文档内容
《第二章 有理数及其运算》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）下列各数中最小的是（ ）
A．0.9 B．－3.6 C．－0.8 D．－（－2.5）
【答案】B
【分析】先求出-(-2.5)=2.5，再比较有理数大小即可．
【详解】解：∵-(-2.5)=2.5，
∴-3.6<-0.8<0.9<2.5，
∴-3.6<-0.8<0.9<-(-2.5)，
故最小的数为-3.6，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小的法则“正数大于零，零大于负数，两个负
数和比较大小，绝对值大的反而小”是解题的关键．
2．（2021·河北·原竞秀学校七年级期中）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如
果收入100元记作+100元，则-50元表示（ ）
A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元
【答案】A
【分析】根据正负数的相反意义即可得出答案．
【详解】解：收入100元记作+100元，则−50元表示支出50元，
故选：A．
【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键．
3．（2021·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，
截至2021年9月13日，太原市累计接种新冠疫苗828.5万剂次．将828.5万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较大数字时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，且n比原来的整
数位少1，据此判断即可求解．【详解】整数828.5万共计7位，采用 表达，则有 ， ，
即：828.5万用科学记数法表示为 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，准确确定a、n的值是解答本题
的关键．
4．（2022·山东滨州·七年级期末）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．－3与3 B．－3与 C．－3与－ D．－3与|－3|
【答案】C
【分析】根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【详解】A. -3与3互为相反数，不是互为倒数关系，故A错误；
B. -3与- 互为倒数，故B错误；
C. -3与 互为倒数，故C正确；
D. ，与-3互为相反数，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键．
5．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为－4，则
最后输出的结果可能是（ ）
A．－8 B．－23 C．－68 D．－32
【答案】D
【分析】根据程序可知，输入x计算 ，若所得的值大于或等于﹣20，则将所得的值代入计算，直到所
得的值小于﹣20即可输出．
【详解】解：当x=﹣4时， ＝﹣11，
∵﹣11＞﹣20，
∴当x=﹣11时， ＝﹣32，
∴当x=﹣11时， ＝﹣32＜﹣20，则最后输出的结果为﹣32，故选：D．
【点睛】此题考查了程序计算，有理数混合运算，正确理解程序图计算是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＋b＜0 B．a＋b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＞0
【答案】A
【分析】根据点在数轴上的位置得到a＞0，b＜0，|a|＜|b|，由此判断即可．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，ab＜0，
所以B，C，D不正确，A正确；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用数轴确定式子的符号，正确理解点在数轴上的位置得到a＞0，b＜0，|a|＜|b|是
解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·辽宁大连·七年级期末）有理数5的相反数为__________．
【答案】-5
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：5的相反数是﹣5．
故答案为：﹣5．
【点睛】本题主要考查了相反数．正确掌握相反数的定义是解题的关键．相反数的定义：只有符号不同的
两个数叫做互为相反数．
8．（2022·福建泉州·七年级期末）比较大小： _______-3．（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】比较的方法是：两个负数，绝对值大的，其值反而小．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是牢记：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．9．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知 与 互为相反数，则 的值为__________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．
【详解】解：根据题意，得 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是
解题的关键．
10．（2021·辽宁抚顺·七年级阶段练习）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
，其结果为正数的________（填序号）．
【答案】①③⑥
【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解．
【详解】解：① 是正数；
② ，是负数；
③ ，是正数；
④ ，是负数；
⑤ ，是负数；
⑥ ，是正数，
故答案为：①③⑥．
【点睛】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键．
11．（2021·吉林·长春市第一O三中学校七年级阶段练习）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)放
入其中时，会得到一个新的数： ．将数对(﹣3，2)放入其中得到数m＝_____．
