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大题突破 03 与整数及其加减有关的 8 种大题专练
一．列代数式
1．（2023秋•蒲城县期末）已知：长为 的铝条，裁下一部分后可以围成一个长方形铝框（部分
数据如图所示）
（1）求裁下的铝条的长；
（2）若裁下的铝条的长为 ，求长方形铝框的周长．
【解析】（1）依据题意得，
；
答：裁下的铝条的长为 ；
（2）解：由题意得， ，
所以 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1所以 ．
答：长方形铝框的周长是 ．
2．（2023秋•遂平县期末）某校为提升生态环境质量，面向全市招募绿化养护公司，已知 、 两家公司
每月每平方米绿化养护费用均为10元，且各自推出了如下收费方案：
公司 ：每月每平方米绿化养护费用均打八折；
公司 ：每月绿化面积在200平方米以内（含200平方米）不打折，超过200平方米的部分每月每平方米
打六折．
设该校每月绿化面积为 平方米．
（1）请用含 的式子分别表示选择 、 两家公司每月所需的绿化养护费用；
（2）如果该校目前每月的绿化面积是600平方米，请通过计算说明选择哪家公司比较合算．
【解析】（1）选择公司 所需的绿化养护费用为： （元 ，
选择公司 所需的绿化养护费用为： （元 ；
（2）当 ，选公司 所需： （元 ，
选公司 所需费用为： （元 ，
因为 ，
所以选择公司 比较合算．
3．（2023秋•丰台区期末）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是 相乘的运算： ，
， ， ；
．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：① ； ；
．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为 10的两个两位数
相乘，十位上的数乘以② 作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是 ，且 为整数），个位上的数是 ，且 为整数），
那么这个两位数可以表示为 ，则另一个两位数可以表示为③ ，上述规律可以表示为④ （用
含 ， 的式子表示）；
．他们尝试对这个规律进行证明：⑤ ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2【解析】①通过观察，两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是 相乘所得积的前两位为乘数
十位乘以比它大1的数所得结果，后两位为乘数个位所得积，
所以可举例得： ；
②由①可得答案为：比它大1的数；
③由前所述另一个两位数的十位为 ，个位为 ，所以答案为：
；
④由前所述答案为：
；
⑤证明：上式左边
上式右边．
4．（2023秋•青岛期末）2023年中国电影票房排名前十的均为国产片，其中《长安三万里》倍受大家喜爱，
某学生团观影时，搭配买了以下三种爆米花套餐：
套餐种类 套餐 套餐 套餐
大桶爆米花 大桶爆米花 圣代 大桶爆米花 可乐 圣
代
20 34 40
价格（元
优惠活动 消费满200元，减20元
消费满300元，减30元
消费满400元，减40元
消费满500元，减50元
已知他们一次性购买了15桶大桶爆米花， 份圣代和6杯可乐．
（1）他们共买了 份 套餐；
（2）若他们共买了8份圣代，求实际花费多少元；
（3）若他们所点的套餐优惠后，实际花费了436元，则 ， 套餐各买了多少份？
【解析】（1）由图表可知，他们共买了6份 套餐，
故答案为：6．
（2） 他们共买了8份圣代，
套餐买了 （份 ， 套餐买了 （份 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3（元 ，
，
实际花费 （元 ．
（3） 购买了15桶大桶爆米花， 份圣代和6杯可乐，
购买套餐 和套餐 共 （份 ．
设购买套餐 为 份，那么购买套餐 为 份，
（元 ，
共优惠了 （元 ．
只有当 时， （元 符合题意，
， 套餐各买了5份和4份．
5．（2023秋•偃师区期末）某班有48名学生，其中有25名男生和23名女生，在某次体育活动时该班分成
甲、乙两组，甲组29人，乙组19人．
（1）若设甲组有男生 人 且 为整数），请你用 的代数式表示：
①甲组女生的人数是 ；
②乙组男生的人数是 ；
③乙组女生的人数是 ．
（2）小强是一个爱动脑筋的学生，他说按上面分组，无论男女如何分，甲组中的男生总比乙组中的女生
多6人，他说得对吗？为什么？
【解析】（1）① 甲组29人，甲组有男生 人，
甲组女生的人数是 人．
② 共有25名男生，甲组有男生 人，
乙组男生的人数是 人．
③ 乙组有19人，由②可知乙组男生的人数是 人，
乙组女生的人数是 人．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4故答案为： ； ； ；
（2）由（1）可知：乙组女生的人数是 人，
，即无论男女如何分，甲组中的男生总比乙组中的女生多6人，
小强说得对．
二．代数式求值
6．（2023 秋•船营区校级期末）如图，在数轴上的 点表示数 ， 点表示数 ， 、 满足
．
（1）点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．
（2）若在原点 处放一挡板，一小球甲从点 处以2个单位 秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点
处以3个单位 秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反
的方向运动，设运动的时间为 （秒 ．
①当 时，乙小球到原点的距离 ；
当 时，乙小球到原点的距离 ．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
