单元测试第二章相交线与平行线（A卷·知识通关练）（解析版）_new_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_05习题试卷_2单元试卷

【单元测试】2022-2023学年七年级数学下册分层训练AB卷（北师大版） 【单元测试】第二章 相交线与平行线 （A 卷·知识通关练） 班级 姓名 学号 分数 核心知识1. 两条直线的位置关系 一、选择题（共3小题） 1．（2022春·全国·七年级阶段练习）如图， ， ，那么 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据补角的性质求出 ，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题考查了补角的性质，以及邻补角的定义，熟练掌握同角的补角相等是解答本题的关键． 2．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）下列各图中， 与 是同位角的是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意； C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意； 故选：B．选项 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同 侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，两条直线交于点 ，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C．100 D． 【答案】D 【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角，邻补角的性质，对顶角相等，邻补角互补是解题的关键． 二、填空题（共3小题） 4．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图， ， 则 ____________．【答案】 ## 度 【分析】根据垂直的性质，可得 和 的度数，根据 ，可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， 设 为x，则 ， 可得： ， 解得： ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角的和差计算是关键． 5．（2022·全国·七年级专题练习）如图直线 与直线 相交于点 ， 平分 ， ，则 的度数为___________°． 【答案】 【分析】利用邻补角求得 ，再利用角平分线的定义得 ，再利用 对顶角性质得 ，最后求出 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，以及角平分线定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 6．（2022春·七年级课时练习）如图，计划把河中的水引到水池M中，可以先过M点作MC⊥AB，垂足为C，然后沿MC开渠，则能使所开的渠最短，这种设计方案的根据是_____． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意即可得这种设计方案的根据是：垂线段最短． 【详解】解：计划把水渠中的水引到水池M中，可过点M作AB的垂线，然后沿CM开渠，则能使新开的 渠道最短，这种设计方案的根据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短． 三、简答题（共1小题） 7．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）定义：如果两个角的差的绝对值等于90，就称这个两个角 12 90 1120 230 1 2 互为垂角，例如： ， ， ，则 和 互为垂角． (1)如图1，O为直线AB上的一点，∠AOC=90，EOD90，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线AB上的一点，若∠AOC=90，BOD30，且射线OC绕O以每秒9的速度顺时针 旋转，射线OD绕点O以每秒6的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为t秒 0t30 t AOC BOD ，试求当 为何值时， 和 互为垂角？ 【答案】(1)AOD和COD互为垂角（答案不唯一） (2)45 (3)当t的值为2或14或36时，AOC和BOD互为垂角 【分析】（1）根据垂角定义即可得到答案；（2）设这个锐角的度数为x，根据一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍列方程解答； （3）分四种情况：当0t5时，当5t10时，当10t20时，当20t30时，分别求出AOC和 BOD，根据互为垂角列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵∠AOC=90，EOD90， ∴AODCOD90， ∴AOD和COD互为垂角； 90x x 0x90 （2）设这个锐角的度数为 ，则 ，它的垂角是 ， 90x390x ， 解得x45 ∴这个角的度数是45； （3）分四种情况： AOC 909t BOD306t 0t5 当 时， ， ， 909t306t90 ∴ ， 解得t2； AOC 909t,BOD6t30 5t10 当 时， ， 909t6t3090 ∴ ， 解得t 10（舍去）； AOC 2709t,BOD6t30 10t20 当 时， ， 2709t6t3090 ∴ ， 解得t14； AOC 2709t,BOD6t30 20t30 当 时， ， 6t302709t90 ∴ ， 解得t 26， 综上，当t的值为2或14或26时，AOC和BOD互为垂角． 【点睛】此题考查了互为垂角和余角的概念以及运用，一元一次方程的应用，解题的关键是能准确的从图中找到角之间的数量关系，从而计算出结果． 核心知识2．探索直线平行的条件 一、选择题（共3小题） 1．（2022秋·重庆·七年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件 中，不能判定 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵∠1=∠2，∴ ，故本选项不符合题意； B．∵∠3=∠4，∴ ，故本选项符合题意； C．∵∠A=∠DCE，∴ ，故本选项不符合题意； D．∵∠D+∠DBA=180°，∴ ，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 2．（2022秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）图，在同一平面内过点 且平行于直线 的直线有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断即可． 【详解】过点M且平行于直线a的直线只有1条． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的知识，掌握平行公理是解题的关键． 3．（2022秋·云南红河·七年级校考阶段练习）如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变 形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则（ ）A．AB//BC B．BC//CD C．AB//DC D．AB与CD相交 【答案】C 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵∠ABC＝150°，∠BCD＝30° ∴AB//DC． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键． 二、填空题（共3小题） 4．（2022秋·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，MC∥AB,NC∥AB,则点M，C，N在同一条直线上，理 由是_____. 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【详解】解:如图，∵MC∥AB，NC∥AB， ∴直线MC与NC互相重合（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）. 故答案为:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 5．