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大题突破 04 与基本平面图形有关的 12 种大题专练
一．直线、射线、线段
1．（2023秋•榆中县期末）（1）观察思考
如图，线段 上有两个点 、 ，请分别写出以点 、 、 、 为端点的线段，并计算图中共有多少
条线段；
（2）模型构建
如果线段上有 个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一
共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1【解析】（1） 以点 为左端点向右的线段有：线段 、 、 ，
以点 为左端点向右的线段有线段 、 ，
以点 为左端点的线段有线段 ，
共有 条线段；
（2） ，
理由：设线段上有 个点，该线段上共有线段 条，
则 ，
倒序排列有 ，
，
；
（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行 场比赛．
2．（2023秋•赤坎区校级期末）尺规作图．
如图，已知在平面上有三个点 ， ， ，请按下列要求作图：
（1）作直线 ；
（2）作射线 ；
（3）在射线 上作线段 ，使 ．
【解析】（1）连接 ，并延长 、 ，得到直线 ；
（2）连接 ，延长 ，得到射线 ；
（3）以 点为圆心，线段 长为半径作圆，交射线 于点 ，再以 点为圆心，线段 长为半径作
圆，交射线 于点 ，线段 即是所求．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2图形如下：
3．（2023秋•铁东区期末）如图，在同一平面内有四个点 、 、 、 ，请按要求完成下列问题．
（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线 ；
（2）作直线 与射线 相交于点 ；
（3）分别连接 、 ；
（4）我们容易判断出线段 与 的数量关系是 ，理由是 ．
【解析】（1）（2）（3）如图所示：
（4） ，理由是：两点之间，线段最短．
故答案为： ，两点之间线段最短．
4．（2023秋•潢川县期末）如图，已知四个点 、 、 、 ，根据下列要求画图：
（1）画线段 ；
（2）画 ；
（3）找一点 ，使 既在直线 上，又在直线 上．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3【解析】如图所示：
．
5．（2023秋•顺庆区校级期末）如图，平面上有三个点 ， ， ．
（1）根据下列语句画图：作出射线 ， ，直线 ；在射线 上取一点 （不与点 重合），使
；
（2）在（1）的条件下，回答问题：
①用适当的语句表述点 与直线 的关系： ；
②若 ，则 ．
【解析】解 （1）如图所示，
（2）①点 在直线 外（直线 不经过点 ．
故答案为：点 在直线 外；
② ， ，
．
故答案为：3．
6．（2023秋•瑞金市期末）如图，平面上有三个点 ， ， ．
（1）根据下列语句画图：作出射线 ， ，直线 ；用圆规在射线 上截取一点 （不与点 重
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4合），使 ；
（2）在（1）的条件下，若 ，则 ．
【解析】（1）如图所示：
（2） ，
，
故答案为：3．
二．两点间的距离
7．（2023秋•东莞市校级期末）如图，线段 ， 是线段 上一点， ， 是 的中
点， 是 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
【解析】（1） 是 的中点， ，
，
， ，
．
（2） 是 的中点， ，
，
， ，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 58．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点 在线段 上，点 ， 分别是 ， 的中点．
（1） ； ；
（2）若 ， ，求线段 的长度；
（3）若线段 ，某同学很轻松地求得 ．他在反思过程中突发奇想：若点 在线段 的延长
线上，原有的结论“ ”是否仍然成立呢？请同学们帮他画出图形分析，并说明理由．
【解析】（1） 点 、 分别是 、 的中点
； ；
故答案为：2，2．
（2） 点 、 分别是 、 的中点， ， ，
； ，
．
（3）仍然成立，
如图：
理由： 点 、 分别是 、 的中点，
； ，
．
9．（2023秋•长沙期末）如图，线段 ． 是线段 的中点， 是线段 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）在线段 上有一点 ，满足 ，求 的长．
【解析】（1） 点 是线段 的中点，
，
点 是线段 的中点，
，
，
线段 的长为18；
（2） ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6，
当点 在 之间时， ；
当点 在 之间时， ；
综上所述， 的长为10或14．
10．（2023秋•青山湖区校级期末）（1）【特例感知】如图1，已知线段 ， ，点
和点 分别是 ， 的中点．若 ，则 ；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，已知 在 内部转动，射线
和射线 分别平分 和 ；
①若 ， ，求 的度数；