（3）现将小球乙看成动点 ，当点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 ， ，试判断
的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．
【解析】（1） ，
， ，
解得 ， ，
则点 表示的数为 ，点 表示的数为5，
故答案为： ，5．
（2）① 点 表示的数为5，
，
当 时，乙小球运动的距离为 ，
则乙小球到原点的距离为 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5当 时，乙小球运动的距离为 ，
则乙小球到原点的距离为 ，
故答案为：2，4；
②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等，
乙小球从点 运动到原点 所需时间为 （秒 ，
当 时，则 ，
解得 ，符合题设；
当 时， ，
解得 ，符合题设；
综上，当 或 时，甲、乙两小球到原点的距离相等．
（3）由（1）可知， ，点 从点 运动到点 ，再从点 运动到点 所需时间为
（秒 ，
点 是 的中点，点 表示的数为5，
点 表示的有理数为 ，
①如图，当 时，则运动 秒后，点 表示的有理数为 ，
，
点 是 的中点，点 表示的数为 ，
点 表示的有理数为 ，
，
；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6②如图，当 时，则运动 秒后，点 表示的有理数为 ，
，
点 是 的中点，点 表示的数为 ，
点 表示的有理数为 ，
，
，
综上， 的值是定值，这个定值为2．
7．（2023秋•樊城区期末）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价
200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的 付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉 台 ．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含 的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付
款 元（用含 的代数式表示）；
（2）若 时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
【解析】（1）若该客户按方案一购买，需付款 元，
若该客户按方案二购买，需付款 元；
故答案为： ； ；
（2）当 时，方案一； （元 ；
方案二： （元 ，
因为 ，
所以按方案一购买较合算．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 78．（2023秋•东阿县期末）某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日两种产品合计生产1500袋，两种产品
的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面 袋．
成本（元 袋） 售价（元 袋）
酸枣面 40 46
黄小米 13 15
（1）用含 的整式表示每天的生产成本，并进行化简．
（2）用含 的整式表示每天获得的利润，并进行化简（利润 售价 成本）．
（3）当 时，求每天的生产成本与每天获得的利润．
【解析】（1） ，
每天的生产成本为 元；
（2） ，
每天获得的利润为 元；
（3）当 时，
每天的生产成本：
（元 ，
每天获得的利润： （元 ．
答：每天的生产成本是35700元，每天获得的利润是5400元．
9．（2023秋•杜尔伯特县期末）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定
价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的 付款．
现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球 桶 ．
（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含 的代数式表示）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8（2）当 时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当 时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
【解析】（1）该客户按方案一需付款： 元；
该客户按方案二需付款： 元；
答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款 元、 元；
（2）当 时，按方案一需付款： （元 ，
按方案二需付款： （元 ，
，
客户按方案一购买较为合算；
（3）能，
先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，
共付款： （元 ，
答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元．
10．（2023秋•雁塔区校级期末）如图，长为 ，宽为 的长方形被分割成7部分，除阴影部分 ， 外，
其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为3．
（1）求小长方形 的长（用含 的代数式表示）；
（2）若 ，你能否求出阴影图形 与阴影图形 的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理
由．
【解析】（1） 小长方形 的宽为3，矩形的长为 ，
小长方形 的长为
