第二章有理数及其运算_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_03教案_全册教案（第2套）

七年级数学·上 新课标[北师] 第二章 有理数及其运算 1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小. 2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义(这里a表示有理数). 3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内 为主). 4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算. 5.能运用有理数的运算解决简单的问题. 1.在求一个数的相反数和绝对值的过程中,让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方 法. 2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法 和技巧. 3.能用科学记数法表示数,以及用四舍五入法取近似数,掌握其表示的方法. 1.在认识数的过程中,体验知识之间的必然联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣. 2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具. 3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心. 对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张, 了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感 受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系. 就学生的学习而言,负数的概念、意义有一定的抽象性,为什么要引进负数正是学生理解 的困难所在.从数学的发展进程来看,数的出现的主要原因更多的是由于对实际现象(事物) “表示”的需要.所以教材遵循历史发展的过程,采用这样的线索展开:产生的实际背景—— 有理数的意义——数的表示. 对于有理数运算法则的获得,教材没有采用直接给出的方式而是设置了丰富的现实背景, 如足球比赛中的净胜球数、气温变化等,以直观形象地解释、归纳、探索的方式,寻求有理数 运算法则和运算律.如有理数的加法法则,仅仅借助数轴理解,学生会有一定的困难,所以教材 先从知识竞赛中的答对题数与答错题数入手,使学生首先理解(+1)+( - 1)=0和( - 1)+(+1)=0,然 后利用“正负抵消”的思想,讨论整数加法的几种情形,最后再由特例归纳出有理数的加法法 则,并借助数轴加深理解. 基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解,所以为了避免因为小数、分数运 算的复杂性而冲淡学习的重点,有理数的运算以整数运算的学习为出发点,然后过渡到含有小 数、分数的运算.【重点】 理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较 大的数. 【难点】 利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题. 1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际 背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念. 2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习的机会,只有通过一 定量的计算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、 猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律. 3.对绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程,与绝对值相关的知识,如数轴上两点 之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及. 本章安排绝对值概念,目的是为有理数的运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要 求.教材中用字母表示求一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学 时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论. 4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法. 5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用. 1 有理数 1课时 2 数 轴 1课时 3 绝对值 1课时 4 有理数的加法 2课时 5 有理数的减法 1课时 6 有理数的加减混合运算 3课时 7 有理数的乘法 2课时 8 有理数的除法 1课时 9 有理数的乘方 2课时 10 科学记数法 1课时 11 有理数的混合运算 1课时 12 用计算器进行运算 1课时 本章概括整合 1课时 1 有理数1.通过实例理解引入负数的必要性和负数应用的广泛性,理解有理数的含义,体会有理数 应用的广泛性. 2.能用正数和负数表示具有相反意义的量. 3.培养逻辑思维能力,以及按一定规律对事物进行分类整理的能力. 会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,能把有理数 合理分类和把具体数正确归类. 1.通过实例,使学生深刻体会到有理数和负数的实用性,加深对数的理解. 2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要. 3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际生活中各种问题的必要性,增强学习数学知 识的兴趣. 【重点】 负数的意义、特点及实际应用,有理数的概念,能够对学过的数进行分类. 【难点】 正确用正、负数表示生活中具有相反意义的量,正确理解有理数的概念,会合 理进行有理数的分类和把具体数归类到相应的数集. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P . 23~24 导入一: 师:同学们小学都学过哪些数? 生:整数、小数、分数、奇数、偶数…… 师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有, 随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分 数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢? [设计意图] 通过介绍数的产生与发展,向学生渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点, 使同学们感到数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要,也为讲述有理数概念及 其分类做好铺垫. 导入二: 观察课本P22的图片. 珠穆朗玛峰高出海平面8844 m,记作:+8844 m;吐鲁番盆地低于海平面155 m,记作: - 155 m. 教师出示图片,并提出问题: 1.生活中我们会遇到用负数表示的量,你能说出一些例子吗?2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识? 3.有了负数,数的运算与过去相比有什么区别和联系?有了负数,能解决哪些实际问题? 本章将在小学学习的基础上,进一步学习负数,研究有理数的有关概念及其运算,并利用 有理数的知识解决实际问题. [设计意图] 通过提供学生熟悉的情境引导学生回顾小学有关负数的知识,三个问题不 仅为本节课成功引入,也为本章的学习做了铺垫.学生在对问题的思考与交流中体会负数在生 活中的广泛应用,激发了学生学习本章内容的兴趣. [过渡语] 同学们,生活中处处有数学,下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧! 探究活动1 认识生活中的负数 (出示课件1) (例题讲解)请同学们完成以下问题,并与同伴交流. 某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队 的基本分均为0分.两个队答题情况如下表: 答题情况 第 一 队 第 二 队 如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗? 思路一 试完成下表: 答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分 第一队 +6 第二队 - 2 思路二 提出思考问题: (1)第一队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的? (2)第二队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的? (3)如何理解+6和 - 2? (出示课件2) (教材议一议)生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.想一想:根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上 的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗? [处理方式] 学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评. 师生总结:“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相 反意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把 与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示. [设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,用知识竞赛得分的 情境启发学生用正、负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用 正、负数表示的量,从而体会学习负数的必要性.从学生熟悉的情境讨论问题,学生积极参与, 在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要. 探究活动2 用正、负数表示生活中具有相反意义的量 [过渡语] 我们已经认识了负数,你能顺利的利用正数和负数表示生活中具有相反意义 的量吗?请同学们观察教材例题,想一想如何解答.(课件3出示) (出示课件3) (教材例题) (1)某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈 怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02 g 记作+0.02 g,那么 - 0.03 g表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g” 表示什么? [处理方式] 学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的 量. 思路一 如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是 ,所以沿顺时针方向转了12圈可表示为 ; 一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作 +0.02 g,那么和超出标准质量具有相反意义的量是 ,所以 - 0.03 g可以表示为 ;综上所述,“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g” 表示 . 思路二 (1)想一想:什么是具有相反意义的量? (2)品一品:如何表示具有相反意义的量?(3)考一考:和逆时针方向具有相反意义的量是 ,和超出标准质量具有相反意义的 量是 . 【师生活动】 学生讨论,教师巡视发现问题,并及时解决. 解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作 - 12圈. (2) - 0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g. (3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米可能有150 g的误差,即每袋大米的 净含量最多是10 kg+150 g,最少是10 kg - 150 g. [过渡语] 同学们,我们已经知道了可以用正数和负数表示具有相反意义的量,那么一起 来试一试吧. 反馈练习 (出示课件4) (1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么? (2)东、西为两个相反方向,如果 - 4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么? 物体原地不动记为什么? (3)某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么? 议一议:你能选定一个高度为标准,用正、负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标 准的差异吗?你是怎样表示的?与同伴交流. 通过例题和练习题的分析,让学生知道用正、负数表示相反意义的量时要明确“基准”. 教材例题中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球的标准质量”“10 kg”. “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”. 学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不 是所有的基准都必须为0. 探究活动3 有理数的概念及分类 1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零, 引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分 数包括正分数、负分数. 整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下) 正整数 { { 整数 0 有理数 负整数 分数{正分数 负分数 2.有理数的分类. 问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常 不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法 呢? 待学生思考后,请学生回答、评议、补充. 教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内, 正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标 准,但必须对讨论对象不重不漏地分类. [设计意图] 使学生在原有认知结构的基础上,将数扩充到了有理数的范围.通过练习使 学生加深理解有理数的意义. [知识拓展] 对正数和负数的理解要注意以下几点:(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量 即为负. (2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深 刻的认识. (3)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的 “+”可以省略. 即时巩固 1 1 1 1 36 37 将下列各数填入到相应的数集中: - 2015, - , , , - 5 , - 7.3,3, ,0.1,92, - . 3 4 2 3 9 4 正数集合{ …}; 负数集合{ …}; 正整数集合{ …}; 负整数集合{ …}; 分数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 负有理数集合{ …}; 有理数集合{ …}. 36 〔解析〕 小数 - 7.3,0.1都属于分数, =4不属于分数.(学生口述解答过程,师总结、 9 板演) 1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量. 2.正数前面添上“ - ”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界限. 3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、 负有理数分成三大类. 1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么记为 - 3千米表示的是( ) A.向西行驶3千米 B.向南行驶3千米 C.向北行驶3千米 D.向东南方向行驶3千米 解析:先根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,而 - 3千米表示的应是向西行 驶3千米.故选A. 1 1 2.在0,2, - 7, - 5 ,3.14, - 3 , - 3,+0.75中,负数共有( ) 3 7 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 1 解析:在正数的前面加上“ - ”号的数即是负数,本题中的 - 7, - 5 , - 3 , - 3是负数. 3 7 故选D. 3.飞机上升了 - 80米,实际上是 ( ) A.上升80米 B.下降 - 80米C.先上升80米,再下降80米 D.下降80米 解析:解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表 示与上升意义相反,即下降.故选D. 4.举一个能用正数、负数表示生活中的量的实例,并解释其中相关数量的含义. 解:本题答案不唯一,只要满足题意即可,如:河道中第一天的水位是 - 0.2米,第二天的水 位是+0.3米,其中 - 0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米. 1 有理数 1.认识生活中的负数. 2.用正、负数表示生活中具有相反意义的量. 3.有理数的概念及分类. 一、教材作业 【必做题】 教材第26页习题2.1的2,3题. 【选做题】 教材第26页习题2.1的4,5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列结论中正确的是( ) A.0既是正数,又是负数 B.0是最小的正数 C.0是最大的负数 D.0既不是正数,也不是负数 2.向东运动记作“+”,向西运动记作“ - ”,下列说法正确的是 ( ) A. - 5米表示向东运动了5米 B.向西运动5米表示向东运动了 - 5米 C.+5米表示向西运动了5米 D.向西运动5米也可以记作向西运动 - 5米 3.武汉市夏季气温比较高,若以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38 ℃与28 ℃分别记作 ( ) A.+8 ℃ - 2 ℃ B.+8 ℃ +2 ℃ C. - 8 ℃ - 2 ℃ D. - 8 ℃ +2 ℃ 4.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2) ℃,该药品在 温度范围内保存才合 适. 5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数. 22 3 - 18,+ ,3.1416,0.2011, - , - 0.1010…, - π, - 2,99%. 7 5 【能力提升】 6.如果海平面的高度为0 m,一潜水艇在海平面以下40 m处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10 m处游动,试用正、负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量. (1)钟表的指针逆时针方向旋转20°记作 - 20°,顺时针方向旋转30°记作 ; (2)运进200箱记作 ,运出150箱记作 - 150箱. 【拓展探究】 8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100 m记作 - 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m是什么意思?这时他停下来休息,此时 他在A地的什么方向?距A地多远? 【答案与解析】 1.D(解析:根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.故选D.) 2.B(解析:A. - 5米表示向西运动了5米,故A错误;C.+5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西 运动5米记为 - 5米,故D错误.故选B.) 3.A (解析:因为以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38 ℃与28 ℃分别记 作:+8 ℃, - 2 ℃.故选A.) 4.18~22 ℃(解析:温度是20 ℃±2 ℃,表示最低温度是20 ℃ - 2 ℃=18 ℃,最高温度是20 ℃ +2 ℃=22 ℃,即18~22 ℃之间是合适温度.) 22 3 5.解:正数有:+ ,3.1416,0.2011,99%;负数有: - 18, - , - 0.1010…, - π, - 2. 7 5 6.解:因为海平面的高度为0 m,所以低于海平面的高度为负数,由于潜水艇和鲨鱼的高度都在 海平面的下方,故分别为 - 40 m和 - 30 m. 7.(1)+30° (2)+200箱 8.解:如果把向北跑1100 m记作 - 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m,说明小明又向南跑了1200 m,此时他在A地的南边,距A地的距离=1200 - 1100=100(m). 本节课从学生较熟悉的珠穆朗玛峰、气温开始,接下来从具体问题情境出发,使学生感受 到现有的数确实不够用了,唤起学生的好奇心和求知欲,然后引出负数、正数和零的概念和实 际意义,接着引导学生回顾、总结学过的数,告诉学生有理数的意义,和学生一起探讨有理数 的分类,这样学生易于接受,在学习过程中,学生经历了观察、比较、归纳、总结,学会了研究 问题、解决问题的方法,加深了对所学知识的理解,完成了从数不够用到数可以表示具有相反 意义的量的成长过程。 学生在刚开始接触这部分内容时或多或少会有点不习惯.对具有相反意义的量的理解不 是太好,学习中发现仍有部分同学在书写负数时漏掉负号. 在教学方法和教学语言的选择上,尽可能注意中小学的衔接,既不违反科学性,又符合可 接受性原则,教师在课堂上要起到主导作用,并让学生有充分的活动机会,使得课堂气氛有新 鲜感. 随堂练习(教材第25页)1.解:(1)零下3 ℃记作 - 3 ℃. (2)+2 m表示向东运动2 m,物体原地不动记作0 m. (3)运 出3.8 t记作 - 3.8 t. · 1 2 1 2.解:正数集合: 3,5.6,15, ,… ;负数集合: - 7, - , - 8 ,… ;整数集合: 3, - 7,0,15,… ;分 9 3 4 2 · 1 1 数集合: - ,5.6, - 8 , ,… . 3 4 9 习题2.1(教材第26页) 1.解:答案不唯一.如球队得10分与失3分,利率上调5%与下降2%,乒乓球超出标准重量0.02 g与低于标准重量0.01 g,可分别表示为+10分与 - 3分,+5%与 - 2%,+0.02 g与 - 0.01 g. 2.解:(1) - 10 kW·h. (2)+100.57元表示盈利100.57元. (3) - 6%表示减少6%. 4 7 9 4 3.解:正整数:7;负整数: - 301;正分数: ,31.25, ;负分数: - 9.25, - , - 3.5;正数:7, ,31.25, 27 15 10 27 7 9 ;负数: - 9.25, - , - 301, - 3.5. 15 10 100 20 4.解:正数集合: +2,+70,+1.5,+ ,+1200,… ;负数集合: - 5.4, - 10, - , - 130, - 1540,… 3 7 .(答案不唯一) 5.解:不对,因为0既不是正数,也不是负数. 6.解:设标准体重为50 kg,超过部分记为正,不足部分记为负,依次表示为+2,+1.5, - 0.5,+0.5, - 5,+6, - 2.5, - 7.5.(答案不唯一) 1.现实生活中,“具有相反意义的量”的实例非常多,学生列举实例的前提是教师要引导 学生分析出这些实例的共同特点.对有理数的分类同样要引导学生先去观察、概括、对比、 交流、讨论,所以本节课主要采取启发引导的教学方法. 2.由于这节课是让学生列举现实生活中“具有相反意义的量”的例子,并用正数和负数 来表示,在实际背景中理解正数和负数的意义.还有让学生自己总结已经学过的数,尝试进行 分类,通过交流、讨论和教师的引导,得到有理数的分类,所以独立思考、自主互助学习是本 节课的主要方式. 1 2 3 4 5 6 观察下面一列数: - , - , - , - , - , - ,…. 2 3 4 5 6 7 (1)写出第7个数和第8个数; (2)第400个数是多少? (3)如果这一列数无限排列下去,那么与哪个数越来越接近? 〔解析〕 认真观察这列数,可发现均为负数,分子分别为1,2,3,…,分母相应地为2,3,4,…, 利用这些规律,问题便可得解.7 8 解:(1)第7个数是 - ,第8个数是 - . 8 9 400 (2)第400个数是 - . 401 (3) - 1. [解题策略] 注意分子、分母的排列及它们与项数之间的关系,由简单的、特殊的着手, 发现规律,进一步验证后,再推广到一般. 2 数 轴 1.识记数轴三要素并会画数轴. 2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点表示的数,并会利用数轴比较有 理数的大小. 通过对比与迁移来掌握数轴的概念和性质. 1.通过数轴与数的结合,培养数形结合思想. 2.在实践与交流中进行自主学习,培养自学能力. 3.将所学知识进行归纳、比较,提高语言表达能力和概括能力. 【重点】 1.数轴的概念. 2.用数轴上的点表示有理数. 【难点】 利用数轴比较有理数的大小. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P . 27~28 导入一 温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具,你会读温度计吗? 【思考】 (1)图中温度计上显示的温度各是多少?(2)温度计上的刻度有什么特点? [处理方式] 找几个同学读温度计,看温度计时,因为它上面标有刻度数,所以我们只需看 一看温度计液面指在哪个刻度上,就知道温度了.通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的 特点.