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第二章 有理数及其运算（易错题归纳）
易错点一 认为带“+”的数是正数，带“_”的数是负数
正数前面的“+”可有可无，但负数前面一定带“_”
5
1．下列各数中：5，− ，−3，0，−25.8，+2，负数有（ ）
7
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：5>0，是正数；
5
− <0，是负数；
7
−3<0，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
−25.8<0，是负数；
+2>0，是正数；
5
∴负数有− ，−3，−25.8，共3个．
7
故选：C．
3
2．在15，−0.23，0，5，−0.65，2，− ，316%这几个数中，非负数的个数是（ ）
5
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即0和正数，据此进行判断即
可．
【详解】解：15，0，5，2，316%是非负数，共5个，
故选：B．
易错点二 画数轴时，容易缺少某个要素
数轴必须具备三个要素:原点、正方向和单位长度。
在画数轴时易出现的错误有:(1)缺少正方向;(2)缺少原点;(3)单位长度不统一
3．下列图形中是数轴的是（ ）
1A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位
长度的直线．
【详解】解：A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意；
B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意；
C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意；
D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的三要素：原点，正方向，单位长度．熟记数轴的三要素是解题的关键．数
轴利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误．
【详解】解：A、单位长度不均匀，故错误；
B、正确；
C、数据顺序不对，故错误；
D、没有正方向，故错误．
故选：B．
5．下列四个选项中，所画数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数轴定义，熟记数轴三要素：原点、单位长度和正方向，逐项验证即可得到答案，
熟记构成数轴的三要素是解决问题的关键．
2【详解】解：A、没有原点，所画数轴错误，不符合题意；
B、单位长度不统一，所画数轴错误，不符合题意；
C、数轴上的点表示的数必须是左边小、右边大，所画数轴错误，不符合题意；
D、所画数轴正确，符合题意；
故选：D．
6．如果两数和为正数、下列说法中正确的是（ ）
A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数
C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数
【答案】D
【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正
数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案．
【详解】解：∵两数和为正数，
∴绝对值大的数的符号为正，
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解
题的关键．
7．如果两个数的和是正数，那么（ ）
A．这两个加数都是正数
B．一个加数为正数，另一个加数为0
C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D．以上皆有可能
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可．
【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如1+1=2；
一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如0+2=2；
一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如
−1+3=2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．
易错点三 对绝对值意义理解不透，认为只有正数的绝对值是它本身
正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
38．当|x|=−x时，则x一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=−a．
根据绝对值的意义得到x≤0．
【详解】解：∵|x|=−x，
∴x≤0．
故选：C．
9．已知a=−5，|a|=|b|，则b=（ ）
A．+5 B．−5 C．0 D．+5或−5
【答案】D
【分析】本题考查绝对值，根据|a|=|b|，可得|b|=5，即可求解．
