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第二章 有理数及其运算的知识归纳与题型突破（题型清
单）
01 思维导图
02 知识速记
知识点1 ：正数和负数
（1）概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
1（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2： 有理数
（1）概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为
非正整数。
（2）分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
知识点3：数轴
（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
（3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）
知识点4 ：相反数
（1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）
几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，
若a＋b=0，则a与b互为相反数。
2两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
（3）多重符号的化简
多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
知识点5:绝对值
（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）
（2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
（3）代数符号意义：
a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0
a = 0， |a|=0
a＜0， |a|=‐a
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
（4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。
（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于
0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0
1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
（6）比较大小
2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
知识点6 ：加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点7：加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
3（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b
＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点8 ：减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b
知识点9：乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定
符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点9：乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c
＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝
a×b＋a×c。
知识点10： 倒数
（1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1.
知识点11 ：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点12：乘方法则运算
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
知识点13：混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
4（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分
两步走：先确定符号，再求值。
知识点14：科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。
这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。
注意：
（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。
03 题型归纳
题型一 正负数
例题：中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引人负数，如果盈利600元记作+600元，
那么亏本400元记作（ ）
A．−400 B．−600 C．+400 D．+600
巩固训练
1．若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
2．某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正
数，不足的记为负数．检验结果分别是+4，−0.4，−0.7，−2.4，最接近标准质量的是（ ）
A．+4 B．−0.4 C．−0.7 D．−2.4
53．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活
10棵记作+2棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )．
题型二 相反意义的量表示
例题：在记录水库水位时，如果记录员把高于正常水位5cm记为+5cm，那么低于正常水位3cm应记为
（ ）
A．3cm B．+3cm C．−3cm D．±3cm
巩固训练
1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，−12.00表示支出12元，下列说法正确的是（ ）
A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元
C．收支总和为15.04元 D．收支总和为8.96元
2．一次数学测验全班的平均分为95分，小明考了98分，张老师记作+3分，小亮考了91分，张老师应记作
( )分．
3．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59g的乒乓球
应记为 ．
题型三 有理数的概念辨析
例题：下列说法中，正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数
C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数
巩固训练
π a
1．在−0.8、3.5、 、0、 、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有
2 2
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22 π
2．在数−2，0， ， ，0.3˙8˙中，有理数的个数是（ ）
7 2
A．2 B．3 C．4 D．5
6题型四 有理数的分类/大小比较
例题：把下列各数填在相应的括号里
23 3
−3， ，7，3.14，2024，−3 ，0，+2.01，−5%，π，53
5 4
整数集合：{ }
分数集合：{ }
非负数集合：{ }
非负整数集合：{ }
( 2) 3
例题：比较大小：− − − （填“>”，“<”或“=”）．
7 8
巩固训练
2 3
1．比较大小：− − （选填“>”、“<”或“=”）．
3 4
2．把下列各数分别填在相应集合中．
1 22
−3， ，0，2020，−35，6.4，−1，0.03%，− ，−3.14，500%，π，3.5，−8．
3 7
负数集合：{______ …}
整数集合：{______ …}
正分数集合：{______ …}
负整数集合：{______ …}
3．把下列各数填入相应的括号内．
1
− ，0.618，−3.1415，2022，−32，26.5%，0．
2
(1)正分数：{ ___________}；
(2)整数：{___________}；
(3)负有理数：{___________}；
(4)非负数：{___________}．
题型五 数轴和数轴上的点所表示的数．
例题：在数轴上表示−3的点与表示2的点之间的距离是（ ）
A．5 B．−5 C．5或−5 D．1
例题：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确
7的是（ ）
A．0<−a<b B．−a<0<b C．b<0<−a D．b<−a<0
巩固训练
1．以下数轴画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．数轴上表示整数的点叫作整点．某数轴的单位长度为1cm，若在这条数轴上任意画出一条长度为
2024cm的线段，则线段盖住的整点个数为（ ）
A．2025个 B．2024个 C．2025或2024个 D．2024或2023个
1
3．如图，数轴上两点A，B所表示的数分别为−3，1．若点C在数轴上，且AB= AC，则点C表示的数
2
是（ ）
A．8 B．5 C．5或−4 D．5或−11
题型六 倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用
例题：2024的相反数是（ ）
1 1
A．2024 B． C．−2024 D．−
2024 2024
1
例题：− 的倒数是（ ）
3
1 1
A．3 B． C．−3 D．−
3 3
巩固训练
1．下列各组数中，互为相反数的是( )
1 1 1
A．7和−7 B．−7和 C．−7和- D． 和7
7 7 7
2．−2的相反数是（ ）
1
A．2 B．−2 C． D．−1
2
3．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数
8为( )
A．−6 B．6 C．−3 D．3
4．若a，b互为相反数，则代数式a+b−2的值为 .
