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第二章 实数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴上表示 的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
3．下列各数中无理数共有（ ）
， ， ，0.131331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）， ， ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知三角形三边长为a，b，c，如果 ，那么 是（ ）
A．以a为腰的等腰三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底的等腰三角形
6．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个程序框图，若输入 ，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．8．把四张形状大小完全相同，宽为 的小长方形卡片 如图① 不重叠地放在一个底面为长方形，长为
，宽为 盒子底部 如图② ，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分
的周长和是（ ）
A． B． C． D．
9．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算： ， ，并且定义新运算的运
算顺序仍然是先算括号内的，例如： ， ， ，那么
等于（ ）
A．2 B．3 C． D．6
10．如图， ，过点 作 于点 ，且 ，得 ；再过点 作 于点 ，且
，得 ；又过点 作 于点 ，且 ，得 依此方法继续作下去，
分别表示各个三角形的面积，那么 的值是（ ）A． B． C． D．55
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．64的立方根是 ， 的平方根是 ．
12．比较大小： ．（填“ ”或“ ”）
13．一个正数的平方根是 和 ，则这个数是 ．
14．已知 ，则 ．
15．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
16．观察下列各式 ， ， ，则依次第四个式子是 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）解方程：
（2）计算：
18．下面是小颖计算 的过程，请仔细阅读并回答问题：
解：原式 第一步
第二步
第三步
．第四步
(1)以上解答过程是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______；(2)请写出正确的解答过程．
19．已知 的算术平方根是 的立方根是 ．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
20．定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数，则称 与 是关于 的和谐二次根式．
(1)若 与 是关于6的和谐二次根式，求 的值．
(2)若 为有理数，且 与 是关于 的和谐二次根式，求 和 的值．
21．把下列各数分别填入相应的集合里．
，21.3， ， ，0， ， ， ， ， ， ，1.2121121112…（相邻两
个2之间1的个数逐渐增加1）．
(1)无理数集合：{ …}；
(2)负分数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{ …}．
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数为
m．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
23．观察、思考、解答：
反之(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
24．观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) __________________； __________________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （为正整数）表示的等式：______；
(3)利用上述规律计算：
25．定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．
因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对
偶式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ___________；
(2)化简： ___________； ___________；
(3)计算：
