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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第二章 实数·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分 A． B． C．2 D．3
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若 是“最美实
1．如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（ ）
数”，则a的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
A． B． C． D．
10．用 表示不超过 的最大整数，例如： ．已知 ，
2．下列说法中正确的有（ ）
A．4的平方根是 B． 的算术平方根是 ，则 （ ）
C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数
A．4 B．2 C．-4 D．2
3．若 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．比较大小： ．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为 ．
5．下列各根式中，是同类二次根式的是（ ）
13．如图，正方形 的面积为 ，点 表示的数为 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，交数轴于
， 两点（点 在点 的左侧），则点 表示的数为 ．
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
6．有下列实数： ， ， ，0， ， ，0.31（31循环），0.1010010001…（每两个1之间多
一个0），其中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值为（ ）
14．如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为 和 的小正方形，已知 ，则留下
的阴影部分的面积为 ．
A． B． C． D．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的 的值是64，则输出的 的值是（ ）20．已知： 且 的立方根是它本身， 的算术平方根是3．
(1)直接写出： ， ；
(2)求 的平方根；
(3)若 的整数部分是 ，小数部分是 ，求 的值．
15．有三根长度分别为 的木棒，已知 为整数，若这三根木棒能围成三角形，则 的
值为 ．
16．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若 是“完美实数”， 21．请观察图形并分析下列各式，然后解答问题．
则 ；若 与 都是“完美实数”，则 的平方根为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．计算：
……
(1) ； (2)
18．（1）计算： （2）解方程： ．
(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ；
(2)若一个三角形的面积是 ，计算说明它是第几个三角形？
19．把下列各数填入相应的集合内（填序号）．
(3)求出 的值．
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑤0，⑦ ，⑧ （每相邻两个1之间0的个数
逐次加．
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}； 22．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角
(3)负实数集合{ …}．
形的三边长分别是2， 和 ，因为 ，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若 的三边长分别是3，5和 ，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．(2)若 是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．
23．我们知道 ，因此 ，像这样通过分子、分母同乘
一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算： ；
(2)比较： 与 的大小；
(3)化简： ．
24．观察下列等式：
第1个等式： ；
25．定义：若二次根式 可以表式成 的形式（其中 ， ， ， 都是整数），则称
第2个等式： ；
为完整根式， 是 的完整平方根．例如：因为 ，所以 是
第3个等式： ；
一个完整根式， 是 的完整平方根．
第4个等式： ；…… (1)判断： 是否是完整根式 的完整平方根，并说明理由；
按照以上规律，解决下列问题： (2)若完整根式 的完整平方根是 ，请用含 ， 的代数式分别表示 ， ；
(1)写出第6个等式：______；
(3)若 是完整根式，证明： 一定是完全平方数．
(2)写出第 个等式：______；（用含 的等式表示）
(3)根据上面的结论计算：
