 ”到“结果是否大于
83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操
作执行两次才停止，则输入的 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，
先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集．
【详解】解：根据题意，得，
解得 ．
故答案为： ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组．
（1）直接移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）分别求出两不等式的解集，进而可求不等式组的解集．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：解 得 ；
解 得 ；
∴不等式组解集是 ．
10．（25-26八年级上·安徽·期末）“卡旺卡”是安徽网红奶茶品牌，今年因“广德三件套”的爆火吸引了
无数外省游客．2026年元旦期间，某门店销售“手剥大橘”和“徽州酒酿”两种口味的奶茶，若购买3杯
“手剥大橘”和4杯“徽州酒酿”共需136元；若购买1杯“手剥大橘”和3杯“徽州酒酿”共需77元．
(1)“手剥大橘”和“徽州酒酿”分别是多少元一杯？(2)若旅游团队需要购买两种奶茶共30杯，且“手剥大橘”的数量比“徽州酒酿”多，且差不大于7，怎样
购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)“手剥大橘”是20元一杯，“徽州酒酿”是19元一杯
(2)所以购买“手剥大橘”16杯，“徽州酒酿”14杯才能使总费用最少，最少费用为586元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、用一次函数增减性求最值等知
识点，正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设“手剥大橘”是x元一杯，“徽州酒酿”是y元一杯，再根据题意建立方程组求解即可；
（2）设“手剥大橘”m杯，则“徽州酒酿” 杯，总费用为w元，根据题意列不等式求出m的取值
范围，进而确定m的可能取值，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即
可求出w的最小值即可．
【详解】（1）解：设“手剥大橘”是x元一杯，“徽州酒酿”是y元一杯，
由题意得： ，解得 ．
答：“手剥大橘”是20元一杯，“徽州酒酿”是19元一杯．
（2）解：设“手剥大橘”m杯，则“徽州酒酿” 杯，总费用为w元，
由“手剥大橘”与“徽州酒酿”数量的差不大于7，
则 ，解得： ，
又∵m为正整数，
∴m的值为16或17或18，
∵总费用 ， ，w随m增大而增大，
∴当 时， ．
答：所以购买“手剥大橘”16杯，“徽州酒酿”14杯才能使总费用最少，最少费用为586元．
能力提升进阶练一、单选题
1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列四个判断：其中正确的有（ ）
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，逐一判断每个命题的正确性，注意乘除运算中正负号对不等式方向的影响.
本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：
① ∵ ，且 ，但不等式成立时 （否则 ，矛盾），
∴ ，
两边同除以 得 ，正确.
② ∵ 若 ，则 ，有 ，此时 不成立，错误.
③ ∵ ，两边加 2 得 ，正确.
④ ∵ ，两边乘 （负数），不等式方向改变，得 ，正确.
综上，正确命题有 3 个.
故选：C．
2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于x的不等式 的整数解只有4个，则m的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，掌握不等式组的解法是解题关键．
先解不等式组得到解集为 ，由整数解只有4个，可知整数解为 ， ， ， ，从而确定 的范
围．
【详解】解不等式组 得， ，
∵关于x的不等式 的整数解只有4个，∴整数解为 ， ， ， ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：B．
3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入 的值
是 ，则最终输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键．
先把 代入 可得 ，由 ；再把 代入 可得 ；由 ，重复计算，直
到 ，方可输出．
【详解】解：把 代入 可得 ，由 ；
∴把 代入 可得 ，由 ；
把 代入 可得 ，由 ；
把 代入 可得 ，由 ，输出．
故选C．
4．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线 ： 与直线 ： 都经过
，直线 交y轴于点 ，交x轴于点A，直线 交y轴于点D，以下说法错误的是（ ）
A． 的面积为3B．方程组 的解为
C．点D的坐标为
D．当 时，
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相
关知识是解决问题的关键．A、求得 和 的长，根据三角形面积计算公式，即可得到 的面积；
B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线 为
可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式 的解集是直线 ：
的图象在直线 ： 上方对应的自变量的取值范围，结合直线 ： 与直线 ：
都经过 ，从而可以判断得解．
【详解】解：A．把 代入直线 ，则 ，
解得 ，
在 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 经过 ，交y轴于点 ，把 ， 代入 得：
，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
在直线 ： 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A正确；
B．∵直线 ： 与直线 都经过 ，
∴方程组 的解为 故B正确；
C．由题意，∵直线 为 ，
∴令 ，则 ．
∴ ，故C错误；
D．由题意得，不等式 的解集是直线 ： 的图象在直线 ： 上方对应
的自变量的取值范围，
又∵直线 ： 与直线 ： 都经过 ，∴结合图象可得，不等式 的解集是 ，故D正确．
故选：C．
二、填空题
5．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式．
先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可．
【详解】解： ，
，
，
，
关于x的方程 的解是正数，
，
解得： ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组 无解，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法
是解题关键．
先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可．
【详解】解： ，
：
解得 ，
：解得 ，
∵不等式组 无解，
∴
解得 ，
故答案为： ．
7．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组 ．若方程组的解满足
，则m的非正整数和为 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组
两方程相加得到 ，即 ，代入条件 得 ，解得 ，非正