②请你猜想 ， 和 三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（ 3 ） 【 类 比 探 究 】 如 图 3 ， 在 内 部 转 动 ， 若 ， ，
， ，求 的度数．（用含有 的式子表示计算结果）．
【解析】（1） ，
，
点 和点 分别是 ， 的中点，
， ，
．
．
故答案为：24．
（2）① 和 分别平分 和 ，
， ．
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7又 ， ，
．
．
．
② ．
理由如下：
和 分别平分和 ，
， ．
．
．
（3） ， ，
，
，
， ，
，
．
11．（2023秋•大洼区校级期末）如图，点 在线段 上， ， ．
（1） ； ．
（2）若点 、 在过线 上，点 在点 的左侧，线段 在线段 上移动， ．
①如图1，当 为 中点时，求 的长；
②点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，画出图形，求 的长．
【解析】（1） ， ，
， ；
（2）如图1，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8为 中点，
，
，
，
；
②Ⅰ、当点 在点 的左侧，如图2，
， ，
点 是 的中点，
，
，
；
，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点 在点 的右侧，
， ，
，
，
．
，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述： 的长为3或5．
12．（2023秋•吉州区期末）如图，线段 ，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）若在线段 上有一点 ， ，求 的长．
【解析】（1） ， 是 的中点，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9，
是 的中点，
，
；
（2） ， ，
，
当 在 的左边时， ；
当 在 的右边时， ．
的长为3或5．
13．（2023秋•船营区校级期末）如图所示， 为线段 上任意一点， 为 的中点， ，
．（1）图中共有 条线段；
（2）求 的长；
（3）若点 在直线 上，且 ，则 的长为 ．
【解析】（1）图中共有线段6条，分别是 、 、 、 、 、 ，共6条线段；
故答案为：6；
（2） ， ，
，
为 的中点，
；
（3） ， ，
，
当点 在点 左侧时， ；
当点 在点 右侧时， ；
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为：11或13．
14．（2023秋•浦北县期末）综合与探究．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角
的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相
借鉴．如图1，点 是线段 上的一点， 是 的中点， 是 的中点．
（1）问题探究
①若 ， ，求 的长度；
②若 ， ，则 ．
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知 ，在角的内部作射线 ，再分别作 和
的角平分线 ， ．
③若 ，求 的度数；
④若 ，则 ．
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图 3，若 ，在角的外部作射线 ，再分别作
和 的角平分线 ， ，若 ，则 ．
【解析】（1）① ，
，
；
② ，
故答案为： ；
（2）③ ，
，
；
④ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11故答案为： ；
（3） ，
，
，
故答案为： ．
15．（2023秋•门头沟区期末）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，点 在线段 上， ，点 ， 分别是线段 ， 的中点， ．
求：线段 的长．
解：因为点 是线段 的中点， ，
所以 ．
又因为 ， ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
又因为点 是线段 的中点，所以 ， ．
【解析】因为点 是线段 的中点， ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为点 是线段 的中点，所以 ，
故答案为：10； ；2；8； ；4．
16．（2023秋•久治县期末）（1）如图，点 是线段 的中点．若点 在线段 上，且 ，
，求线段 的长度；
（2）若将（1）中的“点 在线段 上”改为“点 在直线 上”，其他条件不变，请画出相应的示
意图，并求出此时线段 的长度；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12（3）若线段 ，点 在线段 上，点 ， 分别是线段 ， 的中点．
①当点 恰好是 的中点时， ；
②当 时， ；
③当点 在线段 上运动时（点 不与点 ， 重合），求线段 的长度．
【解析】（1） ， ，
，
点 为 的中点，
，
．
故答案为：1.5．
（2）①点 在线段 上，则 ，
②点 在 的延长线上：
，
则 ．
，
；
