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第二章 二次函数单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2022·浙江·温州市龙湾区实验中学九年级阶段练习）若抛物线 经过点 ，则a的值
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．
【详解】解：将 代入 中，得：
，
解得： ，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
2．（2022·浙江·杭州市文澜中学九年级阶段练习）二次函数 的图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【分析】由交点式得到函数图象与 轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
【详解】解： ，
函数图象与 轴的交点坐标为 ， ，
函数图象的对称轴为直线 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与 轴的交点坐标是解题的关键．
3．（2022·河南·安阳市龙安区教学研究室九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线 先向右
平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得到答案．
【详解】抛物线 先向右平移3个单位长度变自变量，再向下平移5个单位长度变因变量后，得到的
新抛物线的解析式为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减、上加下减”直接代入函数解析式求
得平移后的函数解析式．
4．（2022·河北·廊坊市第四中学九年级阶段练习）某种正方形板材的成本y（元）与它的面积成正比，设
边长为x厘米，即 ，当 时， ，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．36厘米 B．6厘米 C．12厘米 D．24厘米
【答案】B
【分析】由待定系数法求出y与x的关系式，当 时代入函数解析式并求解即可获得答案．
【详解】解：将 ， 代入y与x的关系式 ，
可得 ，解得 ，
所以 ，
当成本 时，可有 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
所以当成本为72元时，边长为6cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及根据函数值求自变量的值，正确求出函数解析式是
解题关键．
5．（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线 的图像上，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用正方形的性质得出各边长，进而利用勾股定理得出DO的长，即可得出C点坐标，代入
即可得出k的值．
【详解】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN＝∠DCM，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，DN＝CM，
设D（a，b），∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），
∴ ，解得 ，
∴D（3，4），
∵D在抛物线 的图像上，
∴ +3k＝4，
∴k= ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，得出
D点坐标是解题关键．
6．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与 轴的交点，判断出 、 、 的正负，然后根据
、 、 的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可．
【详解】解：由图可知，
， ，
∴
即
∵二次函数与 轴有两个不同的交点
∴
∴一次函数 经过一、二、三象限
当 时，
∴
∴反比例函数 经过一、三象限
故选：A．
【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出
、 、 的正负是解决本题的关键．
7．（2022·福建·闽清天儒中学九年级阶段练习）已知抛物线 与y轴交于点A，与直线 （k为
任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．存在实数k，使得 为等腰三角形 B．存在实数k，使得 的内角中有两个角为
C．存在实数k，使得 为直角三角形 D．存在实数k，使得 为等边三角形
【答案】D
【分析】根据题意作出图象，结合抛物线的对称性质进行解答，即可．
【详解】解：如图，∵当 时， ，且抛物线 与y轴交于点A，
∴抛物线顶点坐标为 ，
当 时，直线 平行与x轴，此时 ，
此时 为等腰直角三角形，不是等边三角形，
所以D选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定，正确画图是关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，
并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，
将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得 ，
解得 ，池底所在抛物线解析式为 ，则②正确；
③将 代入解析式得 ，解得 ，则池塘最深处到水面CD的距离为
m,则③错误；
④设原宽度为 时最深处到水面的距离为 m，宽度减少为原来的一半时距离为
m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数
法求解．
9．（2022·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，抛物线 过点 ，
对称轴为直线 ，给出结论：① ；② ；③若点 、 为抛物线上的
两点，则 ；④ ；⑤ ．其中正确的序号是（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与性质，从五个方面：①开口方向向下 ；②对称轴 ，
或 ；③与 轴交点纵坐标 ；④与 轴交点情况 ；⑤最值 （顶点坐标）；
得到结论后再逐一判断：① 正确；② 正确；③根据二次函数增减性，图像开口向下，当
时， 随 的增大而增大，由于 ，则 ，③正确；④
，结合 得到 ，
从而 ，④错误；⑤根据 ， 得到 ，⑤正确，从而确定答案．
【详解】解：根据函数图像知：
①开口方向向下， ；
②对称轴 ，则 或 ；
③与 轴交点纵坐标 ；
， ， ，① 正确；② 正确；③根据二次函数增减性，图像开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，由于 ，则 ，③错误；④
，将 代入 ，从
而 ，④错误；⑤根据 ， 得到 ，⑤正确，综上可知正确的有①②⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及开口方向、对称轴、增减性、判断式子大小、确定式子正负
等，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销
售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为
（元/千克）（ ，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法：
①当 时，
