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大题突破 04 与基本平面图形有关的 12 种大题专练
一．直线、射线、线段
1．（2023秋•榆中县期末）（1）观察思考
如图，线段 上有两个点 、 ，请分别写出以点 、 、 、 为端点的线段，并计算图中共有多少
条线段；
（2）模型构建
如果线段上有 个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一
共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12．（2023秋•赤坎区校级期末）尺规作图．
如图，已知在平面上有三个点 ， ， ，请按下列要求作图：
（1）作直线 ；
（2）作射线 ；
（3）在射线 上作线段 ，使 ．
3．（2023秋•铁东区期末）如图，在同一平面内有四个点 、 、 、 ，请按要求完成下列问题．
（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线 ；
（2）作直线 与射线 相交于点 ；
（3）分别连接 、 ；
（4）我们容易判断出线段 与 的数量关系是 ，理由是 ．
4．（2023秋•潢川县期末）如图，已知四个点 、 、 、 ，根据下列要求画图：
（1）画线段 ；
（2）画 ；
（3）找一点 ，使 既在直线 上，又在直线 上．
5．（2023秋•顺庆区校级期末）如图，平面上有三个点 ， ， ．
（1）根据下列语句画图：作出射线 ， ，直线 ；在射线 上取一点 （不与点 重合），使
；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2（2）在（1）的条件下，回答问题：
①用适当的语句表述点 与直线 的关系： ；
②若 ，则 ．
6．（2023秋•瑞金市期末）如图，平面上有三个点 ， ， ．
（1）根据下列语句画图：作出射线 ， ，直线 ；用圆规在射线 上截取一点 （不与点 重
合），使 ；
（2）在（1）的条件下，若 ，则 ．
二．两点间的距离
7．（2023秋•东莞市校级期末）如图，线段 ， 是线段 上一点， ， 是 的中
点， 是 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
8．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点 在线段 上，点 ， 分别是 ， 的中点．
（1） ； ；
（2）若 ， ，求线段 的长度；
（3）若线段 ，某同学很轻松地求得 ．他在反思过程中突发奇想：若点 在线段 的延长
线上，原有的结论“ ”是否仍然成立呢？请同学们帮他画出图形分析，并说明理由．
9．（2023秋•长沙期末）如图，线段 ． 是线段 的中点， 是线段 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）在线段 上有一点 ，满足 ，求 的长．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 310．（2023秋•青山湖区校级期末）（1）【特例感知】如图1，已知线段 ， ，点
和点 分别是 ， 的中点．若 ，则 ；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，已知 在 内部转动，射线
和射线 分别平分 和 ；
①若 ， ，求 的度数；
②请你猜想 ， 和 三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（ 3 ） 【 类 比 探 究 】 如 图 3 ， 在 内 部 转 动 ， 若 ， ，
， ，求 的度数．（用含有 的式子表示计算结果）．
11．（2023秋•大洼区校级期末）如图，点 在线段 上， ， ．
（1） ； ．
（2）若点 、 在过线 上，点 在点 的左侧，线段 在线段 上移动， ．
①如图1，当 为 中点时，求 的长；
②点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，画出图形，求 的长．
12．（2023秋•吉州区期末）如图，线段 ，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）若在线段 上有一点 ， ，求 的长．
13．（2023秋•船营区校级期末）如图所示， 为线段 上任意一点， 为 的中点， ，
．（1）图中共有 条线段；
（2）求 的长；
（3）若点 在直线 上，且 ，则 的长为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 414．（2023秋•浦北县期末）综合与探究．
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角
的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相
借鉴．如图1，点 是线段 上的一点， 是 的中点， 是 的中点．
（1）问题探究
①若 ， ，求 的长度；
②若 ， ，则 ．
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知 ，在角的内部作射线 ，再分别作 和
的角平分线 ， ．
③若 ，求 的度数；
④若 ，则 ．
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图 3，若 ，在角的外部作射线 ，再分别作