小长方形 的长为 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9（2）由图可得阴影图形 的长为 ，宽为 ，
阴影图形 的长为9，宽为 ，
阴影图形 和阴影图形 的周长之和为
，
阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，
当 时，
当 时，阴影图形 与阴影图形 的周长之和为67.2．
11．（2023秋•峨眉山市校级期末）阅读下面材料，回答问题．
在某次作业中有这样的一道题：“如果式子 的值为 ，那么式子 的值是多
少？”小明是这样来解的：原式 ，把等式 的两边同乘 2，得
，
仿照小明的解题方法，完成下面的问题：
（1）如果 ，那么 ；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值；
（4）请你仿照以上各题的解法，解决下列问题：若 ，求如图1和图2所示两个长方形的面积差，
即 的值．
【解析】（1）如果 ，那么 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10故答案为：2018；
（2） ，
，
，
（3） ，
；
（4） ，
．
12．（2023秋•兴隆县期末）如图所示是一个长方形．
（1）根据图中尺寸大小，用含 的代数式表示阴影部分的面积 ；
（2）若 ，求 的值．
【解析】（1）由图形可知：
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11另解：大三角形面积为： ，
小直角三角形的面积为： ，
．
（2）将 代入上式， ．
13．（2023秋•常宁市期末）某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台
定价200元．“ ”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的 付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉 台 ．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含 的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款
元．（用含 的代数式表示）
（2）若 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【解析】（1） （元 ，
（元 ；
故答案为： ； ；
（2）方案一：当 时，原式 （元
方案二：当 时，原式 （元
按方案二购买较为合算
（3）按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉．
总金额为： （元
14．（2023秋•陕州区期末）如图所示，池塘边有块长为 ，宽为 的长方形土地，现在将其余三面
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12留出宽都是 的小路，中间余下的长方形部分做菜地，用含 的式子表示：
（1）菜地的长 ，菜地的宽 ；菜地的周长 ；
（2）求当 时，菜地的周长 ．
【 解 析 】 （ 1 ） 菜 地 的 长 ， 菜 地 的 宽 ， 菜 地 的 周 长 为
，
故答案为： ， ， ；
（2）当 时，菜地的周长 ．
三．合并同类项
15．（2023秋•兰州期末）合并同类项： ．
【解析】 ．
．
16．（2023秋•陆丰市校级期末）化简： ．
【解析】
．
17．（2023秋•阳新县期末）阅读材料：我们知道， ，类似地，我们把
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13看成一个整体，则 ．“整体思想”是中学数学解题中
的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把 看成一个整体，合并 的结果是 ；
（2）已知 ，求 的值．
【解析】（1）把 看成一个整体，
则
；
故答案为： ；
（2） ，
原式 ．
四．多项式
18．（2023秋•徐闻县期末）已知多项式 是关于 的二次多项式，且二次项系数为
，数轴上两点 ， 对应的数分别为 ， ．
（1） ， ，线段 ；
（2）若数轴上有一点 ，使得 ，点 为 的中点，求 的长；
（3）有一动点 从点 出发，以1个单位每秒的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以 个单
位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为 秒 ，点 为线段 的中点，点 为线段
的中点，点 在线段 上且 ，在 ， 的运动过程中，求 的值．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14【解析】（1）由题意知： ， ，
，
的距离为 ；
故答案为 ，20，30；
（2）分两种情况：
①当点 在 之间时，如图1，
， ，
，
是 的中点，
，
；
②当点 在点 的右侧时，如图2，
， ，
，
，
；
综上， 的长是3或75；
（3）由题意得：点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，
， ，
点 在线段 之间，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15为 的中点，
点 表示的数为： ，
是 的中点，
点 表示的数为： ，
，
，
，
点 表示的数为： ，
．
19．（2023秋•临渭区期末）已知关于 ， 的多项式 是七次三项式，且五次项的系
数 是最大的负整数，求代数式 的值．
【解析】因为关于 ， 的多项式 是七次三项式，且五次项的系数 是最大的负整数，
所以 ， ，
解得： ，
所以 ．
20．（2023秋•蒲城县期末）已知多项式 是关于 ， 的七次五项式．求该多