(通过多媒体展示读温度计的方法) 导入二 在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一 棵杨树,汽车站西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境. 【思考】 (1)汽车站东3 m和西3 m分别表示什么意义? (2)汽车站处可以理解为温度计的什么点? 请你尝试画图理解. [处理方式] 理解题意,思考,并根据题意画图.教师指导,根据学生的画图情况用实物投影 展示,对于作图较好的学生给予表扬. [设计意图] 结合实例使学生以轻松愉快的心情进入到本节课的学习,在生活中发现数 学,让学生感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识,同时对新 知识的学习有了期待,创设问题情境,激发学生学习热情,培养学生学习兴趣. [过渡语] 由上述两问题得到什么启发?你能用一条直线上的点表示有理数吗? 探究活动1 数轴的画法 思路一 (1)学生小组活动,在讨论的基础上动手操作,在操作的基础上归纳出:可以表示有理数的 直线必须满足什么条件?从而得出数轴需满足的三个条件:原点、正方向、单位长度. (2)让学生根据自己的理解,小组内交流,用一条直线上的点表示有理数.用实物投影仪展 示学生的画图,引导学生发现画图中出现的问题,不断完善数轴的画法.板演具体画法: 第一步:画一条水平直线,定原点(如图(1)),原点表示0. 第二步:规定从原点向右的方向为正方向,那么相反的方向(从原点向左)则为负方向(如图 (2)). 第三步:选择适当的长度为单位长度(如图(3)). 思路二 提出思考问题: (1)小学数学是如何利用温度计表示正数和零的? (2)如何利用直线上的点表示有理数? [处理方式] 学生在讨论的基础上动手操作,一边画图一边说画法,然后教师加以矫正.要强调说明的是正数从0向右写,负数从0向左写,并且总结数轴的画法,最后强调数轴必 须满足三个条件:原点、正方向、单位长度.也可以类比于温度计,把温度计水平放置即可. [设计意图] 借助于温度计作类比,让学生分组展开积极讨论,引导学生合作学习,指出画 数轴需要具备的条件,从而揭示了本节的目标,即让学生正确地画出数轴. 教师引导学生总结出: 画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直 线上向右的方向为正方向,就得到了数轴. 几点说明: (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可; (2)直线一般画水平的; (3)原点可取直线上任一点,但一取定就不再改变; (4)正方向用箭头表示,一般取从左到右; (5)单位长度的选取应结合实际需要,但一取定就不再改变,要做到刻度均匀. 探究活动2 抽象建模 观察画好的数轴(如图所示),思考以下问题: (1)原点表示什么数? (2)原点右方表示什么数?原点左方表示什么数? 1 (3)+3, - 4, , - 1.5,0分别在数轴的什么位置? 4 [处理方式] 学生思考,并与同桌相互叙述,互相纠正补充,语句通顺后举手回答. 结论: (1)根据点在原点的左右两边确定有理数的符号. (2)根据点与原点的距离确定数值. [设计意图] 加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想. [过渡语] 我们已经认识了数轴,知道了画数轴需要满足的三个条件,那么请同学们观察 例1,想一想如何解答.(出示例1) 指出数轴上A,B,C,D各点分别表示什么数. [处理方式] 先给学生10秒钟时间观察例1中数轴的特点,再分别回答,教师板书,在学 生口述过程中,教师可进行有针对性的提问,让学生明确A,B,C,D四点所表示的数是什么;根据 学生的生活经验,不难得出结论,所以让学生直接口答说出答案. 解:A点表示 - 2,B点表示2,C点表示0,D点表示 - 1. [设计意图] 通过学生指出数轴上已知点所表示的数,是由“形”到“数”的思维过程, 加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想. 3 3 画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数: , - 5, 0, 5, - 4, - . 2 2 [处理方式] 首先让学生到黑板上正确地画出数轴,其他学生在练习本上完成,教师巡视. 学生完成后教师及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题,并进行矫正.让学生互相提问、 3 点评.一般情况下,整数点比较好找,分数点有一定的难度,特别在找 - 的位置时,相当多的同 21 学可能要出现错误,可能选择在 - 处,所以教师要及时引导和矫正. 2 解:如图所示. [设计意图] 本题是用给定的数在数轴上进行描点,是由“数”到“形”的思维过程,再 次渗透数形结合的思想. 探究活动3 观察思考,发现规律 (1)我们把温度计按如图所示的方式放置,温度变化的规律是什么? (2)①数轴上的两个点,右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系? ②正数、负数在数轴上的什么位置?判断它们的大小. [处理方式] 观察温度计上的温度变化,猜想数轴上的原点右边的数与左边的数之间存 在怎样的大小关系.你能得出哪些结论?类比温度计上的温度变化,让学生通过数轴观察、小 组交流,得出第1个问题的答案:温度计上的温度会越往右越高,利用类比的方法观察数轴也会 发现数轴上的点表示的数由左向右越来越大.根据学生的回答情况,引导学生总结出: 数轴上两个点所表示的数,右边的总比左边的大. 正数大于0,负数小于0,正数大于负数. [设计意图] 继续运用类比的方法,通过演示和讲解,强化学生的视觉感受,从而得出有理 数大小比较的方法,深化对数轴的认识,进一步渗透了数形结合的思想. 即时巩固 比较下列每组数的大小,并说明理由. 3 (1) - 2和+6;(2)0和 - 1.8;(3) - 和 - 4. - 2 [处理方式] 由学生讨论、自己动手做,借助数轴或结论比较数的大小.可由三名学生黑 板板演,其他学生在练习本上完成,然后给板演的答案纠错、规范解答步骤,最后教师出示解 答步骤,学生更改自己解题答案或步骤. [设计意图] 通过练习加深利用数轴比较数的大小,即数轴上两个点所表示的数,右边的 总比左边的大,正数大于0,负数小于0,正数大于负数,从而深化了目标. [知识拓展] 数轴是一条直线,可向两方无限延伸,数轴的三要素为原点、正方向、单位 长度.画数轴时,三要素缺一不可.原点的选择和长度单位的大小是根据需要确定的,一般取向 右的方向为正方向.任何一个有理数都能表示在数轴上,但数轴上的点并不都表示有理数. 本节课主要学习了: 1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 2.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度. 3.利用数轴进行有理数的大小比较.1.若数轴规定了原点向右的方向为正方向,则原点表示的数为 ,表示负数的点在 原点的 ,表示正数的点在原点的 . 答案:0 左侧 右侧 2.在数轴上,表示有理数 - 3的点与原点的距离为 个单位长度. 解析:表示 - 3的点是在原点左边离原点的距离为3个单位长度的点.故填3. 3.如图所示的图形中,不是数轴的是 ( ) 解析:此题考查的是数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.故选B. 4.如图所示,在数轴上A,B两点所表示的有理数分别为 ( ) A.3.5和3 B.3.5和 - 3 C. - 3.5和3 D. - 3.5和 - 3 解析:在数轴上原点右边的数为正数,左边的数为负数,所以A表示 - 3.5,B表示3.故选C. 5.下列说法中,正确的是( ) A.数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线 B.离原点近的点所表示的有理数较小 C.数轴上的点可以表示任意有理数 D.原点在数轴的正中间 解析:选项A,数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线是错的;选项B,离原点近 的点所表示的有理数较小是错的;选项C,数轴上的点可以表示任意有理数是对的;选项D,原点 在数轴的正中间是错的.故选C. 6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则 ( ) A.a,b,c均是正数 B.a,b,c均是负数 C.a,b是正数,c是负数 D.a,b是负数,c是正数 解析:本题考查数形结合思想,a,b在数轴上原点的左侧,为负数,c在数轴上原点的右侧,为 正数.故选D. 7.如图所示,在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点是 ( ) A.点D B.点A C.点A和点D D.点B和点C 解析:本题考查数形结合思想,在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点有两个,为表示 3和 - 3的点,所以点A和点D符合要求.故选C.2 数 轴 1.数轴的画法 2.抽象建模 例1 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第29页习题2.2的1,2,3题. 【选做题】 教材第29页习题2.2的5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是 ( ) A.负数 B.非负数 C.正数 D.正整数和0 2.在数轴上,距离原点4个单位长度的点所表示的数是 ( ) A.4 B. - 4 C.±4D.无法确定 3.下列说法中,错误的是( ) A.数轴上原点表示的数是0 B.任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示 C.数轴上到原点的距离为6个单位长度的点表示的数为6 D.数轴上表示正数的点位于原点的右侧 1 4.在如图所示的数轴上标出表示下列各数的点: - 1 ,5,0,2.5, - 5. 2 5.如图所示,指出数轴上的点A,B,C,D所表示的数. 【能力提升】 6.点A从数轴上的原点开始,先向左移动3个单位长度,再向右移动5个单位长度,此时它表示 的数是多少? 7.在数轴上,将点A先向右移动8个单位长度,再向左移动5个单位长度即可到达点B.若点B 表示的数为4,则点A表示的数是多少? 【拓展探究】 8.数轴上的点A对应的数是 - 3,一只蚂蚁从点A出发沿着数轴以每秒2个单位长度的速度爬 行,当它到达数轴上的点B后,立即沿原路返回到点A,共用去11 s. (1)蚂蚁爬行的路程是多少? (2)点B对应的数是多少?【答案与解析】 1.B(解析:数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数,所以数轴上原点及原点右边的点 表示0和正数,即非负数.故选B.) 2.C(解析:数轴上距离原点4个单位长度的点有两个,即表示+4, - 4的点.故选C.) 3.C (解析:选项A,数轴上原点表示的数是0是对的;选项B,任何一个有理数都可以用数轴上的 点来表示是对的;选项C,数轴上到原点的距离为6个单位长度的点表示的数为6是错误的,应 为±6;选项D,数轴上表示正数的点位于原点的右侧是对的.故选C.) 4.解:如图所示. 5.解:点A,B,C,D表示的数分别为 - 4, - 1,0,4. 6.解:从数轴上的原点开始,先向左移动3个单位长度,表示的数为 - 3,再向右移动5个单位长 度,表示的数为2. 7.解:在数轴上,因为点B表示的数为4,所以点B向右移动5个单位长度,再向左移动8个单位 长度就是1.所以点A表示的数是1. 8.解:(1)22个单位长度. (2)由题知A,B两点相距11个单位长度,所以点B对应的数为8或 - 14. 在教学过程中和学生一起抽象出数轴,然后学习数轴的画法和作用.始终注意激发学生的 求知欲,培养学生由浅入深、循序渐进的思维过程.在具有较多的时间和空间的条件下,让学 生亲身参加探索发现,主动地获取知识和技能. 教学过程中运用类比、数形结合的思想让学生从实际问题入手,从模仿开始,由易到难, 遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律,引导学生掌握学习方法,将所学的知识进行归纳、总 结. 学生在画数轴时容易出现一些画法上的小错误,所以作为教师在示范时要同时附上几点 说明:原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 在教学的过程中要注意从培养学生的数形结合思想入手,引导学生进行对比与归纳,增强 学生的自学与理解能力. 随堂练习(教材第29页) 3 解:图略.3>1.5>0> - 0.5> - > - 2. 4 习题2.2(教材第29页) 1.解:A: - 3,B:3.5,C:2,D:0,E:0.5. - 3<0<0.5<2<3.5. 4 4 2.解:如图所示.7> >0> - > - 3.5. 3 51 1 3.解:(1) - 10< - 7. (2) - 3.5<1. (3) - < - . (4) - 9<0. (5) - 5< - 2.7<3. (6) - 4.1< - 2 4 3.9<3.8. 4.解:(1)12.7 ℃>0.5 ℃> - 1.2 ℃> - 7.6 ℃> - 20.8 ℃. (2)略. 5.提示:是0. 1.为了让学生直观理解、接受新知识,借助多媒体辅助教学,通过动画展示数轴的形成过 程,填补学生空间想象不足,培养学生的观察能力. 2.充分发挥教师的主导作用与学生的主体地位,教师精心设问,充分体现知识的发生、发 展过程,解决学生的认知矛盾,培养学生思维的灵活性及创新意识. 如图所示,在数轴上点A表示的数可能是 ( ) A.1.5 B. - 1.5 C. - 2.4 D.2.4 〔解析〕 本题考查数形结合思想.观察数轴知点A位于原点的左侧,故点A表示的是一 个负数.观察数轴可知点A表示的数在 - 3与 - 2之间.故选C. [解题策略] 本题考查了数轴,数轴的三要素(正方向、原点、单位长度),原点左边的点 表示负数,右边的点表示正数. 3 绝对值 1.能借助数轴理解相反数的概念,会求一个数的相反数. 2.理解绝对值的概念,能求一个数的绝对值,知道|a|的含义. 3.会利用绝对值比较负数的大小. 指导学生借助数轴,通过观察实例来理解绝对值的概念,体会绝对值的意义. 1.培养学生数形结合思想.2.提高学生的观察与归纳能力. 【重点】 1.理解绝对值、相反数的概念. 2.会用绝对值解决实际问题. 【难点】 1.利用绝对值比较两个负数的大小. 2.体会绝对值的意义和作用. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P . 30~31 导入一: 问题1 我们正在学习的这一章知识的标题是什么? 问题2 如果我们把数学知识比喻成一条链子的话,那么每一个知识点就是组成链子的每一环,一 环扣一环,环环相扣,才能组成一条完整的链子.你能不能说一下,组成“有理数及其运算”的 这条链子的环,我们已经学过哪几个了? [设计意图] 从给数学打比喻引入,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不 知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会了我们所学知识的内在联系. 导入二: 问题1 如果支出50元记作 - 50元,那么收入50元记作什么? 问题2 河道中的水位比正常水位高3厘米记作+3厘米,那么比正常水位低3厘米记作什么? [处理方式] 引导学生通过类比的方法完成两个问题的解答,然后教师总结这些问题的 共同方面,即实际生活中存在着许多具有相反意义的量,因此产生了正数与负数,并且像+3与 - 3这样的一对数较为特殊,从而引出新课. [设计意图] 用正、负数表示意义相反的量,并发现特殊的一对数,从而为本节课的学习 做好铺垫. 导入三: 3 3 下列各数中: - 3, , - 5,3,0,5, - . 2 2 (1)哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数? (2)画一条数轴,并在数轴上标出上面各数.学生活动:认真思考,动手操作,画数轴标数字. [设计意图] 从学生已有的知识出发,有意识地激活学生头脑中已有的这部分知识,促进 学生把旧知识迁移到新的学习中来,为本节课的学习打下了坚实的基础. 3 3 [过渡语] 请同学们仔细观察下面的数,它们有什么特点: - 3, , - 5,3,0,5, - . 2 2 探究活动1 互为相反数的概念 3 3 3与 - 3有什么相同点?有什么不同点?它们在数轴上的位置有什么关系? 与 - ,5与 - 2 2 5呢?你还能列举两个这样的数吗? 思路一 小组交流讨论它们的异同点,并回答:这三对数中的每两个数只有符号不同. 像以上这样,如果两个数只有 ,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这 两个数互为相反数. 特别地,0的相反数是0. (板书) 正数的相反数是 ; 负数的相反数是 .(板书) 尝试训练 1 分别写出下列各数的相反数:5, - 7, - 3 , +11.2,0. 2 1 1 解: 5的相反数是 - 5, - 7的相反数是7, - 3 的相反数是3 ,+11.2的相反数是 - 11.2, 0 2 2 的相反数是0. [设计意图] 通过学生的自主探究、合作交流、观察发现,理解并掌握本节课的第一个 重点,让学生在尝试中发现,在实践中体验,培养学生观察、分析、归纳、总结的能力. 思路二 3 3 请同学们观察3与 - 3, 与 - ,5与 - 5有什么相同点和不同点,完成以下探究问题,并 2 2 与同伴交流. 如果两个数只有 不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数 .特别地,0的相反数是 . 尝试训练 (1) - 25的相反数是 ; (2)1.7与 互为相反数; (3)x的相反数是 . [处理方式] 学生直接口答,第(3)小题是利用字母表示数,比较抽象,教师可以先让学生讨 论再适当引导. [设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,对相反数的概念从 感性认识上升到理性认识.通过求x的相反数,让学生加深对相反数的理解. 探究活动2 绝对值的概念及其意义 问题1 完成以下问题,并与同伴进行交流.(多媒体出示) (1)请将下面三组数用数轴上的点表示出来,并思考每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系. 3 3 ①3与 - 3;② 与 - ;③5与 - 5. 2 2 (2)在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的 ,并且与原点的距离 . (3)绝对值的概念: 在数轴上,一个数所对应的点与 的 叫做这个数的绝对值. 有理数a的绝对值记作 ,其含义是 . (4)根据绝对值的定义可知,|+2|= ;| - 3|= ;|0|= ;|1.5|= . [处理方式] 在老师的指导下,让学生通过自学与小组讨论相结合的方式初步理解绝对 值的概念,并能利用字母表示出一个数的绝对值,体会到“绝对值”就是一个表示距离的数值. [设计意图] 通过利用数轴上的点学习绝对值的概念,在掌握绝对值概念的同时,体会数 形结合思想的应用. 问题2 如果在你刚才所画数轴的+3和 - 3处各有一只蚂蚁以相同的速度向原点爬去,会是谁先 3 3 爬到原点呢?为什么?观察3与 - 3, 与 - ,5与 - 5这三组数所对应的点在数轴上的位置 2 2 有什么关系? [处理方式] 合作讨论,得出答案是同时到达.因为两只蚂蚁爬行的距离都是3个单位长 度且速度相同.所给的每组数所对应的两个点分别在原点的两侧,而且与原点的距离相等. 师生共同总结:在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离相 等(如图所示).(板书) 在讨论数轴上的点与原点的距离时,只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度,与位 于原点何方无关. 像这样在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.(板书) 例如,+2的绝对值等于2,记作|+2|=2; - 3的绝对值等于3,记作| - 3|=3. [设计意图] 通过学生的自主探究、合作交流、观察发现,理解并掌握本节重点,突破难 点,让学生在尝试中发现,在实践中体验,亲身经历知识的形成过程,培养学生观察、分析、归 纳、总结的能力. 探究活动3 对绝对值概念的进一步理解 在数轴上表示+5 的点到原点的距离是 个单位长度,所以+5 的绝对值是 ,记作 ;在数轴上表示 - 5的点到原点的距离是 个单位长度,所以 - 5的绝对 值是 ,记作 ;0的绝对值是 ,表明它到原点的距离是 个单位 长度,记作 .由此可以看出,不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称 非负数).即对任意有理数a,总有|a|≥0. (板书) 在数轴上表示 - 3的点和表示3的点与原点的距离都是3个单位长度,所以 - 3和3的绝 对值都是3,记作| - 3|=|3|=3.|3| | 3| 口答: |+6|= ;| - 6|= ; = ; - = . 5 5 由绝对值的意义,引导学生归纳出: (1)互为相反数的两个数的绝对值的关系是 . (2)一个数的绝对值与这个数有什么关系? 正数的绝对值是 ;负数的绝对值是 ;0的绝对值是 . (3)|a|= . [处理方式] 在老师的指导下,让学生通过自学与小组讨论相结合的方式逐步加深理解 绝对值的概念. [设计意图] 通过对绝对值的概念的进一步理解,为正确求一个数的绝对值做准备,同时 体会数形结合思想的应用. 探究活动4 例题解析 [过渡语] 我们已经学习了相反数和绝对值,知道了相反数和绝对值的意义,那么请同学 们观察例1和例2,想一想如何解答. 求下列各数的绝对值. 4 - 21, ,0, - 7.8,21,a2. 9 [处理方式] 第1个数,老师先教给学生做法,其余小题学生自己做,写出过程后再分别口 述结果即可;对于最后一个数,是老师补充的,可以先让学生分组讨论,再共同完成. |4| 4 解:| - 21|=21; = ;|0|=0;| - 7.8|=7.8;|21|=21;|a2|=a2. 9 9 议一议:探究如何比较两个负数的大小. (1)在数轴上表示下列各数,并比较它们的大小: - 1.5, - 3, - 1, - 5. (2)求出(1)中各数的绝对值,并比较它们的大小. (3)我发现:两个负数比较大小, . [处理方式] 通过学生的独立思考、交流、讨论,探究并总结比较两个负数大小的方法. [设计意图] 由利用数轴比较两个负数的大小,引导到利用绝对值比较两个负数的大小, 从而探究总结出比较两个负数大小的方法. 比较下列每组数的大小. 5 (1) - 1和 - 5;(2) - 和 - 2.7. 6 〔解析〕 比较两个负数大小的步骤是:(1)先求它们的绝对值;(2)比较它们的绝对值的 大小;(3)根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”比较原数的大小. 解:(1)因为| - 1|=1,| - 5|=5,(首先求出两个负数的绝对值) 1<5,(再比较两个绝对值的大小) 所以 - 1> - 5.(“根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小”下结论) | 5| 5 (2)因为 - = ,| - 2.7|=2.7,(首先求出两个负数的绝对值) 6 6 5 <2.7,(再比较两个绝对值的大小) 65 所以 - > - 2.7.(根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”下结论) 6 [知识拓展] 1.相反数是成对出现的,不能单独出现. 2.距离不能为负值,所以任何一个有理数a的绝对值都是非负数,即|a|≥0. 3.为了便于解决有关绝对值的问题,绝对值的代数意义可以这样理解:正数和0的绝对值 { a(a≥0), 是其本身,负数的绝对值是其相反数,即|a|= - a(a<0). 1.相反数的概念. 2.互为相反数的两个数在数轴上的位置关系. 3.绝对值的意义:(1)几何意义;(2)代数意义. 4.用绝对值比较负数的大小. 1. 的倒数是它本身, 的绝对值是它本身. 解析:倒数等于它本身的数是±1,正数和0的绝对值等于它本身. 答案:±1 正数和0 2.若a+b=0,则a与b . 解析:互为相反数的两个数的和为0.故填互为相反数. 3.绝对值最小的有理数是 . 解析:正数的绝对值是正数,负数的绝对值是正数,0的绝对值为0.故填0. 4.一个数的相反数是8,则这个数的绝对值是 . 解析:因为一个数的相反数为8,所以这个数为 - 8, - 8的绝对值为8.故填8. 1 5.若|x|= ,则x的相反数是 . 5 1 1 1 1 解析:由绝对值的意义可知x=± ,再由相反数的意义可知+ 的相反数为 - , - 的相 5 5 5 5 1 1 反数为+ .故填± . 5 5 3 绝对值 1.互为相反数的概念. 2.绝对值的概念及其意义. 3.对绝对值概念的进一步理解. 4.例题解析. 一、教材作业 【必做题】 教材第32页习题2.3的1,3题. 【选做题】教材第32页习题2.3的4,5,6题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.绝对值最小的正整数是 ,绝对值是1的数是 . 2.绝对值小于4的整数有 . 3.已知数轴上有一点到原点的距离是3个单位长度,则这点所表示的数的绝对值是 , 这点所表示的数是 . 【能力提升】 4.若|x|=2,则x是 ( ) A.2 B.2或 - 2 C. - 2 D.以上都错 |1 | 1 5. a = - a,则a一定是 ( ) 2 2 A.负数 B.正数 C.非正数D.非负数 6.一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m(m>0)个单位长度,则这个数为 ( ) A. - m B.m C.±m D.2m 7 6 7.比较 - 和 - 的大小. 8 7 8.若|x - 2|+|y+3|+|z - 5|=0,求: (1)x,y,z的值; (2)|x|+|y|+|z|的值. 【拓展探究】 9.如果a ,b互为相反数,c, d 互为倒数(如果两个有理数的乘积为1,那么称这两个有理数互为 a+b 倒数),m 的绝对值为2.求式子 +m - cd的值. a+b+c 【答案与解析】 1.1 ±1(解析:绝对值最小的正整数是1, - 1的绝对值是1,1的绝对值是1,所以绝对值是1的 数是±1.) 2.0,±1,±2,±3(解析:由绝对值的几何意义可知绝对值小于4的整数是0,±1,±2,±3.) 3.3 ±3 (解析:由绝对值的意义可知到原点的距离是3个单位长度的数的绝对值是3,这点表 示的数是±3.) 4.B(解析:由题意得x=±2.故选B.) |1 | 1 5.C (解析:由 a = - a可知a是负数或0,即非正数.故选C.) 2 2 6.C(解析:由题意得这个数为±m.故选C.) | 7| 7 49 | 6| 6 48 49 48 7 6 7.解: - = = , - = = ,因为 > ,所以 - < - . 8 8 56 7 7 56 56 56 8 7 8.解:(1)因为|x - 2|+|y+3|+|z - 5|=0,所以|x - 2|=0,|y+3|=0,|z - 5|=0,即x=2,y= - 3,z=5. (2)由 (1)知|x|=2,|y|=3,|z|=5,所以|x|+|y|+|z|=2+3+5=10. 9.解:因为 a ,b 互为相反数,c, d 互为倒数,m 的绝对值为 2,所以 a+b=0, cd=1,m=±2,故a+b a+b + m - cd=0+2 - 1=1或 +m - cd=0 - 2 - 1= - 3. a+b+c a+b+c 本节课引导学生回顾前面学习的内容,接下来和学生一起抽象出绝对值的意义,然后学习 绝对值的求法和应用.