（2021秋·七年级课时练习）如图，若 ，则__ __根据是__；若 ，则__ __，根据是 __；若 ，则__ __，根据是__． 【答案】 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 CE 同旁内角互补，两直线平行 【分析】直接利用平行线的判定方法分别得出答案． 【详解】若B3，则AB//EC根据是同位角相等，两直线平行； 若2E，则AC//DE，根据是内错角相等，两直线平行；若BBCE180，则AB//CE，根据是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：AB，CE，同位角相等，两直线平行；AC，DE，内错角相等，两直线平行；AB，CE，同 旁内角互补，两直线平行． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键． 6．（2021秋·浙江·七年级专题练习）如图，给出下列条件：①BBCD180；②12；③ 3=4；④B5；⑤BD．其中，一定能判定AB∥CD的条件有_____________（填写所有正确 的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答． 【详解】① ∵BBCD180， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确； ② ∵12， ∴AD∥BC，错误； ③ ∵3=4， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确； ④ ∵B5， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），正确； ⑤ BD不能证明AB∥CD，错误， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键． 三、简答题（共1小题） 7．（2021春·江苏·七年级专题练习）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方 格纸上按要求画图，并标注相应的字母． （1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空： ①线段 的长度表示点P到直线OA的距离； ②PC OC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）过点A画OB的平行线AE． 【答案】（1）图见解析，①PD，②＜；（2）见解析 【分析】（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可． ②根据垂线段最短，可得结论． （2）取格点E，作直线AE即可． 【详解】解：（1）①如图，直线PC，直线PD即为所求作．线段PD的长度表示点P到直线OA的距离． 故答案为：PD． ②根据垂线段最短可知，PC＜OC． 故答案为：＜． （2）如图，直线AE即为所求作． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵 活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 核心知识3．平行线的性质 一、选择题（共3小题） 1．（2022秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图，直线 与 相交于点E，在 的 平分线上有一点F， ．当 时， 的度数是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角求得 ，由角平分线的定义求得 ，根据平行线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决 问题的关键． 2．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ， ，那么 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作 ，根据 ，得出 ，根据平行线的性质求出 ， ，即可得出答案． 【详解】解：过点C作 ，如图所示：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等；两 直线平行同旁内角互补． 3．（2022春·北京·七年级阶段练习）下列图形中，由 ，能得到 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、因为 ，所以 ，故本选项不符合题意； B、如图， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，故本选项符合题意； C、因为 ，所以 ，故本选项不符合题意；D、由 ，不能得到 ，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 二、填空题（共3小题） 4．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知 ，155，则2的度数为 ________． 【答案】55 【分析】根据a∥b，即可得到1355，再根据对顶角的关系即可得到答案． 【详解】解：∵a∥b，155， ∴1355， ∴2355， 故答案为55． 【点睛】本题考查平行线的性质及对顶角相等，解题的关键是根据平行得到1355． 5．（2022春·全国·七年级专题练习）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点 落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________° 【答案】75 【分析】由余角的定义进行计算，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ∵2390，215， ∴3901575； 故答案为：75 【点睛】本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义进行计算． AB  CD AB 6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，直线 ， 平分EAD，若1100，则2度数是_________． 【答案】40##40度 【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】解： 1100， EAD180180，  AB平分EAD， 1 EABBAD EAD40 ， 2  AB∥CD， 2EAB40， 故答案为：40． 【点睛】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 三、简答题（共1小题） AB  CD ABE CDE 7．（2022·全国·七年级专题练习）已知 ， 的平分线与 的平分线相交于点F． (1)在图1中，求证： ①ABE＋CDE＋E＝360； ②ABF＋CDF＝BFD； 1 1 (2)如图2，当ABM  ABF，CDM  CDF时，请你写出 与 之间的关系，并加以证明； 3 3 M E 1 1 (3)当ABM  ABF，CDM  CDF，且 时，请你直接写出 的度数（用含m，n的式子 n n E＝m M表示） 【答案】(1)证明见详解； (2)E6M 360，证明见详解； 360m M  (3) 2n 【分析】（1）①根据平行线的性质可得：ABEECDE360， ②根据平行线的性质可得：ABF＋CDF＝BFD， ABM x CDM  y FBM 2x EBF 3x FDM 2y，EDF 3y （2）设 ， ，则 ， ， ，根据（1） 和四边形内角和得等式可得结论； （3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论； 【详解】（1）证明：①如图１，过点E作 EN∥AB  EN  AB， ABEBEN 180，  AB  CD，AB  NE， NE CD，  CDENED180， ABECDEBENNED360， ABEECDE360； 证明：②如图１，过点F 作 FG∥AB FG AB，  ABF BFG，  AB∥CD， FG CD，  CDF GFD， ABFCDF BFGGFD，即ABFCDF BFD （2）解：关系式为E6M 360， 证明：设ABM x，CDM  y， 1 1 ABM  ABF，CDM  CDF时，且 平分 ， 平分 ， 3 3 BF ABE DF CDE  FBM 2x，EBF 3x，FDM 2y，EDF 3y， EBM FBM EBF 2x3x5x,EDM FDM EDF 2y3y5y 由（１）得ABEECDE360， 6x6yE360，  M EEBM EDM 360， 6x6yEM EEBM EDM ， 即6x6yEM E5x5y， M xy， E6M 360 ABM x，CDM  y （3）解：设 则 FBM (n1)x，EBF nx，FDM (n1)y，EDF ny， 由（１）可得ABEECDE360 2nx2nyE360， 360m xy ， 2n  M EEBM EDM 360， 2nx2nyEM (2n1)x(2n1)yE， 360m M  ， 2n 360m 即 的度数（用含m，n的式子表示）表示为M  M 2n 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键 是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 核心知识4．