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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第二章 实数·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值
范围，并结合数轴判断．
先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比
得出答案．
【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于 和小于 ，
∵ ，
∴ ，故C，D选项不符合题意；
∴ ，故A选项不符合题意；B选项符合题意；
故选：B．
2．下列说法中正确的有（ ）
A．4的平方根是 B． 的算术平方根是
C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数
【答案】A
【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义逐一判断
各选项的正误即可．
【详解】A、 4的平方根是 ，正确；
B、 的算术平方根是3，错误；C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如 的立方根是 ，错误，
D、带根号的数都是无理数，错误，例如 为有理数，故带根号的数不一定是无理数．
故选：A．
3．若 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使 为整数，需满足
是完全平方数，由 ，即可确定n的最小值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是整数，且n是整数，
则 是完全平方数，
∴n的最小值为：6．
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算
根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式
的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【详解】解：A. ，所以A选项不符合题意；B. ，所以B选项不符合题意；
C. ，所以C选项不符合题意；
D. ，所以D选项符合题意；
故选：D
5．下列各根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各
选项逐一判断即可．
【详解】A、 已是最简， ，所以A选项不是同类二次根式；
B、 已是最简， ，化简后被开方数均为2，所以B选项是同类二次根式；
C、 ， ，被开方数分别为 和 ，所以C选项不是同类二次根式；
D、 和 被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式；
故选： B．
6．有下列实数： ， ， ，0， ， ，0.31（31循环），0.1010010001…（每两个1之间
多一个0），其中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．
首先计算立方根，然后根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】 ，∴其中无理数有 ， ，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），共3个．
故选：C．
7．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断 ，然后根据二次根式的性
质化简即可．
【详解】解：∵
∴
∴
．
故选A．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的 的值是64，则输出的 的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，
会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．根据题意，利用算术平
方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解： 的算术平方根是 ，
∵ 是有理数，
∴取立方根为 ，
∵ 是有理数，
∴取算术平方根为 ，
∵ 是无理数，
∴ ．
故选：A．
9．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若 是“最美
实数”，则a的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知 或 ，求出a
的值即可．
【详解】解：若 是“最美实数”，
则有 或 ，
若 ，解得 ，
若 ，解得 ，
综上，a的值为 或 ，
故选：D．
10．用 表示不超过 的最大整数，例如： ．已知 ，，则 （ ）
A．4 B．2 C．-4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出 ，根据题中新定
义规定可求得 和 ，进而求出 的值，然后代入 计算可得答案．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： ．
【答案】>【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的
大小即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：>．
12．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解．
【详解】解： 与最简二次根式 是同类二次根式，
，
解得 ，
故答案为：2．
13．如图，正方形 的面积为 ，点 表示的数为 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，交数轴
于 ， 两点（点 在点 的左侧），则点 表示的数为 ．
【答案】 /
【分析】根据正方形的面积公式求出 ，从而求出 ，设点 表示的数为 ，然后根据两点间的距离
公式列出关于 的方程，解方程求出 即可．本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
【详解】解：由题意可知： ，
正方形 的面积为 ，
，
设点 表示的数为 ，
，
解得： ，
点 表示的数为： ，
故答案为： ．
14．如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为 和 的小正方形，已知 ，则留
下的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，二次根式的运算，由图可知阴影部分是两个长为 ，宽为 的长
方形，利用平方差公式求出 的值即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由图可知，阴影部分是两个长为 ，宽为 的长方形，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
15．有三根长度分别为 的木棒，已知 为整数，若这三根木棒能围成三角形，则 的
值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得 ，再证明 即可得到答案．
【详解】解：由三角形的三边关系可知， ，即 ．
∵ ，
∴ ，
，且 ，
∴ ，
∴ ，
为整数，
的值为2，
故答案为：2．
16．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若 是“完美实数”，
则 ；若 与 都是“完美实数”，则 的平方根为 ．
【答案】 或 0或
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键．
根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可．
【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”，