② 与 之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【分析】根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；
【详解】当 时， ，故①正确；
由题意得： ，故②正确；
日销售利润为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴ 不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知： ，即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．
11．（2022·浙江杭州·九年级阶段练习）已知二次函数 ．当自变量x取值在 范围内
时，最大值和最小值分别是（ ）
A．14， B．14，7 C．7， D．14，2
【答案】A
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线的开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴ 时，y取最小值为 ，
∵ ，
∴ 时， 为 时的函数最大值，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直
安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到
最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
【详解】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=- ．
∴y=- （x-1）2+3．
∵当x=0时，y=- （0-1）2+3=- +3= ，
∴水管应长 m．
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性
质是解题的关键．
13．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为
整数的点为整点．对于题目：抛物线 与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左
侧）， ，线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有5个整点，求a的
取值范围．嘉嘉的结果是 ，淇淇的结果是 ，则（ ）
A．嘉嘉的结果正确 B．淇淇的结果正确C．嘉嘉、淇淇结果合在一起才正确 D．嘉嘉、淇淇结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】先求出对称轴，再根据 ，求出M，N的坐标，可得到 ，从而得到顶点坐标为 ，
再分两种情况讨论a的取值范围即可．
【详解】解： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，点M在点N的左侧，
∴ ，
∴令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
∴线段 上有3个整点，
∵区域G内有5个整点，
当 时， ，
即 ；
当 时， ，
即 ，
综上所述，a的取值范围为 或 ，
即嘉嘉、淇淇结果合在一起也不正确．
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线与c轴的交点，二次函数的性质，关键是根据二次函数的性质进行运算．14．（2022·云南省楚雄第一中学模拟预测）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 或 ；
③若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 上，则
方程 的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求 、 的关系；
③由方程 是倍根方程，得到 ，由相异两点 ， 都在抛物线
上，通过抛物线对称轴求得 的值．
【详解】①由 ，得
，
解得 ，
∵ 或 ，
∴方程 不是倍根方程，
故①错误；
②解方程 ，得
，∵ 是倍根方程，
∴ 或 ，
即 或 ，
故②正确；
③∵方程 是倍根方程，
设 ，
∵相异两点 ， ，都在抛物线 上，
∴抛物线的对称轴 ，
∴ ，
，
∴ ，
故③正确，
综上所述，正确的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点
的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·江苏·苏州草桥中学九年级阶段练习）将二次函数 化为 的形式，那
么 的值为_____．
【答案】5
【分析】利用配方法将 化成 ，即可求出a、b值，代入 计算即可．
【详解】解： ，， ，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查将二次函数解析式化成项点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
16．（2022·江苏·连云港外国语学校九年级阶段练习）已知二次函数 图象上三点
、 、 ，则 ， ， 的大小关系为___________．（请用“<”号连接）
【答案】
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为 ，图象开口向下， 为顶点，函数值为最
大值， 、 两点中， 点离对称轴越远，故 最小．
【详解】解：由二次函数 可知，对称轴为 ，开口向下，
可知， 为顶点，函数值为最大值，
，
根据横坐标离对称轴越远，函数值越小，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性．解题的关键是掌握当 时，在对称轴的左边， 随 的增大而
增大，在对称轴的右边， 随 的增大而减小．
17．（2022·广东·丰顺县汤西中学九年级阶段练习）已知二次函数 的图像与 轴的一个交点为
，则关于 的方程 的两实数根分别是_______．
【答案】 ，
【分析】先求出二次函数图像的对称轴，根据对称性求出二次函数图像和x轴的另一个交点的坐标，即可得出答案．
【详解】解： ， ，
即二次函数图像的对称轴是直线 ，
设二次函数 的图像与x轴的另一个交点的横坐标是 ，
∵二次函数 的图像与x轴的一个交点为 ，
∴ ，
解得： ，
∴关于x的方程 的两实数根分别是1和 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的
关键．
18．（2022·山东·济南九中模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由
出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为： 和 ，求：
（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
【答案】 B车 2
【分析】（1）由已知行驶的距离x与行驶时间t的函数关系可表示出速度与时间的关系式，比较刚离开时
即 时，两车的速度大小即可得到答案；（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B速度的
时刻，列出方程求解即可．
【详解】（1）由已知得，A车的速度与时间关系式为 ，B车的速度与时间关系式为
它们刚离开出发点时，B车速度大于A车速度（ 时， ）
行驶在前面的一辆车是B车
故答案为：B车（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B车速度的时刻
，即
解得 或 （舍去）
故答案为：2
【点睛】本题考查变速运动中运动距离与速度的关系，解题的关键是由已知的行驶的距离x与行驶时间t
