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专题 42 统计大题专项训练（文科）
（核心考点精讲精练）
题型一、用样本估计总体
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个
用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
．试验结果如下：
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产
品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
3．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅱ））某行业主管部门为了解本行业中小企业的生
产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布
表.
的分
组
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（精确到0.01）
附： .4．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅲ））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程
度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组
小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算
出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到 的估计值为 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.5．（2019年北京市高考数学试题（文科））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，
移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校
所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使
用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现
他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于
2000元的人数有变化？说明理由．6．（2019年天津市高考数学试题（文科））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女
教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、
青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的
享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如下
表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
7．某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次
0 1 2 3 4
数
保费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4
频数 60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估
计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））从某企业生产的某种产品中抽取
100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分
[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
组
频数 6 26 38 22 8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要
占全部产品的80%”的规定？
9．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））某公司为了了解用户对其产品的满
意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组
频数 2 8 14 10 6
（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均
值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评
低于70分 70分到89分 不低于90分
分
满意度等
不满意 满意 非常满意
级
估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为了比较两种治疗失眠症的药
（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用
一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘
制茎叶图如下：
（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．
12．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽
取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男
生和女生人数的比例．
13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷））我国是世界上严重缺水的国家，某市
为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月用水量的中位数.
14．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 立方米的部分按4元/立方米收费，超出 立方米
的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米， 至少定
为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 时，估计该市居民该月的人均水费．
15．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））某车间 名工人年龄数据如下表：
年龄（岁） 工人数（人）合计
（1）求这 名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 名工人年龄的茎叶图；
（3）求这 名工人年龄的方差.
题型二、求概率1．（2023年河南省核心模拟卷（中）理科数学（四）试题）某平台为了解某地区不同年龄用户在该平台
观看文娱新闻等的同时是否从平台上推荐的购物车购物的情况，在该地区随机抽取了200人进行调查，调
查结果整理如下：
年龄段 20以下 70以上
购物人数 20 30 26 28 6 8 0
未曾购物人数 10 5 14 12 24 12 5
(1)从被抽取的年龄在 的购物人群中，随机抽取3人进一步了解情况，求这3人年龄都在 的
概率；
(2)视频率为概率，用随机抽样的方法从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在 的人数为 ，
试问当 取何值时， 最大？
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品
(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别
收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接
加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务?
3．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降
价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气
温数据，得下面的频数分布表：最高气
[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不
超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知某校甲、乙、丙三个年级的学生
志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生
工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））电影公司随机收集了电影的有关数据，
经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
数
好评率
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中
只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 ，哪类电影的好评率减少 ，使得
获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））某校夏令营有3名男同学 和3
名女同学 ，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
用表中字母列举出所有可能的结果
设 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件 发生的概率.
7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学试题）投到某杂志的稿件，先由两位初
审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；
若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，
否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各
专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
8．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））某花店每天以每枝5元的价格从农场
购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函
数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润
不少于75元的概率.
9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））经销商经销某种农产品，在一个
销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售
季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以
（单位：t，100≤ ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农
产品的利润.（Ⅰ）将T表示为 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家
A ，A ，A 和3个欧洲国家B ，B ，B 中选择2个国家去旅游.
1 2 3 1 2 3
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A ，但不包括B 的概率．
1 1
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需
使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
12．甲､乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与 ，投中得1分，投不中得0分．
（1）甲､乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（2）甲､乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
13．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双
方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方
得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、
乙的一局比赛中，甲先发球．（I） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
14．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷））一个盒子里装有三张卡片，分别标记
有数字 ， ， ，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取
的卡片上的数字依次记为 ， ， .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率.
15．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））某商场举行有奖促销活动，顾客购买
一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 和1个白球 的甲箱与装有2个红球
和2个白球 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说
明理由．
16．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国大纲卷））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习
赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概
率均为 各局比赛的结果都相互独立，第 局甲当裁判.
（I）求第 局甲当裁判的概率；
（II）求前 局中乙恰好当 次裁判概率.
17．海关对同时从 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单
位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量/件 50 150 100（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
题型三、回归方程
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改
善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些
地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ，
， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， .