【详解】解：∵a=−5，|a|=|b|，
∴|b|=5，
∴b=±5．
故本题选：D．
易错点四 已知一个数的绝对值求这个数的时，容易漏掉其中一个互为相反数的两个数的绝对值相等，
是同一个数
10．如果|a|=7，|b|=5，a、b异号．试求a−b的值为（ ）
A．2或−2 B．−12或−2 C．2或12 D．12或−12
【答案】D
【分析】本题考查求代数式的值，绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据绝对值的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵|a|=7，|b|=5，a、b异号，
∴a=7，b=−5或a=−7，b=5，
∴a−b=7−(−5)=12或a−b=−7−5=−12．
故选：D．
3
11．一个数的绝对值等于 ，则这个数是（ ）
4
3 3 3 4
A． B．− C．± D．±
4 4 4 3
4【答案】C
3 3
【分析】本题考查绝对值的定义．根据题意，一个数的绝对值等于 ，则这个数是± 即可．
4 4
3
【详解】解：∵一个数的绝对值等于
4
3
∴这个数是± ．
4
故选：C．
易错点五 在进行有理数加法运算时，容易忽略符号
在进行有理数加法运算时，可分为两步:1.确定符号;2.进行运算
12．将5−(+6)−(−7)+(−8)写成省略正号和括号的形式，正确的是（ ）
A．5−6+7−8 B．5−6−7−8 C．5−6+7+8 D．5−6−7+8
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可．
【详解】解：5−(+6)−(−7)+(−8)=5−6+7−8．
故选：A．
13．计算：
(1)(+7)+(−6)+(−7)；
(2)13+(−12)+17+(−18)；
( 3) ( 5 ) 5 ( 7 )
(3) − + − + + − ；
2 12 2 12
7 ( 7)
(4)(−20)+3 +20+ − ；
9 9
( 1)
(5)(−3.75)+2+ −1 ；
4
(6)5.6+(−0.9)+4.4+(−8.1)．
【答案】(1)−6
(2)0
(3)0
(4)3
5(5)−3
(6)1
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
（1）利用加法交换律计算即可；
（2）利用加法交换律和结合律计算即可；
（3）利用加法交换律和结合律计算即可；
（4）利用加法交换律和结合律计算即可；
（5）利用加法交换律计算即可；
（6）利用加法交换律和结合律计算即可．
【详解】（1）解：(+7)+(−6)+(−7)
=(+7)+(−7)+(−6)
=0+(−6)
=−6；
（2）解：13+(−12)+17+(−18)
=(13+17)+[(−12)+(−18)]
=30+(−30)
=0；
( 3) ( 5 ) 5 ( 7 )
（3）解： − + − + + −
2 12 2 12
[( 3) 5] [( 5 ) ( 7 )]
= − + + − + −
2 2 12 12
=1+(−1)
=0；
7 ( 7)
（4）解：(−20)+3 +20+ −
9 9
=¿
=0+3
=3；
6( 1)
（5）解：(−3.75)+2+ −1
4
[( 3) ( 1)]
= −3 + −1 +2
4 4
=−5+2
=−3；
（6）解：5.6+(−0.9)+4.4+(−8.1)
=(5.6+4.4)+[(−8.1)+(−0.9)]
=10+(−9)
=1．
14．用适当的方法计算：
(1)0.34+(−7.6)+(−0.8)+(−0.4)+0.46；
(2)(−18.35)+(+6.15)+(−3.65)+(−18.15)．
【答案】(1)−8
(2)−34
【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则．
（1）利用结合律简便计算法计算；
（2）利用结合律简便计算法计算．
【详解】（1）解：0.34+(−7.6)+(−0.8)+(−0.4)+0.46
=(0.34+0.46)+(−0.8)+[(−0.4)+(−7.6)]
=0.8+(−0.8)+(−8)
=−8；
（2）(−18.35)+(+6.15)+(−3.65)+(−18.15)
=(−18.35)+(−3.65)+[(−18.15)+6.15]
=−22+(−12)
=−34．
易错点六 认为两数之和一定大于每一个加数
7两正数相加时，两数之和一定大于每一个加数;但是，两有理数相加数之和不一定大
于每一个加数。
15．如果两数和为正数、下列说法中正确的是（ ）
A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数
C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数
【答案】D
【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正
数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案．
【详解】解：∵两数和为正数，
∴绝对值大的数的符号为正，
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解
题的关键．