关系式求出速度与时间的关系式．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）已知抛物线 ．
(1)写出它的对称轴和顶点坐标；
(2)若 为该函数图象上的一点，若 ，求n的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，且当
时，函数值最小，最大值为3，再由当 时，n的值最大，为 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）解：由（1）抛物线的对称轴为直线 ，且
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，且当 时，函数值最大，最大值为
3，
∵ ，
∴若 ，当 时，n的值最小，为 ，
∴若 ，n的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．20．（2022·吉林大学附属中学九年级阶段练习）如图，抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ．直线 的解析式为 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)当 时， 的取值范围是________；
(3)当 的取值范围是________时， 和 都随着 的增大而减小；
(4)当 时， 的取值范围是________；
(5)当 时， 的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为 ，将点 ，代入解析式即可求解；
（2）在 中，令 ，解得 ，得出 ,结合函数图象，即可求解；
（3）根据一次函数与二次函数的性质，结合函数图象即可求解；
（4）根据函数图象即可求解；（5）由 ，令 ，求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为
∵与 轴交于点 ，
∴
解得： ，
∴
（2）∵在 中，令 ，解得 ，
∴ ,
结合函数图象可得，
当 时， 的取值范围是 ；
故答案为： ；
（3）∵ ， ,对称轴为 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
将点 ， 代入 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， 随 的增大而减小，
∴当 时， 和 都随着 的增大而减小；故答案为： ；
（4）根据函数图象可知：当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ；
（5）由 ，令 ，
即 ，
解得： ，
根据函数图象可知，抛物线开口向下，
∴当 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据函数图象求自变量或函数值的取值范围，掌握一次函数与
二次函数的性质是解题的关键．
21．小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第 天的销售量与销
售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：
销售量 （千
克）
当 时，
销售单价
（元/千克）
当 时，
设第 天的利润 元．
（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？
（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量
【答案】（1）第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克；（2）第10天或16天时获得的利润最大，
最大利润为450元
【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可；
（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式，然后根据函数的性质解答即可.【详解】（1）当 时，把n=25代入 得，
，
解得 ；
当 时，把代入 得，
，
解得x=20；
答：第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克
（2）当 时， = ；
∵ ，当x=10时，w有最大值为450，
当 时，w= ，
∵ ，当 时，w随x的增大而减小，
∴当 时，w有最大值为450．
∴第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元。
【点睛】本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题的关键是利用二次函数的性质解决问
题.
22．（2022·江苏·苏州市南环实验中学校九年级阶段练习）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖
直高度 为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像；
把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．下边缘抛物线是由上边
缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿
化带的距离 为d（单位：m）．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1) ， 米；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）由题意可知：顶点坐标 ， ，利用待定系数法即可求出函数解析式为：
，令 即可求出 米；
（2）利用 关于对称轴 的对称点为： ，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移
4个单位得到，求出下边缘抛物线为： ，进一步可求出 ；
（3）当点B和点D重合时，d有最小值，此时 ；当上边缘抛物线过点F时，d有最大值，
；所以 ．
【详解】（1）解：由题意可知： ，故设上边缘抛物线的函数解析式为： ，
∵ ，将其代入 可得： ，解得： ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为： ，
令 ，解得： 或 ，
∵点C在x轴的正半轴，
∴ ，即喷出水的最大射程 米．
（2）解：∵ 关于对称轴 的对称点为： ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线为： ，
令 ，解得： 或 ，
∵点B在正半轴上，
∴ ．
（3）解：要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点B和点D重合时，d有最小值，此时
；
当上边缘抛物线过点F时，d有最大值，
∵ ， ．
∴令 ，解得： 或 ，
结合图像可知：
∴d的最大值为： ；
∴ ．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次
函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
23．（2022·山东·日照市新营中学九年级阶段练习）某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，
已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中 段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这
种电子产品的年利润为w（万元）．
(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
①求出当 时的函数关系式；