项式的三次项．
【解析】 多项式 是关于 ， 的七次五项式，
，
解得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16关于 ， 的七次五项式为 ，
它的三次项为 ．
21．（2023秋•华阴市期末）已知关于 、 的多项式 是五次四项式 ， 为有理
数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同．
（1）求 ， 的值；
（2）将这个多项式按 的降幂排列．
【解析】（1） 关于 、 的多项式 是五次四项式 ， 为有理数），
，
解得 ，
又 单项式 的次数与该多项式的次数相同，都是5，
，而 ，
解得 ，
答： ， ；
（2）当 ， 时，关于 、 的多项式就是 ，
这个多项式按 的降幂排列为 ．
22．（2023秋•武功县期末）已知关于 、 的多项式 是七次五项式， 是五
次项的系数，求 ， 的值．
【解析】 关于 、 的多项式 是七次五项式，
，
解得： ，
又 是五次项的系数，
．
五．整式的加减
23．（2023秋•于都县期末）如图，学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，其他三面用护栏围起，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17其中长方形停车场的长为 米，宽比长少 米．
（1）用 、 表示长方形停车场的宽；
（2）求护栏的总长度；
（3）若 ， ，每米护栏造价80元，求建此停车场所需的费用．
【解析】（1）依题意得： 米；
（2）护栏的长度 ；
答：护栏的长度是： 米；
（3）由（2）知，护栏的长度是 ，则依题意得：
（元 ．
答：若 ， ，每米护栏造价80元，建此车场所需的费用是18400元．
24．（2023秋•定陶区期末）已知多项式 ， ．求 的值，其中 ．
【解析】 ， ．
，
，
，
．
25．（2023秋•峨眉山市校级期末）化简：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18【解析】
．
26．（2023秋•翠屏区期末）化简：
（1） ；
（2） ．
【解析】（1）
，
（2）
．
27．（2023秋•朝阳区期末）如图，长方形的一组邻边长分别为10， ，在长方形的内部放置
4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形 和长方形 ．
（1）线段 ， 之间的等量关系是 ；
（2）记长方形 的周长为 ，长方形 的周长为 ，对于任意的 值， 的值是否为一
个确定的值？若是一个确定的值，请写出这个值，并说明理由；若不是一个确定的值，请举出反例．
【解析】（1） 等于一个小长方形的宽，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19等于两个小长方形宽，
，
故答案为： ；
（2）设长方形 的 为 、 为 ；长方形 的 为 、 为 ，小长方形的宽为 ．
，
， ，
，
又 ，
，
，
即 ，
又 ，
．
所以 的值是一个确定的值，为40．
28．（2023秋•雁塔区校级期末）计算： ．
【解析】原式
．
29．（2023秋•龙口市期末）已知 ， ；
（1）求 ；
（2）若 的值与 无关，求 的值．
【解析】（1）原式
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20．
（2）原式 ，
由题意可知： ，
．
六．整式的加减—化简求值
30．（2023秋•朝阳区期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【解析】原式
；
当 时，
原式 ．
31．（2023秋•锡山区期末）已知代数式 ， ．
（1）求 ；
（2）当 ， 时，求 的值．
【解析】（1） ， ，
；
（2）当 ， 时，
原式 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2132．（2023秋•宁乡市期末）已知 ， ．
（1）化简 ；
（2）当 ， 时，求 的值．
【解析】（1） ， ，
；
（2） ， ，
．
33．（2023秋•新华区期末）某教辅书中一道整式运算的题参考答案部分印刷不清，形式如下：
解：原式 ．
（1）求印刷不清部分 代表的整式；
（2）当 ， 时，求印刷不清部分 的值．
【解析】（1）
，
（2）当 ， 时，
原式
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22．
34．（2023秋•太和县期末）先化简，再求值 ，其中 ， ．
【解析】原式
；
当 ， 时，
原式 ．
35．（2023秋•石景山区期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【解析】原式
．
当 时，原式 ．
36 ． （ 2023 秋 • 百 色 期 末 ） 先 化 简 再 求 值 ： 若 与 是 同 类 项 ， 求
的值．
【解析】 与 是同类项，
， ，
， ，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2337．（2023秋•文峰区期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解析】
，
当 ， 时，原式
．
38．（2023秋•泗水县期末）先化简，再求值： ，其中， ， ．
【解析】
，
当 ， 时，
原式 ．
39．（2023 秋•兴庆区校级期末）先化简，再求值： ，其中
．
【解析】原式
，
， ， ，
，
， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24， ，
原式 ．
40．（2023秋•于都县期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解析】原式 ，