16．如果两个数的和是正数，那么（ ）
A．这两个加数都是正数
B．一个加数为正数，另一个加数为0
C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D．以上皆有可能
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可．
【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如1+1=2；
一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如0+2=2；
一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如
−1+3=2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．
易错点七 将有理数减法转化为加法时，符号易错。
将有理数减法转化为加法的法则是:减去一个数，等于加上这个数的相反数。
17．计算：(−7)−(−10)−(−8)−(−2)．
【答案】13
8【分析】本题考查了有理数的减法，熟记其运算法则是解题的关键．减去一个数，等于加上这个数的
相反数，由此计算即可．
【详解】解：(−7)−(−10)−(−8)−(−2)
=−7+10+8+2
=13．
18．计算：
(1)(−72)−(−37)−(−22)−17
(2)(−16)−(−12)−24−(−18)
(3)23−(−76)−36−(−105)
(4)(−32)−(−27)−(−72)−87．
【答案】(1)−30
(2)−10
(3)168
(4)−20
【分析】本题考查了有理数的减法运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法变为加法；
二是减数变为其相反数．掌握有理数减法运算法则是解题的关键．
（1）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（2）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（3）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
（4）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成．
【详解】（1）解：(−72)−(−37)−(−22)−17
=−72+37+22−17
=59−89
=−30．
（2）解：(−16)−(−12)−24−(−18)
=−16+12−24+18
=30−40
=−10．
（3）解：23−(−76)−36−(−105)
=23+76−36+105
=128+40
9=168．
（4）解：(−32)−(−27)−(−72)−87
=−32+27+72−87
=40−60
=−20．
易错点八 将有理数加减混合运算统一成加法运算时，符号容易出错
进行有理数加减混合运算时，应先用有理数的减法法则把加减法统一为加法然后再写成省略加号、括
号的和的形式。
19．计算：
( 2) ( 3) 2
(1) −3 − −2 +3 −(+5.75)；
3 4 3
(2)(−13)+(−7)−(+20)−(−40)+(+16)．
( 5) ( 2) ( 1) ( 1)
(3) + + − + +1 + − ；
6 3 6 3
(4)(+1.9)+3.6−(−10.1)+1.4．
【答案】(1)−3
(2)16
(3)1
(4)17
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解．
( 2) ( 3) 2
【详解】（1）解： −3 − −2 +3 −(+5.75)
3 4 3
2 3 2
=−3 +2 +3 −5.75
3 4 3
102 2 3
=(−3 +3 )+(2 −5.75)
3 3 4
=0−3
=−3；
（2）解：(−13)+(−7)−(+20)−(−40)+(+16)
=−13−7−20+40+16
=16；
( 5) ( 2) ( 1) ( 1)
（3）解： + + − + +1 + −
6 3 6 3
5 2 1 1
= − +1 −
6 3 6 3
=2−1
=1；
（4）解：(+1.9)+3.6−(−10.1)+1.4
=1.9+3.6+10.1+1.4
=17．
20．计算：
| 1|
(1)|−3.2|+|0−5|− 1+2
5
(2)0−(+2)−(−1)+(+4)−(−5)
(3)−4−(−3)−(+2)+(−6)
( 7) ( 1) ( 2)
(4)(−3.125)+(+4.75)+ −9 + +5 + −4
8 4 3
【答案】(1)5
(2)8
(3)−9
2
(4)−7
3
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
（1）先去绝对值，再进行计算即得结果；
（2）先去括号，然后进行有理数的加减运算即得结果；
11（3）先去括号，然后进行有理数的加减运算即得结果；
（4）先去括号，然后根据加法的结合律进行有理数的加减运算即得结果．
| 1|
【详解】（1）解：|−3.2|+|0−5|− 1+2
5
=3.2+5−3.2
=5；
（2）解：0−(+2)−(−1)+(+4)−(−5)
