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第二章 实数单元测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握形如 的式子称为二次根式是解题的关键．
根据二次根式的定义，若被开方数为负数，则不属于二次根式．据此逐一判断即可．
【详解】解：A： ，被开方数为 ，是负数，不符合二次根式的定义，不是二次根式．故此选项符合
题意．
B： ，无论 取何实数， ，被开方数非负，属于二次根式．故此选项不符合题意．
C： ，被开方数为 ，是正数，属于二次根式．故此选项不符合题意．
D： ，被开方数为 ，是正数，属于二次根式．故此选项不符合题意．
故选：A．
2．如图，数轴上的点 表示的无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数轴上的点表示无理数、无理数估算等知识，根据数轴上的点的位置得到当令点 表示
的无理数为 ，则 ，根据选项中各个无理数，估算其范围即可得到答案．熟练掌握无理数估算方法
是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，令数轴上的点 表示的无理数为 ，则 ，
A、由 可得 ，则数轴上的点 表示的无理数可能是 ，符合题意；B、由 可得 ，则 ，故数轴上的点 表示的无理数不可能是 ，不符合题
意；
C、由 可得 ，则数轴上的点 表示的无理数不可能是 ，不符合题意；
D、由 可知数轴上的点 表示的无理数不可能是 ，不符合题意；
故选：A．
3．已知二次根式 与 是同类二次根式，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根
式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解： 、当 时， 与 不是同类二次根式，不符合题意；
、当 时， 与 是同类二次根式，符合题意；
、当 时， 与 不是同类二次根式，不符合题意；
、当 时， 与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选： ．
4．估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算，根据 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值应在4和5之间．
故选：C．5．下列各数中： ，0.618， ， ， ，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数即为无理数，开方开不尽的数，含有 的数，都是无理数，
据此判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
无理数是 ， ，共两个，
故选：A．
6．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式乘法法则、化简及运算规则．
分别对每个选项依据二次根式相关规则计算，判断对错．
【详解】A、根据二次根式乘法法则 ，计算正确；
B、先化简 ，则 ，计算正确；
C、 ，计算正确；
D、先计算 ；再看 ，计算错误．
故选：D．
7．若 的整数部分为a，小数部分为b，则 （）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，解题关键是利用平方数大
小关系确定 的范围，从而得到其整数部分与小数部分．1．利用 ， ， ，确定 的范围为 ，得出整数部分 ，小数部分 ．
将 、 的值代入 ，利用平方差公式计算出结果 ．
【详解】 ， ， ，
，
的整数部分 ，小数部分 ，
原式
，
故选：B．
8．现对实数 ， 定义一种运算： ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得．
【详解】解： ，
，
故选：A．
9．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断 ，然后根据二次根式的性
质化简即可．
【详解】解：∵∴
∴
．
故选A．
10．在 中， 分别是 的对边．若 ，则这个三角形一定
是（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查偶数次幂，绝对值，算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理，依据偶数次幂，
绝对值，算术平方根的非负性求得a、b、c的值，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵
满足 ，
∴ 为等腰直角三角形．
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】10（答案不唯一）
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，在x取值范围内取值即可．【详解】解：若二次根式 在实数范围内有意义，则 ，
解得 ，
故实数x的值可以是10，
故答案为：10（答案不唯一）．
12．比较大小：
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，估算无理数．熟练掌握会估算无理数的大小是解题的关键．
先估算出 ，从而得出 ，再利用不等式性质得到 即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
13．已知n是正整数， 是整数，则n的最小值为 .
【答案】7
【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握 ．首先把 进行化简，
然后根据 是整数确定n的最小值．
【详解】解： ，
∵ 是正整数， 是整数，
∴ 是完全平方数，
∴n的最小值是7.故答案是：7．
14．已知实数 ， 满足 ，则代数式 的立方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，求立方根，先根据非负数的性质求出 ，
，再求出 的值，最后根据立方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴代数式 的立方根是 ，
故答案为：2．
15．裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为 ，长为 ，则该长方形银片
的宽为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的除法，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽．
【详解】解：∵长方形银片的面积为 ，长为 ，
∴该长方形银片的宽为 ，
故选： .
