第二章核心考点突破训练（93题150页）-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关（原卷版）（北师大版）_new_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_4专题练习_第1套

第二章核心考点突破训练（93 题 150 页） 考点1：函数图象与式子符号、数值的判定 典例：（2022·山东滨州·九年级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，它与x轴的两交点的横坐标分别 是－1，5．对于下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x＝－1，x＝5；③9a－3b＋c＜0；④ 1 2 当x＜2时，y随着x的增大而增大． 其中正确的结论是_________（填写结论的序号）． 巩固练习 1．（2022·河北保定·九年级期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列判断正确的是 （ ）A． B． C． D． 2．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与 y轴交于点C，下列结论不正确的是（ ） A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．3a+c＞0 D．4a+2b+c＜0 3．（2021·四川绵阳·二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐 标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（﹣ ，y）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y＜c 1 1 D．﹣ac+bk＞0 4．（2022·河南平顶山·九年级期末）二次函数 （a，b，c是常数， ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当 时，其对应的函数值 ．有下列结论： ① ；② 和3是关于x的方程 的两个根；③对称轴为 ；④ ；其 中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣ 2）和点（x，y），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞ 0 0 4b；④若 ＞﹣4，则 ＞c．其中正确结论的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2022·云南红河·九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结 论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a﹣b＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正确的是（ ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③ 7．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于 ， 两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ， ④ ．正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2022·云南红河·九年级期末）如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且其与x轴的一 个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：① ；② ；③方程 的两个根是 ， ；④ ；⑤当 时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上有三点 ， ， ，则 ．其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2022·重庆铜梁·一模）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且抛物线经过点 ． 下面给出了四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的是 （ ）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④ 10．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于点C，其中点B的坐标为 ，抛物线的对称轴交 轴于点D， ，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论：① ； ② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信 息： ①c＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③a＋b＋c＜0； ④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n． 其中正确信息的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2021·广东梅州·九年级期末）如图，二次函数 的图象开口向上，图象经过点（－1， 2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，下列四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋b＋c＝0；④a＞1． 其中正确的有________．（填序号） 13．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，二次函数 的图象经过点 、点 、点 ，若点 是抛物线上任意一点，有下列结论：① ；② ；③二次函数 的最小值为 ；④若 ，则 ；⑤一元二次方程 的两个根为 和 ．其中正确结论的是______ 填序号 ． 考点2：二次函数的图像平移问题典例：（2022·云南红河·九年级期末）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且经过点 ． (1)求此二次函数的解析式； (2)直接写出将该函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式． 巩固练习 1．（2022·河北邯郸·九年级期末）抛物线的函数表达式为 时，若将y轴向上平移2个单位 长度，将x轴向右平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 2．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由 的图像经过平移得到函数 的图像呢？ 小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度； 小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度． 对于上述两种说法，正确的是（ ） A．小亮对 B．小丽对 C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对 3．（2022·江西赣州·九年级期末）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后， 得到的抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x＋3）2＋1 B．y＝（x﹣3）2＋1 C．y＝（x＋3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1 4．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平 移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5 5．（2021·海南省直辖县级单位·九年级期中）将抛物线 向左平移1个单位，所得新抛物线的表达 式为（ ） A． B． C． D． 6．（2022·河南驻马店·九年级期末）要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x﹣1）2+3，则抛物线y＝2x2必 须( ) A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位7．（2022·浙江·九年级专题练习）将二次函数y＝ 的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点 为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是（ ） A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝3x2＋2 C． D． 8．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）将抛物线 向上平移1个单位后，得到的抛物线 的解析式是（ ） A． B． C． D． 9．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛 物线的解析式为_______． 10．