【答案】12【分析】根据题中的新定义列出算式，计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得： ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣
2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单
位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过__秒后，M、N两点间的距离
为8个单位长度．
【答案】14或
【分析】已知运动时间为t秒，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可．
【详解】解：已知运动时间为t秒，根据题意M、N两点间的距离为8个单位长度，分析N点的两种移动
方向分别建立一元一次方程可得：
当N向左运动，则有 ，解得t= ，
当N向右运动，则有 ，解得t=14．
故答案为14或 ．
【点睛】本题主要考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t的一元一次方程是解决本题的
关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·重庆市渝北区石鞋学校七年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)191
【分析】（1）先计算乘除法，再计算加法即可得；（2）先计算乘方、将除法转化为乘法，再计算乘法，然后计算加法即可得．
（1）
解：原式
．
（2）
解：原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
14．（2022·浙江·七年级开学考试）在数轴上画出表示下列各数的点，用“＜”把它们连接起来：
+2，﹣（﹣4），﹣3 ，|﹣0.5|，﹣1，0．
【答案】图见解析，
【分析】在数轴上表示出各点，从左到右用“＜”连接起来即可．
【详解】解：如图所示，
由图可知， ．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
15．（2021·河北·唐山市古冶区龚庄中学七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里
+5， 0.23， ， ，0，
正数集合：{ … }；
整数集合：{ … }；
负分数集合：{ … }；【答案】①+5， 0.23， ；②+5， ，0， ；③ ．
【分析】根据正数的意义填上即可；根据整数包括正整数、0、负整数选出即可；先找出负数，再找出负
分数（注意包括小数）即可．
【详解】解：正数集合：{+5， 0.23， ，…}；
整数集合：{+5， ，0， …}
负分数集合：{ ，…}；
故答案为：①+5， 0.23， ；②+5， ，0， ；③ ．
【点睛】本题考查了正数、负数、整数、有理数等知识点，主要考查学生的辨别能力，注意：整数包括正
整数、0、负整数．
16．（2021·湖南·李达中学七年级期中） 某检修小组乘一辆汽车 沿东西走向的公路检修线路，约定向东
走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下(单位： km)， +10， -3， +2， -1，+12， -5， +6，-
3， +7， +3
(1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远?
(2)若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有160 升汽油，问收工前是否需要中途加油?若加，应
加多少升?若不加，还剩多少升汽油?
【答案】(1)检修小组在A地的东边，距A地28km；
(2)收工前不需要中途加油，还剩4升汽油．
【分析】（1）根据有理数的加法进行计算，结合正负数的意义可得答案；
（2）用单位耗油量乘以总的行驶路程，可得答案．
（1）
解：10−3＋2−1＋12−5＋6−3＋7＋3＝28（km），
答：收工时，检修小组在A地的东边，距A地28km；
（2）
解：10＋3＋2＋1＋12＋5＋6＋3＋7＋3＝52（km），
52×3＝156（升），
160－156＝4（升），
答：收工前不需要中途加油，还剩4升汽油．【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数加减的实际应用，解决本题的关键是理解正负数的意义，掌握
有理数加减的运算法则．
17．（2021·安徽淮北·七年级阶段练习）将有理数 按以下步骤操作：
（1）如果输入的数 是 ，求输出的数 ；
（2）如果输出的数 是 ，求输入的数 ．
【答案】（1）3；（2）100
【分析】（1）根据程序流程图，把m=-2代入即 ，利用有理数的混合计算法则进行求
解即可；
（2）根据程序流程图，把n=105代入即 ，用有理数的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：（1）
．
（2）根据题意得：
∴输入的数 为 ．
【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的有理数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的
混合计算方法．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·江苏·七年级专题练习）请根据图示的对话解答下列问题．(1)a＝ ，b＝ ．
(2)已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的绝对值．
【答案】(1)﹣2；﹣3；
(2)mn的绝对值为6．
【分析】根据相反数和倒数的概念求解即可．
根据绝对值的非负性求出m、n的值，再带入mn中计算即可．
(1)
2的相反数为﹣2，故a＝﹣2；
的倒数是﹣3，故b＝﹣3；
故答案为：﹣2；﹣3；
(2)
由题意，得 ，而 ， ，
所以 ，
所以m＝﹣2，n＝3，
所以m n＝﹣2×3＝﹣6．
因为|﹣6|＝6，
所以m n的绝对值为6．
【点睛】此题考查了相反数、倒数、绝对值的概念以及绝对值的非负性．几个非负数的和为0，则这几个
非负数都为0，掌握这一性质是集体的关键．
19．（2021·陕西·岚皋县城关九年制学校七年级期中）认真阅读材料后，解决问题：
计算： ．
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝ ．
仿照阅读材料计算： ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．
【详解】解：原式的倒数是
，
故原式 ．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关
键．
20．（2021·福建·闽江学院附中七年级期中）若规定这样一种运算： ，例如：
.