16．定义运算： ．例如 ．若 ，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定
义得到 ，进而得到 ，然后根据平方根的定义求解即可．【详解】解：根据题意，由 得
∴
解得
故答案为：
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）计算： ．
（2）求式中x的值： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．
（1）根据实数的运算法则，先算化简绝对值，算术平方根，再计算加减，由此即可求解；
（2）根据立方根的定义，即可求解．
【详解】解：（1）原式
．
（2） ，
，
，
．
18．计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是银题的关键．
（1）先化简各二次根式，再计算括号内的，然后计算除法，最后计算加减即可；
（2）先用完全平方公式计算，二次根式除法法则计算，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．已知正数m的两个平方根分别是 和 ， 的立方根是 ．
(1)求a和正数m及b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根和立方根：
（1）正数有两个互为相反数的平方根，可得 ，可求得a的值，由 的立方根为
可求得b的值；
（2）由（1）知a和b的值，得 的值，进而得 的算术平方根．
【详解】（1）解：∵正数m的两个不同平方根分别是 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的立方根是 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）有 ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为 ．
20．在实数范围内定义运算：“※”： ，例如： ．
(1)若 ， ，计算 的平方根；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本考查主要考查了新定义运算、平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键．
（1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据平方根的定义即可；
（2）根据题意得到 ，然后整理后利用平方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴
∴ 的平方根是 ；
（2）解：∵ ， ，
∴
∴
∴
∴ 或
21．一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的 值为25时，输出的 的值是________；
(2)若输出的 值是 ，试写出两个满足要求的 的值：________；(3)若输入 （ 为非负数）值后，始终输不出 的值，请直接写出所有满足要求的 的值．
【答案】(1)
(2)7和49（答案不唯一）
(3)0，1
【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键；
（1）根据转换器的运算程序求解即可；
（2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是 ，即可得到答案；
（3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答．
【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即 ，5是有理数，
第二次输入，取算术平方根，即 ，是无理数，
所以输出的y值是 ；
故答案为： ；
（2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是 ，
∴满足要求的x的值可以是7和49；
故答案为：7和49（答案不唯一）
（3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当 和1时，始终输不出y的值．
22．数轴上点与实数一一对应．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C分别代表实数a，
b，c，其中 ， ．设实数a，b，c的和为p．
(1)若点B为原点，求a，c，p的值；
(2)若原点为O，且 ，求p的值．
【答案】(1)
(2) 或【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的加减，
对于（1），先分别表示出a，b，c，再求出p，即可得出答案；
对于（2），根据 ，可分两种情况讨论，当原点在点C的左侧时；当原点在点C的右侧时，结合
，可得出a，b，c，再求出答案．
【详解】（1）解：∵点B是原点，且 ，
∴ ，
则 ；
（2）解：当原点O在点C的左侧时，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当原点在点C的右侧时，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
所以p的值为 或 ．
23．小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规
律．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)具体运算，发现规律特例1：
特例2：
特例3：
特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想
如果 为正整数 ，用含 的等式表示上述的运算规律为______．
(3)应用运算规律化简：
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律.
（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意得： ，
故答案为： ；
（2）解：特例1：特例2：
特例3：
用含n的式子表示为： ，
故答案为： ；
（3）解： ．
24．先阅读，再解答．由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，
有时可以化去分母中的根号，例如： ．．请完成下列问题：
(1) ___________； ___________．
(2)利用这一规律计算：
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法
则等知识点．
（1）根据有理化因式和平方差公式求解即可；
（2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可．【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ， ；
（2）解：
．
25．阅读下面材料：
①计算： ．
②化简： ．
解：设 ， ；
， ；
， ，且 ；
， ；；
．
完成下列问题：
(1)计算： ； ；
(2)解方程： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)3
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用；
（1）直接分母有理化化简 ，把 化为 再进一步化简即可；
（2）设 ， ，可得 ， ，可得 ，
再进一步求解即可；
（3）设 ，可得 ， ，可得 ，
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解：∵ ，
设 ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的根．
（3）解：∵ ①，
设 ②，
∴① ②得 ，① ②得 ，
∴ ③， ④，
∴③ ④得 ，
③ ④得 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