题型七 绝对值定义、绝对值的性质与化简
例题：−5的绝对值是（ ）
1 1
A． B．5 C．−5 D．−
5 5
例题：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a−b|+|b|的化简结果是（ ）
A．a B．−a C．a−2b D．2b−a
巩固训练
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角
度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
2．请根据以下检验记录（“+”表示超出标准质量，“−”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质
量的乒乓球的编号是（ ）
编号 1 2 3 4
偏差 +0.03 −0.02 +0.05 −0.04
/g
A．1 B．2 C．3 D．4
3．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简|a+b|−|c−b|+a的结果是（ ）
A．2a+2b B．2a+2b−c C．−c D．−2b−c
4．已知数a、b、c位置如图所示，化简|a−b|−|a+c|= ．
9题型八 非负性的性质
例题：若|m−2|+|n−7|=0，则|m+n|=（ ）
A．2 B．7 C．8 D．9
巩固训练
( 1) 2
1．若|x−4|+ y+ =0，则6xy的值为（ ）
3
4 4
A． B．8 C．−8 D．−
3 3
2．若|a+2|+(5−b) 2=0，则a+b= ．
3．如果|a−1|+|b−2|=0，那么2ab= ．
4．已知(a+2) 2与|b−3|互为相反数，则a−b= ．
题型九 有理数的加减运算
例题：把7−(−3)+(−5)−(+2)写成省略加号和的形式为（ ）
A．7−3−5−2 B．7+3−5−2 C．7+3+5−2 D．7+3−5+2
例题：计算：
1 ( 3) ( 2)
(1) (−3)+40+(−32)+(−8)； (2)5 + − + +1 +(−8.25)；
3 4 3
1 ( 1)
(3)5.6+(−0.9)+4.4+(−8.1)+(−1)； (4)(−0.5)+3 +2.75+ −5 ．
4 2
10巩固训练
1．计算：
(1)0−(+5)−(−3.6)+(−4)+(−3)−(−7.4)；
5 2
(2)−3 +15.5−6 +(−5.5)．
7 7
2．计算：
( 2) ( 3) ( 3)
(1)0−(−2)+(−7)−(+1)+(−10) (2) −5 −(−2.25)− −2 − +5
5 5 4
3 3 1 1 1 ( 2)
(3)−0.5−5 −1+3 −4 +2 (4)−9.2−(−7.4)+9 + −6 +(−4)+|−3|
7 7 2 3 5 5
3．计算：
( 17) ( 10) ( 13) ( 11)
(1)25.3+(−7.3)+(−13.7)−(−7.3)； (2) − + − + + + + ；
4 3 3 3
11( 4) ( 3) ( 1) ( 3)
(3) − + + − − − −1 ； (4)(−10)−(−15)+(−16)−(+20)．
7 2 2 7
【题型10】有理数乘除法运算
例题：计算：
( 3) ( 3) ( 1) 1
(1) (−3)÷ −1 ×0.75÷ − ×(−6)； (2) − ×(−0.1)÷ ×(−10)；
4 7 5 25
[ ( 2)] [( 3) ( 8 )]
(3) (−72)× − × − ÷ − ．
3 5 15
巩固训练
1．计算：
( 3) ( 3) ( 1) 1
(1)(−3)÷ −1 ×0.75÷ − ×(−6) (2) − ×(−0.1)÷ ×(−10)；
4 7 5 25
1 4
2．计算：(−81)÷2 × ÷(−15)．
4 9
123．计算：
9 4 ( 2) 4 ( 1)
(1)(−81)÷ × ÷(−16)． (2)−5÷ −1 × × −2 ÷7．
4 9 7 5 4
【题型11】有理数的乘方
例题：下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．−22和(−2) 2 B．− 12 和 ( − 1) 2
2 2
C．−|2|和|−2| D．(−2) 2和22
巩固训练
1．下列各式中，不相等的是（ ）
A．(−2) 3和−23 B．(−3) 2和32 C．(−3) 2和−32 D．|−2| 3和|−23|
2．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．−(−2)与+(−2) B．+(−3)与+|−3|
C．(−2) 3与−23 D．(−3) 2与−32
3．计算(−2) 3=（ ）
A．−6 B．6 C．−8 D．8
4.下列各组数种，值相等的是（ ）
A．−23与(−2) 3 B．23与32 C．−22与(−2) 2 D．−|−3|与|−3|
【题型12】有理数混合运算
( 3) 5 ( 1) ( 5) 1 ( 1) 2 |3 |
例题：（1） − + − −2 + − ； （2）− ÷ − −4× −2 ；
7 6 7 6 3 3 2
13（3）−43÷(−2) 2× ( − 1 + 3 − 1 ) ； （4）−14−(1−0.5)× 1 ×[2−(−3) 2]；
6 4 12 3
（4）− 3 × [ −32× ( − 2) 2 −2 ] +(−2) 3÷ ( − 1) ；
4 3 2
（6）−52−(−2) 3+ ( 1−0.8× 3) ×(−2)．
4
巩固训练
1．计算：
( 1 3 1) ( 1 )
(1)(−1) 2022+(−2) 3×5−|−28|÷4； (2) − + − ÷ − ．
3 2 4 12
2．计算：
(1)6+(−5)+4+(−5)； (2)−16+24×
(3
−
5
+
2)
．
8 6 3
3．计算：
1 8
(1)−32×(− )+(−8)÷(−2) 2 ； (2)(−1) 2020÷ ×(−2) 3 ．
9 3
14【题型13】算“24”点
例题：小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．
巩固训练
1．小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算
（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或−24．小亮抽到的4张卡
片上的数分别是2，−6，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或−24的算式 ．
2．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且
只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1，−2，2，3，
请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24．