(1)计算： ；
(2)记 ， ，请探究 与 的大小关系.
【答案】(1)3(2)M=N
【分析】（1）利用公式代入计算即可；
（2）根据公式分别求出M及N，根据绝对值的性质判断M与N的关系．
（1）
解：∵ ，
∴ = =3；
（2）
∵ ，
∴M= ， = ，
∵ ，
∴M=N．
【点睛】此题考查了新定义计算，绝对值的性质，正确理解新定义的计算公式是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·浙江温州·七年级期中）番薯枣是永嘉的特产，每年秋冬季是其盛产期．小徐同学打算从永嘉
寄10箱番薯枣到杭州，以每箱2.5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如
下表所示：
与标准质量的差值（单位：千克） 0.15 0.2
箱数 2 2 1 5
小徐同学选择了圆通快递，收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部
分）2元/千克，不足1千克按1千克计．
(1)求这10箱番薯枣的总重量．
(2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分10箱，每箱一个包裹．方案二：10箱打包进一个大箱子，
大箱子重2千克，10元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？
【答案】(1)10箱番薯枣的总重量是25.9千克
(2)方案二更省钱，省了48元
【分析】（1）求出记录数字之和，确定出总重即可．
（2）根据两种寄件方式及快递收费标准分别求出两种方案的费用，再比较即可．（1）
（千克）
答：10箱番薯枣的总重量是25.9千克．
（2）
方案一： （元），
方案二： （元），
方案二比方案一节省了： （元），
答：方案二更省钱，省了48元．
【点睛】本题考查了正负数的定义及有理数的加减运算，正确理解题意并灵活运用相关知识解决问题是关
键．
22．（2022·广西南宁·七年级期末）材料：一般地，n个相同的因数a相乘： 记为 ．如 ，此
时，3叫做以2为底8的对数，记为 （即 ）．一般地，若 （ 且 ， ），
则n叫做以a为底b的对数，记为 （即 ）．如 ，则4叫做以3为底81的对数，记为
（即 ）．问题：
(1)计算以下各对数的值： ______， ______， ______；
(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为______； 、 、 之间又满足怎样
的关系式：______；
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ ______（ 且 ， ，
）．
【答案】(1)2、4、6
(2) ，
(3)【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64， ；
（3）由特殊到一般，得出结论： ．
（1）
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为：2、4、6；
（2）
4×16=64，
由题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：4×16=64， ；
（3）
由（2）易知 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求
学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
六、（本大题共12分）
23．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数
为﹣5、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度
1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．(1)在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位；在图2中，AC＝ cm；数轴上的一个长度单位对应刻度
尺上的 cm；
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若点Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所表示的数．
【答案】(1)9，5.4，0.6；
(2) ；
(3)1或 ．
【分析】（1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案；
（2）求出AB在数轴上的距离，即可得出答案；
（3）求出AQ＝6，然后分情况求解即可．
（1）
解：由图1可得AC＝4﹣（﹣5）＝9，由图2可得AC＝5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为： cm，
故答案为：9，5.4，0.6；
（2）
由图2得：AB＝1.8cm，
∴AB在数轴上的距离为 个单位长度，
∴在数轴上点B所对应的数b＝﹣5+3＝﹣2；
（3）
∵AQ＝2AB，AB＝3，
∴AQ＝6，
∵点A所表示的数为﹣5，
∴点Q表示的数为－5＋6＝1或－5－6＝－11．
【点睛】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键．
