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第二章 实数 章末检测卷（北师大版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河南濮阳市·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
1 1
4 2
A．2 33 2 5 B． 8 2 2 C．5 35 2 5 6 D． 2 2
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的运算法则，逐一判断各个选项，即可．
2 33 2
【详解】解：A. ，不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
8 2 2
B. ，原式正确，故符合题意；
5 35 2 25 6
C. ，原式错误，故不符合题意；
1 9 3
4 2
D. 2 2 2 ，原式错误，故不符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简和运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
2．（2022·安徽安庆·七年级期末）与 ﹣3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先估算 的大小，然后估算 -3，进而确定与之接近的整数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵4.252＝18.0625，∴ 4.25，
∴ 接近4，
∴ 接近1．
故选：D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
3．（2022·山东济宁·八年级期中）已知实数x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴x+4=0，y-8=0，
∴x=-4，y=8，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查的是非负数的性质和算术平方根，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是
解题的关键．
4．（2022·云南红河·八年级期末）若x为实数，在“ ”的“ ”中添上一种运算符号（在“＋，
－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案
【详解】A．原式＝ ，结果为有理数；B．原式＝ ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝ ，结果为有理数．故选择C．
【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键．
5.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式 与 能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】A
【分析】先把 化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式 与 能够合并，得到被开方数相
同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】 ，
∵最简二次根式 与 能够合并，
∴ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，
利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
6．（2022·黑龙江·八年级期末）把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数 ，分母 .∴ ，∴ .
∴原式 ．故选D．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简： |a|．考查二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．7．（2022·江苏·八年级）已知 ， ，则 （ ）
A．0.15129 B．0.015129 C．0.0015129 D．1.5129
【答案】B
【分析】根据题意可得出 ， ，然后再将 、 和 的计算结果对比可得出
结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查的是算术平方根．如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算
术平方根．理解和掌握算术平方根的定义是解答此题的关键．
8．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知 ， ，
，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把 化为 再结合
从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
而
∴
故选A．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”
是解本题的关键．
9．（2022·山东烟台·七年级期末）一般地，如果 （n为正整数，且 ），那么x叫做a的n次方
根．下列结论中正确的是（ ）
A．81的4次方根是3 B．当n为奇数时， 的n次方根随n的增大而增大
C．32的5次方根是 D．当n为奇数时，5的n次方根随n的增大而增大
【答案】B
【分析】利用方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵81的4次方根是±3，∴A选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，-5的n次方根随n的增大而增大，∴B选项的结论正确；
∵32的5次方根是2，∴C选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，5的n次方根n的增大而减小，∴D选项的结论不正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义的方根的意义与性质，明确一个正数的偶次方根由两个是解题的关键．
10．（2022·湖北武汉·八年级期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x
﹣[x]作为x的小数部分．已知m ，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D． （ 1）
【答案】C
【分析】利用分母有理化化简m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：m ＝2 ，
∵1＜3＜4，∴1 2，∴3＜2 4，∴a＝2 3 1，
∵m＝2 ，∴﹣m＝﹣2 ，
∵1＜3＜4，∴1 2，∴﹣2 1，∴﹣4＜﹣2 3，
∴b＝﹣2 （﹣4）＝﹣2 4＝2 ，∴ 故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解
题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东淄博·八年级期末）将 化为最简二次根式，其结果是 __．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
12．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，数轴上的点P，A表示的数分别为−1，2，过A点的直线l垂直
于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表
示的数为_______．
【答案】 ##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PC＝BP即可求出PC的
长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【详解】解：在Rt△PAB中， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴点C表示的数为： ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、数轴上点的表示，解题的关键是根据勾股定理求出PB的长．
