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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第二章 实数·基础通关
建议用时：100分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若 是二次根式，则a的值可能是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数必须是非负数是解题的关键．根据 是
二次根式，则 ，即可得到答案．
【详解】若 是二次根式，则被开方数 需满足 ，
选项A、B、C均为负数，不符合条件；
选项D为0，满足 ，此时 有意义，属于二次根式．
故选：D．
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式．同类二次根式需满足化简后被开方数相同．将各选项化简后，判断被
开方数是否与 相同即可．
【详解】解：选项A： ，结果为整数，不是二次根式，排除；
选项B： ，被开方数为5，与 同类；
选项C： 已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除；
选项D： 已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除；故选B．
3．在 ， ， ， ， ， ，这六个数中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根和立方根，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到
的无理数有三种：开方开不尽的数，如 ；特定意义的数，如 ；特定结构的数，如 ．
根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解： 是整数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是小数，属于有理数；
是无理数；
是无理数；
是整数，属于有理数；
则无理数共有2个，
故选：B
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数
不含分母；②被开方数不含能开方的因数,对各选项逐一分析即可作答．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式；
B、 ，不是最简二次根式；
C、 ，不是最简二次根式；D、 是最简二次根式；
故选：D
5．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义，根据算术平方根与立方根的定义，进行计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项正确，符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算错误，不符合题意；
C、 ，计算正确，符合题意；
D、 ，计算错误，不符合题意；
故选：C．
7．现对实数 ， 定义一种运算： ，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得．
【详解】解： ，
，
故选：A．
8．如图，在数轴上有 四个点，则（ ）
A．点 表示的数可能是 B．点 表示的数可能是
C．点 表示的数可能是 D．点 表示的数可能是
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算，结合点在数轴上的位置，逐一进行判
断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴点 表示的数不可能是 ，故A错误；
∵ ，
∴点 表示的数不可能是 ，故B错误；
∵ ，
∴ ，
∴点 表示的数可能是 ，故C正确；
∵ ，
∴ ，∴点 表示的数不可能是 ，故D错误．
故选C．
9．如图是一个程序框图，若输入 ，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得程序式为 ，
∵ ，
∴
，
故选：B．
10．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
A． B．
C．只有3个正整数n满足 D．
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义及其小数点变化规律是解题的关键，根据表格
中n与 的对应关系，逐一分析选项的正误即可．【详解】解：A中，由表格可知， ，故A错误；
B中，当 时， ，而 ，因此 ，故B错误；
C中，由表格， ， ，满足 的正整数 需满足
，即 ，共3个，故C正确；
D中，表格中 ，则 ，故 ，故D错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查了算术平方根，理解其定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．比较大小： 2．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先比较两个实数的平方的大小是解题的关键．
先比较两个数的平方，然后比较其大小即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
13．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟知同类二次根式的概念是解题的关键；题目已知两个二次根式是最简二次根式，故只需使两个二次根式的被开方数相同即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ；
故答案为：3.
14．若 ，则 的立方根是 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求 的立方根．
本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别
为0． 由可得：求出的值即可求解．
【详解】解：由题意得， ， ，
解得 ， ，
，
的立方根是 ，
故答案为： ．
15．将一组数 ，2， ， ， ， ， ， ， ，按如图方式进行排列，则第七行最右边
的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中归纳出一般规律是解题的关键．
根据题意可知，前七行共有28个数，第n个数为： ，据此求解即可．
【详解】解：∵第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个 数，
……∴第七行有7个数，
∴前七行共有数的个数为： ，
这组数第1个数为： ，
第2个数为：
第3个数为：
第4个数为：
第5个数为：
第6个数为：
……
第n个数为： ，
∴第七行最右边的数 ．
故答案为： ．
16．定义：如图，点M，N把线段 分割成三条线段 ， 和 ，若以 ， ， 为边的三
角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段 的勾股分割点．若 ，则 的长为
．
【答案】 或5
【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论
是解决问题的关键．
分两种情况：①当 为最大线段时，由勾股定理求出 ；②当 为最大线段时，由勾股定理求出
即可．
【详解】解：分两种情况：
①当 为最大线段时，
点 、 是线段 的勾股分割点，；
②当 为最大线段时，
点 、 是线段 的勾股分割点，
．
综上所述： 的长为 或5．
故答案为： 或5．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案；
（2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
18．求x的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，熟知平方根和立方根的定义是解答的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
∴ ，
解得 或 ；
（2）解：原方程可化为 ，
∴ ，
解得 ．
19．把下列各数分别填在相应的括号内：
， ， ， ，0， ， ， （每两个1之间依次增加一个0）．
(1)整数：{ …}；
(2)分数：{ …}；
(3)无理数：{ …}．
【答案】(1) 、 、0(2) 、 、
(3) 、 、 （每两个1之间依次多一个0）
【分析】本题主要考查了实数的分类、无理数、有理数之间的关系，立方根，有理数都可以化为小数，其
中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环
小数，其中有开方开不尽的数．
（1）根据整数的定义进行填空即可；
（2）根据分数的定义进行填空即可；
（3）根据无理数的定义进行填空即可．
【详解】（1）解： ， ，
∴整数有： 、 、0；
（2）解：分数有： 、 、 ；
（3）解：无理数有： 、 、 （每两个1之间依次多一个0）．
20．已知 ， ，分别求下列代数式的值：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查二次根式的运算、求代数式的值，利用平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键．
（1）先利用平方差公式分解因式，再计算即可；
（2）将所求式子变形为 ，再代入求值即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
21．已知 的立方根为 ，4的算术平方根是 ， 是 的整数部分．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知
识为解题关键
（1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可；
（2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∵4的算术平方根是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，∴ 的整数部分是5，
又 是 的整数部分，
∴ ，
综上可知 ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ．
∴ 的平方根为 ．
22．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定 ，
如 ．
(1) ___________， ___________；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1) ，4
(2)
【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是
解题的关键；
（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据 可得： ，再解方程即可．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ，4；
（2）解：由 可得： ，
解得： ．23．如图，已知点 ， 是数轴上两点， ，点 在点 的右侧，点 表示的数为 ，设点 表示
的数为 ．
(1)实数 的值是___________；
(2)求 的值；
(3)在数轴上有 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2)1
(3) 的算术平方根为4
【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点．
（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案；
（2）由数轴可知： ，再根据绝对值的意义化简即可；
（3）根据非负数的性质求解 ， ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为 ， ，
∴ ；
（2）解：由数轴可知： ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
又 ， 均为非负数，故 且 ，
即 ， ，
∴ ，∴ 的算术平方根 ．
24．观察下列等式：
第1个等式 ；
第2个等式
第3个等式 ；
…
根据你所发现的规律，解决下列问题：
(1)填空 ______；
(2)猜想 ______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)计算 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
(1)根据题干中的已知等式即可求得答案；
(2)根据已知等式总结规律即可；
(3)根据所的规律先化简再算乘法即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；（2） （n为正整数 ，
故答案为： ；
（3）原式 ．
25．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，展开得到 ，然后根据 ，m，n为正整数进行求解；（3）先设 ，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
故答案为： ； ．
（2）
由
得 ，
又 ，m，n为正整数
或
（3）设 ，m，n为正整数
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