在整节课中给学生提供了一定的探索问题的时间和空间,并让学生自己 归纳和总结获得新知识,锻炼了学生有条理的表达能力以及与他人合作交流的能力. 由于本节课的知识点太多,所以上课期间没有给学生提供充足的探索问题的时间和空间, 这对部分“学困生”来讲,对本节课的知识掌握有一定难度.在练习和检测环节,也未能真正 深入到对每一个小组进行针对性的指导,在某种程度上没有达到预期的教学效果. 绝对值的概念比较抽象,要充分利用数轴帮助学生思考,体会绝对值的实际意义. 随堂练习(教材第32页) 1.解:+2或 - 2. 3 3 | 3| 3 2.解:图略. - ,6, - 3的相反数分别为 , - 6,3. - = ,|6|=6,| - 3|=3. 2 2 2 2 1 2 2 | 2| 3.解:(1) - > - . (2) - 0.5> - . (3)0< - . (4)| - 7|=|7|. 10 7 3 3 习题2.3(教材第32页) 1.解:(1)错误,有理数的绝对值一定大于0或等于0. (2)错误,有理数的相反数不一定比0小. (3)错误,如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等或互为相反数. (4)正确. 5 1 2.解:(1)18.6. (2)7.49. (3) . (4) . 16 7 1 1 1 3.解:(1)略. (2) - 3< - 1.4<0< . (3) - <0<1.4<3. (4)3>1.4> >0. 5 5 5 8 9 3 2 1 4.解:(1) - > - . (2) - 0.618< - . (3)0<| - 8|. (4) - 1 > - 1 . 9 10 5 7 3 5.解:+10表示的那袋食品质量更标准.因为第一袋实际质量为450 - 25=425(g),第二袋实际质 量为450+10=460(g),第三袋实际质量为450 - 20=430(g),第四袋实际质量为450+30=480(g),第 五袋实际质量为450+15=465(g),第六袋实际质量为450 - 40=410(g).由此可见,检测结果的绝 对值越小, 其所表示的食品质量越标准. 6.解:如图所示.(答案不唯一) 7.解: - a表示a的相反数, - a未必是负数.绝对值概念的教学是一个重点,同时也是教学的难点.在教学上要以数轴为工具,对照相 反数的性质来加深对绝对值概念的理解.在讲解比较负数的大小时,可向学生布置一些简单的 练习,以巩固和强化学生对负数的理解.在教学过程中要进一步强化数形结合思想,培养学生 这方面的意识. 若|x - 1|+|y+2|=0,求x,y的值. 〔解析〕 本题可根据非负数的性质“若两个非负数相加和为 0,则这两个非负数的值 都为0”求出x,y的值. 解:由题意,得|x - 1|=0,|y+2|=0,所以x - 1=0,y+2=0,所以x=1,y= - 2. 4 有理数的加法 1.掌握有理数的加法法则,并能运用法则进行计算. 2.在有理数加法法则教学过程中,渗透分类、探索、归纳等思想方法,使学生了解研究数 学的一些基本方法. 在教学过程中,通过一些例子,注重引导学生参与探索和归纳有理数加法法则的过程,以 深化学生对这一法则的理解. 1.培养学生的分类与归纳能力. 2.强化学生的数形结合思想. 3.提高学生的自学能力以及理解能力,激发学生学习数学的兴趣. 【重点】 1.掌握有理数的加法法则和运算律. 2.整数的加法运算. 3.应用运算律简化运算. 【难点】 1.理解有理数加法法则的推导过程. 2.熟练运用有理数加法法则进行计算.第 课时 1.经历探索有理数的加法法则的过程,理解有理数加法的意义. 2.运用有理数加法法则熟练进行有理数加法运算. 在有理数加法法则的导出及运用过程中,训练学生独立分析问题的能力及口头表达能力, 渗透数形结合的思想,培养学生运用数形结合的思想解决问题的能力. 1.渗透分类、探索、归纳等思想方法,使学生了解研究数学的一些基本方法. 2.通过师生合作交流,学生主动参与探索获得数学知识,从而提高学生学习数学的积极性, 体会数学来源于生活,服务于生活,培养热爱数学的情感. 【重点】 理解有理数加法法则,并能熟练进行有理数的加法运算. 【难点】 能熟练运用有理数加法法则进行简单的加法运算,尤其是异号两数相加的运 算. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习绝对值的有关概念. 导入一: 某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一道题加1分,可以记作“+1”分;答错一道题减1 分,记作“ - 1”分;不回答得0分.每个队的基本分均为0分. 想想看,如果某个队: (1)答对1道题,又答错1道题,他们的得分是多少? (2)答对3道题,又答错2道题,他们的得分是多少? (3)答对2道题,又答错3道题,他们的得分是多少? [设计意图] 从学生熟悉的生活情境出发,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习 兴趣和求知欲,使学生快速进入学习状态. 导入二: 动物王国开运动会,蚂蚁充当火炬手.小蚂蚁从某点出发在一直线上来回爬,假设向右爬 为正数,爬过的情况记为(单位:cm):+5,+10, - 6, - 7, - 2.出示问题:小蚂蚁最后能回到出发点吗? [设计意图] 创造一种轻松的学习氛围,体现了数学源于生活,体会学习有理数加法的必 要性,激发学生探究新知识的兴趣,同时肯定学生的知识准备,树立学生进一步学习的信心,激 发学生的斗志,让学生尽快参与到教学中来,进一步体会到自己是课堂的主人. 导入三: 问题1 在足球比赛中,通常把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫做净胜球数.世界杯 中,德国队在第一场上半场赢了2个球,下半场输了1个球,求德国队在本场比赛中的净胜球数 是多少. 问题2 若我们把进一个球记为+1,失一个球记为 - 1,则德国队本场的净胜球数如何用算式表示 呢? [设计意图] 从学生熟悉的生活情境出发,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习 兴趣和求知欲,不仅使学生快速进入学习状态,同时又让学生觉得数学源于生活又应用于生活, 使学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣. [过渡语] 同学们,上面的问题中都出现了有理数的加法计算,那么有理数的加法到底如 何运算呢? 探究活动1 列出算式表示结果 (1)上半场赢了3个球,下半场输了2个球,则该场的净胜球数为 . (2)上半场输了3个球,下半场赢了2个球,则该场的净胜球数为 . (3)上半场赢了3个球,下半场输了3个球,则该场的净胜球数为 . (4)上半场输了2个球,下半场没有进球,则该场的净胜球数为 . [处理方式] 题目较容易,学生讨论交流,找学生在黑板上写出算式,如有疑问,学生之间可 互相补充.教师适时点评,指出:正数的“+” 可以省略. 探究活动2 有理数加法法则 思路一 [过渡语] 大家都表现得很好,现在我想考一考大家,你能根据类似的情境,快速算出下列 算式的结果吗? 第一组:①( - 3)+( - 6)= ,②5+6= ,③( - 5)+( - 2)= . [处理方式] 在教师的指导下,学生根据进球、输球的情况快速地算出结果,教师巡视,个 别学生可适当指导.可先由教师完成一题,学生可模仿教师完成余下各题.引导性语言举例:我 先完成第一题,上半场赢了3个球,下半场输了2个球,则本场比赛的净胜球数为1个,即(+3)+( - 2)=1. 问题1 通过计算可以知道你们能看出第一组三个算式中两个加数的符号是什么关系吗? 问题2 它们和的符号和加数的符号有什么关系?和的绝对值又和加数的绝对值有何关系?请用 简单的语言概括一下. [处理方式] 教师提问,学生分小组讨论,并举手回答问题.这一组是两数同号的有理数的 加法,学生应该能容易得出结论,教师可适时的总结,及时的给予学生反馈. 第二组:①6+( - 3)= ,②( - 2)+5= ,③( - 4)+4= ,④3+( - 3)= .问题3 在第二组四个算式中和的符号和两个加数的符号之间有什么关系呢?和的绝对值和加数 的绝对值有何关系呢?用简单的语言概括一下. [处理方式] 学生在教师的引导下分类观察,以小组的形式合作交流,发现规律总结异号 的两个有理数相加的加法法则.在学生讨论的过程中,教师巡视,个别情况可予以指导. 第三组:①( - 5)+0= ,②4+0= ,③0+( - 2)= . 问题4 观察第三组算式,请回答一个有理数同0相加时,和是多少? [处理方式] 教师提问,学生分小组讨论,并举手回答问题. [设计意图] 通过以上的练习,使学生借助生活情境自主探索,进一步认识有理数的加法, 认识运算的作用,加深学生对运算本身意义的理解. 问题5 有没有同学能完整的总结一下两个有理数相加时的运算法则是什么? [处理方式] 学生思考后举手回答,教师给予评价并用多媒体展示有理数的加法运算法 则. 有理数加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝 对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加,仍得这个数. [设计意图] 出示以上三组题目使学生进一步验证并熟悉两个有理数相加的运算方法, 然后通过自己观察、思考、争辩,发现规律、归纳总结,加深对有理数加法法则的认识与理解, 培养学生的分析和概括的能力. 思路二 思考下面的问题: 1.如果用一个􀱇表示+1,用一个􀱇表示 - 1,那么一个􀱇和一个􀱇合起来是多少? 生:正负抵消,结果是0. 师:同样,一个􀱇和一个􀱇合起来是多少? 生:(齐答)0. 师:说得好!下面利用你们手中的正、负号棋子,小组合作讨论下面四个题目,然后到讲台 展示你们小组讨论的过程和结果. (1)( - 2)+( - 3);(2)( - 3)+2;(3)3+( - 2);(4)( - 4)+4. (1)计算( - 2)+( - 3)时,在方框内先后放进2个负号棋子和3个负号棋子,方框内共有5个 负号棋子,因此,( - 2)+( - 3)= - 5. (学生演示) (2)计算( - 3)+2时,在方框内放进3个负号棋子和2个正号棋子,一个正号棋子和一个负 号棋子相互抵消,方框内还剩一个负号棋子,因此,( - 3)+2= - 1. (学生演示) (3)计算3+( - 2)时,在方框内放进3个正号棋子和2个负号棋子,一个正号棋子和一个负 号棋子相互抵消,方框内还剩一个正号棋子,因此,3+( - 2)=1. (学生演示)(4)计算( - 4)+4时,在方框内放进4个负号棋子和4个正号棋子,正负都抵消了,方框内没 有棋子了,因此,( - 4)+4=0. (学生演示) 议一议:两个有理数相加,和的符号怎样确定?和的绝对值怎样确定?一个有理数同0相加, 和是多少? 教师巡视并适时点拨,学生观察、思考、交流并归纳回答. [过渡语] 同学们,做得非常好,那么能不能设计一种新的情境来验证上面的四个算式? (1)规定向东为正,向西为负,先向西走了2米,再向西走了3米,两次共向西走了5米,所以 ( - 2)+( - 3)= - 5. (2)从河岸水位线开始,规定上升为正,下降为负,下降3米,再上升2米,结果水位下降了1 米,所以( - 3)+2= - 1. (3)如果水位上升3米,再下降2米,结果水位上升了1米,所以3+( - 2)=1. (4)温度下降4 ℃,再上升4 ℃,结果温度没有变化,如果上升为正,下降为负,那么( - 4)+4=0. 师生共同总结有理数的加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝 对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加,仍得这个数. [设计意图] 借助正、负号棋子,以游戏的方式,让学生亲身参与探索发现,主动获取知识, 初步感受两个有理数相加的方法,并通过不同的情境进一步验证结论的正确性. (教材例1) 计算下列各题. (1)180+( - 10);(2)( - 10)+( - 1); (3)5+( - 5); (4)0+( - 2). 〔解析〕 在进行有理数的加法时,先要判断加数是同号还是异号,有一个加数是否为零, 再根据两个加数的符号的具体体现,选用某一条加法法则,进行计算时,通常应该先确定和的 符号,再计算和的绝对值. 解:(1)180+( - 10)=+(180 - 10)=170. (2)( - 10)+( - 1)= - (10+1)= - 11. (3)5+( - 5)=0. (4)0+( - 2)= - 2. (讲解的过程中,提示学生思考每一步这样计算的理由.) [知识拓展] 两个有理数相加和的符号取决于绝对值较大的数的符号,和的绝对值是根 据“两个有理数相加,和的绝对值同号相加,异号相减”的原则进行计算的;互为相反数的两 数相加得0,反之,如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;任何数同0相加,仍得这个数. 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.2.异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝 对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.一个数同0相加,仍得这个数. 1.小明家的冰箱冷冻室的温度为 - 6 ℃,调高2 ℃后的温度为 ( ) A.8 ℃ B.4 ℃ C. - 4 ℃ D. - 8 ℃ 解析: - 6 ℃+2 ℃= - 4 ℃.故选C. 2.在如图所示的数轴上,A ,B两点所表示的有理数的和是 ( ) A.5 B. - 5 C.1 D. - 1 解析:( - 3)+2= - 1.故选D. 3.有理数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示,则a + b的值 ( ) A.大于0 B.小于0 C.小于a D.大于b 解析:根据a,b两点在数轴上的位置可知a<0,b>0,且|b|>|a|,所以a + b>0.故选A. 4.若x的相反数是3,|y |=5,则 x+y= . 解析:因为x的相反数是3,|y |=5,所以x= - 3,y=±5,x+y= - 3+5=2或x+y= - 3+( - 5)= - 8.故填 2或 - 8. 5.计算下列各式. (1)( - 8)+( - 7); (2)( - 19)+11; (3)( - 32)+0; (4)72+( - 72). 解:(1) - 15. (2) - 8. (3) - 32. (4)0. 6.某星球表面的夜间平均温度为 - 160 ℃,白天比夜间高37 ℃,那么白天的平均温度是 多少? 解:( - 160 ℃)+37 ℃= - 123 ℃. 第1课时 1.列出算式表示结果. 2.有理数加法法则. 一、教材作业 【必做题】 教材第36页习题2.4的1,2题. 【选做题】 教材第36页习题2.4的3,4,5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.某天股票A开盘价18元,上午11:30跌1.5元,下午收盘时又涨了0.3元,则股票A这天收盘 价为 ( )A.0.3元 B.16.2元C.16.8元D.18元 2.下面的数中,与 - 3的和为0的是 ( ) 1 1 A.3 B. - 3 C. D. - 3 3 3.如果|a|=3,|b|=2,那么|a+b|等于 ( ) A.5 B.1 C.5或1 D.±5或±1 4.当a<0,b<0时,比较大小:|a|+|b| |a+b|.(填“>”“<”或“=”) 【能力提升】 5.绝对值大于2小于8的整数中,最小的整数是 ,最大的整数是 ,满足条件的 全部整数的和为 . 6.某出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的, 如果规定向东为正, 向西为负,他这天下午行车情况(单位:千米)如下:+15, - 2,+5, - 1,+10, - 3, - 2,+12,+4, - 5,+6. (1)将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的出发点多远? (2)若出租车耗油量为a升/千米,则这天下午小李的出租车共耗油多少升? 【拓展探究】 7.已知a,b是有理数,比较a+b与b的大小. 【答案与解析】 1.C(解析:18+( - 1.5)+(+0.3)=+16.8.故选C.) 2.A(解析:逆用互为相反数的两数相加得0.故选A.) 3.C (解析:由|a|=3,|b|=2,得a=±3, b=±2,所以a+b=±5或a+b=±1,故|a+b|=5或1.故选C.) 4.=(解析:因为a<0,b<0,所以|a|+|b|= - a+( - b)= - (a+b),|a+b|= - (a+b),所以|a|+|b|=|a+b|.故 填=.) 5. - 7 7 0(解析:绝对值大于2小于8的整数有±3,±4,±5,±6,±7.所以最小的整数是 - 7,最大的 整数是7,满足条件的全部整数的和是0.) 6.解:(1)(+15)+( - 2)+(+5)+( - 1)+(+10)+( - 3)+( - 2)+(+12)+(+4)+( - 5)+(+6)=39(千米). (2)a×(| +15|+| - 2|+|+5|+| - 1|+|+10|+| - 3|+| - 2|+|+12|+|+4|+| - 5|+|+6|)=65a(升),故这天下午小 李的出租车共耗油65a升. 7.解:当a为正数时,a+b>b;当a为0时,a+b=b;当a为负数时,a+b0时,a - ba+b.6 有理数的加减混合运算 1.熟练掌握有理数加减混合运算的法则,能进行简单的混合运算. 2.能够运用运算律进行简单的化简,提高做题的灵活性. 3.综合运用有理数的加、减法,解决简单的实际问题. 4.提高学生对知识的应用能力. 1.通过练习和研究实际问题的过程,让学生在游戏中获取有理数加减混合运算的有关知 识.教师采用小组活动和合作学习的方式,指导学生进行学习. 2.教学中从实际问题出发,激发学生的兴趣,引导学生积极独立地思考问题,使学生在自主 探索与交流合作中掌握知识. 1.在游戏中学习,体会学习的快乐. 2.感受不同数学知识之间的紧密联系. 3.养成善于思考,积极运用所学知识解决实际问题的好习惯. 4.体会数学在实际生活中的应用,培养唯物主义世界观. 【重点】 1.有理数混合运算的法则. 2.运用有理数的加法、减法的有关知识解决实际问题. 【难点】 1.运用运算律简化运算过程. 2.将有理数加减混合运算写成代数和的形式进行计算. 3.让学生独立完成探索、应用的过程. 第 课时 1.灵活运用有理数的运算法则进行加减混合运算. 2.熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序. 3.初步会用有理数的加、减运算法则进行混合运算,并会用运算律进行简便计算. 利用有理数的加减混合运算解决一些简单的实际问题,使学生初步了解类比学习的思想 方法.通过有理数的混合运算解决实际问题,培养学生的学习兴趣,体会有理数混合运算的意义 和作用,感受数学在生活中的价值. 【重点】 能熟练地进行有理数的加减混合运算. 【难点】 用运算律进行简便计算. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习有理数加、减法的运算法则. 导入一: 通过游戏来进一步熟练有理数的加减混合运算(课前每人准备带底纹的卡片和不带底纹 的卡片共20张,在每张卡片上写上任意数字,如正数、负数等). 游戏规则如下: (1)四人一组,每组选一个学生当代表,在同组的80张卡片中,抽取4张,如果抽到带底纹的 卡片,那么加上卡片上的数字;如果抽到不带底纹的卡片,那么减去卡片上的数字. (2)每组四人都计算,然后看结果的正确与否,再看一看谁用的计算方法最简便,交流经验. 小彬抽到了下面的4张卡片: 他抽到的卡片的计算结果是多少? 小丽抽到了下面的4张卡片: 她抽到的卡片的计算结果是多少? 学生抽取卡片并计算、讨论、互相交流经验,然后再进行两次游戏. 教师巡视并适时点拨、鼓励. 出示问题:将抽到的卡片上的有理数按照游戏规则写成算式,你会吗? 学生试着计算,教师指出: (1)按运算顺序进行运算; (2)减法转化为加法进行运算. [设计意图] 利用游戏学习有理数的加减混合运算,以激发学生学习数学的兴趣,增加学 习的趣味性.学生积极参与探究活动,从而使学生积极主动的学习,学生学习的热情高涨,气氛 热烈. 导入二: (一)复习问题1 有理数的加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加 ,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较 大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数同0相加,仍得这个数. 问题2 有理数的加法步骤: (1)确定和的符号; (2)求加数的绝对值; (3)确定两个数的绝对值的和或差. 问题3 有理数加法的运算律: (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+b. 问题4 有理数的减法法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a - b=a+( - b). 问题5 有理数减法运算的步骤: (1)减法变成加法,将减号变成加号,把减数变成它的相反数; (2)按照加法运算的步骤去做. (二)导入新课 前面学习了有理数相加或相减的法则,那么怎样进行加减混合运算呢? 板书课题:6有理数的加减混合运算.看下面的两道计算题,出示幻灯片(教材例1). [设计意图] 帮助学生构建基础知识体系,为学习本课内容扫除障碍.通过提出问题,明确 本节课的任务和重点,让学生学有目标,快速抓住知识点,提高学习的效率. [过渡语] 请认真观察算式结构,先尝试解决一下,2分钟后看谁能正确解答. (教材例1) 计算: ( 3) 1 4 (1) - + - ; 5 5 5 ( 1) 7 (2)( - 5) - - +7 - . 2 3 怎样进行有理数的加减混合运算?要注意什么问题? [处理方式] (1)可先将算式中的减法变加法. (2)能用运算律的可以灵活运用运算律. 1 7 (3)注意事项:不要漏写括号, 如第二小题抄成 - 5 - +7 - 是不对的;不要出现符号错误, 2 3 6 6 如:第一小题计算结果是 - ,丢掉负号写成 就错了. 5 5( 3) 1 4 解:(1) - + - 5 5 5 2 4 = - - 5 5 2 ( 4) + - = - 5 5 6 = - . 5 ( 1) 7 (2)( - 5) - - +7 - 2 3 1 7 = - 5+ +7 - 2 3 ( 9) 7 - = +7 - 2 3 5 7 = - 2 3 15 14 = - 6 6 1 = . 6 师:还有其他运算方法吗? 生:把减法转化成加法,再运用加法交换律、结合律寻找简便方法. ( 3) 1 4 - + - 5 5 5 3 1 ( 4) + + - = - 5 5 5 3 ( 4) 1 + - + = - 5 5 5 7 1 = - + 5 5 6 = - . 5 在学习加减混合运算的同时,体会运用加法交换律和结合律可以简化运算.(教师板演) [设计意图] 鼓励学生将算法多样化,学会分析问题,选择恰当的方法解决问题,在具体情 境中体会减法转化为加法的运算含义,在进行加减混合运算时,可以适当运用加法交换律和结 合律来简化运算. 进行加减混合运算,在什么情况下优先考虑运用运算律?[处理方式] 师生交流、小结: (1)互为相反数的两个数,可先相加; (2)几个数相加得整数时,可先相加; (3)同分母的分数可以先相加; (4)符号相同的数可以先相加; (5)若有小数,能凑整的先加,不能凑整的常化成分数; (6)两个带分数相加,可以把整数部分与分数部分分别相加. [知识拓展] 有理数的加减混合运算可以按照运算顺序从左向右逐一进行.在具体计算 中,交换加数的位置时,一定要连同加数前面的符号一起交换. 在加减混合运算时,适当运用加法运算律,把正数与负数分别相加,可使运算简便.但要注 意交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换. 1.把有理数的加减混合运算统一成加法运算. 2.有理数加减混合运算的步骤: (1)将加减混合运算统一成加法运算; (2)省略加号和括号. 1.将下列各式统一成加法运算,正确的是 ( ) A. - 5 - ( - 7)+9= - 5+( - 7)+9 B. - 5 - ( - 9) - ( - 8)= - 5+9+8 C. - 5+( - 7) - ( - 9)= - 5+( - 7)+( - 9) D. - 5 - 7 - ( - 9)= - 5+( - 7)+( - 9) 解析:选项A: - 5 - ( - 7)+9= - 5+7+9 ,原结果错误;选项B: - 5 - ( - 9) - ( - 8)= - 5+9+8,正 确;选项C: - 5+( - 7) - ( - 9)= - 5+( - 7)+9,原结果错误;选项D: - 5 - 7 - ( - 9)= - 5+( - 7)+9,原 结果错误.故选B. 2. - 6的绝对值减去4的相反数,再加上 - 7,结果为 ( ) A.3 B. – 3 C. – 5 D.5 解析:由题意得| - 6| - ( - 4)+( - 7)=6+4 - 7=3.故选A. 3.数学活动课上,王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”,对于任意有理数a 和b,有a☆b=a - b+1,请你根据新运算,计算(2☆3)☆2的值是 ( ) A.0 B. - 1 C. - 2 D.1 解析:由题意得(2☆3)☆2=(2 - 3+1)☆2=0☆2=0 - 2+1= - 1.故选B. 4.计算. (1) - 2.7+( - 3.2) - 1.8 - 2.2; ( 1) ( 1) ( 2) ( 4) (2) - - - + - + - . 2 6 3 5 解:(1)原式= - 2.7+( - 3.2)+( - 1.8)+( - 2.2)= - 9.9. 1 ( 2) ( 4) 1 ( 59) 1 54 (2)原式= - + - + - + = - + = - . 2 3 5 6 30 6 30第1课时 1.在交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换. 2.多个有理数相加,一般先把正数和负数分别相加. 例1 一、教材作业 【必做题】 教材第44页习题2.7的1题. 【选做题】 教材第44页习题2.7的2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.+3 - ( - 7)= ,( - 32) - (+19)= , - 7 - ( - 21)= . 2.36 ℃比24 ℃高 ℃,19 ℃比 - 5 ℃高 ℃. 3.冬季的某一天,甲地最低温度是 - 15 ℃,乙地最低温度是15 ℃,甲地比乙地低 ℃. 4.已知a= - 2,b=20,c= - 3,且a - ( - b)+c - d=10,求d的值. 5.有十箱梨,每箱质量如下(单位:kg): 51,53,46,49,52,45,47,50,53,48. 你能较快算出它们的总质量吗?列式计算. 【能力提升】 6.有一架直升机从海拔1000 m的高原上起飞,第一次上升了1500 m,第二次上升了 - 1200 m,第三次上升了1100 m,第四次上升了 - 1700 m,求此时这架直升机离海平面多少米. 【拓展探究】 7.10名学生体检测体重,以50 kg为基准,超过的记为正,不足的记为负,结果如下(单位:kg): 2,3, - 7.5, - 3,5, - 8,3.5,4.5,8, - 1.5. 这10名学生的总体重为多少千克?10名学生的平均体重为多少千克? 【答案与解析】 1.10 - 51 14 2.12 24 3.30 (解析:由题意得 - 15 - 15= - 30(℃), - 30 ℃表示低30 ℃.