13.（2022·河北邢台·八年级期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵ ，即 ，∴的整数部分为2，小数部分为 ，请解答：（1） 的整数部分是____．（2） 的小数部
分是____．
【答案】 3
【分析】（1）根据题意分别找出 的左边第一个整数和右边第一个整数即可作答；
（2）由（1）可知 ，则可求出 的整数部分，再用 减去它的整数部分即可．
【详解】（1）∵ ，∴ ，∴ 的整数部分为3．故答案为：3
（2）∵ ，∴1< <2，∴ 的整数部分是1，
∴ 的小数部分是 -1= ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据算数平方根的定义估算无理数的大小，熟练地掌握算数平方根的定义是解题
的关键．
14．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即 ， ，则有下面的不等式
，当且仅当 时取到等号．我们把 叫做正数a、b算术平均数，把 叫做正数a、b
的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平
均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若
，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得
的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即 ， ，则有下面的不等式 ，当且仅当 时取
到等号，∴ 即 ，当且仅当 时，等号成立，
∴y的最小值为 ．
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关
键．
15．（2022·上海·七年级专题练习）将 按下列方式排列，若规定 表示第 排从左向右第
个数，则（20，9）表示的数的相反数是___
【答案】
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第
m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每
四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
∵ ，即1， ， ， 中第三个数 ： ，
∴ 的相反数为
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
16．（2022·浙江八年级专题练习）已知 ，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵ 一定有意义，∴x≥11，
∴ ﹣|7﹣x|+ ＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得： ＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
17．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且 ， ．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为
__．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面
积列出等式并计算．
【详解】解：∵ ， ．
长方形的周长=2×( + )= 2×( + )=12 ；
长方形的面积= = =24，
根据面积相等，则正方形的边长= = ．
故答案为： ； ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
18．（2022·山西吕梁·七年级阶段练习）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上
邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻
座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由 ， ，确定 是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定 个位上的数是9；（3）划去59319后面
的三位319得到59，而 ， ，由此确定 十位上的数是3．请你类比上述过程，确定
21952的立方根是______．
【答案】28
【分析】首先由 ， ，确定 是两位数，再由21952个位上的数是2，确定
个位上的数是8，然后划去21952后面的三位952得到21，而 ， ，由此确定
十位上的数是2，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
∴ 是两位数
又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2
∴ 的个位上的数是8
∵划去21952后面的三位952得到21，而 ，
∴ 十位上的数是2
∴ 的值为28
故答案为：28
【点睛】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解
本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·江苏苏州市·八年级期中）计算：
（1） ； （2） ；（3） （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式和二次根式的除法公式计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法公式计算即可；
（3）根据二次根式的性质、立方根的定义、乘方的意义和绝对值的性质计算即可；
（4）根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：（1） =
= =
（2） = = = =
（3） = =
（4） =
= =
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的乘法公式、二次根式的除
法公式和合并同类二次根式法则是解题关键．
20．（2022·湖北八年级期中）（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）已知 ， ，求 值．
【答案】（1） ；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．【详解】解：（1）原式 ，
当 时，原式 ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy＝（2 ）2﹣1＝12﹣1＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则
及完全平方公式、平方差公式．
21．（2022·山东烟台·八年级期中）阅读理解题：
已知a= ，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：
a= = ．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
(1)计算： ；(2)计算： ；
(3)若a= ，求2a2+8a+1的值．
【答案】(1) (2) (3)3
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
（1）解： = ；
（2）原式= -1+ + +…+ = ；（3）∵a= = = ，
∴a+2= ，∴（a+2）2=5，即a2+4a+4=5，
∴a2+4a=1，∴2a2+8a+1=2（a2+4a）+1=2×1+1=3．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，正确变形和运用整体思想是解此题的关键．
22．（2022·湖北武汉·七年级期中）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4
个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C ，正方形的周长为C ，则C
圆 正 圆
_______C （填“＝”或”＜”或“＞“号）
正
（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长
方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