∵ 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，
∴这个实数可以是 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ 或 ；若 与 都是“完美实数”，
∴ 或 或 或 ，
解得， 或 或 或 ，
∴对应的 或 或 或 ，
∴对应的平方根为 或 或 或 ，
综上所述， 的平方根为 或 ；
故答案为：① 或 ；② 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先算乘除，化为最简二次根式后再算加减．
【详解】（1）解：
；（2）解：
18．（1）计算：
（2）解方程： ．
【答案】（1）4；（2） 或
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则是解
题关键．
（1）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得；
（2）先将方程变形为 ，再利用平方根解方程即可得．
【详解】解：（1）原式
．
（2） ，
，
，
，
或 ，
或 ．
19．把下列各数填入相应的集合内（填序号）．
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑤0，⑦ ，⑧ （每相邻两个1之间0的个数逐次加．
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
【答案】(1)②③⑦⑧
(2)①④
(3)①②⑤⑦
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键．
（1）无理数是无限不循环小数，据此可得答案；
（2）分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案；
（3）负实数是小于0的无理数和有理数的统称，据此可得答案．
【详解】（1）解： ，
无理数集合{②③⑦⑧}；
（2）解：分数集合{①④}；
（3）解：负实数集合{①②⑤⑦}．
20．已知： 且 的立方根是它本身， 的算术平方根是3．
(1)直接写出： ， ；
(2)求 的平方根；
(3)若 的整数部分是 ，小数部分是 ，求 的值．
【答案】(1)1，3
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
（1）根据立方根、算术平方根的定义即可求解；
（2）根据平方根的定义即可求解；
（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．
【详解】（1）解： 且 的立方根是它本身，
， ∵的算术平方根是3，
∵
，
∴
，
故答案为：1，3．
（2） ，
，
的平方根为 ．
（3） ，
，
，
，
的整数部分 为1，小数部分 为 ，
，
则 的值为 ．
21．请观察图形并分析下列各式，然后解答问题．
……(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ；
(2)若一个三角形的面积是 ，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出 的值．
【答案】(1) ，
(2)它是第32个三角形
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，图形的规律探索，二次根式的性质，二次根式的乘法，正确理解题意和熟
知勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理和三角形的面积求解即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可；
（3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：根据题中反映的规律可得： ，
则 ；
故答案为：n； ；
（2）解： ，一个三角形的面积是 ，
，
∴ ，
故它是第32个三角形；（3）解： =
．
22．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三
角形的三边长分别是2， 和 ，因为 ，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若 的三边长分别是3，5和 ，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．
(2)若 是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．
【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析；
(2) 或 或
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）可证明 ，据此可得结论；
（2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义
建立方程求解即可．
【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴此三角形是奇异三角形；
（2）解：设第三边为x，
当边长为4的边是最长边时，
∵ 是奇异三角形，
∴ 或 ，
解得 或 （舍去）； 或 （舍去）；
当边长为x的边是最长边时，∵ 是奇异三角形，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
综上所述，第三边的长为 或 或 ．
23．我们知道 ，因此 ，像这样通过分子、分母同
乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算： ；
(2)比较： 与 的大小；
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）分子、分母同时乘以 ，进行分母有理化即可求解；
（2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可；
（3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解：∴ ；
（3）解：
．
24．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出第 个等式：______；（用含 的等式表示）
(3)根据上面的结论计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的
关键．
（1）结合第1至第4个等式，即可得出答案；
（2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案；
（3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得 ；
故答案为： ；
（2）根据题意，可得第 个等式： ；
故答案为： ；
（3）原式．
25．定义：若二次根式 可以表式成 的形式（其中 ， ， ， 都是整数），则称
为完整根式， 是 的完整平方根．例如：因为 ，所以 是
一个完整根式， 是 的完整平方根．
(1)判断： 是否是完整根式 的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式 的完整平方根是 ，请用含 ， 的代数式分别表示 ， ；
(3)若 是完整根式，证明： 一定是完全平方数．
【答案】(1) 是 的完整平方根，奸恶计息
(2) ，
(3)见解析
【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；
（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
【详解】（1）解：（1） 是 的完整平方根，
理由如下：
即 ．
∴ 是 的完整平方根．
（2）∵ 的完整平方根是 ，
∴ ．∴ ．
∵ ， ， ， 都是整数，
∴ ， ．
（3）∵ 是完整根式，
∴不妨设 ，其中 ， 都是整数．
由（2）得， ， ．
∴ ．
∵ ， 都是整数，
∴ 为完全平方数．
∴ 一定是完全平方数．
