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第二章 实数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
形如 的式子是二次根式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A． 是整式，不是二次根式，不符合题意；
B． 是分式，不是二次根式，不符合题意；
C． 是二次根式，符合题意；
D． 不是二次根式，不符合题意．
故选C．
2．如图，数轴上表示 的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【答案】B
【分析】本题考查实数和数轴，无理数的估算，夹逼法估算无理数的范围，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴数轴上表示 的点可能是点F，
故选：B．3．下列各数中无理数共有（ ）
， ， ，0.131331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）， ， ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；
以及形如0.131331…有规律但不循环的无限小数，根据无理数是无限不循环小数解答即可．
【详解】解： ，
在 ， ， ，0.131331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）， ， 中，无理数有： ，
0.131331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）， ，共3个．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．依
次对每个选项根据二次根式的运算法则进行计算，判断其正确性．
【详解】解： 与 不是同类二次根式，不能合并， ，故A项错误．
，故B项错误．
，故C项正确．
，故D项错误．
故选：C．
5．已知三角形三边长为a，b，c，如果 ，那么 是（ ）
A．以a为腰的等腰三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底的等腰三角形
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，掌握非负数的性质是解题的关键．
根据非负数的性质得出 ， ， 的值，再根据勾股定理的逆定理判断 的形状即可．
【详解】解： ，
， ， ，
， ， ，
，
，
是以 为斜边的直角三角形，
故选：C．
6．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式有意义
的条件得到 的取值范围，在 的前提下化简即可得到答案．
【详解】解：若二次根式有意义，则 ，
，解得 ，
∴原式 ．
故选：B．
7．如图是一个程序框图，若输入 ，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．【详解】解：根据题意可知，
．
故选：B．
8．把四张形状大小完全相同，宽为 的小长方形卡片 如图① 不重叠地放在一个底面为长方形，长为
，宽为 盒子底部 如图② ，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分
的周长和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去
括号合并即可得到结果．
先设小长方形卡片的长为 ，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再
把它们加起来即可求出答案．
【详解】解：设小长方形卡片的长为 ，
根据题意得： ，，
则图②中两块阴影部分周长和是：
，
图②中两块阴影部分的周长和是
故选：A
9．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算： ， ，并且定义新运算的运
算顺序仍然是先算括号内的，例如： ， ， ，那么
等于（ ）
A．2 B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出 的范围，再结合新定义运
算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
10．如图， ，过点 作 于点 ，且 ，得 ；再过点 作 于点 ，且，得 ；又过点 作 于点 ，且 ，得 依此方法继续作下去，
分别表示各个三角形的面积，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．55
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探究，先利用勾股定理依次求得 ， ， ， ，进而找
到规律 ，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得 ， ， ， ， ，
依此类推可得： ，
∴ ，
，
， ，
依次类推可得
， ．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．64的立方根是 ， 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的定义、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用立方根的定
义、平方根的定义分别得出答案即可，注意 需先求解值，再求平方根．
【详解】解： ，
的立方根为 ，
， 的平方根是 ，
的平方根是 ．
故答案为： ， ．
12．比较大小： ．（填“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】此题考查无理数的大小比较，先估算并判断得到 ，由 ，得到
，即可得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为：>．
13．一个正数的平方根是 和 ，则这个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根定义与求法，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键．先由题意，结合平方根
定义得到 ，解一元一次方程即可得到 ，求出这个正数的两个平方根即可得到答案．
【详解】解： 一个正数的平方根是 和 ，
，
解得 ，
，
，
则这个数是 ，
故答案为： ．
14．已知 ，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得
，则有 ，进而可得答案．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8
15．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可．【详解】解：由条件可知 ，则 ，
故答案为：6．
16．观察下列各式 ， ， ，则依次第四个式子是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，解题的关键是得到数字的一般规律；由 ，
， ，……；可知第n个式子是 ，然后当
时即可求得第四个式子．
【详解】解：∵ ， ， ，……；
∴第n个式子是 ，
∴当 时，第四个式子是 ；
故答案为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1） ；（2）0
【分析】本题主要考查了利用平方根解方程、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键．
（1）直接利用平方根解方程即可；
（2）直接按照二次根式的运算法则求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
．
（2）解：
．
18．下面是小颖计算 的过程，请仔细阅读并回答问题：
解：原式 第一步
第二步
第三步
．第四步
(1)以上解答过程是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______；
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)二，除法没有分配律
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）分析每一步运算，判断错误步骤及原因．（2）先对括号内的式子进行通分计算，再进行除法运算，最后进行加法运算．
【详解】（1）解：以上解答过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是除法没有分配律，
故答案为：二，除法没有分配律．
（2）解：原式
．
19．已知 的算术平方根是 的立方根是 ．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题
的关键．
（1）根据算术平方根和立方根的定义，得出 ，计算得出答案即可；
（2）将x，y的值代入 求值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解： 的立方根是 ，
，
；的算术平方根是5，
，即 ，
；
（2）由（1），得 ，
，
6的平方根是 ，
的平方根是 ．
20．定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数，则称 与 是关于 的和谐二次根式．
(1)若 与 是关于6的和谐二次根式，求 的值．
(2)若 为有理数，且 与 是关于 的和谐二次根式，求 和 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】此题考查了二次根式的计算，解一元一次方程：
（1）根据定义列得 ,即可求出 的值．
（2）根据定义得 ,由 为有理数得到 ， ，即可解方程求出 和
的值．
【详解】（1）解：由题意可得 ，
．
（2）由题意可得 ，
整理得 ．
是有理数，， ，
， ．
21．把下列各数分别填入相应的集合里．
，21.3， ， ，0， ， ， ， ， ， ，1.2121121112…（相邻两
个2之间1的个数逐渐增加1）．
(1)无理数集合：{ …}；
(2)负分数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；
(4)非负数集合：{ …}．
【答案】(1) ， ， （相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）
(2) ，
(3) ， ， ，
(4) ， ， ， ， ， ， （相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）
【分析】此题考查了实数，熟练掌握无理数，负分数，整数，非负数的定义是解本题的关键．
根据无理数，负分数，整数，非负数的定义求解即可．
【详解】（1）解：无理数集合：{ ， ， （相邻两个2之间1的个数逐渐增加1），
…}
故答案为： ， ， （相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）
（2）解：负分数集合：{ ， ，…}；
故答案为： ，
（3）解：整数集合：{ ， ， ， ，…}；
故答案为： ， ， ，（4）解：非负数集合：{ ， ， ， ， ， ， （相邻两
个2之间1的个数逐渐增加1，…）
…}．
故答案为： ， ， ， ， ， ， （相邻两个2之间1的个数逐渐增
加1）
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数为
m．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求
得 的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．
（1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可；
（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴；
（2）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
23．观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【答案】(1) ，
(2) ；理由见解析
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；
（1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；
（2）由题意知， ，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系．
【详解】（1）解： ；；
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴
即 ，
∴
24．观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) __________________； __________________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （为正整数）表示的等式：______；
(3)利用上述规律计算：
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键．
（1）根据已知等式的规律可得结论；
（2）根据已知等式的规律可得结论；
（3）根据已知等式的规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题中规律可得 ；
．
（2）解：根据题中规律可得 ；
（3）解：原式
．
25．定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．
因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对
偶式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ___________；
(2)化简： ___________； ___________；
(3)计算：【答案】(1)
(2) ；
(3)
【分析】（ ）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（ ）分母有理化即可得答案；
（ ）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可；
本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理
化．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
故答案为： ；
（2）解： ；
；
故答案为： ； ；
（3）解：原式．
