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专题 6.5 《平面向量》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·泉州鲤城北大培文学校高一期末）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若 与 都是单位向量，则
C． D．若 ，则
【答案】C
【解析】
利用向量的定义和性质判断即可.
【详解】
对于A，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A错误；
对于B， ， 与 的夹角不确定，故B错误；
对于C，由向量数乘的定义可知正确；
对于D， ，说明 与 垂直，故D错误；
故选：C.
2．（2021·河北高一期末）在平行四边形 中，点 是 的中点，点 是 的中点，则 （
）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
由向量的线性运算直接转化求解即可.
【详解】
，
.
故选：B.
3．（2021·湖北高一期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】
由 ，可得 ，求出 的值，从而可求出 的坐标，进而可求出
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
4．（2021·湖南高二期末）在 中， ， 点是 边上的中点， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】A
【解析】
充分利用直角三角形的特点，向量的加减法运算，以及 来求解，将 转化为已知长度的
来计算.
【详解】
， ，则 ．
故选：A
5．（2021·泉州鲤城北大培文学校高一期末）设 ， ，且 ，则锐角 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由向量共线的坐标表示列出关于 的三角函数式，由三角运算求出角 .
【详解】
解：∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为锐角，．
故选：
6．（2021·天津高一期中）在 中，若 ，且 ，则 为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】
由 ，可得 ，得 ，由 可得 ,从而可判断
出三角形的形状
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，
故选：C
7．（2021·湖北高一期末）已知 ， 是不共线的向量， ， ， ，
若 ， ， 三点共线，则实数 的值为（ ）
A． B．10 C． D．5
【答案】A
【解析】
由向量的线性运算，求得 ，根据 三点共线，得到 ，列出方程组，即可求解.
【详解】
由 ， ，
可得 ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
所以存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
所以 ，解得 ， .
故选：A.
8．（2021·湖北高一月考）G是 的重心， 分别是角 的对边，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由G是 的重心，得 ，可令 ，可求得
，再运用余弦定理计算可得选项.
【详解】
因为G是 的重心，所以 ，又 ，可令
，解得 ，所以 ，
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·辽宁高一期中）设向量 ， ，则（ ）
A． B． 与 的夹角是
C． D．与 同向的单位向量是
【答案】BC
【解析】
由条件算出 ， ，即可判断A，算出 的值可判断B，算出 的值可判断C，与 同向
的单位向量是 ，可判断D.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，故A错误
因为 ，所以 与 的夹角是 ，故B正确
因为 ，所以 ，故C正确
与 同向的单位向量是 ，故D错误故选：BC
10．（2021·福建漳州市·高一期末）设向量 、 满足 ，且 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
将等式 两边平方，求出 ，可判断AD选项的正误，利用平面向量数量积可判断BC选项
的正误.
【详解】
，在等式 两边平方可得 ，可得 ，
故A选项正确，D选项错误；
，B选项错误；
，C选项正确.
故选：AC.
11．（2021·湖南高一期中）已知向量 ， 满足 ， ， ，则下列结论中正确的是（
）
A． B． C． D． 与 的夹角为
【答案】BC
【解析】
由 ， ， ，求得 ，再逐项判断.
【详解】
，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ 与 的夹角不是 ，
故选：BC.
12．（2021·湖北高一期中）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．若 ，则存在唯一的实数 ，使得
B．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
C．若 且 ，则
D．若点 为 的垂心，则
【答案】ABC
【解析】
直接利用向量的共线，向量的坐标运算，向量垂直的率要条件，向量的数量积的应用判断A，B，C，D的
结论即可
【详解】
解：对于A，当 时，满足 ，但不满足存在唯一的实数 ，使得 ，所以A错误；
对于B，因为 ， ，所以 ，因为 与 的夹角
为锐角，所以 ，解得 ，而当 时， 与 共线，所以 且，所以B错误；
对于C，由于 ， ，所以当 时，等号成立，所以C错误；
对于D，因为点 为 的垂心，所以 ，所以 ,所以
,同理可得 所以 ，所以D正确，
故选：ABC
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·河北高一期末）已知单位向量 与向量 共线，则向量 的坐标是___________．
【答案】 或 .
【解析】
根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，单位向量 与向量 共线，
则向量 ，即向量 的坐标是 或 .
14．（2021·陕西商洛市·高二期末（理））已知向量 与 垂直，则 ___________.