2．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））某公司为确定下一年度投入某种产
品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，
对近8年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
量的值.46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））下图是某地区2000年至2016年环境基础
设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据2000
年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据2010年至
2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为了监控某种零件的一条生产线
的生产过程，检验员每隔 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： ）．下面是检
验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次
1 2 3 4 5 6 7 8
序
零件尺
9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04
寸
抽取次
9 10 11 12 13 14 15 16
序
零件尺
10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95
寸
经计算得 ， ，
，其中 为抽取的第 个零件的尺寸， ．
（1）求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行
而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均
值与标准差．（精确到 ）附：样本 的相关系数
， ．5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））下图是我国2008年至2014年生
活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据： ， ，
， ≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷））随着我国经济的发展，居民的储蓄存
款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号 1 2 3 4 5
储蓄存款 （千亿 5 6 7 8 10
元）
（Ⅰ）求y关于t的回归方程
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（ ）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 中7．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，
发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①
与模型；② 作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度x/℃ 20 22 24 26 28 30 32
产卵数y/个 6 10 21 24 64 113 322
400 484 576 676 784 900 1024
1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77
26 692 80 3.57
1157.54 0.43 0.32 0.00012
其中 ， ， ， .
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为： ， .（1）根据表中数据，模型①、②的相关指数计算分别为 ， ，请根据相关指数判断哪个
模型的拟合效果更好.
（2）根据（1）中的判断，在拟合效果更好的模型下求y关于x的回归方程；并估计温度为30℃时的产卵
数.（ ， ， ， 与估计值均精确到小数点后两位）
（参考数据： ， ， ）
8．（2023届陕西省模拟数学（文）试题）下图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020（2021年后代码依次类推）．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2023年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据： ．
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ．9．（2023届河北省模拟考试数学试题）某中药企业计划种植 两种药材，通过大量考察研究得到如下
统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份 2018 2019 2010 2021 2022
年份编号 1 2 3 4 5
单价 （元/公斤） 18 20 23 25 29
药材 的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：
(1)若药材A的单价 （单位：元/公斤）与年份编号 间具有线性相关关系；请求出 关于 的回归直线方
程，并估计2024年药材A的单价；
(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；
(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.
参考公式：回归直线方程 ，其中 .10．（2023年河南省普高联考学期测评（四）理科数学试题）某公司为了解年营销费用x（单位：万元）
对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用 和年销售量 ，得到的散
点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．
表中 ， ， ， ．已知 可以作为年销售量y关于年营销费用x的
回归方程．
(1)求y关于x的回归方程；
(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入
多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益 销售利润 营销费用 固定成本）
参考数据： ， ．
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， ．11．（2023届河南省模拟考试文科数学试题）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数
量有所增加．某研究小组为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地
块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据 ，其中 和 分别
表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，计算得 ， ，
， ．作散点图发现，除了明显偏离比较大的两个样本点 ， 外，其它样
本点大致分布在一条直线附近，为了减少误差，该研究小组剔除了这两个样本点，重新抽样补充了两个偏
离比较小的样本点 ， ．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数
乘以地块数）；
(2)建立地块的植物覆盖面积x（单位：公顷）和这种野生动物的数量y的线性回归方程；
(3)经过进一步治理，如果每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，预测该地区这种野生动物增加的数量．
参考公式：线性回归方程 ，其中 ， ．题型四、独立性检验
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，
随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对
照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，
完成如下列联表
对照
组
试验
组
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增
加量有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.6352．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了
解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.6353．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二
级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级
二级品 合计
品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.8284．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每
天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
人次>400
≤400
空气质量好
空气质量不
好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.8285．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））某商场为提高服务质量，随机调查了50名男
顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.8286．（2023年四川省模拟数学文科试题）跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消
费者使用跑腿服务的主要原因，随着消费者即时需求和节约时间需求提升，跑腿服务将迎来发展期．某机
构随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用跑腿服务的次数，得到每月使用跑腿服务低
于5次的有550人，并将每月使用跑腿服务不低于5次的消费者按照年龄 ， ， ，
进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中年龄不低于35岁的概率；
(2)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数与中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组
区间的中点值为代表）；
(3)把年龄在 的人称为青年，年龄在 的人称为中年，把每月使用跑腿服务低于5次的消费者
称为“使用跑腿服务频率低”，否则称为“使用跑腿服务频率高”，若800名消费者中有400名青年，补
全 列联表，并判断是否有99%的把握认为消费者使用跑腿服务频率的高低与年龄有关?