答：此时线段 的长度为 1.5 或5 ；
（3）①设 ，则
因为点 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ， ，所以 ．
答：线段 的长度为6 ．
②设 ，则
因为点 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ， ，
，
③设 ，则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13又 、 分别为 、 中点，
， ，
．
17．（2023秋•陵川县期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达
点 ，再向左平移4个单位长度到达点 ，最后向右平移10个单位长度到达点 ．
（1）分别写出点 ， ， 表示的数．
（2）若点 在线段 上运动，当 时，求出点 表示的数．
（3）若点 从点 出发，在线段 的延长线上运动， 是 的中点， 是 的中点，试说明
是一个定值．
【解析】（1）点 表示的数为 ，
点 表示的数为 ，
点 表示的数为4．
（2）可分为以下两种情况讨论：
①当点 在线段 上时， ．
，
．
解得 ．
点 表示的数为 ．
②当点 在线段 上时， ．
，
．
解得 ．
点 表示的数为0．
综上所述，点 表示的数为 或0．
（3）设点 表示的数为 ，则 ， ．
是 的中点， 是 的中点，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14．
是一个定值．
18．（2023秋•禹州市期末）如图， ， ， ， 四点在同一条直线上，根据图形填空和解答．
（1）图中共有线段 条；
（2） ；
（3）若 是 的中点， ， ，求线段 的长．
【解析】（1）图中有线段 ， ， ， ， ， ，共6条；
故答案为：6；
（2） ；
故答案为： ；
（3） 是 的中点，且 ，
，
设 ，则有 ，则有 ，
，即 ，
，
解得： ，
．
19．（2023秋•湘潭县期末）如图， ， 为 的中点，点 在线段 上，且 ．
（1）求线段 的长度；
（2）求线段 的长度．
【解析】（1） ， 为 的中点，
．
（2） ， 为 的中点，
，
，
，
，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1520．（2023秋•昌平区期末）如图，已知线段 ，点 在线段 的延长线上，且 ， 为线段
的中点．
（1）求线段 的长；
（2）点 在线段 上，且 ，请判断点 是否为线段 的中点，并说明理由．
【解析】（1） ， ，
，
为线段 的中点，
，
；
（2）点 是线段 的中点，理由如下：
， ，
，
，
，
由（1）可知 ，
，
，
点 是 的中点．
21．（2023秋•怀仁市期末）如图，已知线段 ，点 是 的中点，点 是线段上一点， ．
求线段 的长．
【解析】 ，点 是 的中点，
，
， ，
．
22．（2023秋•洮北区期末）如图，已知线段 ， ，点 是 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）在 上取一点 ，使得 ，求线段 的长．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16【解析】（1）线段 ， ，
．
又 点 是 的中点．
，即线段 的长度是4．
（2） ， ，
．
又 点 是 的中点， ，
，
，
即 的长度是9．
23．（2023秋•温江区校级期末）如图， 是线段 上一点， ， 、 两点分别从 、 出
发以 、 的速度沿直线 向左运动 在线段 上， 在线段 上），运动的时间为 ．
（1）当 时， ，请求出 的长；
（2）若 、 运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长；
（3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的长．
【解析】（1）当 时，根据 ， 的运动速度知： ， ，则
，
，
，即 ，
， ，
；
（2）由题意得： ， ，
，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17，即 ，
；
（3）分四种情况：
①当点 在线段 上时，如图1，
， ， ，
，
；
②当点 在线段 上时，如图2，
，
，
（舍 ；
③当点 在点 的左边时，如图3，
，
，
；
④当在点 的右边时，如图4，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18，
，
（舍 ；
综上所述， 的长为 或 ．
三．比较线段的长短
24．（2023秋•峡江县期末）如图， 、 是线段 上两点，已知 ， 、 分别为
、 的中点，且 ，求线段 的长．
【解析】设 、 、 的长分别为 、 、 ，
则 ，
，解得： ，
， ， ，
、 分别为 、 的中点，
（3分）
（5分）
答： 的长为 ．
25．（2023秋•城关区校级期末）如图， ， ， 三点在同一直线上，点 在 的延长线上，且
．
（1）请用圆规在图中确定 点的位置；
（2）比较线段的大小： （填“ ”、“ ”或“ ” ；
（3）若 ， ，求 的长．
【解析】（1）如图所示，以点 为圆心， 长为半径画弧交 的延长线于点 ，即为所求，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19（2） ，
