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小专题01：方程思想解三角形
考点：建立方程解三角形
题型一：利用一个直角三角形建立方程
例1．如图，在 中， ， ， ，线段 的垂直平分线 分别交 、
于 、 两点，则 的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由勾股定理求出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，由勾股定理得出方程，解方程即
可得到 的长及 的长，进而得到 的面积．
【详解】解： ， ， ， ，
线段 的垂直平分线 分别交 、 于 、 两点， ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，解得： ，
， ， 的面积 ．故选： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
题型二：利用两个直角三角形共边建立方程
例2．在 中，
（1）如图1， ， ， ， ，求 的面积；
（2）如图2， ， ， ，求 的面积．【答案】见详解
【分析】（1）已知 三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出 ，然后在直角 中，
应用勾股定理求出 ，则 ，最后根据三角形的面积公式得出 的面积；
（2）过 作 的延长线于点 ，利用勾股定理得出 的长，进而得出 的长解答即可．
【详解】解：（1） ， ， ，
△ 是直角三角形， ， ， ， ，
， 的面积 ；
（2）过 作 的延长线于点 ， ， ，
设 为 ， ， 由 勾 股 定 理 得 ： ，
，
即 ，则 ，解得： ，
， 的面积 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出 是解题的
关键．
题型三：“滑梯问题”中等斜边建立方程
例3．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙 上，测得 ，若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的
底端也下滑 ，则梯子 的长度为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设 ，利用勾股定理用 表示出 和 的长，进而求出 的值，然后由勾股定理求出
的长度．【详解】解：设 ，由题意得： ， ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
在 中，根据勾股定理得： ， ，
解得： ， ，即梯子 的长为 ，故选： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
1．如图所示，一架云梯长 ，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 ，这个梯子的顶端距地面有多高？如
果梯子顶端下滑了 ，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了 吗？
【答案】见详解
【分析】在 中，利用勾股定理可求出 的长度，在 中，利用勾股定理可求出 的长度，
用其减去 的长度即可得出结论．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
， ；
在 △ 中， ， ， ．
故这个梯子的顶端距地面 ；梯子的底端在水平方向上不是滑动了 ，而是滑动了 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．如图，有一块直角三角形纸板ABC，其中∠BCA=90°，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在边
AB上，且点C落在点E处，若AC=6，BC=8，求CD的长．【答案】3
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据折叠的性质得出AE=AC=6，∠DEA=∠BCA=90°，
CD=DE，进而求出BE的长度，然后设CD=DE=x，在Rt BDE中利用勾股定理即可求解．
【详解】 △
解：在Rt ABC中，∠BCA=90°，AC=6，BC=8，
△
由勾股定理得：AB= ，
由折叠可得：AE=AC=6，∠DEA=∠BCA=90°，CD=DE， ∴BE=AB-AE=4，∠DEB=90°，
设CD=DE=x，则BD=8-x，在Rt△BDE中，∠DEB=90°， ，∴ ，
∴x=3，∴CD=x=3．
【点睛】
本题主要考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理和折叠的性质利用方程的思想解题是关键．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用以及折叠的性质，解题关键是利用勾股定理构建方程，列出关系式．
3．如图， 中， ， ， ，求 边上的高 ．
【答案】12
【分析】 为高， 那么题中有两个直角三角形 ． 在这两个直角三角形中， 设 为未知数， 可
利用勾股定理都表示出 长 ． 求得 长， 再根据勾股定理求得 长 ．
【详解】解： 设 ，则 ，在 中， ，
在 中， ，所以有 ，
，解得 ，在 中， ．【点睛】本题考查了勾股定理， 解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点 ． 主要
利用了勾股定理进行解答 ．
4.已知：如图，在 中， ， ， ．求 的面积．
【答案】24
【分析】由勾股定理， ，计算高 的长，进而计算三角形面积即可求解．
【解答】解：过点 作 边上的高 ，
则： ，即： ，
解得： ， ， ， 三角形的面积为24．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，要根据题意明确求解的内容，属于概念类题目．