（2021·河南洛阳·九年级期末）如图为函数 和 的图象，则图中阴影部分的面积为 ___________． 11．（2022·浙江·九年级专题练习）将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2， 5），则4a﹣2b﹣1的值是___． 12．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到的抛物线y，回答下 1 2 列问题： (1)抛物线y 的顶点坐标是什么？ 2(2)阴影部分的面积S＝ ． (3)若再将抛物线y 沿x轴翻折得到抛物线y，求抛物线y 的解析式． 2 3 3 考点3：用待定系数法求二次函数解析式典例：（2022·广西河池·九年级期末）已知抛物线 经过点 ， ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线 经过某种平移后得到 ，请写出这种平移的方法． 巩固练习 1．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2 时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 2．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4， 则a、b的值分别为（ ） A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2 3．（2022·浙江·九年级专题练习）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二 次函数解析式是 __． 4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知y＝y+y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，当x＝1时，y＝6， 1 2 1 2 当x＝3时，y＝8，求y关于x的解析式． 5．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+（km+c），当x＝3时，y＝15；当x＝﹣2时，y ＝5，试求y与x之间的函数关系式． 6．（2022·湖北宜昌·九年级期末）已知二次函数 的图象与x轴交于两点（1，0）、（4， 0）．求这个二次函数的解析式和顶点坐标． 7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数 的图象在 第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式．8．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）已知二次函数 的顶点坐标是 (1，2)，且经过原点(0，0) (1)求该二次函数的解析式； (2)当x=2时，求函数y的值． 9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知抛物线的顶点坐标为 ，它与x轴的一个交点的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出当x取什么值时，y随x的增大而增大？ 10．（2021·福建·厦门外国语学校瑞景分校一模）（1）已知二次函数 ①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向 ②列表，在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象 （2）物线 过 ， 两点，与 轴的交点为 ，求抛物线的解析式．11．（2022·河北邢台·九年级期末）已知抛物线 （m为常数）与y轴的交点为C点． (1)若抛物线经过原点，求m的值； (2)若点 和点 在抛物线上，求C点的坐标； (3)当 ，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式． 考点4：二次函数字母系数的讨论问题 典例：（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）． (1)若a＝1， ①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标； ②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围； ③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n． (2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范 围． 方法或规律点拨 本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． 巩固练习 1．（2022·浙江金华·九年级期末）已知二次函数 （h为常数），当 时，函数y的最大 值为 ，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 2．（2022·河北邢台·九年级期末）对于题目：“已知点A（﹣6，4），B（3，4），若抛物线 与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围”，嘉嘉的结果是 ，淇淇的结果是 ， 则（ ） A．嘉嘉的结果正确 B．淇淇的结果正确 C．嘉嘉、淇淇的结果合在一起才正确 D．嘉嘉、淇淇的结果合在一起也不正确 3．（2022·福建莆田·九年级期末）二次函数 图象 经过点 ， ， ，其 中 ．以下选项错误的是（ ）A． B． C． D． 4．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）已知二次函数 （a是常数）的图象与x轴 没有公共点，且当 时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·湖南湘西·中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上 方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b 与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____． 6．（2022·江苏盐城·中考真题）若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小 于2，则 的取值范围是____________． 7．（2020·吉林长春·二模）抛物线 （ ，n为常数）关于x轴对称的图象记为 ，抛物线 （ ，n为常数）向上平移1个单位得到的图象记为 ，图象 和 记为图象G． (1)当n=1时， ①直接写出图象G的解析式． ②若点D（b，2）在图象G上，求b的值． (2)当n=3时，求图象G对应函数y的最大值． (3)当-3≤x≤3时，函数G的最低点的纵坐标为 ，若-5≤ ＜-1，求n的取值范围． (4)点E坐标为（0，n），过点E作直线l垂直于y轴，若直线l与图象G有两个交点时，直接写出n的取值 范围． 8．（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1） x+a+2（a≠0）． (1)当a＝﹣ 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是______． (3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； (4)已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 考点5：二次函数图象与平行于x轴直线交点问题 典例：（2022·广西贺州·九年级期末）如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线 交于点P，过P作PQ AB交抛物线于点Q（点Q在点P的右侧），过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM的面积． 巩固练习 1．（2022·福建南平·九年级期末）某数学兴趣小组研究二次函数 的图象时，得出如下四个结 论： 甲：图象与x轴的一个交点为 ； 乙：图象与x轴的一个交点为 ； 丙：图象的对称轴为过点 ，且平行于y轴的直线； 丁：图象与x轴的交点在原点两侧； 若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2022·安徽合肥·九年级期末）若二次函数 的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范 围是（ ）A． 且 B． 且 C． D． 3．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线 （m是常数）与x轴仅有一个交点， 且与y轴交于正半轴，则m的值为（ ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，抛物线 的对称轴为直线 ． 关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲： ； 乙：方程 的解为 和3； 丙： ． 下列判断正确的是（ ） A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 5．（2022·浙江台州·九年级期末）把抛物线y=x2-2x-c（c>0）在直线y=c上方部分沿直线y=c对折，若对折 后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c=_______． 