，
；
故答案为 ；
（3） ， ，
，
，
，
故答案为：18．
26．（2023秋•清原县期末）如图，已知 、 在线段 上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若 ．
①比较线段的长短： （填“ ”“ ”或“ ” ；
②若 ， ， 是 的中点， 是 的中点，求线段 的长度．
【解析】（1）以 为端点的线段有 、 、 共3条，
以 为端点的线段有 、 共2条，
以 为端点的线段为 ，有1条，
故共有线段的条数为： ，
故答案为：6；
（2）①若 ，则 ，
即 ，
故答案为： ；
② ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20，
是 的中点， 是 的中点，
， ，
，
．
四．线段的和差
27．（2023秋•平潭县校级期末）补全解题过程
（1）已知：如图1，点 是线段 的中点， ， ，求 的长；
解：因为 ， ，
所以 ．
因为点 是线段 的中点，
所以 ．
所以 ．
（2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合， ，求 的度数．
解：因为 ， ， ①
所以 ． ②
因为 ，
所以 ．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ．
因为点 是线段 的中点，
所以 ．
所以 ．
故答案为： ，10， ，10， ，12．
（2）因为 ， ， ①
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21所以 ， ②
因为 ，
所以 ．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．
故答案为：90，90， ，40，同角的余角相等．
28．（2023秋•应城市期末）如图，线段 上有 ， 两点， ， ， ．求
的长．
【解析】 ， ，
，
．
， ，
，
解得： ．
29．（2023秋•纳溪区期末）如图， 是线段 上一点， ， 、 两点分别从 、 出发以
、 的速度沿直线 向左运动 在线段 上， 在线段 上），运动的时间为 ．
（1）当 时， ，求出 的长；
根据 、 的运动速度知： ， ，
则 ，
，
，即 ，
， ，
，则 ．
（2）当 时， ，根据（1）可得 的长是 ；
（3）若 、 运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长．
【解析】（1）根据 、 的运动速度知： ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22则 ，
，
，即 ，
， ，
，则
（2）当 时， ， ，
又 ，
，
即 ，
，
又 ，
．
（3）当运动时间为 时， ， ，
，
又 ，
，
即 ，
，
又 ，
．
五．度分秒的换算
30．（2023秋•吴忠期末）计算： ．
【解析】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23．
31．（2023秋•孝南区期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【解析】（1）
；
（2）
．
32．（2023秋•章贡区期末）（1）计算： ；
（2）计算： ．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
六．方向角
33．（2024 春•阳谷县期末）如图，射线 的方向是北偏东 ，射线 的方向是北偏西 ，
，射线 是 的反向延长线．
（1）射线 的方向是 ；
（2）求 的度数；
（3）若射线 平分 ，求 的度数．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24【解析】（1） 的方向是北偏西 ， 的方向是北偏东 ，
， ，
，
，
，
，
的方向是北偏东 ；
故答案为：北偏东 ；
（2） ， ，
．
又 射线 是 的反向延长线，
．
．
（3） ， 平分 ，
．
．
．
34．（2023秋•吉林期末）如图，点 、 、 、 分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点
位于点 的北偏西 ，点 位于点 的北偏东 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，直接写出小华家 相对学校的方向．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 25【解析】（1） 点 位于点 的北偏西 ，点 位于点 的北偏东 ，
；
（2）如图所示，
，
，
小华家 在学校的南偏东 方向．
35．（2023秋•常宁市期末）如图，已知轮船 在灯塔 的北偏东 的方向上，轮船 在灯塔 的南偏
东 的方向上．
（1）求从灯塔 看两轮船的视角（即 的度数？
（2）轮船 在 的角平分线上，则轮船 在灯塔 的什么方位？
【解析】（1）由题意可知 ，
所以： ；
（2） 平分 ，且
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 26轮船 在灯塔 的北偏东 的方向上．
七．角的计算
36．（2023秋•炎陵县期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是 ；（填序号）
