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专题 6.5 正、余弦定理
题型一 利用正弦余弦定理进行解三角形
题型二 判断三角形解的个数
题型三 三角形面积及其应用
题型四 判断三角形的形状
题型五 利用正弦定理求外接圆半径
题型六 利用正余弦定理进行边角互化
题型七 解三角形的实际应用
题型一 利用正弦余弦定理进行解三角形
例1．（2022春·福建·高二统考学业考试） 的内角 ，所对的边分别为 ，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在 中， ， ，若该三角
形为钝角三角形，则边 的取值范围是______.
练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在 中，已知 ， ， ，则
角的度数为（ ）
A． B． C． 或 D．
练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在 中，
，点D在边BC上，且 ．(1)求 ；
(2)求线段 的长．
练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在 中，角 ， ， 所对的边
分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求 的值；
(2)若 为边 所在线段上一点，且 ， ， ，求b的值；
练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测） 中， ， ， ， 平
分线与 交于点 ，则 _________.
练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形 中， 与 相交于点O，
平分 ， ， ，则 的值_______.
题型二 判断三角形解的个数
例3．（2022春·高三课时练习）已知在 中， ，若 有两
解，则正数 的取值范围为____________．
例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在 ABC中，角A，B，C
所对的边长分别为a，b，c，且 ， ，若三角形有且只△有一解，则b的取值范
围为___________.
练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，
B，C的对边分别为a，b，c，若 ，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是
（ ）
A． B．3 C．5 D．练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中） 中， .则
满足这样的三角形的个数为（ ）
A．唯一一个 B．两个 C．不存在 D．有无数个
练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在 中， ，角 所对的边
，下列结论正确的为（ ）
A．若 ， 有一个解 B．若 ， 无解
C．若 ， 有两个解 D．若 ， 有一个解
练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在 中， ， ，
分别是角 ， ， 所对的边， ， ，若 有两解，请写出一个满足题意
的 的值：_____.
练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在 中， ，若三角
形有两解，则 的取值范围是（ ） △
A． B．
C． D．
题型三 利用正弦定理求外接圆半径
例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在 中， ， ，
，则 ______.
例6．（2023·北京·高一专题练习）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，AB边上的高为 ，则
（ ）A． B． C． D．
练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在 中，其三边分别为 ， ， 且三角
形的面积 ，则角 __________.
练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小
三角形拼成了如图所示的等边△ ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在 中， 为钝角， ，
是 的平分线， 交 于点 ，且 ， ．
(1)求 的大小；
(2)求 的面积．
练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测） 的内角 ， ， 所对边分
别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为______.
题型四 三角形面积及其应用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在 中， ，则三角
形的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
例8．（2023春·浙江·高三期中）已知 分别是 三内角 的对边，且满足
，则 的是__________三角形．（填三角形的形状特征）
练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在 ABC中，角A，
△
B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 ABC是（ ）
△
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D． 的三角形
练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在
ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
△A．若 ，则
B．若 ABC是锐角三角形，则不等式 恒成立
C．若△ ，则 ABC必是等边三角形
△
D．若 ， ，则 ABC是等边三角形
△
练习18．（2023·上海·高三专题练习）在 中，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，判断 的形状.
练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在 中， ，且 ，
试判断 的形状．
练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，面积为S，若 ， ，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
题型五 判断三角形的形状
例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 为 的外接圆， ， ，
则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角 中， ，
，若 在 上的投影长等于 的外接圆半径R，则R=______.
练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在 中， ， ，则
外接圆的半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知 外接圆的周长为 ， ，
则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 的外接圆半径 ， ，求 的面积．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句
上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画
圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，
如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点 都在圆周上，角
的对边分别为 ， ， ，满足(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长
练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角 中， ， ，若
在 上的投影长等于 的外接圆半径 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
题型六 利用正余弦定理进行边角互化
例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在 中，它的内角
的对边分别为 ，若 ，则 _________．
例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知 的内角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求B；
(2)设 ， ，求 的面积.
练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求△ABC的面积．
练习27．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ，则 （ ）A． B．
C． D．
练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知 中角 的对边分别为
， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 周长．
练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在 中，角 所对的
边分别为 ，c.已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的值；
练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测） 的内角 ， ，
的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则下面四个选项中错误的是
（ ）
A． B．
C． D． 周长的最大值为3
题型七 解三角形的实际应用
例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱
与地面垂直（满足 ），灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，且
，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，
路宽 .设灯柱高 ， .(1)求灯柱的高 （用 表示）；
(2)若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于 的函数表达式，
并求出 的最小值.
例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A
的北偏东 方向上，距离为12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6 海
里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东 方向上，下面
结论正确的有（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 或 D．灯塔C在D的南偏西 方向上
练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算
山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表
相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，
人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如
图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距
BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，
C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度
AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）练习32．（2023春·浙江·高三校联考期中）位于某港口 的小艇要将一件重要物品送到一
艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口 北偏东 且与该港口相距 海里的
处，并正以 海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 海里/时的
航行速度匀速行驶，经过 小时与海轮相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
(2)若经过 小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？
(3)假设小艇的最高航行速度只能达到 海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与
航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.
练习33．（2023春·广东广州·高三西关外国语学校校考期中）如图，某中学校园内的红豆
树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部 在同一水平面的 、
两点，在 点测得红豆树根部 在西偏北 的方向上，沿正西方向步行40米到 处，
测得树根部 在西偏北 的方向上，树梢 的仰角为 ，则红豆树的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
练习34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵
感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，
呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有
固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了 ABD，测得
AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（
△
）
A． B． C． D．
练习35．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）某校学生利用解三角形有关知
识进行数学实践活动. 处有一栋大楼，某学生选（与 在同一水平面的） ､ 两处作为
测量点，测得 的距离为 ， ， ，在 处测得大楼楼顶 的
仰角 为 .
(1)求 两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到 ）