当 ， 时，原式 ．
41．（2023秋•亭湖区校级期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【解析】
，
当 时，原式 ．
42．（2023秋•定陶区期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解析】原式
，
当 ， 时，
原式 ．
43．（2023秋•南召县期末）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式
的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．
代数式 的值为7，则代数式 的值为_____．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得， 则有 ，
，所以代数式 的值为5．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 25【方法运用】
（1）若代数式 的值为15，求代数式 的值．
（2）若 时，代数式 的值为11，当 时，求代数式 的值．
【拓展应用】
（3）若 ， ．求 的值．
【解析】（1） ，
，
；
（2）当 时， ，
，
当 时： ；
（3） ， ，
．
七．规律型：数字的变化类
44．（2023秋•湘潭县期末）仔细观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 26（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第 个等式： ；
（3）运用上述规律，计算： ．
【解析】（1）由题意可得，
第6个等式： ，
故答案为： ；
（2）由题意可得，
第 个等式： ，
故答案为： ；
（3）
．
45．（2023秋•西城区期末）将有理数 不等于0和 按以下步骤进行运算：
第一步，求相反数；
第二步，求所得的相反数与1的和；
第三步，求这个和的倒数．
如，有理数3按上述步骤运算，得到的结果是 ．
现将有理数2和 分别按上述步骤运算，得到的结果记为 和 ，再将 和 分别按上述步骤运算，得到
的结果记为 和 ，如此重复上述过程，
（1） 的值是 ， 的值是 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 27（2） 的值是 ．
【解析】（1）由题知，
，
，
故答案为： ， ．
（2）由题知，
，
，
，
，
，
，
，
依次类推，这列数按 ， ， 循环出现，
又因为 ，
所以 ．
即 ．
故答案为：24．
46．（2023秋•建水县期末）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做
“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 28我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示．
完成下列任务：
（1）写出 的展开式．
（2）计算： ．
【解析】（1） ，
，
，
，
；
（2）由条件可得：
．
47．（2023秋•灵山县校级期末）幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛
书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示．
（1）①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中使每横行、每竖列以及两条对角线上
的数的和都是15；②把 ， ， ， ，0，1，2，3，4填入如图2的方格中，使每横行、每竖列以及
两条对角线上的数的和都相等；
（2）若把 ， ， ， ， ， ， ， ， 填入如图3的方格中，
使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则每行的和是 （用含 的式子表示）
（3）根据上述填数经验，请把 ， ， ， ， ， ， ， ， 填入如图4的方格中，使每横
行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 29【解析】（1）如图2①和图2②所示，
（2）如图3所示，
每行的和为： ，
故答案为： ；
（3）如图4所示，
．
八．规律型：图形的变化类
48．（2023秋•新华区期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、
对比、总结，找出规律，解答下列问题．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 30（1）摆成图1需要 枚棋子，摆成图2需要 枚棋子，摆成图3需要 枚棋子；
（2）摆成图 需要 枚棋子；
（3）七（1）班有50名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这50枚“棋子”按照以上规律恰好
站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由．
【解析】（1）由图可知：摆成图1需要6枚棋子，摆成图2需要10枚，棋子，摆成图3需要14枚棋子；
故答案为：6，10，14；
（2）由图可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子，
摆成图 需要 （枚 棋子；
故答案为： ；
（3）能；
当 时， ，
能站成，能站成图12；
由图可知，最后一横上的棋子的个数是从3开始的连续的奇数，
，
即：最下面一“横”的学生数是25人．
49．（2023秋•商南县期末）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形并
解答有关问题．