=0−2+1+4+5
=8；
（3）解：−4−(−3)−(+2)+(−6)
=−4+3−2−6
=−9；
( 7) ( 1) ( 2)
（4）解：(−3.125)+(+4.75)+ −9 + +5 + −4
8 4 3
7 1 2
=−3.125+4.75−9 +5 −4
8 4 3
( 7) ( 1) 2
= −3.125−9 + 4.75+5 −4
8 4 3
2
=−13+10−4
3
2
=−7 ．
3
易错点九 使用运算律交换位置时，漏移符号
进行有理数加减混合运算时，为简化计算过程，常用到加法交换律和结合律。
在交换位置时，要连同加数的符号一起交换。
21．计算
(1)31+(−28)+28+69；
( 2) ( 1) 1 ( 1)
(2) −4 + −3 +6 + −2 ；
3 3 2 4
12( 1) 1
(3)(−5)− − +7 ；
2 3
( 6) 7
(4)(−12)− − +(−8)− ．
5 10
【答案】(1)100
3
(2)−3
4
5
(3)2
6
1
(4)−19
2
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算：有理数加减法统一成加法．利用运用加法的运算律是解
决问题的关键．
（1）先写成省略括号的和的形式，然后利用加法的交换律进行取整计算；
（2）先写成省略括号的和的形式，再进行同分母的加减运算，最后进行减法运算；
（3）先写成省略括号的和的形式，再化成同分母，然后进行加减运算；
（4）先写成省略括号的和的形式，再进行整数与整数的加减运算和分数的减法运算，然后利用加法
计算．
【详解】（1）解：原式=31−28+28+69
=(31+69)+(−28+28)
=100；
2 1 1 1
（2）原式=−4 −3 +6 −2
3 3 2 4
2 1 2 1
=−4 −3 +6 −2
3 3 4 4
1
=−8+4
4
1
=−8+4+
4
3
=−3
4
13( 1) 1
（3）(−5)− − +7
2 3
1 22
原式=−5+ +
2 3
30 3 44
=− + +
6 6 6
17
=
6
5
=2
6
6 7
（4）原式=−12+ −8−
5 10
12 7
=−12−8+ −
10 10
5
=−20+
10
1
=−20+
2
1
=−19
2
22．计算：
(1)5.6+(−0.9)+4.4+(−8.1)+(−1)；
(2)−23+18−1−15+23；
2 5 ( 2) 1
(3) +1 − − + ．
9 6 9 2
【答案】(1)0
(2)2
25
(3)
9
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则
是解题的关键．
（1）根据有理数的加法运算律计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算法则结合加法运算律计算，即可求解；
14（3）根据有理数的加减混合运算法则结合加法运算律计算，即可求解．
【详解】（1）解：原式=(5.6+4.4)+[(−0.9)+(−8.1)+(−1)]
=10+(−10)
=0；
（2）解：原式=(−23+23)+18−(1+15)
=0+18−16
=2；
2 11 2 3
（3）解：原式= + + +
9 6 9 6
(2 2) (11 3)
= + + +
9 9 6 6
4 14
= +
9 6
8 42
= +
18 18
25
= ．
9
易误点十 多个有理数相乘时，积的符号容易出错
在进行有理数乘法运算时，积的符号是由负因数的个数决定的
23．下列式子中，积的符号为负的是（ ）
( 1) ( 1) ( 1) ( 4) ( 1)
A． − × + ×(−6) B．(−9)× + × − ×(+7)× −
3 4 8 7 3
( 1) ( 1) ( 2) ( 1)
C．(−3)× − ×(+7)×0 D． − ×(+6)× − ×(−5)× −
2 5 3 2
【答案】B
【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．
几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的
个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零．
根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案．
【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意．
15B、有三个负因数，积为负，故B符合题意．
C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意．
D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意．
故选：B．
24．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（ ）
A．1个 B．3个
C．1或3或5个 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数
相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为
负，即可得解．