整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可
【详解】解：∵ 方程组 ，
① + ② 得：
∴ ，
∵
∴
∴
∴
则m的非正整数为 ，
∴ ．
故答案为： ．8．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为 ，称 为A的
“解集中点值”，若 是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x
的不等式组C 和不等式组D 若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根
据新定义转化条件的方法是解题的关键．
先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，
让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围．
【详解】解：解不等式组C： ，得 ；
解不等式组D： ，得 ．
不等式组C有解需满足 ，
解得 ；
不等式组D有解需满足 ，
解得 ，
但 已涵盖．
C的解集中点值为 ．
由中点包含， 需满足D的解集，即 ．
解 得 ；
解 得 ．
结合 ，故 ．
故答案为： ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上．
(1) ．
(2)
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小
小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
两边同乘3，得
展开，得
移项，得
合并，得
两边同除以 ，不等号方向改变，得
将其解集表示在数轴上，如图，
（2）解：解①得
解②得
∴不等式组的解集为 ，
将其解集表示在数轴上，如图，
10．（2026·山东威海·模拟预测）以下是小贤解不等式组 的解答过程．
解：由①得 ，第一步
所以 ，第二步
由②得 ，第三步
所以 ，第四步
故原不等式组的解集是 ．第五步
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程．
【答案】从第四步开始出现错误，见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，准确的计算是解决本题的关键．
先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误．
正确的解答如下：
由①得
解得 ，
由②得
解得 ，
故原不等式组的解集为 ．
11．（25-26八年级上·安徽池州·期末）“石台硒茶”是安徽省池州市石台县特产，我县优越的自然环境赋
予了茶叶独特的品质，富含茶多酚、咖啡因、茶氨酸等核心营养成分，广受人们的喜爱． 为了满足顾客
需求，某电商平台决定购进A种包装和B种包装的茶叶进行销售．两种包装的茶叶进货价和销售价如表：
类别 A 种 B 种
进货价（元/件）销售价（元/件）
(1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种共100件，求两种茶叶各购进了多少件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种茶叶120件（两种茶叶的进货价不
变），但A种的进货量不超过B种的 ，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A种茶叶40件，B种茶叶60件
(2)购进A种茶叶30件，B种茶叶90件时，获得的利润最大，最大利润为3090元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用：
（1）设电商平台购进A种茶叶 件，则购进B种茶叶 件，根据等量关系列出方程，并解方程即可求解；
（2）设电商平台购进A种茶叶 件，获得的利润为 元，根据题意列出不等式求得 ，进而根据是一
次函数的性质求得最大利润，即可求解．
【详解】（1）解：设电商平台购进A种茶叶 件，则购进B种茶叶 件，
根据题意得 解得 ，
∴电商平台购进A种茶叶 件，B种茶叶 件；
（2）解：设电商平台购进A种茶叶 件，获得的利润为 元，
根据题意得 ，解得 ，
，
；
随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时B种茶叶有： (件)，
答：当电商平台购进A种茶叶30件，B种茶叶90件时，获得的利润最大，最大利润为3090元
12．（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】
我们知道：二元一次方程 有无数组解，如： ， ， ……如果我们将方程的解
（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如 是方程 的一个解，用一个点 来表示．探究发现：以方程 的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的
坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示．
【问题探究】
在平面直角坐标系 中，方程 的图象是图1中的直线m，也可表示为 ．
（1）仿照材料完成下列各题：
①写出二元一次方程 的解（写出三对整数解）：_______．
②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个
方程的图象，记为直线n，也可表示为 ；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；
则方程组 的解是_______．
③过点 且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出 的面积．
【问题拓展】
（2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，由此你猜想直线 与直线
这两条直线_______．（填位置关系）（3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为 ，请你利用图2分析并直接写
出不等式 中x的取值范围_______．
【答案】（1）① ， ， ；②图象见详解， ， ；③9；（2）平行；（3）
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数的图象和性质，方程组的解，解题的关键是理解题
意，数形结合，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系．
（1）①根据题意写出二元一次方程 的三对整数解即可；
②先描出三个点，然后再连接即可得出直线 ，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解；
③先求出点 的坐标，再求出 的面积即可；
（2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，
不相交的两条直线平行，即可得出答案；
（3）根据题意得出直线 经过点 ， ，画出两条直线，根据图象即可解答．
【详解】解：（1）①二元一次方程 的三对整数解为： ；（答案不唯一）
②如图，直线 即为所求，
根据图象可知：直线 与直线 的交点 的坐标 ；
则方程组 的解是 ；③把 代入 得： ，解得： ，
，
把 代入 得： ，解得： ，
，
．
（2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解，
∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点，
∵同一平面内，不相交的两条直线平行，
∴这两条直线平行；
（3）∵直线 与直线 相交，且交点坐标为 ，
令 ，则 ，故直线 经过点 ， ，
画出图象如图：根据图象可得不等式 中x的取值范围是 ．