（1）按以上的规律依次铺下去，铺设第四个长方形地面共用多少块白瓷砖？
（2）假如铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖，那么它是第几块长方形地面？
（3）若白瓷砖每块4元，黑瓷砖每块3元，在问题（2）中购买瓷砖共需花多少元？
【解析】（1）通过观察得：第一块地用白色瓷砖： （块 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 31第二块地用白色瓷砖： （块 ；
第三块地用白色瓷砖： （块 ；
第四块地用白色瓷砖： （块 ．
（2）通过观察可知，第一块地瓷砖总数为 （块 ，
第二块地瓷砖总数为 （块 ，
第三块地瓷砖总数为 （块 ，
第四块地瓷砖总数为 （块 ，
第五块地瓷砖总数为 （块 ，
第六块地瓷砖总数为 （块 ，
铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖，它是第六块长方形地面．
（3）第六块地用的黑色瓷砖数为 （块 ，
则白色瓷砖的数为： （块 ，
则购买瓷砖总共需花费为：
（元 ．
答：购买瓷砖共需花246元．
50．（2023秋•吉安县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，
（1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为 ，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为 ，第3个图中
所贴剪纸“〇”的个数为 ，第 个图中所贴剪纸“〇”的个数为 ．
（2）是否存在某个符合上述规律的图案，由2024个“〇”组成，如果有指出是第几个图案；如果没有，
请说明理由．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 32【解析】（1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，
第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为 ，
第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为 ，
第 个图中所贴剪纸“〇”的个数为 ．
故答案为：5，8，11， ；
（2）由题意得 ．
解得 ；
答：存在某个符合上述规律的图案，由2024个“〇”组成，它是第674个图案．
51．（2023秋•蓬莱区期末）下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成．
（1）观察图形，将下面的表格填写完整：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤
黑色小正方 2 4
形个数
白色小正方
形个数
（2）第 个图形中白色小正方形的个数为 ；黑色小正方形的个数为 ；
（3）若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多71个，则这个图形是第几个图形？
【解析】（1）由所给图形可知，
图形中黑色小正方形的个数依次为：2，4，6， ，
所以第 个图形中黑色小正方形的个数为 个．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
图形中白色小正方形的个数依次为：7，11，15， ，
所以第 个图形中白色小正方形的个数为 个．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 33故答案为：6，8，10；7，11，15，19，23．
（2）由（1）知，
第 个图形中黑色小正方形的个数为 个，第 个图形中白色小正方形的个数为 个．
故答案为： ， ．
（3）设第 个图形中白色小正方形比黑色小正方形多71个，
则 ，
解得 ，
即第34个图形中白色小正方形比黑色小正方形多71个．
52．（2023秋•巩义市期末）【观察思考】
第1个图形是1个三条长度都为 的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为 的小三角形拼成的
大三角形；第3个图形是9个边长都为 的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为 的小
三角形拼成的大三角形．
【规律发现】
请用含 的式子填空：
（1）请直接写出第 个图形有 个小三角形；
（2）第 1 个图形共有长度为 的线段 （条 ，第 2 个图形共有长度为 的线段
（条 ，第3个图形共有长度为 的线段 （条 ，第4个图
形共有长度为 的线段 （条 ， ，按此规律，第 个图形中共有长度为
的线段 条；
（3）请类比（2）的探究方法，求第 个图形中共有交点的个数．
【解析】（1）第1个图形小三角形个数为： ；
第2个图形小三角形个数为： ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 34第3个图形小三角形个数为： ；
第4个图形小三角形个数为： ；
，
按此规律，第 个图形中小三角形个数为 ，
故答案为： ；
（2）第1个图形共有长度为 的线段为： （条 ；
第2个图形共有长度为 的线段为： （条 ；
第3个图形共有长度为 的线段为： （条 ；
第4个图形共有长度为 的线段为： （条 ；
，
按此规律，第 个图形中共有长度为 的线段为： 条；
故答案为： ；
（3）如图所示：
第1个图形共有交点： （个 ；
第2个图形共有交点： （个 ；
第3个图形共有交点： （个 ；
第4个图形共有交点： （个 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 35，
按此规律，第 个图形共有交点： ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 36