故填30.) 4.解:由题意得a+b+c - d=10,将a= - 2,b=20,c= - 3代入a+b+c - d=10,得d=5. 5.解:能.以 50 kg 为标准,超过的为正,不足的为负,50×10+[1+3+( - 4)+( - 1)+2+( - 5)+( - 3)+0+3+( - 2)]=500+( - 6)=494(kg). 6.解:1000+1500+( - 1200)+1100+( - 1700)=1000+1500 - 1200+1100 - 1700=1000+1500+1100+ [( - 1200)+( - 1700)]=3600 - 2900=700(m).答:这时这架直升机在海平面上700米处. 7. 解 :2+3+( - 7.5)+( - 3)+5+( - 8)+3.5+4.5+8+( - 1.5)=2+3 - 7.5 - 3+5 - 8+3.5+4.5+8 - 1.5=2+5+3.5+4.5+3 - 3 - 8+8 - 7.5 - 1.5=6(kg),所以10名学生的总体重为50×10+6=506(kg),10名 学生的平均体重为506÷10=50.6(kg). 本节课注意创设情境,引导学生探究,使学生在自主探索过程中理解和掌握有理数的加减 混合运算.同时,向学生渗透转化的数学思想,通过数学思想的渗透,培养学生把握知识之间的 内在联系、全面而灵活地思考问题的能力,让学生获得可持续发展的动力.本节课的教学面向了全体学生,让每个学生都有机会接触、研究自己感兴趣的数学问题,经历数学知识的形成和 应用的过程,加深了对所学知识的理解,从而突破重难点,教学效果非常显著. 在实施时,教师考虑到学时的限制,没有很好地渗透把任何一个含有有理数加减混合运算 的算式都看成和式.有理数加减混合运算的算式都看成和式对学生熟练地掌握有理数运算非 常重要,可灵活运用加法运算律,简化计算.因此学生在运算时不那么得心应手. 练习的形式还有些单调,如果时间充裕还可以准备一些判断练习,把学生在做题时容易出 错的地方写出来,让学生进行判断,这种方式的强化练习,可以收到比较好的效果. 通过本课教学深刻感受到结合教材与实际的重要性.走出教材、用好教材、选准适合自 己学生的教学题材,才更有利于提高学生的解题能力. 随堂练习(教材第44页) 5 1 提示:(1) - 1. (2) - . (3) - 10. (4) . 2 5 习题2.7(教材第44页) 7 2 1.提示:(1) - 7. (2) - 3.2. (3) . (4) - . 12 3 2.解:(1)小明家在超市的西侧,距离超市5 km.如图所示. (2)| - 5|+3=5+3=8(km).答:小明家距 小彬家8 km. (3)3+1.5+9.5+| - 5|=19(km).答:货车一共行驶了19 km. 学生获取知识的过程,应是一个在独立思考的基础上主动内化的过程,每个学生都能获得 相应的发展.理解算理、提高计算能力是初中数学教学的一项重要任务,多数学生已经具备了 有理数加法、减法运算的基本知识和技能,本课则是在此基础上的提高与发展.为此,本课教 学以自主探究为主,启发诱导为辅,以兼顾全体学生. 5 ( 2) ( 3) ( 1) 计算 - 5 - +9 - - 17 + - 3 . 6 3 4 2 〔解析〕 本题是有理数加减混合运算,在计算时,灵活运用加法运算律能使运算简便. 5 ( 2) ( 3) 1 解: - 5 - +9 - - 17 + - 3 6 3 4 2 5 ( 2) ( 3) ( 1) = - 5 + - 9 + +17 + - 3 6 3 4 2[( 5) ( 2) 3 ( 1)] =[( - 5)+( - 9)+17+( - 3)]+ - + - + + - 6 3 4 2 ( 1) =0+ - 1 4 1 = - 1 . 4 第 课时 1.熟练地进行有理数加减混合运算,并利用运算律简化运算. 2.熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序. 能根据具体问题,适当运用运算律简化运算,提高解题的灵活性. 感受不同数学知识之间的紧密联系,养成善于思考、积极运用所学知识解决问题的习惯. 【重点】 熟练进行有理数的混合运算. 【难点】 减法统一成加法再写成代数和的形式. 【教师准备】 预想学习本课时学生可能出现的错误. 【学生准备】 复习有理数运算定律. 导入一: 问题1 回顾一下有理数的加法法则. 问题2 有理数加法的运算律. 问题3 有理数的减法法则. [处理方式] 1.由学生直接回答即可; 2.学生回答后老师补充并强调加法的运算律可以简化运算,希望同学们加以应用; 3.要先强调把减法统一成加法之后再进行计算. [设计意图] 设计本环节的目的,是让学生掌握前几节课学过的有理数的加法、减法法则和有理数加法的运算律,为后续学习做好铺垫. 导入二: 我们上节课学习了加减混合运算,加减混合运算就是先利用减法法则将减法转化成加法, 再利用加法的运算律简便运算.今天我们将继续练习加减混合运算,以达到能熟练地进行加减 混合运算的目的. 问题1 请叙述有理数的加法法则、减法法则及有理数加法的运算律.(找不同层次的学生口答完 成) 问题2 请说出下列各式的意义并口答出结果. - ( - 5), - (+10),+(+9),+( - 8). 生:在一个数前面加负号表示求它的相反数;在一个数前面加正号表示这个数本身. - ( - 5) =5, - (+10)= - 10,+(+9)=9,+( - 8)= - 8. 问题3 请观察上面四个式子,左边的两个符号与右边的符号有何关系? 生:左边的两个符号相同时结果是正数,符号相反时结果是负数.简称“同号得正,异号得 负”. [设计意图] 有理数的加减混合运算,最终需要把它看成正负数的和,这里设计三个问题 是为本节课学习“代数和”做好铺垫. 导入三: 请同学们看下面的问题,用以前学的知识,能否解决呢? 问题1 如图所示,一架飞机进行特技表演,起飞后的高度变化如下表: 高度变化 记作 上升4.5 km +4.5 km 下降3.2 km - 3.2 km 上升1.1 km +1.1 km 下降1.4 km - 1.4 km 此时飞机比起飞点高了多少千米? 【思考】 (1)对于题中“高度变化”,你是怎么理解的? (2)你能通过列式计算此时飞机的高度吗?(小组合作,一题多解) [过渡语] 对于上述问题,有的学生可能直接列算式,上升就加,下降就减,即4.5 - 3.2+1.1 - 1.4.有的学生可能直接利用加法列算式4.5+( - 3.2)+1.1+( - 1.4),对于这两种情况你是如何理 解的? 探究活动1 解题方法 方法1:这个题求的是飞机比起飞点高了多少千米,那么飞机上升就加,下降就减.这样可 以用加、减法求出.4.5 - 3.2+1.1 - 1.4 =1.3+1.1 - 1.4 =2.4 - 1.4 =1(km). 方法2:上升、下降已经用正、负数表示了,所以要求飞机比起飞点高了多少千米,只需求 这四个数的和即可. 4.5+( - 3.2)+1.1+( - 1.4) =1.3+1.1+( - 1.4) =2.4+( - 1.4) =1(km). 比较以上两种算法,你发现了什么? [处理方式] 由学生合作完成算式,然后学生展示不同的解法,同时让学生讲解各个算法 的理由.加减法混合运算可以统一成加法运算,在这里4.5 - 3.2+1.1 - 1.4可以转化成4.5, - 3.2,+1.1, - 1.4四个数的和,也就是说加、减号可以看成是正、负号,加减运算看成是省略加号 的几个正负数的和. 例如,3 - 5转化成加法是3+( - 5), 3 - 5可以看作是3与 - 5的和. 让学生 通过两个算式发现结论,学生只能发现两个算式相等,加减混合运算可以统一成加法. 至于加 减运算看成是省略加号的几个正负数的和这一结论,学生总结不出来,需要教师点拨,并多举 几个例子让学生体会理解. [设计意图] 通过对两种算法的比较,让学生体会加减混合运算可以统一成加法运算,以 及加法运算可以写成省略括号及前面加号的形式(即“代数和”形式). 探究活动2 运用运算律解决有理数的混合运算 【思考】 同学们是否通过利用运算律来计算上面的算式4.5+( - 3.2)+1.1+( - 1.4)使运 算更加简便呢?可以尝试解答. [处理方式] 给予学生一定的思考时间,通过小组合作的方式加以探究,最后由学生回答 并完成解答,对表现较好的小组加以鼓励. 4.5+( - 3.2)+1.1+( - 1.4) = 4.5+1.1+[( - 3.2)+( - 1.4)] =5.6+( - 4.6)=1(km). [设计意图] 让学生进一步体会在做有理数的加减混合运算时,将加减法统一成加法,然 后运用加法的交换律和结合律进行简便运算. (教材例2) 计算: ( 1) ( 2) (1) - - 15+ - ; 3 3 ( 6) 7 (2)( - 12) - - +( - 8) - . 5 10 ( 1) ( 2) 解法1:(1) - - 15+ - 3 3 ( 1) ( 2) = - +( - 15)+ - (统一为加法) 3 3( 1) ( 2) = - + - +( - 15)(加法交换律) 3 3 =( - 1)+( - 15)(加法结合律) = - 16. ( 1) ( 2) 解法2:(1) - - 15+ - 3 3 1 2 = - - 15 - (写成省略加号和括号的形式) 3 3 1 2 = - - - 15 3 3 = - 1 - 15 = - 16. ( 6) 7 解:(2)( - 12) - - +( - 8) - 5 10 6 7 = - 12+ - 8 - (写成省略加号和括号的形式) 5 10 (6 7 ) - = - 12 - 8+ 5 10 1 = - 20+ 2 39 = - . 2 [处理方式] 找两名同学进行板演运算,其余学生在练习本上完成,通过教师巡视指导,可 以发现第(1)题的不同的解法,有的将有理数的加减混合运算统一成加法运算,再通过运算律计 算.有的将有理数的加减混合运算统一成加法之后写成了省略“+”和括号的形式再通过运 算律计算.第(2)题把加、减法看成正、负数的和,并灵活运用运算律进行简便运算,有分数的 计算通常要把结果写成假分数.最后教师强调有理数的加减混合运算时,可以考虑加法的交换 律、结合律使运算简便,在利用运算律时要注意: 1.相加得整的可先相加; 2.同分母的可先相加; 3.互为相反数的可先相加; 4.正数、负数可分别相加. 探究活动3 课本“做一做” 汽油的价格每年都在上涨,请同学们仔细阅读表格,并计算与上一年年底相比,11月9日 汽油价格是上升了还是下降了?变化了多少元?(课件展示) [处理方式] 让四名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨.学生 完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.对于第2小问,可展示学生解 法的多样性,拓展学生的思路. [设计意图] 通过练习巩固有理数的加减混合运算,特别是分数的运算,引导学生加深对 所学知识的理解,并能做到触类旁通, 不仅提高了解决问题的能力,而且发展了学生的发散思维能力,让学生体会到数学在生活中的广泛应用,进一步感受生活的数学化. [知识拓展] 有理数的加减混合运算是中考命题的热点,一般不单独命题,常与其他知识 综合命题.题型有填空题、选择题和解答题,难度不大.在以后的中考中,本节知识点仍会以基 础题为主. 利用加法运算律简化运算: (1)互为相反数的两个数可先相加; (2)同分母分数可先相加; (3)几个数相加得整数的可先相加; (4)正数和正数、负数和负数可分别相加; (5)带分数一般化成假分数或化成整数和分数之和,再分别相加. 1.已知上周周五(周末不开盘)收盘时股市指数以2880点报收,本周内股市涨跌情况如下 表所示,则本周四收盘时的股市指数为 ( ) 星期 一 二 三 四 五 股指变化 +50 - 21 - 100 +78 - 78 A.2880 B.2877 C.2855 D.2887 解析:正数表示涨,负数表示跌,每天的变化是相对于前一天来比较的,所以周四的股市指 数为2880+50 - 21 - 100+78=2887.故选D. 2.某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定价格出售,如果以每套儿童服装55元的 价格为标准,超出的记作正数,不足的记作负数,记录如下(单位:元): +2, - 3,+2,+1, - 2, - 1,0, - 2. 当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损?盈利(或亏损)了多少钱? 解:由题意得2 - 3+2+1 - 1 - 2+0 - 2+(55 - 400÷8)×8=40 - 3=37(元). 答:当他卖完这8套儿童服装后是盈利,盈利了37元. 第2课时 运用运算律解决有理数的混合运算. 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第46页习题2.8的2题. 【选做题】 教材第46页习题2.8的3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.计算3 - ( - 5)+7= . 2.计算 - 2 - | - 6|的结果是 . 3.比较大小: - 6+2 - 2 - 3.4.如果a,b两数互为相反数,那么a - 3+b= . 5.如图所示,数轴的单位长度为1,数a和数b的绝对值相等,则a - b= . 6.计算. (1)( - 8) - ( - 1); ( 3) ( 5) (2)0.125+ - - - 4 . 4 8 【能力提升】 7.某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆,由于另有任务,每月上班人数不一定相等,实际每 月生产量与计划量相比情况如下表(增加为正,减少为负). 月份 一 二 三 四 五 六 变化 +3 - 2 - 1 +4 +2 - 5 (辆) (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆? (2)半年内总生产量是多少?比计划多了还是少了?增加或减少多少? 【拓展探究】 8.某自行车厂计划一周生产自行车1400辆,平均每天生产200辆,但由于种种原因,实际每天 生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正,减产记为负): 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化(辆) +5 - 2 - 4 +13 - 10 +16 - 9 (1)根据记录的数据求该厂星期四生产自行车多少辆; (2)根据记录的数据求该厂本周实际生产自行车多少辆; (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆? (4)该厂实行每周计件工资制,每生产一辆车可得60元,若超额完成任务,则超过部分每辆另奖 15元,少生产一辆扣20元,那么该厂工人这一周的工资总额是多少? 【答案与解析】 1.15(解析:3 - ( - 5)+7=3+5+7=15.故填15.) 2. - 8(解析: - 2 - | - 6|= - 2 - 6= - 8.故填 - 8.) 3.> (解析:因为 - 6+2= - 4, - 2 - 3= - 5,所以 - 4> - 5.故填>.) 4. - 3(解析:因为a,b两数互为相反数,所以a+b=0,所以a - 3+b=0 - 3= - 3.故填 - 3.) 5. - 4(解析:因为数a和数b的绝对值相等,所以a= - 2,b=2,所以a - b= - 4.故填 - 4.) 1 37 3 38 6 32 6.解:(1)原式= - 8+1= - 7. (2)原式= + - = - = =4. 8 8 4 8 8 8 7.解:(1)+4 - ( - 5)=9(辆). (2)20×6+[+3+( - 2)+( - 1)+(+4)+(+2)+( - 5)]=120+(+1)=121(辆).因为 121>120,所以比计划多,多了1辆. 8.解:(1)超产记为正、减产记为负,200+13=213(辆),故该厂星期四生产自行车213辆. (2)根据题意得5 - 2 - 4+13 - 10+16 - 9=9(辆),200×7+9=1409(辆),故该厂本周实际生产自行车 1409辆. (3)根据表中数据可知产量最多的一天是216辆,产量最少的一天是190辆,216 - 190=26(辆),故 产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆. (4)根据表中数据得本周工人工资总额为7×200×60+9×(60+15)=84675(元),故该厂工人这一周 的工资总额是84675元.本节课复习有理数的加法法则、减法法则和运算律的主要目的是让学生把减法统一成 加法之后,熟练使用运算律进行计算. 认真总结、分析学生在进行有理数的加减混合运算时常出现的错误,以便在这节课分析 问题时,有意识矫正. 学生的计算能力还太差,需让学生多加强此方面的练习. 让学生先将加、减运算统一成加法运算后再运算,引导学生把任何一个含有有理数加减 混合运算的算式都看成正负数的和的形式,这一点对学生熟练掌握有理数运算非常重要,这是 因为有理数加减混合算式都看成和式,就可以灵活运用加法运算律,简化计算. 随堂练习(教材第46页) 2 5 提示:(1)45.5. (2)10. (3) . (4) . 15 6 习题2.8(教材第46页) 1 13 1.提示:(1) - 30. (2) - . (3)3.5. (4) - . 5 12 2.提示:上升了18万. 3.提示:41.3 kg(可取40 kg作为基准). 本课是通过练习和研究实际问题,让学生获取有理数的加减混合运算的有关知识,尤其是 有理数混合运算中分数和小数的运算,这相对来说要复杂一些,为此采用小组合作学习的方式, 指导学生进行学习.同时又从实际问题出发,激发学生的学习兴趣,培养学生独立思考问题的 习惯,并使他们在自主探索与交流合作中掌握知识. 某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车,由于工人实行轮休,每日上班人数 不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表(增加的车辆数为正数,减少的车辆数 为负数): 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化 - - 5 +7 - 3 +4 +10 - 9 (辆) 25 (1)本周三生产了多少辆摩托车? (2)本周总生产量与计划生产量相比,是增加还是减少了? (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆? 〔解析〕 (1)明确增加的车辆数为正数,减少的车辆数为负数,依题意列式,再根据有理 数的加、减法法则计算;(2)首先求出总生产量,然后和计划生产量比较即可得到结论;(3)根据表格可以知道产量最多的一天和产量最少的一天各自的产量,然后相减即可得到结论. 解:(1)本周三生产的摩托车为300 - 3=297(辆). (2)本周总生产量为 (300 - 5)+(300+7)+(300 - 3)+(300+4)+(300+10)+(300 - 9)+(300 - 25)=300×7 - 21=2079(辆), 计划生产量为300×7=2100(辆),2100 - 2079=21(辆). 答:本周总生产量与计划生产量相比减少了21辆. 或者由( - 5)+(+7)+( - 3)+(+4)+(+10)+( - 9)+( - 25)= - 21(辆),可知本周总生产量与计划生产 量相比减少21辆. (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了(300+10) - (300 - 25)=35(辆). 答:产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆. 第 课时 1.进一步掌握有理数加、减及加减混合运算的方法,能正确地进行有理数的加减混合计 算. 2.熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序. 能从生活中发现数学问题,并会用有理数的加法、减法解决一些简单的实际问题,提高分 析问题、解决问题的能力. 在解决问题的同时,体会学习有理数的意义和作用,感受数学在生活中的价值. 【重点】 利用有理数的加、减法解决实际问题. 【难点】 发现更多的、合理的数学方法解决问题. 【教师准备】 教材引例中相关的投影图片. 【学生准备】 复习和总结有理数混合运算的技巧. 导入一: 1.口算. (1)( - 2)+8; (2)3+( - 5); (3)( - 4)+0; (4)( - 7)+7; (5)( - 3)+( - 5); (6)3 - 5;(7)3 - ( - 5); (8)( - 3) - 5; (9)( - 3) - ( - 5); (10)9 - ( - 11); (11)( - 6) - 6; (12)( - 7) - 0; (13)0 - ( - 7); (14) - 5 - 8 3 - 8 - 12; (15) - 10 - 5+10. 2.计算. (1)27 - 18+( - 7) - 32; (2) - 8+15 - 9 - ( - 12). [处理方式] 两位学生板演第2题的同时,其余学生口算. [设计意图] 进一步使学生熟练地运用有理数加减法的法则正确而迅速地计算,进一步 提高学生的计算能力. 导入二: 同学们,今天老师要带大家去一个风景美丽的地方(放映流花河情境图片),小明家住在流 花河旁,他查阅了历年来的水文资料,看到流花河的一些水位数据: 水位 高度 记作 平均水位/m 22.6 最高水位/m 35.3 最低水位/m 11.5 警戒水位/m 33.4 0 接下来我们就根据以上数据研究流花河水位变化的有关问题. [过渡语] 日常生活中,有许多具有相反意义的量,我们可以用正数、负数来表示,它们之 间的一些关系我们可以用有理数的加减法来表示,也就是说利用有理数的加减法来解决一些 实际问题,今天我们继续学习有理数的加减法的实际应用.板书:有理数的加减混合运算(3). 探究活动 解决实际问题 多媒体出示流花河的水文资料(单位:m). 如图所示,如果取河流的警戒水位为0点,那么图中的其他数据可以分别记作什么? [处理方式] (1)先进行估算,再进行精确计算. (2)说一说解决问题的思路,分析一下用到的知识,小组交流. 展示解题过程: 解:最高水位可以记作35.3 - 33.4=+1.9. 平均水位可以记作22.6 - 33.4= - 10.8. 最低水位可以记作11.5 - 33.4= - 21.9. [设计意图] 利用有理数的意义和加减法,分别计算出其他数据分别记作什么,加深对正 数、负数意义的理解,并对图中各个数据的相互关系有清晰的了解. 下表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况(上周末的水位达到警戒水位). 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.20 +0.81 - 0.35 +0.03 +0.28 - 0.36 - 0.01 注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降. [设计意图] 让学生具体说出表格中的各个数据所代表的具体意义,体会水位变化情况, 根据具体水位变化情况可以求出本周每天的水位记录.强调:对正、负数意义的标注. 出示问题: (1)本周哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒水位之上还是之 下?与警戒水位的距离分别是多少米? 解:本周每天的水位记录为: 周一:33.4+0.20=33.60(m), 周二:33.4+0.20+0.81=34.41(m), 周三:33.4+0.20+0.81 - 0.35=34.06(m), 周四:33.4+0.20+0.81 - 0.35+0.03=34.09(m), 周五:33.4+0.20+0.81 - 0.35+0.03+0.28=34.37(m), 周六:33.4+0.20+0.81 - 0.35+0.03+0.28 - 0.36=34.01(m), 周日:33.4+0.20+0.81 - 0.35+0.03+0.28 - 0.36 - 0.01=34.00(m). 所以周二的水位最高,周一的水位最低,它们都在警戒水位之上,其中最高水位与警戒水 位的距离为34.41 - 33.4=1.01(m)或+0.2+0.81=1.01(m);最低水位与警戒水位的距离为33.6 - 33.4=0.2(m). (2)与上周末相比,本周末河流水位是上升了还是下降了?(先讨论后回答) 解:上周末的水位记录为33.40 m,本周末的水位记录为34.00 m, 与上周末相比,本周末 河流水位是上升了. (3)完成下面的本周水位记录表: 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录/m 33.60 解:表格填写如下: 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录/m 33.60 34.41 34.06 34.09 34.37 34.01 34.00 [设计意图] 引导学生结合本周每天的水位变化情况和上周末的水位记录,逐一计算本 周每天的水位记录值,有利于学生弄清这几个量之间的关系.说出计算方法,计算每天水位记 录的结果. (4)以警戒水位为0点,用折线统计图表示本周的水位变化情况. 解:如图所示. (学生独立思考、独立完成,培养学生规范化解题的良好习惯) 例题强化 某商店一星期中每天的收支情况如下(收入为正,支出为负,单位:元): +17.85, - 2.72,0, - 41.28, - 17.85,10.86,89.14. 则该商店这星期合计收入或支出多少元? [处理方式] 本题实质是利用有理数的加法解决实际问题,求解时需注意运算技巧的灵 活运用. 解:+17.85+( - 2.72)+0+( - 41.28)+( - 17.85)+10.86+89.14 =[+17.85+( - 17.85)]+[( - 2.72)+( - 41.28)]+(10.86+89.14) =0+( - 44)+100=+56.所以这个星期收入56元. 答:该商店这星期合计收入56元. [设计意图] 通过对此题的解答,进一步掌握连续“运动”后结果的求法.教师在参与组 内交流时,对学生的方法及时给予评价.对活动中出现的错误,组织同学讨论,找出产生错误的 原因,有利于学生“学会向错误学习”,并进行自我完善. [知识拓展] 将有理数减法转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号减号变为 加号,二是性质符号即减数变为它的相反数.有理数的加减混合运算应结合运算律和运算顺序 进行运算. 1.用正、负数表示相反意义的量. 2.利用有理数的加减混合运算解决实际问题. 1.小明的父亲上星期六买进某公司股票1000股,每股27元,下表为本周内每日该股票的 涨跌情况(单位:元). 星期 一 二 三 四 五 六 每股变化情况 +4 +4.5 - 1 - 2.5 - 6 +2 (1)星期三收盘时,每股是多少元? (2)本周内最高收盘价是每股多少元?最低收盘价是每股多少元? (3)已知小明父亲买进股票时付了交易额1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续 费和1‰的交易税,如果他在周六收盘时将全部股票卖出,他的收益情况如何? 解:周一收盘每股价格27+4=31元,周二收盘每股价格31+4.5=35.5元,周三收盘每股价格 35.5 - 1=34.5元, 周四收盘每股价格34.5 - 2.5=32元,周五收盘每股价格32 - 6=26元,周六收盘 每股价格26+2=28元,则: (1)周三收盘时,每股是34.5元. (2)本周收盘最高价是每股35.5元,最低收盘价是每股26元. (3)买入时交易额为 27×1000=27000 元,手续费 27000×1.5‰=40.5元,卖出时交易额为 28×1000=28000元,手续费和交易税共28000×(1.5‰+1‰)=70元,所以总收益为28000 - 27000 - 40.5 - 70=889.5(元). 