【答案】（1） ；（2）＜；（3）能裁出这样的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的面积即可求得；
（2）设圆的半径为r，正方形的边长为a，分别求得C 与C ，再比较大小可得到结论；
圆 正
（3）设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，令5x4x=300，得到 ，求得长方形的长为 ，由于
⋅
，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵两个边长为1cm的小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为 =2，
∴大正方形的边长为 ；
故答案为： ；（2）设圆的半径为r，正方形的边长为a，
∵一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，
， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：<；
（3）能裁出，
理由如下：
设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，
则5x4x=300，
⋅
解得： ，
∵x>0，
∴ ，
∴长方形的长为 ，
∵ ，
∴正方形的边长为20cm，
∵ ，
∴能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】本题考查了算术平方根，正方形的面积公式，圆的面积公式，无理数的估算，正确的理解题意是
解题的关键．
23．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部
分，
即 的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：(1) 的小数部分是________， 的小数部分是________．
(2)若a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的平方根．
(3)若 ，其中x是整数，且 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)11．
【分析】（1）确定 的整数部分，即可确定它的小数部分；确定 的整数部分，即可确定 的
整数部分，从而确定 的小数部分；
（2）确定 的整数部分，即知a的值，同理可确定 的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，
则可以求得代数式 +1的值，从而求得其平方根；
（3）由 得即 ，从而得x=9，y= ，将x、y的值代入原式即可求解．
（1）解：∵ ，
∴ 的整数部分为3，
∴ 的小数部分为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ 的整数部分为1，
∴ 的小数部分为 ，
故答案为： ， ；（2）解：∵ ，a是 的整数部分，
∴a=9，
∵ ，
∴ 的整数部分为1，
∵b是 的小数部分，
∴ ，
∴
∵9的平方根等于 ，
∴ 的平方根等于 ；
（3）解：∵ ，
∴ 即 ，
∵ ，其中x是整数，且 ，
∴x=9，y= ，
∴ ．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
24．（2022·成都市八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一
个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a
＝ ，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3） ﹣1．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到 ，再利用对应值相等即可用
m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵ ，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵ ，
则 ．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握
和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
25．（2021·江西赣州·八年级期中）（阅读材料）如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等
式： 且仅当 时取等号，我们把 叫做正数 ， 的算术平均数，把 叫做正数 ，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几
何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
（实例剖析）已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，
式子有最小值，最小值为4．
（学以致用）根据上面材料回答下列问题：
（1）己知 ，则当 ______时，式于 取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为 的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最
短的篱笆是多少？（3）己知 ，则 ______时，分式 取到最大值，最大值为_____．
【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）
3，
【分析】（1）令a=x，b= ，根据 即可得答案；
（2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为 米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以
2，根据阅读材料即可求解；
（3）设 ，则 ，根据 可求出 的最小值，即可得 的最
大值，即可得答案．
【详解】（1）令a=x，b= ，
∵ ，∴ =2，
∴当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为2．
故答案为：1，2（2）设这个矩形的长为 米，所用的篱笆总长为 米，
∵围一个面积为 的长方形花园，
∴宽为 米，∴
∵ ，∴ ，
当且仅当 时，即 时 有最小值，最小值为40．
时， =10，
∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．
（3）设 ，则 ，
∵ ，∴ ≥ =4，
∴当且仅当 时，即x=3时， 有最小值4，
∴当x=3时， 的最大值为 ，即 取到最大值为 ．故答案为：3，
【点睛】本题主要考查阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，理解阅读材料介绍的知识是解题的关键．
26．（2022·成都市·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较 和 的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为 ，所以 ．再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 可知 ，而 ，
当 时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2） 的最大值为2，最小值为 ．
【分析】（1）利用分子有理化得到 ， ，然后比较 和
的大小即可得到 与 的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到 ，而 ，利用当 时， 有最
大值1， 有最大值1得到所以 的最大值；利用当 时， 有最小值 ， 有最
小值0得到 的最小值．
【详解】解：（1） ，
，
而 ， ，
，
；
（2）由 ， ， 得 ，
，
∴当 时， 有最小值，则 有最大值1，此时 有最大值1，所以 的最大值为2；
当 时， 有最大值，则 有最小值 ，此时 有最小值0，所以 的最小值
为 ．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提
供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