用尺规作角 一、选择题（共3小题） 1．（2021秋·全国·七年级专题练习）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹 是（ ）．A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆 C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆 【答案】D 【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案． 【详解】作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知， ①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D； ②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F； ③以点E为圆心，以DC为半径画圆，交 于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完 成求解． 2．（2021秋·全国·七年级专题练习）下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（ ） A．作 ，使 B．作 ，使 C．以点 为圆心，线段 的长为半径作弧 D．以点 为圆心作弧 【答案】D 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，据此逐项分析即可． 【详解】解：A. 作 ，使 ，此选项描述准确； B. 作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，此选项描述准确； C. 以点 为圆心，线段 的长为半径作弧 ，此选项描述准确； D. 画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，此选项描述不准确． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图，主要内容有：作线段等于已知线段；作角等于已知角；作角的平 分线；作线段的垂直平分线（中垂线）或中点；过直线外一点作直线的垂线． 3．（2021秋·全国·七年级专题练习）如图，已知 ，以点 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交 于点 ，再以点 为圆心， 的长为半径画弧，交弧①于点 ，画射线 ．若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作一个角等于另一个角的作法进一步求解即可． 【详解】由题意得： =26°， ∴ = + =52°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了作一个角等于另一个角的作法，熟练掌握相关方法是解题关键． 二、填空题（共3小题） 4．（2021秋·全国·七年级专题练习）如图，CAD为ABC的外角，按以下步骤作图：①以点B为圆心， 以适当长为半径画弧，交BA于点M ，交BC于点N ；②以点A为圆心，以BM 长为半径画弧，交AD于点 P；③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q；④经过点Q画射线AE．若C 50， 则EAC的大小是__________度． 【答案】50 【分析】由题目给出的作法可知：∠DAE=∠B，进而可得AE∥BC，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得：∠DAE=∠B， ∴AE∥BC， ∴EACC50． 故答案为：50．【点睛】本题考查了基本作图和平行线的性质，属于基本题型，由题意得出∠DAE=∠B是解题关键． 5．（2021秋·全国·七年级专题练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明 ∠A′O′B′＝∠AOB的依据是全等三角形的_____相等．其全等的依据是_____． 【答案】 对应角； SSS． 【分析】首先连接CD、C′D′，从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，即可判定△ODC≌△O′D′C′ （SSS），然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出∠A′O′B′＝∠AOB. 【详解】∠A′O′B′＝∠AOB， 理由是：连接CD、C′D′， 从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′， ∵在△ODC和△O′D′C′中 ODOD  OC OC ，  CDCD ∴△ODC≌△O′D′C′（SSS）， ∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）， 故答案为：对应角，SSS． 【点睛】此题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握，即可解题. 6．（2021秋·全国·七年级专题练习）数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一 点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作 法的理由有________ 【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线． 【详解】他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点睛】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分 线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 三、简答题（共1小题） 7．（2021秋·全国·七年级专题练习）如图，已知三角形ABC和射线EM ，用直尺和圆规按下列步骤作图 （保留作图痕迹，不写作法）： （1）在射线EM 的上方，作NEM B； （2）在射线EN 上作线段DE，在射线EM 上作线段EF，使得DE AB，EF BC； （3）连接DF，观察并猜想：DF与AC的数量关系是DF______AC，填（“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）＝ 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可解答 （2）根据作一条线段等于已知线段的尺规作图即可解答 △ABC≌△EDF （3）结合图形易证 ，即可得到答案 【详解】（1）如图所示： 作法： ①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H ②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P ③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可 （2）如图所示：作法： ①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC ②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB BNEM △ABC≌△EDF （3）根据EF=BC，DE=AB， 可证 ，则DF=AC 【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，以及作一条线 段等于已知线段的尺规作图方法．