2.枣庄市中区出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶,你能否知道在他将 最后一位乘客送到目的地时,他距离出车的出发点有多远? 如果规定向东为正,向西为负,司机小李行车里程(单位:千米)为:15, - 2, 5, - 1, - 10, - 3, - 2,12,4, - 5. 解:该出租车离出发点的距离为 15+( - 2)+5+( - 1)+( - 10)+( - 3)+( - 2)+12+4+( - 5)=13(千米). 第3课时 解决实际问题. 一、教材作业 【必做题】 教材第48页习题2.9的1题.【选做题】 教材第48页习题2.9的2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.某地区的气温在一段时间里从 - 8 ℃先上升了5 ℃,然后又下降了7 ℃,那么此时的气温 是 ( ) A.10 ℃ B. - 10 ℃ C.4 ℃ D. - 4 ℃ 2.算式 - 3 - ( - 5)+( - 2)写成省略括号的式子,正确的是 ( ) A. - 3+5 - 2 B. - 3+5+2 C. - 3 - 5 - 2 D.3+5 - 2 3.某天上午6:00柳江河水位为80.4 m,到上午11:30水位上涨了5.3 m, 到下午6:00水位又 下降了0.9 m,下午6:00水位为 ( ) A.76 m B.84.8 m C.85.8 mD.86.6 m 4.清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬,树高10米,白天爬4米,夜间下滑3米,它从树根爬到树顶, 需( ) A.10天 B.9天 C.8天 D.7天 ( 1) ( 1) ( 1) 5.计算 - - - + - = . 2 3 4 【能力提升】 6.计算. (1) - 40 - 28 - ( - 19)+( - 24) - ( - 32); (2)4.7 - ( - 8.9) - 7.5+( - 6). 【拓展探究】 7.一口水井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬,第一次爬了0.5米又下滑了 0.1米,第二次往上爬了0.47米又下滑了0.15米,第三次往上爬了0.6米,又下滑了 0.15米,第 四次往上爬了0.8米,又下滑了0.15米,第五次又往上爬了0.55米,没有下滑,则此时蜗牛爬出 井口了吗? 【答案与解析】 1.B(解析:由上升用正,下降用负,可知 - 8+5 - 7= - 10(℃).故选B. ) 2.A(解析:化简 - 3 - ( - 5)+( - 2)= - 3+5 - 2.故选A.) 3.B(解析:水位上涨用正,下降用负,由题意列式为80.4+5.3 - 0.9=84.8(m).故选B.) 4.D(解析:蜗牛一天一夜向上爬(4 - 3)米,而树高10米,当蜗牛向上爬到6米时,第二天白天直接 向上爬4米即可到达树顶,所以需要7天.故选D.) 5 5. - (解析:先根据有理数的加减混合运算的法则化简,再把异分母分数加减法化为同分 12 5 5 母分数加减法.原式= - .故填 - .) 12 12 6.解:(1)原式= - 40 - 28+19 - 24+32=19+32 - 40 - 28 - 24= - 41. (2)原式=4.7+8.9 - 7.5 - 6=13.6 - 13.5=0.1. 7.解:0.5+0.47+0.6+0.8+0.55 - 0.1 - 0.15 - 0.15 - 0.15=2.37(米),2.37米<3米,所以没有爬出井口.充分发挥学生的主观能动性,对各种问题让学生自己去思考、自己去发表意见,与同学们 交流,对于解决问题的方法,学生去探索,去理顺问题之间的相互关系,有利于能力的培养. 课堂容量较小,学生接触的问题情境较为单一,可适当增加一些与当前社会紧密联系的问 题,增加学生的知识面. 在讲解例题的过程中要继续采取边讲边练的设计,逐步提高学生的能力.在对应练习的过 程中,要设计相应的习题:(1)突出重点,突破难点;(2)要体现层次性,探究性;(3)与例题相比要有 一定的提高,但又不能高于课后的检测试题的难度;(4)习题的设计要新颖,尽量选用近几年的 中考题,以突出中考的方向. 随堂练习(教材第48页) 解:(1)小彬:162;小丽:160;小亮: - 6;小颖:163;小山:+5. (2)小山最高,小亮最矮. (3)11 cm. 习题2.9(教材第48页) 1.(1)1.6. (2) - 26.4. (3)30. (4)9. (5)69. (6) - 6. 2.解:(1)185单位. (2)可以以160单位为0点,得到如图所示的折线统计图. 教法:应注重让学生在实际情境中理解基本的数量关系和变化规律,注重使学生经历从实 际问题中建立数学模型,重视对有理数的意义的理解,培养学生的数感和符号感. 学法:应重视在具体情境中去体验、理解知识,注重过程,提倡在学习过程中自主探究,逐 步掌握从实际问题中建立数学模型,抽象出解决数学问题的方法,增强利用数学的意识,体验 数学与实际生活的密切联系,提高学习数学的积极性和主动性. 已知a<00,|b|>|c|>|a|,化简|a+b|+|b+c| - |a - b|. 解:因为a<00,|b|>|c|>|a|, 所以b<0,a+b<0,b+c<0,a - b>0, 所以|a+b|+|b+c| - |a - b|= - (a+b) - (b+c) - (a - b)= - a - b - b - c - a+b = - 2a - b - c. [解题策略] 正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0.7 有理数的乘法 1.能够熟练地进行有理数的乘法运算. 2.结合乘法运算的三种运算律,简化运算复杂程度,培养计算的灵活性. 3.理解倒数的概念. 在老师的指导下,通过观察若干有理数的乘法的简单运算,从中总结归纳出乘法运算的特 点及性质.采用研究式学习的方法,并配以一定量的计算来达到熟练掌握有理数的乘法运算的 目的. 1.学练结合,养成良好的学习态度,掌握正确的学习方法. 2.加深对负数在实际生活中的具体应用的理解. 【重点】 有理数的乘法法则. 【难点】 1.多个因数积的符号的确定. 2.有理数的乘法运算. 第 课时 使学生在了解乘法的基础上,掌握有理数乘法法则,并初步掌握有理数乘法法则的合理性; 会进行有理数乘法运算;了解有理数的倒数定义,会求一个数的倒数. 经历探索有理数乘法法则,发展观察、归纳、猜想、验证的能力以及培养学生的语言表 达能力,提高学生的运算能力. 通过合作学习调动学生学习的积极性,激发学生学习数学的兴趣,提高学生认识世界的水 平.【重点】 有理数乘法的运算法则. 【难点】 有理数乘法法则的探索过程、符号的确定及对法则的理解. 【教师准备】 教材49页引例图片. 【学生准备】 预习教材P . 49~51 导入一: [过渡语] 观察教材P49给出的图片,让学生讨论思考如何解答. 甲水库 乙水库 出示问题:如果用正号表示水位上升,用负号表示水位下降,那么: (1)甲水库的水位每天升高3 cm怎么表示? (2)乙水库的水位每天下降3 cm怎么表示? (3)4天后甲水库水位的总变化量怎么表示? (4)4天后乙水库水位的总变化量怎么表示? [处理方式] 学生在观察多媒体图片的基础上,结合正、负数的知识独立完成(1)(2)两个 小题;结合有理数加法的知识完成第(3)(4)小题.重点在于引导学生将加法转化为乘法: 3+3+3+3=3×4=12,( - 3)+( - 3)+( - 3)+( - 3)=( - 3)×4= - 12. [设计意图] 通过问题情境的创设,引入了本节课的课题,激发了学生的好奇心和求知欲, 调动了学生的学习积极性,让学生知道数学知识无处不在,符合“数学教学应从生活经验出 发”的新课程标准要求. 导入二: 请你仔细观察演示,并思考下列问题的结果. (1)如果水位每天上升6 cm,那么2天后的水位与今天相比变化多少? (2)如果水位每天下降6 cm,那么2天后的水位与今天相比变化多少? (3)如果水位每天上升6 cm,那么2天前的水位与今天相比变化多少? (4)如果水位每天下降6 cm,那么2天前的水位与今天相比变化多少? [处理方式] 这些问题是我们根据实际生活经验获得的,如果把它们翻译成数学符号语 言,该怎么表示呢?其变化结果能用有理数来表示吗?我们规定:水位上升记为正,保持不变记为 0,下降记为负;记以后的时间为正,今天为0,以前的时间为负;记水位比今天高为正,与今天一样 为0,比今天低为负.我们得到下面这张表格: 水位变化情况 时间变化情况 水位变化结果 水位每天上升6 cm,记为“+6 2天后的时间记为 上升12 cm记为“+12 cm” “+2” cm” 水位每天下降6 cm,记为“ - 6 2天后的时间记为 下降12 cm记为“ - 12cm” “+2” cm” 水位每天上升6 cm,记为“+6 2天前的时间记为“ - 下降12 cm记为“ - 12 cm” 2” cm” 水位每天下降6 cm,记为“ - 6 2天前的时间记为“ - 上升12 cm记为“+12 cm” 2” cm” 可以得到等式: (+6)×(+2)=+12 ( - 6)×(+2)= - 12 (+6)×( - 2)= - 12 ( - 6)×( - 2)=+12 [设计意图] 教师设置教学场景,当学生看到形成的数学问题与实际生活紧密联系时,会 激发学生的学习欲望,让学生自觉进入自己的发展空间,参与教学活动. 探究活动1 两个有理数相乘乘法法则 思路一 [过渡语] 现在我们知道了以上乘积结果,那你能不能继续完成以下算式呢? ( - 3)×4= - 12, ( - 3)×3= , ( - 3)×2= , ( - 3)×1= , ( - 3)×0= . 你能写出下列算式的结果吗? ( - 3)×( - 1)= , ( - 3)×( - 2)= , ( - 3)×( - 3)= , ( - 3)×( - 4)= . 师:观察后思考,这两组算式其中的一个因数保持不变,另一个因数每减少1时,积是怎样 变化的? 生1:其中的一个因数保持不变,另一个因数每减少1时,积就减少一个( - 3). 生2:其中的一个因数保持不变,另一个因数每减少1时,积就增加一个3. 师:同学们总结得非常正确,那么请再对比一下积的符号跟因数有关系吗? [设计意图] 用学生熟悉的知识来激发学生解决问题的欲望,并进一步让学生体会归纳 猜想的思想,同时让每个学生在课堂上都有独立思考的时间,让学生真正成为学习的主人. 思路二 [过渡语] 由课题引入中知道:4个 - 3相加等于 - 12,可以写成算式( - 3)×4= - 12,那么下 列一组算式的结果应该如何计算?请同学们思考: ( - 3)×3= ; ( - 3)×2= ; ( - 3)×1= ; ( - 3)×0= . 问题1 通过观察这组算式你发现积的正、负号与因数的正、负号有什么关系? 问题2 积的绝对值与因数的绝对值有什么关系? 问题3 一个因数减少1,另一个因数不变时,积怎样变化?[处理方式] 4道小题可以让学生口答完成:( - 3)×3= - 9;( - 3)×2= - 6;( - 3)×1= - 3;( - 3)×0=0.问题中前3个是对异号两数相乘法则的总结,让学生分组讨论,达成共识,完成知识的 升华:异号两数相乘积为负,积的绝对值等于因数绝对值的积;第4个小题对下面知识的学习起 到铺垫作用. 你能写出下列算式的结果吗? (+3)×(+1)= ;( - 3)×(+2)= ;(+3)×( - 3)= ;( - 3)×( - 4)= . 出示问题: 1.通过观察这组算式你发现积的正、负号与因数的正、负号有什么关系? 2.积的绝对值与因数的绝对值有什么关系? 3.对比前面一组结果,我们可以得到把一个因数换成它的相反数,所得的积会发生什么变 化? 思考以下问题: (1)符号:在上述4个式子中,我们只看符号,有什么规律? (+)×(+)=( ) 同号得 ; ( - )×(+)=( ) 异号得 ; (+)×( - )=( ) 异号得 ; ( - )×( - )=( ) 同号得 . (2)积的绝对值等于 . (3)任何数与零相乘,积仍为 . [归纳总结] 有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同 零相乘仍得零. 计算. (1)( - 4)×5; (2)( - 5)×( - 7); ( 3) ( 8) ( 1) (3) - × - ;(4)( - 3)× - . 8 3 3 解:(1) ( - 4)×5 = - (4×5) = - 20. (2)( - 5)×( - 7) =+(5×7) =35. ( 3) ( 8) (3) - × - 8 3 (3 8) =+ × 8 3 =1. ( 1) (4)( - 3)× - 3 ( 1) =+ 3× 3 =1. 探究活动2 互为倒数的概念 [过渡语] 例1中(3)(4)小题两因数的关系:它们的积为1,我们把这样的两个有理数叫做 互为倒数.互为倒数的两个有理数符号上有什么关系呢?怎样求一个数的倒数?即时巩固 你能求出下列各数的倒数吗? 2 1 (1)1;(2) - 1;(3)3;(4) - ;(5) ;(6) - 2.5. 3 5 1 〔解析〕 根据定义,要求a(a≠0)的倒数,只要求 即可. a 1 3 2 解:(1)1. (2) - 1. (3) . (4) - . (5)5. (6) - . 3 2 5 探究活动3 多个有理数相乘乘法法则 [过渡语] 根据两数相乘的法则,你能计算出以下各题吗?你能发现什么? 计算. (1)( - 4)×5×( - 0.25); ( 3) ( 5) (2) - × - ×( - 2). 5 6 解:(1)( - 4)×5×( - 0.25) =[ - (4×5)]×( - 0.25) =( - 20)×( - 0.25) =+(20×0.25) =5. ( 3) ( 5) (2) - × - ×( - 2) 5 6 [ (3 5)] = + × ×( - 2) 5 6 1 = ×( - 2) 2 = - 1. 议一议:几个有理数相乘,因数都不为 0 时,积的符号怎样确定?有一个因数为 0 时,积是 多少? (1)( - 1)×2×3×4; (2)( - 1)×( - 2)×3×4; (3)( - 1)×( - 2)×( - 3)×4; (4)( - 1)×( - 2)×( - 3)×( - 4); (5)( - 1)×( - 2)×( - 3)×( - 4)×0. [设计意图] 多个因数(没有0)相乘,积的符号由负因数的个数决定:当负因数个数为偶数 时,积为正;当负因数个数为奇数时,积为负.多个因数相乘时,当有一个因数为 0 时,积是0. [知识拓展] (1)求小数的倒数,要先把小数化为分数,求带分数的倒数,要先把带分数化为 假分数. (2)互为倒数的两个数的符号相同,即正数的倒数还是正数,负数的倒数还是负数,0没有倒 数.记住这个结论,可以防止发生符号错误. 1 n (3)求正数a(a≠0)的倒数,可直接写成 ;求分数 的倒数(n≠0),交换分子分母的位置即可. a m3 2 (4)两个数的乘积为 - 1,这两个数称之为互为负倒数,如 - 与 互为负倒数. 2 3 (5)与小学学过的除法一样,0不能作除数. 1.有理数的乘法法则. 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘,积仍为0. 2.相关结论: ①乘积是1的两个数互为倒数; ②多个不为0的有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘; ③几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数;负因数的个数是偶数时,积是 正数. 1.与 - 3互为倒数的是 ( ) 1 1 A. - B. - 3 C. D.3 3 3 1 解析:乘积为1的两个数互为倒数,所以 - 3的倒数是 - .故选A. 3 ( 1) 2.计算( - 4)× - = . 2 解析:首先判断积的符号为正,再把绝对值相乘,结果等于2.故填2. 3 5 ( 1) ( 1 ) 3.计算:(1)( - 8)× ;(2) - ×1.2× - ;(3)( - 0.12)× - ×( - 100). 2 4 9 12 1 解:(1) - 12. (2) . (3) - 1. 6 4.用正、负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1 km, 气温的变化量为 - 6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化? 解:( - 6)×3= - 18,所以气温下降了18 ℃. 5.商店降价销售某种商品,每件降5元,售出60件后,与按原价销售同样数量的商品相比, 销售额有什么变化? 解:( - 5)×60= - (5×60)= - 300,所以销售额减少300元. [设计意图] 及时反馈,了解学生对本节课知识的掌握情况,教师要求学生独立完成,根据 学生的完成情况有针对性地进行讲解. 第1课时 1.两个有理数相乘乘法法则. 2.互为倒数的概念. 3.多个有理数相乘乘法法则. 一、教材作业 【必做题】 教材第51页习题2.10的1题. 【选做题】教材第52页习题2.10的3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列算式中,积为正数的是( ) ( 1) A.( - 2)× + B.( - 6)×( - 2) 2 C.0×( - 1)D.(+5)×( - 2) 2.下列说法正确的是 ( ) A.异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号 B.同号两数相乘,符号不变 C.两数相乘,如果积为负数,那么这两个因数异号 D.两数相乘,如果积为正数,那么这两个因数都是正数 ( 1) ( 1) 3.计算 - 2 × - 3 ×( - 1)的结果是 ( ) 2 3 1 1 1 5 A. - 6 B. - 5 C. - 8 D.5 6 5 3 6 【能力提升】 4.如果ab=0,那么一定有 ( ) A.a=b=0 B.a=0 C.a,b至少有一个为0 D.a,b最多有一个为0 5.下面计算正确的是 ( ) A. - 5×( - 4)×( - 2)×( - 2)=5×4×2×2=80 B.12×( - 5)=60 C.( - 9)×5×( - 4)×0=9×5×4=180 D.( - 36)×( - 1)= - 36 6.计算填空,并说明计算依据: (1)( - 3)×5= ( ); (2)( - 2)×( - 6)= ( ); (3)0×( - 4)= ( ). 7.确定下列各个积的符号,填在横线上. (1)( - 7.4)×( - 3.2) ; (2)( - 2)×( - 2)×( - 2) ; ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) (3) - × - × - × - . 7 5 3 2 8.填空. (1)( - 3)×( - 0.3)= ; ( 1) ( 1) (2) - 5 × 3 = ; 2 3(3) - 0.4×0.2= ; ( 1) (4)(+32)×( - 60.6)×0× - 9 = . 3 【拓展探究】 9.如果6个均不等于0的数相乘的积为负数,那么这6个数中,正数有几个?举例说明. 【答案与解析】 1.B(解析:根据两数相乘,同号得正,异号得负可知选项B积为正.故选B.) 2.C(解析:根据有理数的乘法法则,异号得负.故选C.) ( 1) ( 1) 5 10 25 1 3.C (解析: - 2 × - 3 ×( - 1)= - × ×1= - = - 8 .故选C.) 2 3 2 3 3 3 4.C(解析:两数相乘,只要有一个为0,积就为0.故选C.) 5.A (解析:B选项结果应为 - 60,C选项结果为0,D选项结果应为36.故选A.) 6.(1) - 15 两数相乘异号得负,并把绝对值相乘 (2)12 两数相乘同号得正,并把绝对值相乘 (3)0 一个数与0相乘得0 7.(1)+ (2) - (3)+ 1 8.(1)0.9 (2) - 18 (3) - 0.08 (4)0 3 9.解:1个,3个或5个,举例略. 通过一个个问题的设置,包括练习题,层层推进学生进行思考,整节课思路连贯顺畅,是一 个有机的整体,体现了数学的本质和数学课堂的本质——能激活思维的课堂才是好课堂.无论 教材的处理还是教学过程的展开都是依据学生的年龄特点和当时的思维活动进行的.教材的 处理,以问题的形式出现,便于激发学生思考,使学生在获得有理数乘法法则之前,潜意识中已 经对其有了感性的认识或思考. 课题的引入的时间稍微有点长,造成例题的处理上稍显仓促. 如果在法则运用时,编制一些训练学生反应速度的脑筋急转弯游戏,锻炼一下学生口算能 力效果会更好. 随堂练习(教材第51页) 7 5 1 4 (1) - 42. (2) . (3) - . (4)0. (5) . (6) - . 3 6 6 35 习题2.10(教材第51页) 3 1 10 11 1.(1)0. (2) - 10. (3) - . (4) . (5)0. (6) - . (7)1. (8) - . 20 6 3 22. - 9.9 - 9.3 6.6 9.3 3.提示: - 23 ℃. 4.解:完成表格如下: × 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 3 9 6 3 0 - 3 - 6 - 9 2 6 4 2 0 - 2 - 4 - 6 1 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 - 2 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 - 3 - 9 - 6 - 3 0 3 6 9 有理数的乘法运算,在确定“积”的符号后,实质上是小学数的乘法运算,思维过程就是 如何把中学有理数的乘法运算化归为小学数的乘法运算.因此确定“积”的符号是本节课应 重点解决的问题.在小学里正数与正数相乘、正数与0相乘的运算,经过多年的实践,已经深 入学生骨髓,变得天经地义,因为他们可以毫不费劲地从生活实例中得到圆满解释.引入负数 后就不同了,“负数与正数相乘”还能用有理数的加法来解释,而且也能在现实生活中找到相 关背景,如连续降温等,但“正数与负数相乘”“负数与负数相乘”“负数与0相乘”等运算, 很难在现实生活中找到合理的解释,如果直接将有理数的乘法法则告诉学生,经过大量的练习, 学生也能熟练地掌握运算技巧,但由于没有经历知识的发生、发展过程, 必然会导致知其然不知其所以然,数学知识链会出现缺口.因此,有理数乘法法则的探索 过程是本节的重要一环,不可忽略.在探究法则的过程中,让学生多动手、多动脑,尽可能达到 在亲身探究中法则自然流淌而出,让学生触摸到知识的源头. 有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,用“>”“<”或“=”填空. (1)a - c 0; (2)b c; (3)ab 0; (4)abc 0. 〔解析〕 这道题首先要确定a,b,c这三个有理数的大小关系及它们本身的正、负号.由 于“数轴上的数,右边的数总是比左边的大”,所以可知a>0>b>c.知道了这个关系,判断就简单 了. 〔答案〕 (1)> (2)> (3)< (4)> 第 课时1.掌握多个有理数相乘的积的符号法则. 2.能运用运算律进行有理数乘法中的简便运算. 通过乘法运算律的探讨过程,提高学生观察、比较、归纳的能力,灵活运用运算律去解决 一些运算问题. 使学生感受从特殊到一般、由一般到特殊的认知规律. 【重点】 掌握有理数乘法法则的运用,验证和探索有理数乘法当中运算律的产生过程, 运用乘法的运算律进行有理数乘法的简便运算. 【难点】 有理数乘法运算律的灵活运用. 【教师准备】 预想学生本课时学习容易出现的知识错误. 【学生准备】 预习教材P . 52~53 导入一: [过渡语] 请同学们回顾: 1.有理数加法法则和乘法法则各是什么? 2.如何进行有理数乘法运算?乘法运算符号如何规定? 3.在小学我们学过一些乘法的运算律,谁能给大家介绍一下? 小学学习过的有关乘法的运算律,对所有的有理数乘法都还适用吗?通过计算,比较验证 同学们的猜想. [处理方式] 教师引导学生进行猜想并归纳,引导学生回忆小学学过的乘法的交换律、 乘法的结合律、乘法的分配律. [设计意图] 复习巩固有理数的乘法法则,训练学生的运算技能,自然过渡引入新课. 导入二: [过渡语] 请同学们计算屏幕上的4道题,比一比谁的速度快,知道答案的同学自己站起 来回答. (1)4×147×25; 7 3 3 (2) ×4 × ; 3 25 7 (1 1 1 ) (3)12× - - ; 2 4 12 (1 1 1) (4) + - ×24. 3 4 6[设计意图] 通过小学学习过的乘法运算律的复习,一方面让学生体会乘法运算律的简 便性,另一方面为引入有理数的乘法运算律做了铺垫,激发学生学习本节课的兴趣. [过渡语] 在有理数的运算中,乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律还成立 吗? 探究活动1 有理数的乘法运算律 (教材做一做) 计算下列各题,并比较它们的结果. (1)( - 7)×8与8×( - 7); ( 5) ( 9 ) ( 9 ) ( 5) - × - 与 - × - . 3 10 10 3 (2)[( - 4)×( - 6)]×5与( - 4)×[( - 6)×5]; [1 ( 7)] 1 7 × - ×( - 4)与 × - ×( - 4) . 2 3 2 3 [ ( 3)] ( 3) (3)( - 2)× ( - 3)+ - 与( - 2)×( - 3)+( - 2)× - ; 2 2 [ ( 4)] ( 4) 5× ( - 7)+ - 与5×( - 7)+5× - . 5 5 通过计算结果的比较,你发现了什么规律?猜想乘法运算律在有理数范围内是否适用. 【师生活动】 让3名学生板演计算过程,教师组织学生评价与纠错.通过比较结果,探 究猜想乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内使用的结论.得出有理数乘法运算律有 三条,分别是乘法的交换律、乘法的结合律、乘法对加法的分配律.并在小组内讨论如何用字 母和文字语言准确表达有理数的乘法运算律. [设计意图] 训练学生的运算技能,通过比较结果,探究猜想乘法交换律、结合律、分配 律在有理数范围内使用的结论,从而引入本节课的课题:乘法运算律在有理数运算中的应用. [归纳总结] 乘法的交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,a×b=b×a; 乘法的结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变, (a×b)×c=a×(b×c); 乘法对加法的分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再 把积相加,a×(b+c)=a×b+a×c. 巩固有理数乘法运算律 (自选例题)计算. ( 1) (1) ( - 0.25)× - ×( - 4); 6 ( 2 3 1 ) (2)( - 24)× - + + . 3 4 12 要求:用两种方法计算,并比较哪种方法较简便. (找四位学生板书,同学之间进行互批,纠正不足)( 1) ( 1) 1 生1:解:(1)( - 0.25)× - ×( - 4)= - 0.25×4× = - . 6 6 6 ( 1) 生2:解:(1)( - 0.25)× - ×( - 4) 6 ( 1) ( 1) = - × - ×( - 4) 4 6 1 = ×( - 4) 24 1 = - . 