②求出当 时的函数关系式．
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①当 时，设 ，将点 的坐标代入计算即可；②当 时，设
，分别将点 的坐标代入 ，计算即可；
（2）分 、 两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式．
【详解】（1）解：①当 时，设 ，
将点 的坐标代入，得 ，
∴ ；② 时，设 ，
分别将点 的坐标代入 ，得
解得 ，
∴ ；
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数以及二次函数的综合应用，掌握待定系数法是解题的关键．
24．（2022·河南洛阳·九年级阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探
究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如表：其中， ______．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象
的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现；
①函数图象与 轴有______个交点，所以对应的方程 有______个实数根；
②方程 有______个实数根；
③关于 的方程 有 个实数根时， 的取值范围是______．
【答案】(1)0
(2)见解析
(3) 函数 的图象关于 轴对称； 当 时， 随着 ：的增大而增大；
(4) 3， ； ； ．
【分析】（1）把 代入 即可求出答案；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）结合函数图象分析即可；
（4）结合函数图象求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 得 ，
所以 ．
故答案为： ；
（2）解：函数 的图象如图所示：（3）解：由函数图象知： 函数 的图象关于 轴对称；
当 时， 随着 的增大而增大；
（4）解： 由函数图象知，函数图象与 轴有 个交点，
所以方程 有 个实数根；
如图：函数 的图象与直线 有两个交点，
所以 有 个实数根；
由函数图象可知，关于 的方程 有 个实数根，
所以 ．
故答案为： ， ； ；
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，结合函数图象分析函数
性质．
25．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）如图1，抛物线 与x轴交于A、
B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线 直线 ，交抛物线y于另一点D，点
P为直线 上方抛物线上一动点．(1)求线段 的长．
(2)过点P作 轴交 于点Q，交直线 于点F，过点P作 于点E，求 的最大
值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线 向右平移3个单位得到新抛物线 ，点M为新抛物线上一点，
点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，
并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【答案】(1)4
(2)当 时， 有最大值为 ，此时 ；
(3) ， 和
【分析】（1）令 ，求解即可；
（2）求直线 的解析式，设点 ，则 ， ，利
用 ，将所求转化为 ，再求解即可；（3）推出平移后的解析式，设 ， ，分三种情况讨论；再利用平行
四边形的性质结合中点坐标求解即可．
【详解】（1）令 ，
解得 或 ，
∴ ，
；
（2） ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
设点 ，则 ， ，
∵点P为直线 上方抛物线上一动点，
，
，
∵ ，，
，
，
，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ，此时 ；
（3） ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线 向右平移3个单位得到新抛物线 ，
∴新抛物线 的解析式为 ，
∴ ， ，
①当 为平行四边形的对角线时， ，
∴ ，
∴ ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
∴ ，
∴ ；③当 为平行四边形的对角线时， ，
∴ ，
∴ ；
综上，N点坐标分别为 ， 和 ．
【点睛】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识并能
够运用分类讨论的思想是解题的关键．
26．（2022·山西太原·九年级阶段练习）综合与实践
如图， 是等边三角形， ，在 内任作一个正方形 ，点 在 上，点 在
内，边 在 上．
(1)尺规作图：在图1中，以点 为位似中心，作正方形 的位似正方形 ，点 在 边上，
点 在 边上，点 在 边上（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求（1）中作出的正方形 的边长；
(3)如图2，当 时，在 中再放入正方形 ，点 在射线 上，点 在边 上，边
在边 上，直接写出这两个正方形面积和的最大值和最小值．
【答案】(1)图见解析
(2)正方形 的边长是
(3)这两个正方形面积和的最大值是26，最小值是18
【分析】（1）第1步：连接CE并延长交AB于 ；第2步：过 点作 于 ；第3步：过 点
作 交AC于 ；第4步：过 点作 于 ，则四边形 就是所求作的正方形，然后证明即可．
（2）过点 作 于点 ，交 于点 ，证明 ，利用锐角三角函数的知识求出
的长，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（3）连接 ，延长 交 于点P，设正方形 、正方形 的边长分别为
，则它们的面和和为S，由勾股定理可得 ，再利用长 求出 ，
然后结合n的的取值范围求解即可．
【详解】（1）解：如图1，正方形 即为所求．
证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 矩形，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴正方形 与正方形 位似；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ．∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 于点 ，交 于点 ，
∴ 于点 ，
∴ ．
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ．
在 中， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的边长是 ．
（3）解：如答图2所示，连接 ，延长 交 于点P，则 ， ．设正方形 、正方形 的边长分别为 ，则它们的面积和为S，
则 ，
∴ ，
∴ ．
在 中，
，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，S取得最小值， ；
当 最大，即n最小时，S取得最大值，∵ ，
∴n的最小值是1，此时 ，
∴S的最大值为 ．
∴这两个正方形面积和的最大值是26，最小值是18．
【点睛】本题考查了位似作图，正方形的判定与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的知识，勾股定
理，以及二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