【答案】
【解析】
由向量垂直的坐标表示求参数 ，再由 即可求值.
【详解】
由题意， ，则 ，
.故答案为：
15．（2021·北京八中高二期末）已知向量 ，且 ，那么 与
的夹角大小是___________.
【答案】
【解析】
根据题意求出 ， ，然后根据平
面向量的夹角公式求解即可.
【详解】
， ，
，
所以 ，
故答案为：
16．（2021·湖南长沙市·长郡中学高一期末）已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边，且 ，点 在边 上，且 ， ，则 的面积最大
值为___________.
【答案】
【解析】
利用余弦定理求得 ，从而求得角 ，然后利用平面向量数量积结合基本不等式求得 的最大
值，然后利用三角形面积公式求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
因为 ，解得 .
因为 ，故 ，
所以
，
由基本不等式可得， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，即 的最大值为 ，
所以 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·湖北高一期中）已知向量 ， .
（1）若向量 ，且 ，求 的坐标；
（2）若向量 与 互相垂直，求实数 的值.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
（1）设 ，利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量 的坐标．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质，代入模即可求出 的值．
【详解】
解：（1）设 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
（2）因为向量 与 互相垂直
所以 ，即 ，
而 ， ，所以 ， ，
因此 ，解得 .
18．（2021·湖南高一期中）在 中， 是 的中点， ， ， .
（1）求 的面积；（2）若 为 上一点，且 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据 为中线可得 ，两边平方后可求 ，求出 后可求三
角形的面积.
（2）根据 三点共线可求 的值.
【详解】
（1）∵ 是 中点，且 ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
而 为三角形内角，故 ，
∴ .
（2）∵ ，且 ， ， 三点共线，
∴ ，解得 .
19．（2021·安徽高二期末（文））已知在 中，角 的对边分别为 ，且， ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（1）利用余弦定理角化边可化简已知等式得到关于 的方程，解方程求得 ；
（2）根据平面向量基本定理可确定 ，利用 可构造方程求得
，进而求得 ，开平方得到结果.
【详解】
（1） ， ，
，解得： （舍）或 ，
.
（2）由 可知： 是 上靠近 的三等分点，
，
，解得：，
， .
20．（2021·湖南高一期中）在条件① ；② ；
③ 中任选一个，补充以下问题并解答：
如图所示， 中内角A､B､C的对边分别为a､b､c，___________，且 ，D在AC上，
.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求AC的长.
【答案】条件选择见解析；（1） ；（2） .
【解析】
若选①，由正弦定理可得 ，化简后再利用余弦定理可求出 ，
；若选②，由 结合 ，可得 ，化简后可得
，从而可求出 ；若选③，对 利用二倍角公式化简
可得 ，再由正弦定理得 ，从而由余弦定理可求出，
（1）由题意可得 为等边三角形，所以 ，然后在 中，利用正弦定理可求出
的值；
（2）设 ，则 ， ，在 中利用余弦定理可求出 ，从
而可求出AC的长
【详解】
解：选①， ，
由正弦定理得， ，
整理得， ，由余弦定理得： ，
由A为三角形内角得， ；
选②， ，
由 得，
因为 ，所以 ，即 ，由于 ，
所以 ，即 ，故 ；
选③， ，
所以 ，整理得， ，
由正弦定理得， ，由余弦定理得， ，由A为三角形内角得， ；
（1）因为 ， ，且 ，
所以 为等边三角形，
所以 ， ， ，
中，由正弦定理得， ，
即 ，
所以 ，
（2）设 ，则 ， ，
中，由余弦定理得， ，
故 ， .
21．（2021·湖北高一期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且
.
（1）求 ；
（2）已知 ，若 为 的中点，且 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由正弦定理把 转化为 可求得 ；
（2）由 ，两边平方可求得 长，从而求得 的面积．
【详解】
解：（1）因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，所以 ，
因为在 中， ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 为 的中点，则 两边平方得，
因为 ， 所以 ，
解得 或 (舍去)，
所以 的面积为 .
22．（2021·湖南高一期末）已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点.（1） .求 ；
（2）当 的周长为2时，求 的大小.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）用基底表示向量，利用向量的运算法则求解即可；
（2） 的周长为2时，设 ， ，计算 、 和 的值，从而求
得 的值．
【详解】
（1）因为 ,
（2）设 ， ， ，其中 、 、 ；
则 ， ， 的周长为 ，
解得
则 ，同理 ；，
，
．