和 的角平分线 ， ，若 ，则 ．
15．（2023秋•门头沟区期末）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，点 在线段 上， ，点 ， 分别是线段 ， 的中点， ．
求：线段 的长．
解：因为点 是线段 的中点， ，
所以 ．
又因为 ， ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
又因为点 是线段 的中点，所以 ， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 516．（2023秋•久治县期末）（1）如图，点 是线段 的中点．若点 在线段 上，且 ，
，求线段 的长度；
（2）若将（1）中的“点 在线段 上”改为“点 在直线 上”，其他条件不变，请画出相应的示
意图，并求出此时线段 的长度；
（3）若线段 ，点 在线段 上，点 ， 分别是线段 ， 的中点．
①当点 恰好是 的中点时， ；
②当 时， ；
③当点 在线段 上运动时（点 不与点 ， 重合），求线段 的长度．
17．（2023秋•陵川县期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达
点 ，再向左平移4个单位长度到达点 ，最后向右平移10个单位长度到达点 ．
（1）分别写出点 ， ， 表示的数．
（2）若点 在线段 上运动，当 时，求出点 表示的数．
（3）若点 从点 出发，在线段 的延长线上运动， 是 的中点， 是 的中点，试说明
是一个定值．
18．（2023秋•禹州市期末）如图， ， ， ， 四点在同一条直线上，根据图形填空和解答．
（1）图中共有线段 条；
（2） ；
（3）若 是 的中点， ， ，求线段 的长．
19．（2023秋•湘潭县期末）如图， ， 为 的中点，点 在线段 上，且 ．
（1）求线段 的长度；
（2）求线段 的长度．
20．（2023秋•昌平区期末）如图，已知线段 ，点 在线段 的延长线上，且 ， 为线段
的中点．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6（1）求线段 的长；
（2）点 在线段 上，且 ，请判断点 是否为线段 的中点，并说明理由．
21．（2023秋•怀仁市期末）如图，已知线段 ，点 是 的中点，点 是线段上一点， ．
求线段 的长．
22．（2023秋•洮北区期末）如图，已知线段 ， ，点 是 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）在 上取一点 ，使得 ，求线段 的长．
23．（2023秋•温江区校级期末）如图， 是线段 上一点， ， 、 两点分别从 、 出
发以 、 的速度沿直线 向左运动 在线段 上， 在线段 上），运动的时间为 ．
（1）当 时， ，请求出 的长；
（2）若 、 运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长；
（3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的长．
三．比较线段的长短
24．（2023秋•峡江县期末）如图， 、 是线段 上两点，已知 ， 、 分别为
、 的中点，且 ，求线段 的长．
25．（2023秋•城关区校级期末）如图， ， ， 三点在同一直线上，点 在 的延长线上，且
．
（1）请用圆规在图中确定 点的位置；
（2）比较线段的大小： （填“ ”、“ ”或“ ” ；
（3）若 ， ，求 的长．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 726．（2023秋•清原县期末）如图，已知 、 在线段 上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若 ．
①比较线段的长短： （填“ ”“ ”或“ ” ；
②若 ， ， 是 的中点， 是 的中点，求线段 的长度．
四．线段的和差
27．（2023秋•平潭县校级期末）补全解题过程
（1）已知：如图1，点 是线段 的中点， ， ，求 的长；
解：因为 ， ，
所以 ．
因为点 是线段 的中点，
所以 ．
所以 ．
（2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合， ，求 的度数．
解：因为 ， ， ①
所以 ． ②
因为 ，
所以 ．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 828．（2023秋•应城市期末）如图，线段 上有 ， 两点， ， ， ．求
的长．
29．（2023秋•纳溪区期末）如图， 是线段 上一点， ， 、 两点分别从 、 出发以
、 的速度沿直线 向左运动 在线段 上， 在线段 上），运动的时间为 ．
（1）当 时， ，求出 的长；
根据 、 的运动速度知： ， ，
则 ，
，
，即 ，
， ，
，则 ．
（2）当 时， ，根据（1）可得 的长是 ；
（3）若 、 运动到任一时刻时，总有 ，请求出 的长．
五．度分秒的换算
30．（2023秋•吴忠期末）计算： ．
31．（2023秋•孝南区期末）计算：
（1） ；
（2） ．
32．（2023秋•章贡区期末）（1）计算： ；
（2）计算： ．
六．方向角
33．（2024 春•阳谷县期末）如图，射线 的方向是北偏东 ，射线 的方向是北偏西 ，
，射线 是 的反向延长线．
（1）射线 的方向是 ；
（2）求 的度数；