青年 中年 合计
使用跑腿服务频率
高
使用跑腿服务频率
低
合计
参考公式： ，其中
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.8287．（2023届陕西省模拟文科数学试题）某乒乓球教练决定检验学员某项技能的水平，随机抽取100位学
员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按 ， ， ， ， ， ，
， 分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计该项技术的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图求样本评价指标的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表），若平均数
与中位数之差的绝对值小于1，则认为该项技能的水平有显著稳定性；否则不认为有显著稳定性，请依数
据给出答案；
(3)在选取的100位学员中，其中训练时间不少于1年的（记为 队）与少于1年的（记为 队）人数相同，
若规定评价指标不低于80为优秀，低于80为良好，经统计训练时间不少于1年的有40个学员评价指标为
优秀，请列出 列联表，并判断是否有 的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.6358．（2023届江西省模拟数学（文）试题）某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分
公司员工的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司
的测试成绩分布情况如下：
成绩
频数 5 20 50 20 5
(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；
(2)补充完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.
优秀 不优秀 合计
A地区分公司
B地区分公司 40 60
合计
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.8289．（2023届河南省模拟理科数学试题）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业
合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已
知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定
对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上
（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
“编织巧 非“编织巧
总计
手” 手”
年龄 40岁 19
年龄 40岁 10
总计 40
(1)请完成答题卡上的 列联表，并判断能否有 的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；
(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”
的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中
恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.82810．为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结
果如下（单位：厘米）：
男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.
（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数 （单位：厘米），将男、女生身高不低于 和低于 的
人数填入下表中，并判断是否有 的把握认为男、女生身高有差异？
人数 男生 女生
身高
身高
参照公式：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.假
设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.11．（2023届陕西省质量检测文科数学试题）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，我国作为为
人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒提前做出防控部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医
药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5—21天；②既
往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国
家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察
期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染猴痘病毒的比例较大．对该国家200个密切接触者样
本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
感染猴痘病
未感染猴痘病毒
毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)现从样本中结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，按照是否接种过天花疫苗分层抽取5人，
再从这5人中随机抽取2人，求这2人都接种过天花疫苗的概率．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.63512．微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡
全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化
妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用微信的时间（单位：h）
分成5组： 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；
（2）若每天玩微信超过 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有90%的把握认为
“微信控”与性别有关.
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 ）
题型五、综合考查1．某中学为调查该校学生每周参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动
的时间（单位：小时），将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在 , 内的学生有1人．
(1)求样本容量 ，并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值；
(2)将每周参加社会实践活动时间在[4,12]内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在[0,4)内定义为
“不经常参加社会实践”.已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有13人成绩等级为“优
秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的13人种“经常参加社会实践活动”的有12人.请将2×2列联
表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为青少年科技创新大赛成绩“优秀”与经
常参加社会实践活动有关；
(3)在（2）的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新
班，求其中恰好一人成绩优秀的概率.
参考公式和数据：
.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2．（2023届四川省诊断性考试数学（文）试题）某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现
随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般 良好 合计
男 20 100 120
女 30 50 80
合计 50 150 200
(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6
名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ， .
3．（2023届辽宁省模拟数学试题）2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费
券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些
城市的数据如下表所示.x 3 3 4 5 5 6 6 8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.
(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性
回归方程，预计可以带动多少消费？
（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复
苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的
消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式： ， ， .当 时，两个变量之间具
有很强的线性相关关系.
参考数据： .
4．（2023届新疆维吾尔自治区适应性检测理科数学试题）某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总
人数的70%，为调查该校学生中考前一周每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的
睡眠时间样本数据（单位：小时）．(1)应收集多少位男生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间
为： ， ， ， ， ， ．估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过4小
时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的平均睡眠时间超过4小时，请完成中考前一周日均睡眠时间与性别列联表，
并判断是否有99%的把握认为“该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关”．
附： ．
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
5．（2024届四川省适应性考试（零诊）文科数学试题）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月
8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，
绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就
是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
无兴
有兴趣 合计
趣
男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取2名运动员作进一步采访，求抽取
的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率．
参考公式：
临界值表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷））某大学餐饮中心为了解新生的饮食习
惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜 不喜欢甜品 合计品
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽
取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附： ，
7．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产
任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间
（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工
人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：
，
0.01
0.050 0.001
0
6.63
3.841 10.828
5
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其
频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量
箱产量＜50kg
≥50kg
旧养殖
法
新养殖
法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视
人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且
甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧
的次数.
（I）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
10．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮
乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有 种原料 200 吨， 种原料 360 吨， 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，
产生的利润为 3 万元. 分别用 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
原料
肥料
甲 4 8 3
乙 5 5 10