【详解】解：∵ 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个，
∴ 正因数的个数可能为4个或2个或0个．
故选：D．
25．计算：
(1)(−5)×8×(−7)×(−0.25)；
( 5 ) 8 1 ( 2)
(2) − × × × − ；
12 15 2 3
( 5) 8 3 ( 2)
(3)(−1)× − × × × − ×0×(−1)．
4 15 2 3
【答案】(1)−70
2
(2)
27
(3)0
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0．
【详解】（1）(−5)×8×(−7)×(−0.25)
=−5×8×7×0.25
=−70；
16( 5 ) 8 1 ( 2)
（2） − × × × −
12 15 2 3
5 8 1 2
= × × ×
12 15 2 3
2
= ；
27
( 5) 8 3 ( 2)
（3）(−1)× − × × × − ×0×(−1)
4 15 2 3
=0．
26．计算：
(1)(−4)×(−18)×(−25)；
( 1 )
(2)100× − ×10×0.01；
10
(3)(−40)×(−1)×(−3)×(−0.5)；
( 3) ( 5) 4 ( 6)
(4) − × − × × − ．
4 6 3 5
【答案】(1)−1800
(2)−1
(3)60
(4)−1
【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键．
（1）利用乘法交换律，结合律计算即可；
（2）利用乘法交换律，结合律计算即可；
（3）利用乘法交换律，结合律计算即可；
（4）利用乘法交换律，结合律计算即可．
【详解】（1）解：原式=[(−4)×(−25)]×(−18)
=100×(−18)
=−1800；
17[( 1 ) ]
（2）解：原式=(100×0.01)× − ×10
10
=1×(−1)
=−1；
（3）解：原式=[(−40)×(−0.5)]×[(−1)×(−3)]
=20×3
=60；
[( 3) (4)] [( 5) ( 6)]
（4）解：原式= − × × − × −
4 3 6 5
=(−1)×1
=−1．
27．计算：
3
(1)− ×0.125×(−14)×13×(−0.8)
7
( 5 ) ( 8 ) ( 1 ) ( 3)
(2) − × − × −2 × −
11 13 5 4
【答案】(1)−7.8
6
(2)
13
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算：
（1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可．
3
【详解】（1）解：− ×0.125×(−14)×13×(−0.8)
7
3 1
=− × ×(−14)×13×(−0.8)
7 8
=−7.8；
( 5 ) ( 8 ) ( 1 ) ( 3)
（2）解： − × − × −2 × −
11 13 5 4
18= ( − 5 ) × ( − 8 ) × ( − 11 ) × ( − 3)
11 13 5 4
6
= ．
13
28．计算下列各式：
( 1)
(1)(−8)×9×(−1.25)× − ；
9
( 4) 1
(2)(−5)×6× − × ；
5 4
( 7)
(3)(−0.25)× − ×4×(−18)；
9
5 ( 9) ( 1)
(4)−3× × − × − ；
6 5 4
3 ( 4) 7 5
(5) × − × × ；
7 5 12 8
( 4) 5
(6)(−8)× − ×(−1.25)× ．
3 4
【答案】(1)−10
(2)6
(3)−14
9
(4)−
8
1
(5)−
8
50
(6)−
3
【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．
（1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；
（2）先确定符号，再用约分即可得答案；
19（3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；
（4）先确定符号，再用约分即可得答案；
（5）先确定符号，再用约分即可得答案；
（6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；
( 1)
【详解】（1）(−8)×9×(−1.25)× −
9
1
=−8×1.25×9×
9
=−10；
( 4) 1
（2）(−5)×6× − ×
5 4
4 1
=5× ×6×
5 4
1
=4×6×
4
=6；
( 7)
（3）(−0.25)× − ×4×(−18)
9
7
=−0.25×4× ×18
9
=−14；
5 ( 9) ( 1)
（4）−3× × − × −
6 5 4
5 9 1
=−3× × ×
6 5 4
9
=− ；
8
3 ( 4) 7 5
（5） × − × ×
7 5 12 8
3 4 7 5
=− × × ×
7 5 12 8
201
=− ；
8
( 4) 5
（6）(−8)× − ×(−1.25)×
3 4
4 5
=−8× ×1.25×
3 4
50
=− ．
3
易误点十一 运用乘法对加法的分配律时，容易漏乘“-”
(7 5 1)
