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第二章 有理数及其运算的知识归纳与题型突破（题型清
单）
01 思维导图
02 知识速记
知识点1 ：正数和负数
（1）概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
1（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2： 有理数
（1）概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为
非正整数。
（2）分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
知识点3：数轴
（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
（3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）
知识点4 ：相反数
（1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）
几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，
若a＋b=0，则a与b互为相反数。
2两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
（3）多重符号的化简
多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
知识点5:绝对值
（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）
（2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
（3）代数符号意义：
a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0
a = 0， |a|=0
a＜0， |a|=‐a
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
（4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。
（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于
0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0
1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
（6）比较大小
2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
知识点6 ：加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点7：加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
3（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b
＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点8 ：减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b
知识点9：乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定
符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点9：乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c
＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝
a×b＋a×c。
知识点10： 倒数
（1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1.
知识点11 ：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点12：乘方法则运算
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
知识点13：混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
4（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分
两步走：先确定符号，再求值。
知识点14：科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。
这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。
注意：
（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。
03 题型归纳
题型一 正负数
例题：中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引人负数，如果盈利600元记作+600元，
那么亏本400元记作（ ）
A．−400 B．−600 C．+400 D．+600
巩固训练
1．若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
2．某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正
数，不足的记为负数．检验结果分别是+4，−0.4，−0.7，−2.4，最接近标准质量的是（ ）
A．+4 B．−0.4 C．−0.7 D．−2.4
53．实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活
10棵记作+2棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )．
题型二 相反意义的量表示
例题：在记录水库水位时，如果记录员把高于正常水位5cm记为+5cm，那么低于正常水位3cm应记为
（ ）
A．3cm B．+3cm C．−3cm D．±3cm
巩固训练
1．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，−12.00表示支出12元，下列说法正确的是（ ）
A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元
C．收支总和为15.04元 D．收支总和为8.96元
2．一次数学测验全班的平均分为95分，小明考了98分，张老师记作+3分，小亮考了91分，张老师应记作
( )分．
3．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59g的乒乓球
应记为 ．
题型三 有理数的概念辨析
例题：下列说法中，正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数
C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数
巩固训练
π a
1．在−0.8、3.5、 、0、 、3.010010001……（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有
2 2
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22 π
2．在数−2，0， ， ，0.3˙8˙中，有理数的个数是（ ）
7 2
A．2 B．3 C．4 D．5
6题型四 有理数的分类/大小比较
例题：把下列各数填在相应的括号里
23 3
−3， ，7，3.14，2024，−3 ，0，+2.01，−5%，π，53
5 4
整数集合：{ }
分数集合：{ }
非负数集合：{ }
非负整数集合：{ }
( 2) 3
例题：比较大小：− − − （填“>”，“<”或“=”）．
7 8
巩固训练
2 3
1．比较大小：− − （选填“>”、“<”或“=”）．
3 4
2．把下列各数分别填在相应集合中．
1 22
−3， ，0，2020，−35，6.4，−1，0.03%，− ，−3.14，500%，π，3.5，−8．
3 7
负数集合：{______ …}
整数集合：{______ …}
正分数集合：{______ …}
负整数集合：{______ …}
3．把下列各数填入相应的括号内．
1
− ，0.618，−3.1415，2022，−32，26.5%，0．
2
(1)正分数：{ ___________}；
(2)整数：{___________}；
(3)负有理数：{___________}；
(4)非负数：{___________}．
题型五 数轴和数轴上的点所表示的数．
例题：在数轴上表示−3的点与表示2的点之间的距离是（ ）
A．5 B．−5 C．5或−5 D．1
例题：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确
7的是（ ）
A．0<−a