6．（2022·河北保定·九年级期末）已知二次函数 ． (1)直接写出抛物线与x轴交点坐标_____、_____；与y轴交点坐标_____；顶点坐标为_____；(2)在给出的平面直角坐标系 中，画出这个二次函数的图象； (3)当 时，y的取值范围是_______． 7．（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）如图，二次函数 的图像与y轴交于点 A，与x轴的负半轴交于点B，且 的面积为6． (1)求A，B两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式； (3)如果点p在坐标轴上，且 是等腰三角形，直接写出p点坐标． 8．（2021·广西河池·九年级期中）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若此抛物线 与直线 的一个交点在 轴上，求 的值． 9．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点A、点 ，与 轴交于点 ， 点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个动点．设点 的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛 物线于点 ．(1)求点A、点 、点 及抛物线的顶点坐标； (2)当点 在线段 上运动时，直线 交 于点 ，试探究 为何值时，四边形 是平行四边形？ 10．（2022·北京四中九年级开学考试）已知，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的解析式为 ． (1)对于任意的常数a，二次函数是否经过定点，若经过，请求出此定点？若不经过，请说明理由； (2)当x≥a时，二次函数的图象记为图象G． ①当图象G与坐标轴有两个不同交点时，求a的取值范围； ②当图象G上恰有3个点到x轴的距离为1时，请直接写出a的取值范围． 11．（2022·天津·九年级期末）如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 点B的坐标为（3，0）． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积； （3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标， 12．（2021·北京师大附中九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2+2x-3．（1）求抛物线的顶点坐标，并将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）求图象与两坐标轴的交点坐标； （3）利用五点描点法，画出函数图象； （4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积； （5）结合图象，完成填空． 当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ； 若y＞0，则x的取值范围是 ； 若y≤0，则x的取值范围是 ； 当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ； 二次函数y＝x2+2x-3关于y轴对称的图象解析式为 ； 二次函数y＝x2+2x-3关于原点对称的图象解析式为 ． 考点6：二次函数与一次函数的交点问题 典例：（2022·全国·九年级）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与两坐标轴分别 相交于A，B，C三点．(1)求证：∠ACB=90°； (2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，求DE+BF的 最大值． 巩固练习 1．（2021·江苏·连云港外国语学校一模）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在 直线y＝ 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 （ ） A．a≤﹣2成a≥1 B． 或﹣2≤a≤1 C．1≤ 或a≤﹣2 D．﹣2≤ 2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知二次函数 的图象与直线 有且只 有一个公共点，且当 时，函数 的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·山东济南·二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的 函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正 比例函数 ，它的相关函数为 ．已知点M，N的坐标分别为 ， ，连接 MN，若线段MN与二次函数 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A(﹣3， 6)， ，则方程 的解是______． 5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线 的顶点坐标为 ，与x轴的一个交点为 ，点A和点B均在直线 上． ① ；② ：③抛物线与x轴的另一个交点时 ； ④方程 有两个不相等的实数根：⑤ ；⑥不等式 的解集 为 ． 上述六个结论中，其中正确的结论是________．（填写序号即可）6．（2021·河南周口·九年级期中）如图，点A，B在函数 的图象上（非原点），直线AB与y轴 交于点C，连接AO，BO， ．设直线OA的解析式为 （m＞0）． (1)求直线AB的解析式 ；（k，b可用含有m的式子表示） (2)求△ABO面积的最小值． 7．（2022·湖南长沙·九年级期末）抛物线 与直线 交于A，B两点． (1)求A，B两点坐标； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出不等式 的解集． 8．（2022·贵州贵阳·三模）如图，二次函数 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知， 点A的坐标为（–1，0）．(1)求这个二次函数图象的顶点坐标； (2)已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系； (3)在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点 的坐标． 9．（2022·全国·九年级）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A，B． (1)求抛物线的解析式． (2)若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标 m的函数解析式，并求S的最大值． 10．（2022·江苏·景山中学三模）阅读感悟： “数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题， 有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问 题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛． 解决问题： 已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线 分别交 轴正半轴和 轴于 点 ， ． (1)判断顶点 是否在直线 上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也经过点 ， ，且 ，结合图象，求 的取值范围； (3)如图2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， 都在二次函数图象上，试比较 与 的大小． 考点7：二次函数与几何图形问题 典例：（2022·上海金山·二模）已知：在直角坐标系中直线 与 轴、 轴相交于点 、 ，抛物线 经过点 和点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如果直线 与抛物线的对称轴相交于点 ，求 的长； (3) 是线段 上一点，过点 作直线 的平行线，与 轴相交于点 ，把 沿直线 翻折，点 的对应点是点 ，如果点 在抛物线上，求点 的坐标． 巩固练习 1．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C 在直线AB上，过点C作 轴于点 ，将 沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上 的点E处．(1)求抛物线解析式； (2)连接BE，求 的面积； (3)拋物线上是否存在一点P，使 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图为函数F： 的图象，若F 和F 的图象关于坐标原 1 1 2 点O（0，0）对称，F 的顶点A关于点O的对称点为点B． 1 (1)求F 的解析式； 2 (2)在F 的图象和直线AB围成的封闭图形上，求平行于y轴的线段的长度的最大值； 1 (3)若F＝ 在F的图象上是否存在点C，使∠ABC＝45°，若存在，求出点C的坐标；若不存在， 请说明理由． 4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴于直 ，连接 ，点E是对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 5．