29．计算： − + ×(−36)
4 12 6
【答案】−54
【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行乘法运算，再相加减即可求解，掌握有
理数的运算法则和运算律是解题的关键．
7 5 1
【详解】解：原式= ×(−36)− ×(−36)+ ×(−36)
4 12 6
=−63+15−6，
=−54．
5 3 7
30．计算(1− + − )×(−24)．
6 8 12
【答案】1
【分析】本题考查的是有理数的乘法，把括号中的每一项分别乘(−24)，再把结果相加减即可．
5 3 7
【详解】解：(1− + − )×(−24)
6 8 12
5 3 7
=1×(−24)− ×(−24)+ ×(−24)− ×(−24)
6 8 12
=−24+20−9+14
=1
(4 5 1)
31．用简便方法计算：−36× − +1 ．
9 6 3
【答案】−34
21【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法分配律；
利用乘法分配律进行计算即可．
4 5 4
【详解】解：原式=−36× +36× −36×
9 6 3
=−16+30−48
=−34．
易误点十二 连除违背运算顺序
当两个以上的数连除时，应该按照从左到右的顺序依次进行
32．计算：
( 3) ( 3)
(1)−3÷ − ÷ − ；
4 4
( 1)
(2)(−12)÷(−4)÷ −1 ；
5
( 2) ( 8)
(3) − ÷ − ÷0.25；
3 7
( 1) ( 3 )
(4) −2 ÷(−5)÷ − ．
2 10
16
【答案】(1)−
3
5
(2)−
2
7
(3)
3
5
(4)−
3
【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
22（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
( 3) ( 3)
【详解】（1）解：−3÷ − ÷ −
4 4
( 4) ( 4)
=−3× − × −
3 3
16
=− ；
3
( 1)
（2）解：(−12)÷(−4)÷ −1
5
( 1) ( 5)
=(−12)× − × −
4 6
( 5)
=3× −
6
5
=− ；
2
( 2) ( 8)
（3）解： − ÷ − ÷0.25
3 7
( 2) ( 7)
= − × − ×4
3 8
7
= ；
3
( 1) ( 3 )
（4）解： −2 ÷(−5)÷ −
2 10
( 5) ( 1) ( 10)
= − × − × −
2 5 3
5
=− ．
3
33．计算：
23( 1)
(1)(−6)÷(−4)÷ −1 ；
5
[( 1 ) ( 1 )]
(2)(−16)÷ − ÷ − ；
16 64
( 2) 4 ( 1)
(3)(−5)÷ −1 × × −2 ÷7．
7 5 4
5
【答案】(1)−
4
(2)−4
(3)−1
【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可；
（2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可；
（3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可．
( 1)
【详解】（1）解：(−6)÷(−4)÷ −1
5
( 6)
=− 6÷4÷
5
( 1 5)
=− 6× ×
4 6
5
=− ；
4
[( 1 ) ( 1 )]
（2）解：(−16)÷ − ÷ −
16 64
( 1 )
=(−16)÷ ×64
16
=−16÷4
=−4；
24( 2) 4 ( 1)
（3）解：(−5)÷ −1 × × −2 ÷7
7 5 4
( 7) 4 ( 9) 1
=(−5)× − × × − ×
9 5 4 7
7 4 9 1
=−5× × × ×
9 5 4 7
=−1．
易误点十三 进行有理数除法运算时，误用乘法运算律进行有理数除法运算，特别是除
数是几个数的和的形式时，容易先用除以括号里的各项，然后相加减。
( 1 ) ( 1 2 3)
34．利用倒数的意义完成计算： − ÷ − + −
24 2 3 4
1
【答案】
14
( 1 2 3) ( 1 )
【分析】先计算 − + − ÷ − ，再把除法转化为乘法，再利用分配律进行简便运算，最后
2 3 4 24
取结果的倒数即可得到答案．
( 1 2 3) ( 1 )
【详解】解：∵ − + − ÷ −
2 3 4 24
( 1 2 3)
= − + − ×(−24)
2 3 4
1 2 3
=− ×(−24)+ ×(−24)− ×(−24)
2 3 4
=12−16+18
=14．
( 1 ) ( 1 2 3) 1
∴ − ÷ − + − = ．
24 2 3 4 14
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，利用倒数的含义计算有理数的除法运算是解本题的关键．
25(1 1 1 )
35．计算：50÷ − +
3 4 12
【答案】300
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．求出原式的倒数，即可求解．
(1 1 1 )
【详解】解：原式的倒数为 − + ÷50