（3）若射线 平分 ，求 的度数．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 934．（2023秋•吉林期末）如图，点 、 、 、 分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点
位于点 的北偏西 ，点 位于点 的北偏东 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，直接写出小华家 相对学校的方向．
35．（2023秋•常宁市期末）如图，已知轮船 在灯塔 的北偏东 的方向上，轮船 在灯塔 的南偏
东 的方向上．
（1）求从灯塔 看两轮船的视角（即 的度数？
（2）轮船 在 的角平分线上，则轮船 在灯塔 的什么方位？
七．角的计算
36．（2023秋•炎陵县期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是 ；（填序号）
（2）在图①中，求 的度数；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10（3）如图①，先用三角板画出了直线 ，然后将一副三角板拼接在一起，其中 角 的顶点与
角 的顶点互相重合，且边 、 都在直线 上（图① ，固定三角板 不动，将三角
板 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 （如图② ，当 平分 时，求旋转角 的度数．
37．（2023秋•泌阳县期末）综合与探究
特例感知：（1）如图1．线段 ， 为线段 上的一个动点，点 ， 分别是 ， 的中
点．
①若 ，则线段 的长为 ．
②设 ，则线段 的长为 ．
知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若 ， 是 内部的一条
射线，射线 平分 ，射线 平分 ，求 的度数．
拓展探究：（ 3）已知 在 内的位置如图 3 所示， ， ，且
， ，求 的度数．（用含 的代数式表示）
38．（2023秋•峨眉山市校级期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点 叠放在一起，
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）猜想 与 的大小关系，并说明理由．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1139．（2023 秋•龙川县校级期末）如图，已知 ， 是 内的一条射线，且
．
（1）求 的度数；
（2）过点 作射线 ，若 ，求 的度数．
40．（2023秋•吉安县期末）如图是正方形纸片 ，分别沿 、 折叠后边 与 恰好重叠于
，求 的大小．
八．角的大小比较
41．（2023秋•承德县期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点 叠放在一起．
（1） （填“ ”“ ”或“ ” ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（4）将三角板 绕点 逆时针旋转一周，请直接写出此时 为多少度时， 与 的大小
是二倍关系．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1242．（2023秋•西平县期末）如图，在同一平面内有任意四个点 、 、 、 ．
（1）按要求补充图形：画出直线 、射线 、 ，连接 ；
（2）若小明在（1）的基础上测量 ， ，求 的度数；
（3）若（1）（2）基础上，小亮又测量 ，比较 与 的大小关系．
43．（2024春•高青县期末）【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1） 与 的大小关系是 ．（填“ ”“ ”或“ ”
（2） 与 之间的数量关系是 ．
【拓展探究】
（3）如图2，若 ，且 ，探索 与 之间的数量关系，并说
明理由．
九．多边形的对角线
44．（2023秋•运城期末）探究归纳题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13（1）试验分析：如图1，经过 点可以作1条对角线；同样，经过 点可以作 条对角线；经过 点
可以作 条对角线；经过 点可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 条对角线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有 条对角线；图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：对于 边形 ，共有 条对角线．（用含 的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 对角线．
45．（2022秋•薛城区期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过 点可以做 条对角线；同样，经过 点可以做 条对角线；经过 点可以做 条
对角线；经过 点可以做 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：对于 边形 ，共有 条对角线．（用含 的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 对角线．