（2）在图①中，求 的度数；
（3）如图①，先用三角板画出了直线 ，然后将一副三角板拼接在一起，其中 角 的顶点与
角 的顶点互相重合，且边 、 都在直线 上（图① ，固定三角板 不动，将三角
板 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 （如图② ，当 平分 时，求旋转角 的度数．
【解析】（1）利用一副三角板可画出的角，应是 角的整数倍，因此①②③④⑥都可以画出来，但⑤画
不出来；
故答案为：⑤；
（2） ， ，
；
（3） ，
；
因为 平分 ，
，
，
旋转角 ．
37．（2023秋•泌阳县期末）综合与探究
特例感知：（1）如图1．线段 ， 为线段 上的一个动点，点 ， 分别是 ， 的中
点．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 27①若 ，则线段 的长为 ．
②设 ，则线段 的长为 ．
知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若 ， 是 内部的一条
射线，射线 平分 ，射线 平分 ，求 的度数．
拓展探究：（ 3）已知 在 内的位置如图 3 所示， ， ，且
， ，求 的度数．（用含 的代数式表示）
【解析】（1）① ， ，
，
又 点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
；
故答案为： ；
② ， ，
，
又 点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
；
故答案为： ；
（2） 由射线 平分 ，射线 平分 ，
， ，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 28，
即 的度数为 ；
（3） ， ，
， ，
， ，
，
即 的度数为 ．
38．（2023秋•峨眉山市校级期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点 叠放在一起，
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）猜想 与 的大小关系，并说明理由．
【解析】（1） ，
．
（2） ，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 29（3）猜想得 （或 与 互补）
理由： ，
．
39．（2023 秋•龙川县校级期末）如图，已知 ， 是 内的一条射线，且
．
（1）求 的度数；
（2）过点 作射线 ，若 ，求 的度数．
【解析】（1） ， ，
；
（2） ，
，
当 在 内时，
，
当 在 外时，
．
故 的度数为 或 ．
40．（2023秋•吉安县期末）如图是正方形纸片 ，分别沿 、 折叠后边 与 恰好重叠于
，求 的大小．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 30【解析】依题意得， ， ，
，
，
．
八．角的大小比较
41．（2023秋•承德县期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点 叠放在一起．
（1） （填“ ”“ ”或“ ” ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板 绕点 逆时针旋转一周，请直接写出此时 为多少度时， 与 的大小
是二倍关系．
【解析】（1） ， ，
，
故答案为：“ ”；
（2） ， ，
，
；
（3） ，理由如下：
， ，
，
，
；
（4）①当 时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 31， ，
，
，
为 ， 与 的大小是二倍关系；
②当 时，
，
，
，
，
， ，
，
为 ， 与 的大小是二倍关系；
综上所述，当 为 或 时， 与 的大小是二倍关系．
42．（2023秋•西平县期末）如图，在同一平面内有任意四个点 、 、 、 ．
（1）按要求补充图形：画出直线 、射线 、 ，连接 ；
（2）若小明在（1）的基础上测量 ， ，求 的度数；
（3）若（1）（2）基础上，小亮又测量 ，比较 与 的大小关系．
【解析】（1）如图所示：
（2） ， ，
．
（3） ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 32又 ，
43．（2024春•高青县期末）【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1） 与 的大小关系是 ．（填“ ”“ ”或“ ”
（2） 与 之间的数量关系是 ．
【拓展探究】
（3）如图2，若 ，且 ，探索 与 之间的数量关系，并说
明理由．
【解析】（1）依题意得： ， ，
， ，
．
故答案为： ．
（2） 与 之间的数量关系： ，理由如下：
， ，
， ，
，
，
又 ，
；
（3） 与 之间的数量关系是： ，理由如下：
， ，
又 ，
，
即： ，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 33九．多边形的对角线
44．（2023秋•运城期末）探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过 点可以作1条对角线；同样，经过 点可以作 条对角线；经过 点