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： (1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； (2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的 函数； (3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那 么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 6．（2022·山东枣庄·九年级期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔 离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了 如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m，设AB的长为xm，矩形区域ABCD的面积 ym2． (1)求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (2)当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度； (3)当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？ 7．（2021·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），点B（3，﹣1）在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是线段AC上一动点，且不与点A、C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M， N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A'MN，设点P的纵坐标为m．当△A'MN在△OAB内 部时，求m的取值范围； (3)将（1）中的抛物线沿着x轴方向平移得到新的抛物线y＝﹣（x﹣h）2+3，当2h＜x＜2h+1时，y有最大 值为2，结合函数图象求h的值． 8．（2022·海南·中考真题）如图1，抛物线 经过点 ，并交x轴于另一点 B，点 在第一象限的抛物线上， 交直线 于点D． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为 时，求四边形 的面积； (3)点Q在抛物线上，当 的值最大且 是直角三角形时，求点Q的横坐标； (4)如图2，作 交x轴于点 ，点H在射线 上，且 ，过 的中点K作 轴，交抛物线于点I，连接 ，以 为边作出如图所示正方形 ，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标． 9．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线y＝ax2+bx-6与x轴交于A（-6，0），B（2，0）两点，与y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与轴x交于点E，连接AC． (1)求抛物线的解析式； (2)连接CE，在抛物线上存在点P，使得∠PEC+∠ACE= ，求出点P的坐标； (3)连接BC，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作BC的平行线 ．在直线 上是否存在点H，使得以点 Q，C，B，H为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 考点8：与二次函数有关的动点问题 典例：（2022·辽宁抚顺·三模）如图，直线 与 轴， 轴交于 ， 两点，抛物线 经过 ， 两点， 是射线 上一动点， 轴交抛物线于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)连接 ， ，点 在线段 上，若 ，求此时点 的坐标； (3)点 从点 出发，沿射线 方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 秒，当 为何 值时， ，请直接写出所有符合条件的 值． 巩固练习1．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同 时从点A出发，速度均为2cm/s，点P沿A－D－C向点C运动，点Q沿A－B－C向点C运动，则△APQ 的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·诸暨市大唐镇初级中学九年级开学考试）如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意 一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函 数图象，则等边△ABC的边长为（ ） A．2 B．2 C．4 D．3 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在 中， ，已知点P在直角边AB上，以 的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以 的速度从点B向点C运动．若点P，Q同 时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是 的面积 与点P的运动时间 之 间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）A． B． C． D． 4．（2022·河南·郑州外国语中学一模）如图， 中， ． ，点D是射线AB 上的动点（点D不与点A、B重合），点E在线段AC的延长线上，且 ．连接DE、BE，在AB的 下方过点D作DF平行且等于BE．设 ．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函 数关系的是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·广西·中考真题）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)求点A，点B的坐标； (2)如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接 ，设点P的纵坐标为m，当 时，求m的值； (3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线 与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 6．（2021·吉林辽源·九年级期末）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，线段AB上一动 点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动△．过点D作DE⊥AB，交折线AC－CB于点E，以DE为一 边，在DE右侧作正方形DEFC．设运动时间为x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG与△ABC重叠部分面积 为y（cm2）． (1)当x＝ s时，点F在BC上； (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． l :y2x6 y3x2 1 7．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线 交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数 bxc的图像经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式． (2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达 式． l :xa l l (3)有一条动直线 2 ，直线 2在AO之间移动（包括A，O两端点），直线 2交抛物线于点Q，当 △QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值． 8．（2022·吉林吉林·一模）如图，Rt  ABC，C 90，A30，BC 2．P，Q两点分别从A，C 同时出发，点P沿折线ABC向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度 Q 3 CA P PD AC 为每秒2个单位长度；点 以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A运动．过点 作 于点 D，以PD，DQ为邻边作矩形PDQE．设运动时间为x秒，矩形PDQE和 ABC重叠部分的图形面积为 y ． (1)当点Q和点D重合时，x______； (2)求 y 关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)在运动过程中，连接PQ，取PQ中点O，连接OC，直接写出OC的最小值． 9．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方 程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位 的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到 点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)求线段CN的长； (2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？ yax2bxc(a0) x 10．（2022·山东济宁·三模）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 A1,0 B3,0 y C0,2 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC．当m 何值时，△BCD的面积最大？最大面积是多少？ (3)如图2，若点N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M ，使得以B，C，M ，N 为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点9：二次函数营销问题 典例：（2022·河北石家庄·九年级期末）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表： 售价x（元/件） 40 50 周销售量y（件） 120 100 周销售利润w（元） 2400 3000 注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）(1)每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）； (2)当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润； (3)若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在 销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润． 巩固练习 1．（2022·浙江金华·九年级期末）种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村 路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩 大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为 kx76k(1x＜20，且x是正整数) y b(20x30，且x是正整数，b是常数)．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知 种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为p kg，利润为W元（利润＝销售收入－成本）． (1)k＝______，b＝______； (2)请写出p关于x的函数关系式： ______； (3)求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2022·河南周口·九年级期末）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元， 售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售 价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60＋x（元/件）（x0即售 价上涨，x0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）． (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ (3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？ 2．（2022·江西赣州·九年级期末）5G提速了，网络丰富了大家的生活！小石通过某平台进行带货直播销 售一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售 单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x 元时（x为正整数），月销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ (3)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 3．（2022·河南新乡·九年级期末）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“精准扶贫”优惠政策，使贫困户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元， 市场调查发现，该产品每天的销售量 y （千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y2x80．设这 种产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销 售价应定为每千克多少元？ 4．（2022·广东湛江·一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩 墩”备受人民的喜爱． 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元 销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解 答以下问题： (1)设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式； (2)设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低 于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？ 5．（2022·安徽滁州·九年级期末）某运动品牌销售商发现某种运动鞋市场需求量较大，经过市场调查发现 yx800 月销售量y（双）与销售单价x（元）之间的函数关系为 ，而该种运动鞋的进价z（元）与销售 1 z x240 单价x（元）之间的函数关系为 ，已知销售商每月支付员工工资和场地租金等费用总计20000 5 元（注：月获利=月销售总额-月进货总价-工资和租金费用） (1)求月获利W（元）与x之间的函数关系式； (2)当销售单价x为何值时，月获利最大，最大值为多少？ (3)若该销售商销售这种品牌运动鞋的月获利不低于2.2万元，请确定销售单价的范围，在此情况下，要使 销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 6．（2022·江苏淮安·九年级期末）某电脑科技公司开发出一种半导体软件，从研发到年初上市后，经历了 从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销 售时间x（月）之间的函数关系，根据图象提供的信息解答下列问题：(1)求y与x之间的函数表达式； (2)截止到几月末公司累计利润达到30万元？ 7．（2022·江苏淮安·九年级期末）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天 销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 (1)直接写出y关于售价x的函数关系式： ； (2)若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ (3)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多 少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 8．（2022·黑龙江大庆·九年级期末）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品 每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出y与x的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 9．（2022·河北唐山·九年级期末）一家门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓进价为a元/个，售价为x元/个（a≤x＜48）． 下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈． ①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润； ②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少 50个． (1)求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变 量x的取值范围； (2)求该门店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的 最大利润； (3)由于特殊情况，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．门店在2月份仍然按照销售 量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给医院，若要使这个月销 售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．