3 4 12
(1 1 1 ) 1
= − + ×
3 4 12 50
1 1 1 1 1 1
= × − × + ×
3 50 4 50 12 50
1
=
300
故原式=300
易误点十四 进行分数乘方运算时，容易出错
分数乘方时，分子的乘方为分子，分母的乘方为分母。底数是负数时，要根据乘方的次
数决定符号。
(2) 3 ( 2) 3 23
36．计算： = ； − = ； = ．
3 3 3
8 8 8 2
【答案】 − /2
27 27 3 3
【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解决问题的关键．
(2) 3 23 8
【详解】解： = = ；
3 33 27
( − 2) 3 =(−1) 3× (2) 3 =− 8 ；
3 3 27
23 8
= ；
3 3
8 8 8 2
故答案为： ；− ； 或2 ．
27 27 3 3
2637．计算：
( 3) 2
(1) − ；
5
(3) 4
(2) ．
5
9
【答案】(1) ；
25
81
(2) ．
625
【分析】（1）根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行即可；
（2）根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行即可；
本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正
整数次幂都是0．
( 3) ( 3)
【详解】（1）原式= − × −
5 5
9
= ；
25
3 3 3 3
（2）原式= × × ×
5 5 5 5
81
= ．
625
易误点十五 对幂的意义理解不透而带错符号
在进行幂的有关运算时，区分(-4)"与-a”(a为非0有理数)，前者是"个(-@)相乘，后者是
a"的相反数。
38．对于式子(−2) 3，下列说法不正确的是（ ）
A．指数是3 B．底数是−2 C．结果为−8 D．表示3与−2相乘
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答．
27【详解】解：式子(−2) 3中：
指数是3，故A选项正确；
底数是−2，故B选项正确；
结果为−8，故C选项正确；
表示3个−2相乘，故D选项错误；
故选D．
39．−53的意义是（ ）
A．−5乘以3 B．53的相反数 C．3个−5相乘 D．3个−5相加
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方和有理数的乘法，相反数，解题的关键是掌握有理数的乘方和有理
数的乘法，相反数的定义．利用有理数的乘方，有理数的乘法，相反数的定义判断．
【详解】解：−53的意义是53的相反数，
只有选项B符合题意，
故选：B．
40．−26表示的意义是（ ）
A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘
C．6个2相乘的相反数 D．6个−2相乘
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的定义．
根据有理数乘方的定义解答可得．
【详解】解：−26表示的意义是6个2相乘的积的相反数，
故选：C．
41．(−5) 3的意义是（ ）
A．−3乘以5 B．5个−3相乘 C．−5乘以3 D．3个−5相乘
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方和定义可直接得出答案．解题的关键是掌握乘方
的定义．
【详解】解：(−5) 3的意义是3个−5相乘．
故选：D．
28易误点十六 把用科学计数法表示的数还原为原数时出错
还原时误以为10的几次方，后面就有几个0，或位数不够时漏补0。应该是n是几，就把
小数点向右移几位。
42．“贵州特色”营养餐惠及农村娃．贵州省农村学生营养改善计划启动实施近5年来，目前已实现
全省87个县全覆盖，1.25万所学校近400万农村娃，4000000用科学记数法表示为（ ）
A．4×106 B．4×107 C．0.4×107 D．40×105
【答案】A
【分析】本题主要考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定
义：把一个数表示为a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法，当
表示的数的绝对值大于10时，1≤|a|<10，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表
示的数的绝对值小于1时，1≤|a|<10，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包
括小数点前面的那个0）的个数的相反数．
根据科学记数法的表现形式a×10n解答即可．
【详解】解：4000000=4×106．
故选：A．
43．据2024年3月1日《人民网》报道，2023年通过新建、改扩建新增公办学位4892000个，保障小学一
年级新生人学，将数据4892000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.4892×107 B．4.892×106 C．4.892×105 D．48.92×105