46．（2022秋•平山县期末）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！
请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14多边形的顶 4 5 6 7 8
点数
从一个顶点 1 2 3 4 5 ①
出发的对角
线的条数
多边形对角 2 5 9 14 20 ②
线的总条数
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含 的代数式将上面的表格填写完整，其中① ；
② ；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学
之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言
描述你的发现．
十．圆的认识
47．（2023秋•建邺区校级期末）“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产
的手机一直保持“遥遥领先”；如图是某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为 ，中间小圆的半径
为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含 的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当 时，求图中阴影部分的面积．
48．（2024春•张店区校级月考）如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为 ．
（1）求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形；
（2）若圆的半径为 ，请求出这四个扇形的面积．
49．如图，从 村到 村有两条路（一条经过 、 、 村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15路分别是由一个比较大的半圆和四个全等的小半圆组成的）
50．如图是一个圆环，外圆半径 ，内圆半径 ，求这个圆环的面积．
十一．扇形面积的计算
51．（2022 秋•章丘区校级期末）如图，圆 的直径为 ，两条直径 、 相交成 角，
， 是 的平分线．
①求 的度数；
②求扇形 的面积．
52．（2023秋•龙马潭区期末）某校要将一块长为 米，宽为 米的长方形空地设计成花园，现有如下两种
方案供选择．
方案一：如图1，在空地上横、竖各铺一条宽为3米的石子路，其余空地种植花草．
方案二：如图2，在长方形空地中留一个四分之一圆和一个半圆区域种植花草，其余空地铺筑成石子路．
（1）分别表示这两种方案中石子路（图中阴影部分）的面积（若结果中含有 ，则保留）．
（2）若 ， ，该校希望多种花草美化校园．请通过计算选择其中一种方案，使种植花草的
空地面积更大并求出种植花草的空地面积是多少？ 取 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1653．（2022秋•宝安区期末）小明、小天和小兰的房间窗户是大小形状完全相同的长方形（宽为 ，高为
，窗户的装饰物如图所示．小明和小天的房间窗户的装饰物，分别由两个四分之一圆和四个半圆组成
（半径分别相同），小兰的房间窗户装饰物由两个直角三角形组成．（窗框面积忽略不计）
（1）小明的房间窗户中（图 能射进阳光的部分的面积 ；
小天的房间窗户中（图 能射进阳光的部分的面积 ；小兰的房间窗户中（图 能射进阳光的部分
的面积 ；
（2）哪个房间采光最好，请说明理由．
十二．作图—基本作图
54．（2023秋•百色期末）如图，已知 与线段 ，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写
作法）
（1）作 ；
（2）在 的两边分别作 ；
（3）连接 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1755．（2023秋•泗水县期末）（1）如图所示，已知线段 ， ．
①作射线 ；
②在射线 上依次截取 ；
③在线段 上截取 ．
由作图可知 ．（用含 ， 的式子表示）
（2）在（1）的作图基础上，若 ， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点，求线段
的长．
56．（2023秋•兰州期末）如图，已知同一平面内有四个点， 、 、 、 ．请按要求完成下列问题
（不需要写画法和结论）．
（1）作射线 ；
（2）作直线 ；
（3）分别连接 、 ．
57．（2023秋•合肥期末）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段 ， ， ．
求作： ，使得 ， ， ．
58．（2023秋•伊犁州期末）如图所示，已知线段 ，点 是线段 外一点．
（1）按要求画图，保留作图痕迹；
①作射线 ，作直线 ；
②延长线段 至点 ，使得 ，再反向延长 至点 ，使得 ．
（2）若（1）中的线段 ，求出线段 的长度．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1859．（2023秋•虞城县期末）如图，在平面内有 ， ， 三点，请按要求完成下列问题：
（1）作直线 、射线 和线段 ；
（2）利用尺规，在线段 的延长线上作线段 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19