可以作 条对角线；经过 点可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 条对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有 条对角线；图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：对于 边形 ，共有 条对角线．（用含 的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 对角线．
【解析】（1）经过 点可以做1条对角线；同样，经过 点可以做1条；经过 点可以做1条；经过
点可以做1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．
故答案为：1、1、1、2；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有5条对角线；
图3共有9条对角线，
故答案为：5、9；
（3）探索归纳：
对于 边形 ，共有 条对角线．
故答案为： ；
（4）特例验证：
十边形有 对角线．
故答案为：35．
45．（2022秋•薛城区期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 34如图1，经过 点可以做 条对角线；同样，经过 点可以做 条对角线；经过 点可以做 条
对角线；经过 点可以做 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：对于 边形 ，共有 条对角线．（用含 的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 对角线．
【解析】经过 点可以做 1条对角线；同样，经过 点可以做 1条；经过 点可以做 1条；经过 点可
以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
对于 边形 ，共有 条对角线．
（4）特例验证：
十边形有 对角线．
故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3） ；（4）35．
46．（2022秋•平山县期末）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！
请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 35多边形的顶 4 5 6 7 8
点数
从一个顶点 1 2 3 4 5 ①
出发的对角
线的条数
多边形对角 2 5 9 14 20 ②
线的总条数
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含 的代数式将上面的表格填写完整，其中① ；
② ；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学
之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言
描述你的发现．
【解析】（1）由题可得，当多边形的顶点数为 时，从一个顶点出发的对角线的条数为 ，多边形对
角线的总条数为 ；
故答案为： ， ；
（2） ，
数学社团的同学们一共将拨打电话为 （个 ；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有 个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打 个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为 ；
数学社团有18名同学，当 时， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 36十．圆的认识
47．（2023秋•建邺区校级期末）“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产
的手机一直保持“遥遥领先”；如图是某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为 ，中间小圆的半径
为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含 的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当 时，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）阴影面积： ；
阴影部分的面积为： ；
（2）当 ，原式 ．
故答案为： ．
48．（2024春•张店区校级月考）如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为 ．
（1）求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形；
（2）若圆的半径为 ，请求出这四个扇形的面积．
【解析】（1）如图所示，
一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为 ，
它们所对的圆心角分别为：
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 37，