3．根据“二十四点”游戏规则，3，4，−6，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+
或−或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，便其结果等于24，算式为 ．
4．有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，
将这四个数（每个数用且只能用一次），使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：
(1+2+3)×4=24．在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩．现给出3，−5，6，−8四个数，这个算
式为 （只写一个算式即可）
【题型14】科学计数法和近似数的表示
例题：“村超”出圈带动“村经济”，“村BA”的赛事同样火热，在“村BA”赛事期间，台江县接待游
15客181 900人次，其中181 900 用科学记数法表示应为（ ）
A．0.1819×106 B．1.819×106
C．1.819×105 D．18.19×104
例题：用四舍五入按要求对0.07056取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到十分位） B．0.07（精确到0.01）
C．0.070（精确到千分位） D．0.0706（精确到0.0001）
巩固训练
1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记
数法表示为（ ）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
2．世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（ ）
A．6.7×105 B．6.7×106 C．67×105 D．0.67×107
3．南宁市2023年全年粮食总产量约为2130000吨，其中数据2130000用科学记数法表示为（ ）
A．0.213×107 B．2.13×106 C．21.3×106 D．21.3×105
4．小星用天平称得一个罐头的质量为2.046kg，用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（ ）
A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.05
5．8.0648保留一位小数是( )，精确到百分位约是( )．
【题型15】有理数实际应用
例题：出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向
西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：km）如下：
−3,+9,+10,−6,−12,2,8,−10．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？
(2)若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米2元，求李师傅这天上午
共获得车费多少元？
16巩固训练
1．2021年第17号台风狮子山给防城港市造成严重影响．救援队驾着冲锋舟沿一条东西方向的河流营救灾
民，早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向东为正方向，当天航行次记录如下（单位：千米）：
16,−6,15,−9,12,−4,13,−5，问：
(1)B地在A地的东面，还是西面？与A地相距多少千米？
(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为35升，求途中至少需要补充多少升油？
2．为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．
以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳
个数记录如下：
+2，−5，+3，0，−10，+7，−7，−4，+1，−7（单位：个）．
(1)求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数？
(2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2
”分，每不足1个记“−1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组
的总积分？
3．小明爸爸上个星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：
元）．[注：正负数表示与前一交易日比较的涨跌情况，如周一收盘时每股27+2=29（元），如周二
收盘时每股29−3.5=25.5（元），另股票周六、周日休盘不交易]
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 +2 −3.5 +2.5 −2 +4
(1)通过上表你认为周三收盘时，每股是（ ）元．
(2)本周内每股最多是（ ）元，最低是（ ）元．
17(3)若买进股票需付成交额0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果
在星期五收盘前将股票全部卖出，小明爸爸盈亏多少元？请通过计算说明．
4．有30筐白菜，以每筐25kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值(单位：
−3 −2 −1 0 1 2 3
kg)
筐数 1 3 5 9 6 4 2
(1)与标准重量比较，30筐白菜总计超过或不足多少千克？
(2)若白菜每千克售价3.6元，则出售这30筐白菜可卖多少元？
5．春节前优鲜果水果店以每箱20元购进6箱武鸣沃柑，每箱标准质量为5000克，店员晓华逐箱进行称重，
超出部分记为正，不足部分记为负，分别为：50克，−20克，30克，30克，−10克，40克，春节前以
每箱50元卖出4箱，春节后打六折卖出2箱．
(1)这6箱武鸣沃柑总质量为多少克？
(2)这6箱武鸣沃柑共盈利多少元？
6．金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．
景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数
记为负数）
18星期 一 二 三 四 五 六 日
超出或不足 +600 −300 +800 +1100 −600 +500 −700
(1)周六接待游客人数为_____________人；
(2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人；
(3)本周共接待游客多少人？
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