6 ( 2 3 1 ) 生3: 解:(2)( - 24)× - + + 3 4 12 ( 8 9 1 ) =( - 24)× - + + 12 12 12 2 =( - 24)× 12 = - 4. ( 2 3 1 ) 生4:解:(2)( - 24)× - + + 3 4 12 ( 2) 3 1 =( - 24)× - +( - 24)× +( - 24)× 3 4 12 =16+( - 18)+( - 2) = - 4. (教材例3) 计算. ( 5 3) (1) - + ×( - 24); 6 8 ( 4) 5 (2)( - 7)× - × . 3 14 【师生活动】 第(1)题运用有理数乘法对加法的分配律进行计算,用( - 24)分别乘 ( 5) 3 - 和 ,然后再把它们的积相加;第(2)题运用有理数乘法的交换律和结合律进行计算,把 6 8 5 ( 4) ( - 7)和 结合,再用它们的积与 - 相乘.教师鼓励学生独立计算出结果,并与同伴进行 14 3交流,通过比较不同算法,体会运算律对简化运算的作用. ( 5) 3 解:(1)原式= - ×( - 24) + ×( - 24) 6 8 =20+( - 9) =11. 5 ( 4) 解法1:(2)原式= - 7× × - 14 3 5 ( 4) = - × - 2 3 10 = . 3 ( 4 5 ) 解法2:(2)原式=+ 7× × 3 14 5 4 =7× × 14 3 10 = . 3 [设计意图] 通过学生的动手实践,切实感受到利用乘法运算律进行有理数的计算能够 简化运算,另外利用对比的教学方法,学生接受起来很自然,并且印象很深刻. [知识拓展] 乘法交换律,乘法结合律,乘法分配律在有理数的运算中起到至关重要的作 用,可以使运算变得简便,乘法的分配律的逆用也能够使计算简便,a×b+a×c=a×(b+c). 乘法的交换律:a×b=b×a. 乘法的结合律:(a×b)×c=a×(b×c). 乘法对加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c. ( 4) [ ( 4)] 1.计算( - 0.125)×15×( - 8)× - =[( - 0.125)×( - 8)]× 15× - ,这里运用了乘 5 5 法的 ( ) A.结合律B.交换律 C.分配律D.交换律和结合律 4 解析:题目中的 - 0.125与 - 8,15与 - 分别结合在了一起且 - 8和15交换了位置,所以 5 是运用了乘法的交换律和结合律.故选D. 2.下列运算过程有错误的是( )32 ( 1 ) 17 A.9 ×17= 10 - ×17=170 - 33 33 33 B. - 8×( - 3)×( - 125)= - (8×125×3) ( 1) 1 C. 63 - 4 ×3=63 - 4 ×3 3 3 ( 4) (4 ) D.( - 0.25)× - ×4×( - 7)= - (0.25×4)× ×7 7 7 解析:A选项运用了乘法分配律,B选项运用了乘法交换律,C选项在运用乘法分配律时,括 号内的每一项都要乘括号外的项,所以C错误,D选项运用了乘法交换律和结合律.故选C. ( 5 7 2) 3.在计算 - + ×( - 36)时,可以避免通分的运算律是 . 12 9 3 解析:为避免通分,应该应用乘法分配律.故填乘法分配律. 4.计算. ( 1) (1)( - 72)× +1 ; 3 (1 1 1 ) (2) + - ×( - 48). 4 6 12 ( 1) ( 4) 解:(1)( - 72)× +1 = - 72× = - 96. 3 3 (1 1 1 ) 1 1 1 (2) + - ×( - 48)= ×( - 48)+ ×( - 48) - ×( - 48)= - 12 - 8+4= - 16. 4 6 12 4 6 12 [设计意图] 本环节的目的就是为了检测学生的达标情况和巩固练习,同时为学有余力 的学生设置了有创新思维的问题,以满足不同层次的学生在数学发展方面的需要. 第2课时 有理数的乘法运算律 有理数乘法交换律:a×b=b×a 有理数乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 有理数乘法对加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 一、教材作业 【必做题】 教材第54页习题2.11的1题. 【选做题】 教材第54页习题2.11的3题. 二、课后作业【基础巩固】 1.下列各式中用了哪些运算律? (1)( - 4)×8 = 8 ×( - 4); (2)[( - 8)+5]+( - 4)=( - 8)+[5+( - 4)]; [2 ( 1)] 2 ( 1) (3)( - 6)× + - =( - 6)× +( - 6)× - ; 3 2 3 2 [ ( 5)] [( 5) ] (4) 29× - ×( - 12)=29× - ×( - 12) . 6 6 (5)( - 8)+( - 9)=( - 9)+( - 8). 2.想一想,错在哪里?并改正. (1 3 1 5) ( - 24)× - + - 3 4 6 8 1 3 1 5 解: 原式= - 24× - 24× +24× - 24× = - 8 - 18+4 - 15 3 4 6 8 = - 41+4 = - 37. 【能力提升】 3.计算. ( 3) [( 1) 1] (1) - ×( - 16); (2)30× - - ; 8 2 3 ( 2) 4 ( 1 ) (3) 0.25 - ×36; (4)8× × - . 3 5 16 【拓展探究】 4.计算. (1 1 1) (1)( - 30)× - + ; 2 3 5 14 (2)9 ×15; 15 (3)458×( - 10)+458×3+458×7. 【答案与解析】 1.解:(1)乘法交换律. (2)加法结合律. (3)乘法分配律. (4)乘法结合律. (5)加法交换律. 1 3 1 5 2.解:错误出现在符号的判断上,符号不能漏也不能重用.原式= - 24× +24× - 24× + 24× = 3 4 6 8 - 8+18 - 4+15=21. ( 3) [( 1) 1] ( 2) 3.解:(1) - ×( - 16)=6. (2)30× - - = - 25. (3) 0.25 - ×36= - 15. 8 2 3 3 4 ( 1 ) 2 (4)8× × - = - . 5 16 5(1 1 1) 14 ( 1 ) 4.解:(1)( - 30)× - + = - 15+10 - 6= - 11. (2)9 ×15= 10 - ×15=149. 2 3 5 15 15 (3)458×( - 10)+458×3+458×7=458×( - 10+3+7)=0. 本节课的设计中,教师是以组织者、引导者的身份出现在每一个环节上,在这个过程中培 养了学生观察、归纳、验证的能力.并通过用自己的语言描述运算律,培养了学生的语言表达 能力,用符号的语言描述运算律,发展了学生的符号感.在学习活动中,学生获得了成功的体验, 增强了自信. 课堂做题中学生对乘法的分配律的应用掌握得有点不好,对分配律的逆用有些不理解,以 后应加强练习. 学生在计算时产生的多数错误来自于运算符号,再教时可针对这种情况重点训练. 随堂练习(教材第53页) 1 1.解:(1)0. (2) - 1. (3) - 0.9. (4) . 7 2 2.解:(1)6. (2)5. (3)15. (4) - . 5 习题2.11(教材第54页) 1.解:(1)10. (2)5. (3)15. (4) - 4. (5) - 48. (6)9. (7) - 0.621. (8)5.85. 2.解:如果两个数的乘积为负数,那么这两个数为一正一负.如果两个数的乘积为正数,那么这 两个数同为正或同为负.如果多个数相乘,当乘积为负数时,那么其中必有奇数个负数;当乘积 为正数时,那么其中必有偶数个负数. 3.(1)> (2)> 学生在小学已经学习过四则运算的几条运算律,并初步体验到了运算律可以简化运算,具 备了对有理数运用运算律进行简便运算的意识和技能.在本章的第四节的第2课时又熟悉了 有理数的加法交换律与加法的结合律,并经历了它们的探索活动过程,具有了探索学习有理数 的乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律的基本技能基础,尤其是上节课有理数的 乘法法则更是重要的知识基础.学生在探究有理数加法的交换律、结合律的活动过程中,已经 有了切身的体验,积累了经验,丰富了阅历,并体会到了加法运算律对有理数加法的简化作用, 这不仅在探索方法上提供了经验基础,而且从情趣意识、求知欲望上也为本节课增添了兴趣 基础. ( 3) ( 4) 计算 ( - 46) × - +( - 46) × - . 7 7 〔解析〕 借助乘法对加法的分配律的逆用来计算比较简单.[( 3) ( 4)] 解:原式= ( - 46) × - + - 7 7 = ( - 46) ×( - 1) =46. 24 计算49 ×( - 5). 25 24 ( 1 ) 〔解析〕 此题可以把带分数49 拆成 50 - ,然后再利用乘法的分配律计算. 25 25 ( 1 ) 解:原式= 50 - ×( - 5) 25 1 =50×( - 5) - ×( - 5) 25 ( 1) - = - 250 - 5 1 = - 250+ 5 4 = - 249 . 5 8 有理数的除法 1.熟练掌握有理数的除法运算,灵活运用除法的运算法则. 2.理解有理数的乘法与除法的关系. 在有理数加减法及乘法的相关知识的基础上,用类比和观察的学习方法,让学生自主学习, 熟练掌握有理数的除法的运算及性质. 1.通过乘法与除法关系的学习,初步培养辩证的思维观. 2.类比已学习过的知识学习新知识,体验学习的快乐,增强学习数学的信心. 【重点】 熟练进行有理数的除法运算. 【难点】 1.正确进行有理数的运算,根据不同的除法形式,灵活选用除法法则.2.商的符号的确定. 3.对0不能作除数的理解. 【教师准备】 预设学生学习过程中的问题. 【学生准备】 学生课前进行相关预习工作. 导入一: [过渡语] 前面我们学习了有理数的乘法,那么自然会想到有理数有除法吗?如何计算有 理数的除法呢? ( - 12)÷( - 3)=? 回忆小学里乘法与除法互为逆运算,并提问:被除数、除数、商之间的关系. 所以我们只需找到 - 12=( - 3)×?就能找到商是多少.学生很容易猜想到: - 12=( - 3)×4. 注意事项:在学习过程中,一定要抓住被除数=除数×商,来猜想: ( - 12)÷( - 3)=4. [设计意图] 利用乘法与除法互为逆运算,将有理数的除法转化为有理数的乘法来解决, 为下一环节的学习做好准备. 导入二: 1.复习有关乘法运算知识. 师:上节课我们学习了有理数的乘法,能运用乘法法则进行计算,谁能叙述有理数的乘法 法则呢? 生:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与0相乘,积仍为0. 师:好,根据法则能口答下列各题吗?(多媒体展示) 2.先填左边的空,再根据左边的式子填右边的空. (1)2×( - 3)= ,( - 6)÷2= ; (2)( - 4)×( - 3)= ,12÷( - 4)= ; (3)8×9= ,72÷9= ; (4)( - 5)×6= ,( - 30)÷( - 5)= ; (5)0×( - 6)= ,0÷( - 6)= . 【思考】 (1)填右边的空时你的依据是什么? (2)仔细观察右边的等式你能得到什么运算法则? 生1:左边:(1) - 6 (2)12 (3)72 (4) - 30 (5)0 生2:右边:(1) - 3 (2) - 3 (3)8 (4)6 (5)0 生3:依据是有理数的乘法法则. 师:从回答问题中,知道大家已经掌握了有理数的乘法法则,并能根据左边的乘法求除法, 我为此很高兴,那么我们今天就来研究有理数的除法. 探究活动1 有理数的除法法则1 [过渡语] 有理数的乘法和除法之间有什么关系呢?(1)以提问的形式,让学生“猜想”出以下除法算式的运算结果. ①( - 18)÷6= ; ( 1) ②5÷ - = ; 5 ③( - 27)÷( - 9)= ; ④0÷( - 2)= . (2)在活动1的基础上,请同学们想一想,通过观察以上算式,看看商的符号及商的绝对值 与被除数和除数的符号及绝对值之间有何关系?从中归纳猜想出一般规律,并用自己的语言 叙述规律. [归纳总结] 两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何非0的数 都得0.注意:0不能作除数.和有理数的乘法法则的步骤一样,先判断符号,再把绝对值相除. (教材例1)计算: (1)( - 15)÷( - 3); ( 1) (2)12÷ - ; 4 (3)( - 0.75)÷0.25 ; ( 1 ) (4)( - 12)÷ - ÷( - 100). 12 【师生活动】 引导学生讨论分析,直接利用法则进行计算.首先确定商的符号,然后再 把绝对值相除.第(4)小题要按顺序从左到右进行计算.另外注意:负数在有理数运算中一定要 加上括号. 解:(1)( - 15)÷( - 3) =+(15÷3) ……(同号得正) =5.……(绝对值相除) ( 1) (2)12÷ - 4 ( 1) = - 12÷ ……(异号得负) 4 = - 48.……(绝对值相除) (3)( - 0.75)÷0.25 = - (0.75÷0.25) = - 3. ( 1 ) (4)( - 12)÷ - ÷( - 100) 12 ( 1 ) =+ 12÷ ÷( - 100) 12 =144÷( - 100)= - (144÷100) = - 1.44. [设计意图] (1)(2)两题通过教师示范指导明确法则的应用,规范书写过程;(3)(4)两题放手 让学生去做,一方面检验学生对法则的掌握情况,另一方面检查学生书写的规范程度,有利于 教师查漏补缺,及时反馈. 探究活动2 有理数的除法法则2 计算: ( 2) ( 5) (1)1÷ - ; 1× - . 5 2 ( 3 ) ( 10) (2)0.8÷ - ; 0.8× - . 10 3 ( 1) ( 1) ( 1) (3) - ÷ - ; - ×( - 4). 4 4 4 【师生活动】 计算出结果后,请同学们比较每一组小题中的两个结果,从中发现了什么 特点?由此你联想到所学的什么知识呢?并试着用语言叙述其中的规律:除以一个数等于乘这 1 个数的倒数. 用符号语言表示:a÷b=a× (b≠0). b [设计意图] 通过计算进一步理解与巩固除法法则1,以达到较为熟练的目的,另一方面 主要是为发现有理数除法法则2做好铺垫,让学生通过观察每一小题的结果,发现规律,并思考 得出除法的另一个法则:除以一个数等于乘这个数的倒数. [归纳总结] 利用法则2可以将有理数的除法转化为乘法,所以可以利用乘法的运算律 简化运算. (教材例2)计算: ( 2) (1)( - 18)÷ - ; 3 ( 4) ( 9) (2)16÷ - ÷ - . 3 8 ( 2) ( 3) 3 解:(1)( - 18)÷ - =( - 18)× - =18× =27. 3 2 2 ( 4) ( 9) ( 3) ( 8) 3 8 32 (2)16÷ - ÷ - =16× - × - =16× × = . 3 8 4 9 4 9 3 (学生板演后,师生共同讨论交流,对出现的问题给予纠正,并要求学生注意书写规范,对每 一步的依据,要做到心中有数.) [设计意图] 让学生通过观察,发现规律,并思考得出除法的另一个法则:除以一个数等于 乘这个数的倒数.既能让学生对所学知识进行巩固和应用,又能培养学生的合作意识和交流能 力. [知识拓展] 1.有理数乘除混合运算在不改变运算符号的情况下,只能按从左到右的顺序计算. 2.计算时可以运用除法法则把乘除混合运算统一成有理数的乘法运算,并应用乘法法则 计算. 3.乘除混合运算应在全部统一成乘法运算后,再使用乘法运算律. (自选)计算:72×( - 8)÷( - 12). 〔解析〕 乘除法是同级运算,进行乘除混合运算时,可从左至右逐步运算,还可以将式 子中的除法变为乘法,直接进行乘法运算. 解法1:72×( - 8)÷( - 12)= - (72×8)÷( - 12)= - 576÷( - 12)=48. ( 1 ) 解法2:72×( - 8)÷( - 12)=+ 72×8× =48. 12 (自选)计算:( - 5)÷( - 7)÷( - 15). 〔解析〕 三个数连除,先确定商的符号,再将除法转化为乘法,最后利用乘法法则进行 计算. ( 1 1 ) 1 解:( - 5)÷( - 7)÷( - 15)= - 5× × = - . 7 15 21 1.基本知识点: 除法的两个法则: 两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得0. 1 除以一个数等于乘这个数的倒数. 用字母表示:a÷b=a× (b≠0). b 2.解题技巧: (1)有理数乘除法法则遵循“符号优先”原则,即先确定符号,再把绝对值相乘除. (2)对于多个有理数相乘除,运算时可以从左到右进行,也可把除法转化成乘法后再进行计 算. (3)要正确使用符号法则,确定各步运算结果的符号. |a| |a| 1.当a 时, =1,当a 时, = - 1. a a |a| |a| 解析:由 =1得|a|=a,因为a不能为零,所以a为正数,即a>0;当 = - 1时,a为负数, a a 即a<0. 答案:>0 <0 2.当m= 时,2÷(3m+1)没有意义;当n= 时,(1 - 2n) ÷11=0. 1 解析:当除数等于0时无意义,所以3m+1=0,所以m= - .当(1 - 2n) ÷11=0时,分子应等于 3 1 0,即1 - 2n=0,所以n= . 2 1 1 答案: - 3 22 3.两数的积是 - 1,其中一个数是 - 1 ,那么另一个数是 . 3 2 ( 2) ( 5) 3 3 3 解析:另一个数应等于 - 1除以 - 1 .( - 1)÷ - 1 =( - 1)÷ - =1× = .故填 . 3 3 3 5 5 5 5 ( 1) 4.计算: ÷ - . 21 7 5 ( 1) 5 5 解: ÷ - = ×( - 7)= - . 21 7 21 3 ( 5) ( 1) 5.计算:( - 3)× - ÷ - . 2 4 ( 5) ( 1) ( 5) 解:( - 3)× - ÷ - =( - 3)× - ×( - 4)= - 30. 2 4 2 [( 5) ( 1)] 6.计算:( - 3)÷ - ÷ - . 2 4 [( 5) ( 1)] [( 5) ] 3 解:( - 3)÷ - ÷ - =( - 3)÷ - ×( - 4) = - . 2 4 2 10 [设计意图] 进行适当的有梯度性的课堂练习,有利于学生对本节内容的把握,加深对有 理数除法法则的运用,更体现了学以致用、举一反三的教学目的. 8 有理数的除法 1.有理数的除法法则1:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何 非0的数都得0.注意:0不能作除数. 1 2.有理数的除法法则2:除以一个数等于乘这个数的倒数. 用字母表示:a÷b=a× (b≠0). b 一、教材作业 【必做题】 教材第56页习题2.12的1题. 【选做题】 教材第57页习题2.12的3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.计算84÷( - 7)等于 ( ) A. – 12 B.12 C. – 14 D.141 2. - 的倒数是 ( ) 2 1 1 A. - B. C.2 D. - 2 2 2 3.下列说法错误的是 ( ) A.任何有理数都有倒数 B.互为倒数的两数的积等于1 C.互为倒数的两数符号相同 D.1和其本身互为倒数 4.两个有理数的商是正数,那么这两个数一定 ( ) A.都是负数 B.都是正数 C.至少一个是正数D.同号 5.填写出运算结果或使等式成立的被除数或除数,并说出所依据的法则. (1)( - 42)÷( - 6)= ,依据法则是 ; (2)( - 63)÷7= ,依据法则是 ; (3) ÷( - 2)=0,依据法则是 . 1 6.(1) - 的相反数是 ,倒数是 ; 3 (2) - 2.6的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是 ; 1 (3)若一个数的相反数是 - 1 ,则这个数是 ,这个数的倒数是 ; 4 3 (4) 的相反数的倒数是 ; 5 (5)若a,b互为倒数,则ab的相反数是 . 7.若一个数的相反数为 - 2.5,则这个数是 ,它的倒数是 . 8.倒数是它本身的数是 ,相反数是它本身的数是 . 【能力提升】 9.若两个数a,b互为负倒数,则ab= . 1 10.当x= 时,式子 没有意义. x - 2 a 11.(1)如果a>0,b<0,那么 0; b a (2)如果a<0,b>0,那么 0; b a (3)如果a<0,b<0,那么 0; b a (4)如果a=0,b<0,那么 0. b 12.计算: ( 1) (1)( - 0.33)÷ + ÷( - 9); 3( 1) ( 1) (2) - 2 ÷( - 5)× - 3 ; 2 3 1 4 (3)( - 81)÷2 × ÷( - 16). 4 9 【拓展探究】 3 13.(1)两数的积是1,已知一数是 - 2 ,求另一数; 7 1 1 (2)两数的商是 - 3 ,已知被除数是4 ,求除数. 2 2 14.当a=1.8,b= - 2.7,c= - 3.6时,分别求下列各式的值: 3a 7ab (1) - ; (2) . c 5 【答案与解析】 1.A(解析:84÷( - 7)= - 12.故选A.) 1 2.D(解析: - 的倒数是 - 2.故选D.) 2 3.A (解析:选项A,任何有理数都有倒数,错误,因为0没有倒数.故选A.) 4.D(解析:根据有理数的除法法则1可知选项D正确.故选D.) 5.(1)7 两数相除,同号得正,并把绝对值相除 (2) - 9 两数相除,异号得负,并把绝对值相除 (3)0 0除以任何非0的数都得0 1 5 1 4 2 6.(1) - 3 (2)2.6 - 2.6 (3)1 (4) - 1 (5) - 1 3 13 4 5 3 7.2.5 0.4 8.±1 0 9. - 1 10.2 11.(1)< (2)< (3)> (4)= 5 12.提示:(1)0.11. (2) - . (3)1. 3 7 2 13.提示:(1) - . (2) - 1 . 17 7 1 14.提示:(1)1 . (2) - 6.804. 2 这一节课,从有理数除法问题的产生,到有理数除法法则的形成,以及归纳出有理数除法 的解题步骤等,不是简单地告诉学生结论和方法,然后进行大量的重复性练习,而是在教师的 指导下,让学生自己去思索、判断,自己得出结论,从而达到培养学生观察、归纳、概括能力 的目的. 由于学生的知识基础各异,在总结问题时,成绩中等以下和学习有困难的学生明显信心不足,要注意和他们交流,帮助他们把复杂的问题化为简单的问题. 再教时,应把有些活动的思考与讨论作为作业预先布置给学生(如本节作业),让学生有充 分思考、组织和表达的机会,其合作及交流的形式可以是多样的. 随堂练习(教材第56页) 5 2 15 提示:(1) - . (2) . (3) - 30. (4) - . 3 3 8 习题2.12(教材第56页) 1 1 9 1.提示:(1)0. (2)2. (3) - 5. (4) - . (5) - 6. (6)2. (7) - . (8) - . 21 6 35 12 10 1 5 12 5 10 1 2.解:倒数分别为 - , ,6, , - . - < - < < <6. 5 37 2 9 5 9 37 2 2 7 4 3 3.提示: - , , , . 3 12 9 20 4.提示:750 m. (1)计算有理数的乘除混合运算时,可将除法转化为乘法,再利用有理数乘法的法则进行计 算.也可以类比得出有理数的乘除混合运算的具有一般性的算法,即非零有理数的乘除混合运 算,结果的符号由负因数的个数决定,负因数有奇数个时结果为负,负因数有偶数个时结果为 正,结果的绝对值可由除法转化为乘法求得. (2)尽管有理数的除法可以转化为乘法,但除法没有相应的交换律、结合律、分配律.如: a a a a÷(b+c+d)≠ + + . b c d 1 9 4 计算: - 10 ÷ × ÷( - 2). 8 4 3 〔解析〕 这是一道典型的乘除混合运算题目,有两种解题思路:一是先判断结果的符号, 再把除法转化为乘法;二是先把除法转化为乘法,再利用有理数乘法的法则进行计算. 1 9 4 81 4 4 1 解法1: - 10 ÷ × ÷( - 2)=+ × × × =3. 8 4 3 8 9 3 2 1 9 4 81 4 4 ( 1) 81 4 4 1 解法2: - 10 ÷ × ÷( - 2)= - × × × - = × × × =3. 8 4 3 8 9 3 2 8 9 3 2 9 有理数的乘方1.在实际情境中理解有理数的乘方的意义. 2.理解乘方的概念,能求有理数的正整数指数幂的值. 3.通过实例体会乘方的变化规律. 使学生通过各种有趣的实际例子,体会有理数的乘方,初步形成数学归纳的能力. 1.经历概念的形成过程,培养自主探索知识和合作交流的能力. 2.培养观察、比较、分析、归纳、概括能力以及探索精神. 3.体验数学中分类讨论的思想. 【重点】 有理数乘方的意义;正整数指数幂的值. 【难点】 乘方的变化规律. 第 课时 理解有理数乘方的意义,理解底数、指数、幂的意义及有理数乘方和乘法的关系,会进行 有理数的乘方运算. 通过类比、联想、归纳,加强对乘方意义的理解,发展学生的思维能力,使学生初步具备 类比、由特殊到一般、化归及分类讨论的数学思想,并培养学生的逆向思维. 培养学生学习数学的信心和克服困难的勇气,从中体会成功的快乐. 【重点】 理解有理数乘方的意义,会进行有理数的乘方运算. 【难点】 理解幂、指数、底数的概念. 【教师准备】 细胞分裂示意图投影图片. 【学生准备】 预习课本相关内容.导入一: 珠穆朗玛峰是世界的最高峰,它的海拔高度约是8844米.把一张足够大的厚度为0.1毫米 的纸,连续对折30次,其厚度能超过珠穆朗玛峰的高度,这是真的吗?我们要解决这个问题,需 要利用我们今天要学习的数学知识——有理数的乘方. 珠穆朗玛峰是世界的最高峰,它的海拔高度约是8844米.把一张足够大的厚度为0.1毫米 的纸,连续对折30次,其厚度能超过珠穆朗玛峰的高度,这是真的吗?我们要解决这个问题,需 要利用我们今天要学习的数学知识——有理数的乘方. [设计意图] 通过趣味数学,创设问题情境,吸引学生的注意力,唤起学生的好奇心,激发学 生的兴趣和主动学习的欲望,营造一个让学生主动思考、探索的氛围. 导入二: [过渡语] 同学们都吃过拉面吧?拉面师傅第1次对折捏合,能拉出2根面条,第2次对折 捏合能拉出4根面条,第3次对折捏合能拉出8根面条,如果对折捏合100次,你们知道能拉出 多少根面条吗? 带着这个问题,我们进入本课“有理数的乘方”的学习. [设计意图] 从学生熟悉的生活实际出发,创设问题情境,利用学生的好奇心理,通过生活 中“拉面问题”的实例,让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程,引导学生用“数学眼 光”分析身边存在的现象,认识数学和生活的密切联系,培养学生用实践验证猜想的学习意识, 激发学生的学习兴趣. 探究活动1 有理数的乘方的概念 [过渡语] 请同学们利用小学学过的知识解决下列问题: 问题1 正方形的边长为2,其面积是多少? 问题2 棱长为2的正方体的体积为多少? 【师生活动】 让学生思考回答,a·a=a2,读作a的平方(或二次方),a·a·a=a3,读作a的立方 (或三次方).教师进一步追问:既然这两个式子可以很简单明了地表示成 a2和a3,那么式子 n个 ⏞a·a·…·a 有没有简单记法和读法呢?我们不妨按照这样的方式将它进行推广.某种细 胞每过30 min,便由1个分裂成2个,经过5 h,这种细胞由1个分裂成多少个?由学生思考交流,合作探讨如何解决问题.教师就势设计下列问题: 问题3 这个细胞分裂一次可得多少个细胞? 问题4 分裂两次呢? 问题5 分裂三次呢?四次呢? 问题6 5 h共分裂了多少次?分裂成多少个细胞? 不同学生回答,当学生回答细胞分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2个细胞时,教师让学生思考 下列问题: 1.这个式子有什么特点? 2.想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗? [设计意图] 让学生感受现实生活中蕴含着大量的数学信息,数学在现实世界中有着广 泛的应用,面对实际问题,主动尝试从数学的角度运用所学知识解决实际问题,并在解决问题 的过程中体会乘方运算的必要性和优越性,同时体会细胞分裂的速度非常快,从而感受有理数 的乘方. 