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．
【详解】解：4892000=4.892×106，
故选：B．
易误点十七 进行有理数混合运算时，运算顺序容易出错
在进行有理数混合运算时，要按照正确的运算顺序，即先算乘方，再算乘除最后算加减。
有括号的先算括号里的，同级运算，按照从左到右的顺序进行计算。
44．计算：
(1)−20+(−14)−(−18)−13；
29( 1) ( 1)
(2)(−0.5)− −3 +2.75− +7 ；
4 2
1 5 ( 5) 1 ( 1) 2
(3)1 × − − ×2 + − ÷1 ；
2 7 7 2 2 5
(4)−22÷ 4 − [ 22− ( 1− 1 × 1)] ×12；
3 2 3
1 | 4|
(5)−81÷2 × − −(−3) 3÷27．
4 9
【答案】(1)−29；
(2)−2；
5
(3) ；
2
(4)−41；
(5)−15．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值化简，以及含乘方的有理数的混合运算，解题的关键
是掌握有理数混合运算的顺序和相关运算法则．
（1）把减化为加，再计算即可；
（2）化为小数，把减化为加，再计算即可；
（3）把除化为乘，逆用乘法分配律可算出答案；
（4）先算括号内的和乘方，再算乘除，最后算加减；
（5）把除化为乘，先算乘方，再算乘法，最后算加减．
【详解】（1）解：原式=−20−14+18−13
=−29；
（2）解：原式=−0.5+3.25+2.75−7.5
=−2；
1 5 1 5 ( 1) 5
（3）解：原式=1 × +2 × + − ×
2 7 2 7 2 7
30( 1 1 1) 5
= 1 +2 − ×
2 2 2 7
7 5
= ×
2 7
5
= ；
2
3 ( 1)
（4）解：原式=−4× − 4−1+ ×12
4 6
19
=−3− ×12
6
=−3−38
=−41；
4 4
（5）解：原式=−81× × −(−27)÷27
9 9
=−16+1
=−15．
45．计算
(1)−32+ ( −2 1) ÷ 3 + (3 − 5 ) ×24；
4 2 8 12
(2)2 2 ×(−1) 9− ( −1 1) 2 ÷(−0.9) 2 ．
9 5
23
【答案】(1)− ；
2
(2)−4．
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可；
（2）直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：−32+ ( −2 1) ÷ 3 + (3 − 5 ) ×24
4 2 8 12
31( 9) 3 ( 9 10)
=−9+ − ÷ + − ×24
4 2 24 24
( 9) 2 ( 1 )
=−9+ − × + − ×24
4 3 24
( 3)
=−9+ − +(−1)
2
23
=− ；
2
（2）解：2 2 ×(−1) 9− ( −1 1) 2 ÷(−0.9) 2
9 5
20 36 81
= ×(−1)− ÷
9 25 100
20 36 100
=− − ×
9 25 81
20 16
=− −
9 9
=−4．
46．计算：
5 ( 2) 5 5 5
(1) ÷ −2 − × − ÷4；
7 5 7 12 3
(2)−62×
(3
−
7
+
11)
．
4 6 12
85
【答案】(1)−
84
(2)−18
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；
（2）利用乘法分配律进行计算，即可解答．
325 ( 2) 5 5 5
【详解】（1）解： ÷ −2 − × − ÷4
7 5 7 12 3
5 12 5 5 5 1
= ÷(− )− × − ×
7 5 7 12 3 4
5 5 5 5 5
= ×(− )− × −
7 12 7 12 12
5 5 5 5 5
=− × − × −
7 12 7 12 12
5 5 5
= ×(− − −1)
12 7 7
5 17
= ×(− )
12 7
85
=− ；
84
（2）解：−62×
(3
−
7
+
11)
4 6 12
3 7 11
=(−36)×( − + )
4 6 12
3 7 11
=−36× +36× −36×
4 6 12
=−27+42−33
=15−33
=−18．
47．计算：
1
(1)2−(−6)+3×(−4)−3÷ ；
2
(2)(−1) 2024+ ( − 1) + ( − 3 + 1) ×(−2) 3
3 8 4
【答案】(1)−10
5
(2)
3
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，
33再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
1
【详解】（1）解：2−(−6)+3×(−4)−3÷
2
=2+6+(−12)−3×2
=8−12−6
=−10；
（2）(−1) 2024+ ( − 1) + ( − 3 + 1) ×(−2) 3
3 8 4
1 ( 3 1)
=1− + − + ×(−8)
3 8 4
2 3 1
= +(− )×(−8)+ ×(−8)
3 8 4
2
= +3−2
3
5
= ．
3
34