，
．
（2） 圆的半径为 ，
， ， ， ．
49．如图，从 村到 村有两条路（一条经过 、 、 村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条
路分别是由一个比较大的半圆和四个全等的小半圆组成的）
【解析】设四个小半圆的半径是 ，则大圆的半径是 ，
则走大半圆的路长是 ，
走小半圆的路长是： ．
则两条道路的长度相同．
50．如图是一个圆环，外圆半径 ，内圆半径 ，求这个圆环的面积．
【解析】大圆面积为：
小圆面积为：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 38答案为 ．
十一．扇形面积的计算
51．（2022 秋•章丘区校级期末）如图，圆 的直径为 ，两条直径 、 相交成 角，
， 是 的平分线．
①求 的度数；
②求扇形 的面积．
【解析】① ， ，
，
是 的平分线，
，
两条直径 ， 相交成 角，
；
②扇形 的面积 ．
52．（2023秋•龙马潭区期末）某校要将一块长为 米，宽为 米的长方形空地设计成花园，现有如下两种
方案供选择．
方案一：如图1，在空地上横、竖各铺一条宽为3米的石子路，其余空地种植花草．
方案二：如图2，在长方形空地中留一个四分之一圆和一个半圆区域种植花草，其余空地铺筑成石子路．
（1）分别表示这两种方案中石子路（图中阴影部分）的面积（若结果中含有 ，则保留）．
（2）若 ， ，该校希望多种花草美化校园．请通过计算选择其中一种方案，使种植花草的
空地面积更大并求出种植花草的空地面积是多少？ 取 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 39【解析】（1）图1中石子路的面积，即阴影部分的面积为 ，图2中石子路的面积，即阴影部分
的面积为 ；
（2）当 ， 时， ， ，
所以图2中石子路的面积小，相应种花草的面积大，面积为 ，
答：图2中种植花草的空地面积更大，种植花草的空地面积为 ．
53．（2022秋•宝安区期末）小明、小天和小兰的房间窗户是大小形状完全相同的长方形（宽为 ，高为
，窗户的装饰物如图所示．小明和小天的房间窗户的装饰物，分别由两个四分之一圆和四个半圆组成
（半径分别相同），小兰的房间窗户装饰物由两个直角三角形组成．（窗框面积忽略不计）
（1）小明的房间窗户中（图 能射进阳光的部分的面积 ；
小天的房间窗户中（图 能射进阳光的部分的面积 ；小兰的房间窗户中（图 能射进阳光的部分
的面积 ；
（2）哪个房间采光最好，请说明理由．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 40【解析】（1）根据题意得：
；
；
；
故答案为： ； ； ；
（2） ，
，
，
小天的房间采光最好．
十二．作图—基本作图
54．（2023秋•百色期末）如图，已知 与线段 ，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写
作法）
（1）作 ；
（2）在 的两边分别作 ；
（3）连接 ．
【解析】如图所示：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4155．（2023秋•泗水县期末）（1）如图所示，已知线段 ， ．
①作射线 ；
②在射线 上依次截取 ；
③在线段 上截取 ．
由作图可知 ．（用含 ， 的式子表示）
（2）在（1）的作图基础上，若 ， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点，求线段
的长．
【解析】（1）由作图可知， ， ，
．
故答案为： ；
（2） 为线段 的中点， 为线段 的中点， ， ，
， ，
由（1）可知， ，
．
56．（2023秋•兰州期末）如图，已知同一平面内有四个点， 、 、 、 ．请按要求完成下列问题
（不需要写画法和结论）．
（1）作射线 ；
（2）作直线 ；
（3）分别连接 、 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 42【解析】（1）如图，射线 即为所求．
（2）如图，直线 即为所求．
（3）如图，线段 、 即为所求．
57．（2023秋•合肥期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段 ， ， ．
求作： ，使得 ， ， ．
【解析】如图：
即为所求．
58．（2023秋•伊犁州期末）如图所示，已知线段 ，点 是线段 外一点．
（1）按要求画图，保留作图痕迹；
①作射线 ，作直线 ；
②延长线段 至点 ，使得 ，再反向延长 至点 ，使得 ．
（2）若（1）中的线段 ，求出线段 的长度．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 43【解析】（1）射线 ，直线 、线段 、 为所作；
（2） ，
，
．
59．（2023秋•虞城县期末）如图，在平面内有 ， ， 三点，请按要求完成下列问题：
（1）作直线 、射线 和线段 ；
（2）利用尺规，在线段 的延长线上作线段 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【解析】（1）如图所示，直线 、射线 、线段 即为所求．
（2）如图所示， 即为所求．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 44