【师生活动】 让学生自主学习,然后谈谈对乘方的认识,并完成下列问题,教师加以总 结. n个 1.一般地,n个相同因数a相乘,即 ⏞a·a·…·a ,记作 . 2.求n个相同因数a的 的运算叫做乘方,乘方的结果叫做 ,a叫做 ,n叫作 .an读作 ,或读作 . 即时练习 填空. (1)( - 5)×( - 5)×( - 5)×( - 5)×( - 5)写成乘方的式子是 . (2)在210中,2是 数,10是 数,读作 ,表示 个 相 乘. 总结:(1)乘方具有双重意义,一是它是一种运算——求相同因数的积的运算;二是它表示 乘方运算的结果——幂. (2)在书写幂时注意底数,当底数是负数、分数或式子时,应加上括号,再写指数. [设计意图] 培养学生的归纳抽象能力,建立符号感,理解符号所表示的数量关系和变化 规律,学习新知识,认识乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果,弄清楚幂的读法和写法,区分幂 的指数和底数. 探究活动2 有理数乘方的计算 [过渡语] 既然已经明确了乘方的概念及意义,那么如何进行乘方运算呢? 计算:( 1) 3 (1)53; (2)( - 3)4; (3) - . 2 先让学生思考解题过程,然后师生合作板书第(1)小题,规范解题格式,其他各题由学生独 立完成,教师巡视、点拨,注意学生出现的问题,学生时常会产生如下误区:(1)混淆乘方与乘法 的概念,如把53当作5×3来计算;(2)运算中出现符号错误,如( - 3)4= - 81.为此,应要求学生把解 答过程写出来,不要直接写出结果.如按乘方的定义,将乘方运算先转为乘法运算再进行计算, 并注意乘方运算符号法则的运用. 解:(1)53=5×5×5 =125. (2)( - 3)4=( - 3)×( - 3) ×( - 3)×( - 3) =81. ( 1) 3 ( 1)( 1)( 1) 1 (3) - = - · - · - = - . 2 2 2 2 8 [设计意图] 由师生完成例题的教学,充分体现学生的主体地位,培养学生的语言表达能 力,体现例题的示范作用. 巩固训练 计算: ( 1) 2 (1)( - 3)3;(2)( - 1.5)2; (3) - . 7 [处理方式] 让一名学生板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨.同时指出题 目的特点,鼓励学生尽可能多地从运算结果中观察、发现底数为正数的幂的符号特点,底数为 负数的幂的符号特点. 计算: 32 (1) - ( - 2)3; (2) - 24; (3) - . 4 让一名学生板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨,校正答案.同时,注意矫正 学生可能出现的错误,如 - 24=( - 2)×( - 2)×( - 2)×( - 2)=16是错误的.接着给出下列问题: 下列各式意义是否相同?其结果是否一样? (3) 2 32 (1)32与23;(2)( - 2)3与 - 23;(3) 与 . 5 5 [设计意图] 当底数是负数或分数时,书写时一定要用括号把底数括起来,再把指数写在 右上角. 巩固训练 计算: ( 1) 3 ( 2) 2 (1) - 1 ;(2) - ( - 2)3;(3) - - . 3 3 [设计意图] 通过例题、习题指导学生计算,让学生逐步熟练有理数的乘方运算,进一步 规范幂的书写格式,加深对有理数的乘方运算的印象. n个——n叫做指数(n取正整数).相同的因数——a叫做底数 (a为有理数). 运算的结果——an叫做幂. 1.下面各式计算结果正确的是 ( ) A. - 22= - 4 B. - ( - 2)2=4 C.( - 3)2=6 D.( - 3)3=27 解析:在计算乘方时,要注意底数和符号,B选项, - ( - 2)2= - 4,C选项,( - 3)2=9,D选项,( - 3)3= - 27.故选A. 2.填空. (1)( - 4)×( - 4)×( - 4)×( - 4)×( - 4)写成乘方的式子是 ; ( 3) 4 (2) - 中,底数是 ,指数是 ; 8 (3)一个数的5次幂是负数,则这个数的7次幂是 数,4次幂是 数. 3 答案:(1)( - 4)5 (2) - 4 (3)负 正 8 3.计算. ( 1) 3 (1)( - 1)258; (2) - 12014; (3)( - 0.2)2; (4) - ( - 14)2; (5) - - . 5 解:(1)( - 1)258=1. (2) - 12014= - 1. (3)( - 0.2)2=0.04. (4) - ( - 14)2= - 196. ( 1) 3 1 (5) - - = . 5 125 [设计意图] 当堂检测能及时获知学生对所学知识的掌握情况,并能最大限度地调动全 体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加 强辅导,达到全面提高的目的. 第1课时 1.有理数的乘方的概念. 2.有理数乘方的计算. 一、教材作业 【必做题】教材第59页习题2.13的1,2题. 【选做题】 教材第60页习题2.13的5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.填空. (1)在( - 1)4中,指数是 ,底数是 ,计算的结果等于 ; (2)在mn中, m叫 数, n叫 数,mn表示的是 ; ( 1) 4 (3) - 0.12= ,0.63= , - = ,( - 3)4= ; 2 1 1 1 1 (4)把( - 5)×( - 5)×( - 5)写成幂的形式是 ,把 1 ×1 ×1 ×1 写成幂的形式是 7 7 7 7 ; (5)( - 2)6读作 或 , - 26读作 ,它们的和为 . 2.选择. (1)下列计算正确的是 ( ) ( 1 ) A. - 52× - = - 1 25 B.25×( - 0.5)5= - 1 C. - 24×( - 3)2=144 (3) 2 ( 5) 23 D. ÷ 1÷2 = 5 9 5 (2)如果一个有理数的偶次幂是正数,那么这个有理数 ( ) A.一定是正数 B.是正数或负数 C.一定是负数 D.可以是任意有理数 (3)下列结论正确的是 ( ) A.若a2=b2,则a=b B.若a>b,则a2>b2 C.若a,b不全为零,则a2+b2>0 D.若a≠b,则 a2≠b2 (4)下列各数按从小到大的顺序排列正确的是 ( ) A.( - 0.2)3<0.54<( - 0.3)4 B. - 0.54<(0.3)4<( - 0.2)3 C. - 0.54<( - 0.2)3<( - 0.3)4 D.(0.3)4< - 0.54<( - 0.2)3 (5)设n是一个正整数,则10n是 ( ) A.10个n相乘所得的积 B.一个n位的整数 C.10的后面有n个零的数D.一个(n+1)位的整数 32 (6)式子 - 的意义是 ( ) 2 A.3与2商的相反数的平方 B.3的平方与2的商的相反数 C.3除以2的平方的相反数 D.3的平方的相反数除2 (7)下列各式中,计算结果为零的是 ( ) A. - 22+( - 2)2 B. - 22 - 22 C. - 22 - ( - 2)2 D.( - 2)2 - ( - 22) (8)若x,y为有理数,则下列各式中成立的是( ) A.( - x)3=x3 B.( - x)4= - x4 C.(x - y)3=(y - x)3 D. - x3=( - x)3 【能力提升】 3.当a=3,b= - 2,c= - 1时,求下列式子的值. (1)a2 - b2 - c2; (2)c2 - (a - b)2. 【拓展探究】 4.计算: (1)2×( - 3)3; (2) - 32×( - 2)2; (3) - 22 - ( - 3)2; (4) - 23+( - 3)3. 【答案与解析】 1 (8) 4 1.(1)4 - 1 1 (2)底 指 n个m相乘 (3) - 0.01 0.216 81 (4)( - 5)3 16 7 (5) - 2的6次方 - 2的6次幂 26的相反数 0 2.(1)B (2)B (3)C (4)C (5)D (6)B (7)A (8)D 3.提示:(1)4. (2) - 24. 4.提示:(1) - 54. (2) - 36. (3) - 13. (4) - 35. 为了使学生真正掌握重难点,熟练地进行有理数的乘方运算,在习题的训练环节,通过生 生互动、师生互动的教学过程,重难点突破基本可以完成,学生的能力得到提高,同时培养了 学生集体合作的意识.对于乘方的运算,先确定符号,再计算绝对值,特别是带有多个符号的形 式要分清楚底数. 本节课中所设计的各个环节的目的基本达到,但在做题中出现了这样的错误:混淆乘方与 乘法的概念,如把24当作4×2来计算,这是因为没有正确理解乘方的意义.应规范学生做题步 骤,避免新学知识点在应用时出错. 尊重学生的个体差异,尊重学生在小结过程中所表现出的不同水平,对学习有困难的学生,教师要给予及时的关照和帮助,尽量给他们发言的机会. 随堂练习(教材第59页) 1 1.(1)7 4 (2) - 5 3 1 1 2.解:(1) - 27. (2)2.25. (3) . (4) - 9. (5) . 49 64 习题2.13(教材第59页) 6 1.(1) - 6 3 (2) - 4 5 8 8 27 2.解:(1)49. (2) - 216. (3) . (4) - 9. (5) - . (6) . 27 5 64 4.解:因为42=16,( - 4)2=16,所以这个数可能是4或 - 4.可能,0的平方是0. 5.解:(1)1. (2) - 1. 教学设计中缺乏负数乘方与乘方的相反数的比较,使得学生在阅读和计算时产生了混淆, 造成了错误,因此在今后的教学设计中应作适当调整.如设计一个( - 2)4和 - 24的列表,帮助学 生区分负数乘方与乘方的相反数这两个概念. ( - 2)4 - 24 写 有括号 无括号 法 读 负2的4次方 2的4次方的相反数 法 意 4 个( - 2)相乘,即( - 2)×( - 2)×( - 4 个 2 相乘的积的相反数,即 - 义 2)×( - 2) (2×2×2×2) 结 16 - 16 果 计算: (1)35; (2)( - 5)3; ( 1) 5 (3) - 43; (4) - ; 2 ( 2) 4 (5) - 1 ; (6)06; 3 (7)( - 1)100; (8)( - 1)99. 解:(1)35=3×3×3×3×3=243. (2)( - 5)3=( - 5) ×( - 5) ×( - 5)= - 125. (3) - 43= - 4×4×4= - 64.( 1) 5 (1) 5 1 1 1 1 1 1 (4) - = - = - × × × × = - . 2 2 2 2 2 2 2 32 ( 2) 4 (5) 4 5 5 5 5 625 (5) - 1 = = × × × = . 3 3 3 3 3 3 81 (6)06=0. (7)( - 1)100=1100=1. (8)( - 1)99= - 199= - 1. 第 课时 1.进一步理解有理数乘方的意义并能解决一些相关的数学问题. 2.通过实例感受有理数的乘方运算,在具体情境中体会当指数增加时底数为 2的幂的增 长速度是很快的,通过对解题过程的反思获得解决问题的经验. 经历有理数乘方的符号法则的探究过程,通过实际计算发现底数为10的幂的特点. 参与操作折纸活动让学生在探索问题的过程中体验学习数学的乐趣,增强自主学习,培养 合作学习的意识与习惯. 【重点】 进一步理解有理数乘方的意义并能正确进行有理数的乘方运算,同时体会当 指数不断增加时底数为2的幂的增长速度是很快的. 【难点】 理解乘方的概念,并会用乘方运算解决生活中的问题. 【教师准备】 预想学生学习过程中可能遇到的困难. 【学生准备】 预习教材相关内容. 导入一: 什么是有理数的乘方?什么叫幂?导入二: 棋盘摆米 古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上 了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说:“就在这个 棋盘上放一些米粒吧.第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒米、16粒、 32粒……一直到第64格.”“你真傻!就要这么一点米粒?!”国王哈哈大笑.大臣说:“就怕您 的国库里没有这么多米!”你认为国王的国库里有这么多米吗? 【师生活动】 导入一让学生回顾有理数乘方的意义,指出an每个字母所代表的含义. 也可以以一名学生举例,其他学生回答的方式进行.导入二采用讲故事的形式来出示问题,然 后让小组间交流讨论,让各个小组选一名代表来发表各组的看法,最后教师总结: 放满一个棋 盘上的64个格子需要1+22+23+24+…+263 =(264 - 1)粒米,总共有18446744073709551615粒米, 假设10000粒米为1斤,100斤为1袋,估计有多少袋?大约有18446744073710袋.全国的粮食 加起来也不够. [设计意图] 首先回顾上一节的内容,然后通过讲趣味故事来吸引学生的注意力,激发学 生的求知欲,并可以通过本节课的学习来解决这类问题并从中获得启示. 活动探究1 特例归纳,符号法则 [过渡语] 本节课我们继续研究有理数的乘方运算. 计算: (1)102,103,104,105; (2)( - 10)2,( - 10)3,( - 10)4,( - 10)5. 解:(1)102= 100,103= 1000,104=10000,105=100000. (2)( - 10)2= 100,( - 10)3= - 1000,( - 10)4=10000,( - 10)5= - 100000. 【师生活动】 教师让两名学生板演,其他学生在练习本上完成.在学生完成后,组织学 生进行评价与纠错,规范解题过程,把答案校对完之后让学生观察计算的结果,并且思考有什 么规律,通过小组的交流合作来进一步总结.或者从以上的计算结果中是否能发现乘方运算的 符号有什么特点?什么时候是正?什么时候是负?观察以10为底数的幂,仔细观察结果你还有 哪些发现?然后回答 . [设计意图] 对习题的讲解一方面引导学生不断地回顾幂的意义,熟练有理数的乘方运 算;另一方面指出题目的特点,鼓励学生尽可能多地从运算结果中观察、发现底数为正数的幂 的符号特点及底数为负数的幂的符号特点并总结以10为底数的幂的特点,培养学生的观察 能力及归纳能力. [归纳总结] 正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.还可以得到10的n次幂的特点是1后面有n个0.两个数互为相反数,偶次方相等,奇次方互为相反 数. 探究活动2 动手实践,探索发现 [过渡语] 请同学们拿出一张纸,进行折纸活动,一边折,一边思考以下问题: 纸的厚度为0.1 mm ,对折1次后,厚度为2×0.1 mm;对折2次后,厚度为多少毫米?3次呢? 你是怎么计算的?对折20次后,厚度为多少毫米? 若每层楼高度为3 m,这张纸对折20次后 约有多少层楼高? 通过活动,你从中得到了什么启示? 【师生活动】 通过小组合作的方式让学生一边折纸一边思考,然后通过计算得出对折 1次是2层纸,对折2次是4层纸,对折3次是8层纸,所以厚度分别为0.2 mm,0.4 mm和0.8 mm.对折20次后,纸的层数是20个2相乘,也就是220层纸,厚度为220×0.1 mm.由教师来计算 220×0.1=1048576×0.1=104857.6(mm),104857.6 mm=104.8576 m.相当于约35层楼房的高度. 教师引导学生回答:当指数不断增加时,底数为2的幂的增长速度相当快. [设计意图] 培养学生积极参与课堂教学的意识,提高动手能力、猜想能力、估算能力. 通过“折纸活动”,加深对乘方意义的理解,也进一步体会当指数不断增加时,底数为2的幂的 增长速度相当快.通过折纸活动学生也积累了一定的数学经验. [过渡语] 拉面师傅把一根粗面条拉长、两头捏合,再拉长、捏合,重复这样,就可以拉成 许多根细面条了.据报道,在一次比赛中,某拉面师傅用1 kg面粉拉出约209万根面条,可这约 209万根面条是没法数的.你知道怎样得出这个结论吗? 【师生活动】 小组间继续合作交流讨论,由学生试着回答,然后教师引导学生参照上面 两个问题的解决方法来分析:第1次2根面条;第2次22根面条;第3次23根面条;…;第n次2n 根面条.因此,只要数出拉面师傅一共操作了几次就能算出共拉出了多少根面条,鼓励学生大 胆地、有依据地估计、猜想n的值.如210=1024≈103,那么220≈106,即约为100万,所以221约为 200万,即大约拉21次. [设计意图] 培养学生应用知识解决问题的能力,进一步加深对乘方意义的理解,体会当 指数不断增加时,底数为2的幂的增长速度相当快,积累应用数学知识解决实际生活问题的经 验. [知识拓展] 乘方运算的符号法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数 的偶次幂是正数;0的任何次幂都是0.(这里的任何次幂指的都是正整数次幂)运算时,注意先 算乘方,再算乘除,计算乘方时需要注意底数与指数. 1.正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何次幂都 是0. 2.10的n次幂表示1的后面有n个0. 3.当指数不断增加时,底数为2的幂的增长速度相当快. 1.( - 3)2的底数是 ,指数是 ,结果是 ; - 32的底数是 ,指数是 ,结果是 . 解析:注意两个乘方的区别,( - 3)2的底数是 - 3,指数是2,结果是9; - 32的底数是3,指数是 2,结果是 - 9. 答案: - 3 2 9 3 2 - 9 2.计算: ( 1) 2 ( 3) 3 (1) - ; (2) - ; 2 2 ( 4) 2 (3)( - 7)3;(4) - - . 3 ( 1) 2 1 解:(1) - = . 2 4 ( 3) 3 27 (2) - = - . 2 8 (3)( - 7)3= - 343. ( 4) 2 16 (4) - - = - . 3 9 3.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表: 输入 … 1 2 3 4 5 … 1 2 3 4 5 输出 … … 2 5 10 17 26 当输入的数据是8时,输出的数据是 ;当输入的数据是n时,输出的数据是 . 解析:根据表格可发现规律,输出的分数的分子等于输入的数,分母等于输入的数的平方 8 加1,所以当输入的数据为8时,输出的数据应为 ,当输入的数据为n时,输出的数据应为 65 n . n2+1 8 n 答案: 65 n2+1 第2课时 1.特例归纳,符号法则. 2.动手实践,探索发现. 一、教材作业 【必做题】 教材第61页习题2.14的1题. 【选做题】教材第62页习题2.14的3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.计算. ( 1) 3 (1) - 1 ; 3 22 ( 2) 2 (2) - - ; 3 3 (3)( - 1)1999 - ( - 1)2000; (4) - 12 - 2·( - 1)2; (5) - ( - 2)3×( - 3)2; ( 1) 2 (6)( - 6)÷ - . 3 【能力提升】 2.( - 2)4与 - 24有何不同? 3.当a是什么数时,a2a2? 4.计算: ( 1) 100 (1) - 299· - +8101·( - 0.125100); 2 (2)[53 - 4×( - 5)2 - ( - 1)10] ÷[( - 7)5 - 24+75]; (3)( - 1) - ( - 1)2+( - 1)3 - ( - 1)4+… - ( - 1)100; (4)0.122 - 0.23 - 0.152 - 0.33. 【拓展探究】 5.求下列各式的值: (1)当a= - 2,b= - 1时,求式子 - 3(a - 2b)3 - 2(2a+b)2的值; 1 (a) 2 b (2)当a= - ,b=4时,求式子 - - (ab)3+a3b的值; 2 2 2 1 (x - y)2 (3)当x= ,y= - 2时,求式子 的值. 3 x2y2 【答案与解析】 64 8 1.解:(1) - . (2) . (3) - 2. (4) - 3. (5)72. (6) - 54. 27 9 2.解:( - 2)4有括号,表示负2的4次方,即:4个 - 2相乘,底数为 - 2,结果为16, - 24无括号,表示 2的4次方的相反数,即:4个2相乘的积的相反数,底数为2,结果为 - 16. 3.解:当01时,a3>a2. 1 4.提示:(1) - 8 . (2) - 1. (3) - 100. (4) - 0.0431. 289 1 5.提示:(1) - 50. (2) . (3)12 . 16 4 在这节课的教学过程中,学生的思维始终保持着高度的活跃,并且情绪饱满、讨论激烈, 每个同学都在欢快地学习数学. 他们在欢乐的气氛中学会了乘方的意义, 并通过自己的思考 和与同学的讨论, 归纳出了有关乘方的符号法则, 学会了利用乘方的计算方法解决实际问题, 为下一节课的学习奠定了基础. 有些算式在读法上没有给学生做好示范,造成学生在底数的判断上处理不好. 本节课题的引入时,若能配上栩栩如生的动画,把学生吸引到数学王国中,激发学生的兴 趣,则效果会更好.折纸活动在设计上可以变成猜一猜,让学生先凭借以往的经验和知识进行 猜测,以激发学生的求知欲,极大地调动学生学习的积极性,然后再指导学生用实践来验证,通 过动手折纸找规律来寻找结论.例题的讲解和分析,可以让学生先做,在做的过程中发现问题 再着手解决问题.当学生做题产生了不同的答案时,教师再来分析错误的原因,让学生经历了 错误过程的同时又经历了改正错误的过程,印象会更加深刻. 随堂练习(教材第61页) 9 9 16 1.解:(1) - . (2) - . (3) - 125. (4) - . 4 4 3 2.解:(1)正. (2)负. (3)负. (4)正.规律:负数的奇次幂为负,负数的偶次幂为正. 习题2.14(教材第61页) 16 16 3 8 1.解:(1) - 81. (2)27. (3) - . (4) . (5) - . (6) . 81 25 4 125 1 2.提示: m. 128 1 1 ( 63) 3.解:(1) . (2)1 - 或 . 64 26 64 学生在上一节课刚刚学习了有理数乘方的概念、法则等知识,对有理数乘方的符号表示、 运算方法、符号判定比较熟悉,具备了进一步学习有理数乘方运算的知识技能基础,并且通过 初中数学的学习,对运用数学知识解决实际问题有了一定的主动性,掌握了初步的方法,这对 本节课的学习奠定了良好的基础.较大的数据在报刊杂志上时常出现,而学生对此却缺乏经验, 但是经过计算不难得出一张厚0.1 mm的纸对折20次的厚度.将大数与身边熟悉的事物进行 比较,从而得到启示,学生具有丰富的经验,比如折纸操作,测量厚度,估算高度,分析讨论,猜测验证等,这对于本节课的学习非常有用. 已知|a - 1|+(b+2)2=0,求(a+b)2012+a2013的值. 〔解析〕 由平方和绝对值的非负性及|a - 1|+(b+2)2=0可求得a,b的值,再代入所求式 子求解. 解:因为|a - 1|+(b+2)2=0,|a - 1|≥0,(b+2)2≥0,所以a - 1=0,b+2=0,解得a=1,b= - 2, 所以(a+b)2012+a2013=(1 - 2)2012+12013=1+1=2. 观察下列各式: 21=2;22=4;23=8 ;24=16;25=32;26=64……通过观察,可确定22012的个位数字是 . 〔解析〕 经观察、分析可知24n的个位数字是6,24n+1的个位数字是2,24n+2的个位数字 是4,24n+3的个位数字是8,因为22012=24×503,所以22012的个位数字是6.故填6. 10 科学记数法 1.体会非常大的数,了解科学记数法的意义. 2.用科学记数法表示较大的数. 通过活动来探索有关非常大的数的表示方法. 通过对更大的数的学习,体会世界的博大与人类的伟大. 【重点】 能用科学记数法表示大于10的数. 【难点】 探索归纳出科学记数法中指数与整数位数之间的关系. 【教师准备】 导入和教材引例、例题的图片. 【学生准备】 课前收集日常生活中一些涉及大数的资料(两个以上),科学计算器. 导入一: 同学们对钓鱼岛了解吗?作为中国人,我们应该热爱自己的祖国,保护祖国的每一寸土地, 老师也收集了一些钓鱼岛的信息,一起来看一下吧!钓鱼岛自古以来是中国的领土,钓鱼诸岛总面积5平方公里,岛屿周围的海域面积约 170000平方公里,相当于五个台湾本岛面积.就海底资源而言,钓鱼岛周围海域不仅海底石油 储量巨大,可达 3000000000~7000000000 吨,而且其渔业资源也十分丰富,年捕鱼量可达 150000吨,有人曾经断定,钓鱼岛附近水域的石油资源使之有可能成为“第二个中东”. 【师生活动】 一名学生朗读钓鱼岛信息,教师适时提出问题:通过上面的这些数据,你 们有什么感受? 生1:钓鱼岛的物产真丰富,我们一定要好好保护钓鱼岛! 生2:这些数字好大啊,我们以前都没遇到过! 生3:这些数字写起来很麻烦,稍不注意就会少写或多写一个0,有没有简单的写法呢? …… 师:这名同学提出的问题很好,我们这节课就一起来研究书写较大数据的方法——科学记 数法. [设计意图] 通过给学生提供感兴趣的信息,吸引学生的注意力,激发学生的好奇心和求 知欲,让学生初步感受大数.通过对大数的读、写,进而发现问题,激发学生寻求解决问题方法 的兴趣,同时使学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息,培养学生热爱祖国的思想感情. 导入二: 2014年2月25日,十二届全国人大常委会第七次会议决议,拟将9月3日确定为中国人 民抗日战争胜利纪念日,拟将12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日. 你能用简便的方法记录下遇难同胞的人数吗? 导入三: 有简单的方法表示上面的这些数吗? 探究活动1 科学记数法的概念 [过渡语] 为了更好地完成本节课的任务,请同学们先解决下面的问题: (1)计算: 102= ;103= ;104= ;105= . (2)讨论:108表示什么?指数与运算结果中的0的个数有什么关系? 一般地,10n表示在1的后面有 个0. 【师生活动】 第(1)题由学生口答,第(2)题由学习小组讨论后指定代表回答. 巩固训练试把下列各数用10n的形式来表示: (1)100= ;1000= ;1000000= ;100000000= ;1000000000= . (2)太阳半径约为700000千米:700000=7× =7× . (3)2013年春运期间铁路运送旅客达 210000000人次:210000000=21× =2.1× . 【师生活动】 有了前面的经验,学生解决这三个问题不会有太大的困难,因此可完全放 手给学习小组自行完成. [设计意图] 例题与巩固训练的两组题目为互逆形式,通过例题复习以10为底的幂的规 律,通过巩固训练为科学记数法的学习做铺垫,同时,提升了学生的学习信心. [处理方式] 教师提出问题,学生针对问题自学课本. 问题1 我们可以借助10的n次幂的形式来表示这些大数.比如:1370000000=1.37×109,你还有没 有别的表示方法? 问题2 请同学们自学课本第63页中间部分内容,完成下面的问题: (1)什么是科学记数法?用科学记数法表示的数的形式是怎样的? (2)科学记数法中的a和n是如何规定的? [处理方式] 问题1以学习小组为单位,讨论交流,争执不休,可能出现下面的答案: (1)0.137×1010.(2)13.7×108.(3)137×107. 教师不要急于告诉他们孰对孰错,反而要让他们完成问题2的学习,通过问题2的学习,大 部分学生能够明确自己表示的结果都相等,但不符合科学记数法的书写要求.通过对科学记数 法中的a和n的规定的探讨,使学生对科学记数法有了更深刻的理解.教师借此让学生熟记科 学记数法的概念,并书写概念:一般地,一个大于 10 的数可以表示成 a×10n的形式,其中 1≤a<10,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法.特别强调:科学记数法只是一种形式的规 定,其中它特别要求1≤a<10,n是正整数.通过强化概念,学生自然知道了刚才1370000000的表 示方法中只有1.37×109才符合科学记数法的书写要求. [设计意图] “纸上得来终觉浅,欲知此事须躬行.”通过对上面问题的思考,让学生的思 维受到启发,然后通过交流、体会,在教师的引导下,自主探究出科学记数法的概念及相关要 求,印象深刻,效果较好. 探究活动2 用科学记数法表示较大的数 [过渡语] 我们明确了科学记数法的概念及注意事项,你能利用科学记数法表示下列各 数吗?请同学们用30秒钟的时间观察例题中的两个数的特点,并用科学记数法表示出来.(多 媒体出示例题) (教材例题)用科学记数法表示下列数据: (1)赤道长约为40000000 m; (2)地球表面积约为510000000 km2. 【师生活动】 两名学生板演,其余学生在下面做,教师引导学生观察学生的板演,让学 生发现a和n是如何确定的,并注意最后结果的单位要和原来保持一致. 解:(1)40000000 m=4×107 m. (2)510000000 km2 =5.1×108 km2. 大家完成课本第63页做一做. (1)调查本校图书馆某个书架所存放图书的数量.中国国家图书馆所藏的书需要多少个这 样的书架?用科学记数法表示结果. (2)调查本校的人数,如果每人借阅10本书,那么中国国家图书馆的藏书大约可以供多少 所这样学校的学生借阅?用科学记数法表示结果. 师:下面请一位同学在黑板上把自己得到的结果写出来,其余的同学写在自己的练习本上.生:我校图书馆的一个书架可以存放1000册图书.中国国家图书馆的藏书大约需要的书 架为27000000÷1000=27000=2.7×104(个). 我校的人数为1000人,如果每人借阅10本书,那么中国国家图书馆的藏书大约可以供 27000000÷1000÷10=2700=2.7×103所这样学校的学生借阅. [设计意图] 借助开篇材料,有效利用了资源.让学生先尝试体验,然后再交流讨论,最后探 寻总结出找n的方法,从而加深对知识的印象,教师对学生的观点要加以疏导和积极评价. [知识拓展] 用科学记数法表示较大的数分两步进行,第一步:确定“a”的值,a的值是最 高位数字后加小数点得到的小数;第二步:确定“n”的值,n的值等于原数的整数位数减去1. 用科学记数法表示数时,10的指数总是比原数的整数位数少1. 探究活动3 写出用科学记数法表示的数的原数 [过渡语] 下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数? (1)我国的国土面积居世界第三位,约为9.597×106平方千米; (2)俄罗斯的国土面积居世界第一位,约为1.707×107平方千米; (3)加拿大的国土面积居世界第二位,约为9.976×106平方千米. 【师生活动】 让三名同学板演,其余同学在下面完成,教师引导学生发现板演学生的错 误地方,及时订正. 解:(1)9597000平方千米. (2)17070000平方千米. (3)9976000平方千米. 巩固训练 仔细观察找出下列错误的地方,并纠正. (1)90000=94; (2)某县境内森林面积达1000000亩,1000000亩用科学记数法表示为:1×107亩; (3)“神舟七号”的入轨飞行速度为每小时21700千米,21700千米用科学记数法表示为: 2.17×104米 . (4)地球上的陆地面积约为149000000平方千米,149000000平方千米用科学记数法表示 为:14.9×107平方千米; (5)陆地上最低处是位于亚洲西部的死海,海拔为 - 392米, - 392米用科学记数法表示为 0.392×103米. [处理方式] 让学生充分思考后纠错并加以改正. [参考答案] (1)9×104. (2)1×106亩. (3)2.17×104千米. (4)1.49×108平方千米. (5) - 3.92×102米. [设计意图] 通过逆向思维训练,再一次巩固用科学记数法表示一个数时,原数的整数位 数比10的指数大1.教师在讲评时要注意解题规范性的培养,对学生的共性问题集体纠正.如: 注意单位和符号等. [知识拓展] 一个绝对值较大的负数用科学记数法表示时,只要在a×10n(1≤a<10,n为正 整数)前加一个负号即可.可推广到用科学记数法表示一个绝对值较大的有理数的形式为 a×10n,其中1≤|a|<10,n为正整数. 一般地,一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方 法叫做科学记数法.1.某校有在校师生共2000人,如果每人借阅10册书,中国国家图书馆共2 亿册书,那么可 供借阅的学校有 ( ) A.1000所 B.10000所 C.100000所 D.2000所 解析:由题意可知这所学校需要借阅图书20000册,2亿册书可供10000所这样的学校借 阅.故选B. 2.2012年我国国民生产总值约为52万亿元人民币,用科学记数法表示2012年我国国民 生产总值为 ( ) A.5.2×1012元 B.52×1012元 C.0.52×1014元D.5.2×1013元 解析:52万亿元用科学记数法表示应为5.2×1013元.故选D. 3.98000用科学记数法表示为 . 解析:由科学记数法的定义可得98000=9.8×104.故填9.8×104. 4.330100000= ×106=3.301×10n,n= . 解析:330100000=330.1×106=3.301×108,所以n=8. 答案:330.1 8 10 科学记数法 1.科学记数法的概念. 一般地,一个大于10的数可以表示成 a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方 法叫做科学记数法. 2.用科学记数法表示较大的数. 3.写出用科学记数法表示的数的原数. 一、教材作业 【必做题】 教材第64页习题2.15的1,2题. 【选做题】 教材第64页习题2.15的3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.( - 5)3×40000用科学记数法表示为 ( ) A.125×105 B. - 125×105 C. - 500×105 D. - 5×106 2.用科学记数法表示下列各数: (1)1万= ;1亿= ; (2)80000000= ; - 76500000= . 3.月球轨道呈椭圆形,近地点平均距离为363300千米,远地点平均距离为405500千米,用科学 记数法表示:近地点平均距离为 千米,远地点平均距离为 千米. 4.下列用科学记数法写出的数,原来分别是什么数? 1×106 3.2×105 - 7.05×108 【能力提升】5.据某市统计局公布的数据,今年一季度全市实现国民生产总值约为 7840000万元,那么 7840000万元用科学记数法表示为 万元. 6.2009年4月16日,国家统计局发布:一季度,城镇居民人均可支配收入为4834元,与去年同 时期相比增长10.2%.4834用科学记数法表示为 . 7.改革开放30年以来,成都的城市化推进一直保持快速、稳定的发展势态.据统计,到2008年 年底,成都市中心五城区(不含高新区)常住人口已经达到4410000人,这个常住人口数有如下 几种表示方法:①441×104人;②4.41×106人;③44.1×105人.其中用科学记数法表示正确的序 号为 . 8.山西省2014年全省旅游总收入为739.3亿元,用科学记数法可表示为 元. 【拓展探究】 9.地球绕太阳转动每小时经过的路程约为1.1×105 km,声音在空气中每小时传播1.2×103 km, 地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快? 【答案与解析】 1.D 2.(1)1×104 1×108 (2)8×107 - 7.65×107 3.3.633×105 4.055×105 4.解:1000000,320000, - 705000000. 5.7.84×106 6.4.834×103 7.② 8.7.393×1010 9.提示:地球绕太阳转动的速度快. 通过设计丰富的数学问题情境引出生活中比较大的数据,激发学生的好奇心和主动学习 的愿望.生活中有很多比较大的数,这些数在写和读方面都比较困难,学生往往都有争强好胜 的心理,通过设置问题情境,引导学生去主动探索,使学生感受科学记数法是一种表示大数的 方法, 让他们在学习数学的过程中逐步对数学产生积极的情感与态度. 对一些实际问题中的有关数据的调查还不够充分,课堂组织语言还有待加强,课堂组织不 够严谨,有点松弛. 让每名学生学会验证利用科学记数法表示大数是否正确的方法,以免出错. 随堂练习(教材第64页) 1.解:10000=1×104;1000000=1×106;100000000=1×108. 2.解:一个正常人一年的心跳次数大约为70×60×24×365=3.6792×107(次),达到1亿次大约需要 2.8年,故能达到. 习题2.15(教材第64页)1.解:(1)2.44×106 m. (2)7.14×107 m. (3)1.49×108 km2. (4)3.61×108km2. 2.解:(1)720000 m2. (2)25000000000000个. (3)577000000000000 m3. 本节课的学习内容是用科学记数法表示比10大的数.大数在实际生活中有着广泛的应 用,因此在教学中利用多媒体、互联网等现代教育手段实施教学能突出本课特色,同时在课堂 中引导学生通过动手、动口、动脑等活动,主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括, 提高能力.增强数学应用意识,养成及时归纳总结的良好学习习惯,为今后学习用科学记数法 表示“小数”打下基础.科学记数法是在学生学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等内容 之后,安排的一节与现实世界中的数据(尤其是大数)相关的数学内容,一方面让学生感受现实 生活中的各种大数据,培养学生的数感,另一方面通过对较大数据信息进行合理处理的过程, 使学生学会用简便 的方法表示大数,同时为今后用科学记数法表示微观世界中较小的数据奠定基础. 废旧电池对环境的危害十分巨大,一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于 一个人一生的饮水量).某班有50名学生,如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池,且都没有被回 收,那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池所污染的水用科学记数法表示为 立方米. 〔解析〕 一粒纽扣电池能污染600立方米的水,如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池, 那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池所污染的水就是600×50=30000(立方米),用科学记数法 表示为3×104立方米.故填3×104. 11 有理数的混合运算 1.熟练掌握有理数的混合运算的法则,能进行简单的混合运算. 2.能够运用运算律进行适当的化简,提高计算的灵活性. 在老师的指导下,通过练习和玩游戏,学习有理数混合运算的有关知识. 1.在游戏中学习,增强学习的乐趣. 2.培养合作精神,在活动中锻炼交流能力. 3.感受数学无处不在的魅力.【重点】 掌握有理数的混合运算的法则,正确、熟练地进行有理数的混合运算. 【难点】 灵活巧妙地应用运算律进行简便计算. 【教师准备】 多媒体课件,一副扑克牌(去掉大、小王). 【学生准备】 预习教材P . 同桌的两位同学准备一副扑克牌(去掉大、小王). 65~66 导入一: 前面我们已经学习了加、减、乘、除、乘方五种运算,本节课我们一起学习有理数的混 合运算.首先思考以下问题: 说一说有理数的四则运算法则及运算律. 导入二: 计算: (1) - 5.4+0.2 - 0.6+0.8 ; (2) 3× ( - 4)+( - 28)÷7 ; (3)( - 7)( - 5) - 90÷( - 15) ; (4) - ( - 7)2 . ( 1) 归纳有理数的四则运算法则并试着计算下题:3+22× - . 5 探究活动1 有理数的混合运算顺序 ( 1) 计算:3+50÷52× - - 1 2 问题1 ( 1) 算式3+50÷52× - - 1里含有哪几种运算? 2 问题2 哪些运算是同一级运算?分别是第几级运算? 问题3 根据以上分析你能解答该题吗?你能归纳出有理数混合运算法则吗? 【师生活动】 对于问题1及问题2,要给学生一定的思考、讨论、交流的时间.鼓励学 生积极参与和发表见解,对于学生的答案,只要意思正确,就给予正面评价,并将准确的叙述展 示即可;对于问题3,要让学生合作完成,并请一个小组派代表板演并讲解,然后师生共同评价, 对出现的问题做出适当处理,总之教师要在探索新知识的环节中当好引导者、合作者的角色. [设计意图] 培养学生善于归纳、总结的能力,鼓励学生大胆尝试,通过交流探究,提高学 生的思维能力,让学生弄清运算顺序,提高解题的准确率.[知识拓展] 有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算 括号里面的. 探究活动2 有理数混合运算的法则的应用 ( 1) 计算:18 - 6÷( - 2)× - . 3 ( 1) ( 1) 解:18 - 6÷( - 2)× - =18 - ( - 3)× - =18 - 1=17. 3 3 [ 2 ( 5)] 计算:( - 3)2× - + - . 3 9 [ 2 ( 5)] ( 11) 解法1:( - 3)2× - + - =9× - = - 11. 3 9 9 [ 2 ( 5)] 解法2:( - 3)2× - + - 3 9 [ 2 ( 5)] =9× - + - 3 9 ( 2) ( 5) - - =9× +9× 3 9 = - 6+( - 5) = - 11. [处理方式] 让学生独立完成,要相信学生有能力完成,并请两名学生板演,然后由学生自 行评价,对出现的问题做出适当批改处理,尤其是对例2的解题方法的评价要注意肯定两种不 同的方法,允许对问题认识的差异存在,不必强求统一.对于此环节,教师应关注学生完成的质 量程度,对本节课教学目标的达成情况要心中有数. [设计意图] 观察、类比、概括有理数混合运算的法则,培养说明意识和表达能力,同时 再次巩固有理数混合运算的法则,并让学生尝试运用运算律进行简便运算. 探究活动3 生活中的有理数混合运算——“24点”游戏 按课本中的“做一做”与你的同伴玩“24点”游戏.游戏规则:从一副扑克牌(去掉大、 小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次),使得运算结果为 24或 - 24.其中红色扑克牌代表负数,黑色扑克牌代表正数,J,Q,K分别代表11,12,13. 多媒体演示 :如果抽到了 ,可以运用下面的方法凑成 24:7×(3+3÷7)=24.(1)如果抽到的是 ,你能凑成24吗? 分析:联系第一组,你能列出相应的算式吗? (2)如果是 呢?你有何启示? (3)请将下列每组扑克牌凑成24. [参考答案] ( - 1)×12 - ( - 12)×3=24或( - 12)×3 - 12×( - 1)= - 24. 23×[1 - ( - 2)]=24或( - 2)3×(1+2)= - 24. [设计意图] 利用游戏调动学习积极性,通过不断地尝试、调整凑成24,会激起学生积极 地去思考怎样可以更快地得出答案,使学生会积极主动去探索其中的奥妙和方法.通过不同的 凑数和计算方法,进一步强化了对有理数运算法则的理解及应用. 同级运算,从左至右, 异级运算,由高到低, 若有括号,先算内部, 简便方法,优先采用. 1 ( 1) 1. ×( - 5)÷ - ×5等于( ) 5 5 A.1 B.25 C. – 5 D.35 1 ( 1) ( 1) 解析:根据混合运算顺序计算. ×( - 5)÷ - ×5= - 1÷ - ×5=5×5=25.故选B. 5 5 5 2. - 3.2+1.75 - 0.5= . 解析: - 3.2+1.75 - 0.5= - 3.2 - 0.5+1.75= - 3.7+1.75= - 1.95.故填 - 1.95. ( 1) 2 3.(1 - 0.375)÷ - = . 7 解析:先算乘方,再算乘除,有括号的,先算括号里面的.原式=0.625×49=30.625.故填30.625. 4.现有四个有理数3,6, - 8,10,将这四个数(每个数只能用一次)进行加减乘除四则运算,使 其结果等于24,请你写出一个符合条件的算式: . 解析:答案不唯一,(10+6 - 8)×3=24.故填(10+6 - 8)×3=24. 5.计算:17 - 23÷( - 2)×3.( 1) 解:原式=17 - 8× - ×3=29. 2 [设计意图] 设计5个练习题,简单考查学生对本节课掌握情况,考查内容与本节课的学 习内容相吻合,进一步加深学生对本节课所学知识点的理解. 11 有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序. 先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的. 2.有理数混合运算的法则的应用. 3.生活中的有理数混合运算——“24点”游戏. 一、教材作业 【必做题】 教材第67页习题2.16的1(4)(5)(6)(7)题. 【选做题】 教材第67页习题2.16的1(8)(9)(10)题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列运算中,正确的是( ) A. - 8 - 2×6= - 60 4 3 B.2÷ × =2 3 4 C.( - 1)2008+( - 1)2009=0 D. - ( - 32)= - 9 2.下列各数中,最小的数是 ( ) A.( - 3 - 2)3 B.( - 3)×( - 2)4 ( 2) 2 C.( - 3)6÷( - 2)3 D.( - 3)3× - 3 3.填空: - ( - 2)3= ; ( 2) - 3÷ - = ; 3 - 8+4÷( - 2)= ; - 2+2×( - 4)2= . 【能力提升】 4.计算: (1 1) 2 (1)36× - ; 2 3( 3) ( 2 1) (2) - × - 8+ - ; 4 3 3 3 [ ( 2) 2 ] (3) - ÷ - - 2 ; 2 3 (4)( - 2)3×0.5 - ( - 1.6)2÷( - 2)2 (5)[( - 3)2 - ( - 5)2]÷( - 2); ( 1) (6)16÷( - 2)3 - - ×( - 4). 8 5.计算: 5 (1) - ×42+0.25×( - 5)×( - 4); 4 (2) ( - 36)÷( - 3)2+( - 15)÷3+8; (3) - ( - 2)4×5 - [ - 33 - ( - 2)4×( - 1)9]; ( 1) 2 (4) - 32×1.22÷33+ - ×( - 3)3÷( - 1)2005. 3 6.计算: (1)32÷( - 2)3 - 32×5; ( 1) 3 (2) ( - 0.75)÷ - +2.5×( - 0.4)2; 2 ( 7 5 3) (3) - - +1 ×( - 36); 9 6 4 | 11| ( 3 ) ( 1 ) (4) - × - ÷ - - 2 ; 6 11 2 ( 3 ) 2 ( 3) 3 ( 4) (5) ÷ - × - ; 25 5 9 (6) - 32÷ [ ( - 1) 3 ×( - 3)2+1 3 ÷( - 2)2 ] . 3 5 【拓展探究】 7.有一种“24点”游戏,其规则如下:任取四个整数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则 运算,使其结果等于24.例如,对1,2,3,4可做运算(1+2+3)×4=24(注意:上述运算与4×(1+2+3)=24 视为相同的运算).现有四个有理数:3,4, - 6,10,运用上述规则写出三个不同的算式. (1) ; (2) ; (3) . 【答案与解析】1.C 2.A 9 3.8 - 10 30 2 23 27 5 4.提示:(1)1. (2) . (3) . (4) - 4.64. (5)8. (6) - . 4 28 2 5.提示:(1) - 15. (2) - 1. (3) - 69. (4)2.52. 1 4 6.提示:(1) - 49. (2)6.4. (3) - 5. (4) . (5) . (6) - 135. 5 135 7.(1)3×[4+10+( - 6)]=24 (2)10 - [3×( - 6)+4]=24 (3)4 - ( - 6)÷3×10=24 本节课力求从学生的认知规律出发,深入挖掘思维层次,并通过练习加以强化.另外通过 全体学生的共同参与,多数学生的合作学习,学生的讨论发现来进一步明确有理数的混合运算 顺序,从而提高学生运算的准确性和高效性.特别是对于有理数混合运算,关键要把握好两点: 运算顺序和符号,不必训练学生太繁琐、太复杂的计算,而应增加探索计算题 (不同的“24”点题就很好). 练习题的设计上再精简一些,要让学生领会做混合运算的方法及顺序. “24点”游戏时,老师先抽牌,采用魔术的手法吸引学生,很快就算出结果,学生学习热情 就更高了. 随堂练习(教材第66页) 5 提示:(1) - 10. (2)22. (3) - 16. (4) - . 2 习题2.16(教材第67页) 23 7 5 1.提示:(1)1. (2)0. (3)42. (4) . (5)18. (6)0. (7) - 4.64. (8) . (9)8. (10) - . 4 3 2 学生在小学已经学习了非负有理数的四则混合运算法则及运算顺序,掌握了运算律的使 用方法,已经具备了计算的技能基础,在本章前面的学习过程中,也已具有了进行有理数加、 减、乘、除、乘方各种运算的知识与技能基础.在相关知识的学习过程中,学生已经历了实验、 猜想、观察、比较、分析、综合、抽象概括等数学活动,积累了较为丰富的活动经验,在解决 问题的同时体会到了学习数学的兴趣,在独立思考的基础上,体验到了合作交流的重要性 ,同 时在语言表达及发表见解方面都有成功的感受,具备了学习本节课所需要的活动经验基础.计算: ( 3) (1)( - 4)÷ - ×( - 6); 4 ( 4) (2)100÷( - 2)2 - ( - 4)÷ - . 3 ( 3) 解:(1)( - 4)÷ - ×( - 6) 4 ( 4) =( - 4)× - ×( - 6) 3 = - 32. ( 4) (2)100÷( - 2)2 - ( - 4)÷ - 3 ( 3) =100÷4 - ( - 4)× - 4 =25 - 3 =22. 12 用计算器进行运算 1.认识计算器各个按键的名称和功能. 2.会使用计算器进行加、减、乘、除、乘方的计算. 3.使用计算器解决实际问题中的计算问题. 4.使用计算器探索数值规律. 由于本课的特殊性,在讲课的过程中,注重让学生通过实际操作,逐步熟悉并掌握计算器 的使用.1.认识计算器在数学计算和解决实际问题中的应用. 2.树立正确的认识观,既能够使用计算器解决一些实际问题,又不盲目依赖计算器. 【重点】 利用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 【难点】 用计算器探求规律. 【教师准备】 科学计算器. 【学生准备】 科学计算器. 导入: [过渡语] 同学们,大家都去过超市吧?超市里每天都有很多顾客,当顾客推着满满一车物 品去付款时,营业员总是能在很短的时间内告诉他应该付多少钱,为什么营业员会算得那么快 呢?你知道吗?是的,他们是用计算器计算的.今天这节课我们就来一起学习“用计算器进行运 算”.(出示课题) 探究活动1 认识计算器 [过渡语] 你知道在我们日常生活中有哪些地方用到了科学计算器吗? 生:在集市上买菜时、在书店买书付账时、工人在发工资时、老师在计算成绩时…… 师:你了解计算器吗?今天假如你是一位计算器的推销员,你打算怎样向大家介绍你手中 的这款计算器的构造?(同桌之间相互说一说后,再全班交流) [归纳总结] 一般计算器主要功能键有以下各功能:(让学生做小老师来介绍计算器的各 部分,根据学生的介绍老师再适当补充) (1)ON是开启计算器键.按此键,计算器就处于开机状态. (2)DEL是清除键.按此键,计算器就清除当前显示的数与符号;AC是清零键,按此键,计算器 会清除显示器显示的所有数与符号,计算器归零. (3)=的功能是完成运算或执行指令. (4)+, - ,×,÷,x□是运算键.按这些键,分别执行加、减、乘、除、乘方运算. (5)( - )的功能是录入的数据或计算的结果取负值(有的计算器使用+/ - 录入负号). (6)OFF是关闭计算器键.按此键,计算器就处于关闭状态.有的计算器是先按SHIFT键,再 按AC键,关闭计算器. 键盘上几乎每个键都有第二功能,按一下SHIFT键,即执行按键上的第二功能.有的计算器的第二功能按键是2ndF.S⇔D是小数、分数切换键. [设计意图] 不同型号的计算器的功能和操作方法也不完全相同,因此在使用前一定要 先看使用说明书.但对于一些简单的操作,方法还是相同的. 探究活动2 用计算器计算 师:同学们,利用手中的计算器计算表中的算式,同桌之间看看结果是否一样,同时注意按 键顺序. 任务 按键顺序 结果 41.9×( - 0.6) - 25.14 6 138 23× 5 5 1.22 1.44 124 20736 【师生活动】 学生跟随老师亲自操作计算器,熟悉计算器的基本功能和各个按键的使 用方法. 教师讲解时也可由学生先讲,不明白时,教师进行点拨,以节约时间. 用计算器计算: 2 (1)(3.2 - 4.5)×32 - ; 5 ( 6) (2)[3×( - 2)3+1]÷ - . 5 【师生活动】 现在请同桌之间说说你是怎样用计算器计算这两道题的.(同桌交流) 2 121 生1:我是仿照上面的例子,(3.2 - 4.5)×32 - ,计算器显示的结果为 - .可以按S⇔D 5 10 2 键切换到小数格式 - 12.1,所以(3.2 - 4.5)×32 - = - 12.1. 5 ( 6) 115 生2:我也是仿照上面的例子,[3×( - 2)3+1]÷ - ,计算器显示的结果为 , 按S⇔D 5 6 键切换到小数格式19.16666667.这是一个近似数. 师:这两位同学计算的结果非常正确,通过计算这两题,我们可以发现,用计算器计算时只 要从左往右依次按键就可以了.如果要转化成小数可以按S⇔D键.现在我们要来比一比谁算 得最快,请准备好,出示:计算0.092÷1.15×25. 生:我是这样操作的,先按0键,再按小数点,再依次按0,9,2,再按“÷”,再依次按1,小数点, 1,5,再按“×”,再按2,5,最后按“=”,结果是2. [设计意图] 培养学生的动手操作能力,体验科学计算器操作简便、快捷高效的优越性, 通过对简单运算的尝试操作,归纳和发现科学计算器的按键顺序与手写算式的顺序保持一致, 从而培养学生的发现能力和一丝不苟的学习习惯. 做一做:测量一种圆柱形饮料罐的底面半径和高,精确到0.1 cm.用计算器计算出这个饮 料罐的容积(π取3.14),结果精确到1 cm3,并将你的结果与商标上的数据进行比较. 生:我有一个易拉罐,它的高为10 cm,半径为2 cm,我列的算式为π×22×10,由于π取3.14, 所以我计算的结果为125.6,和商标上的数据一样. 师:(拿起易拉罐看了看)这位同学做得非常好,同学们掌声鼓励. [设计意图] 激发学生的求知欲,培养学生的学习兴趣,陶冶学生的数学情操,通过身边的 事例说明数学源于生活. 巩固练习用计算器计算: (1) 12.236÷( - 2.3); (2)135; (3)1553; 1 (4) ×(3.87 - 2.21)×153+1.33. 2 师:通过用计算器计算上面这些题目,你有什么体会?你觉得用计算器计算怎么样啊? 生1:我觉得用计算器计算很快. 生2:我觉得用计算器计算不容易出错. 生3:我觉得用计算器计算又对又快. [设计意图] 熟悉计算器上有关按键的功能,掌握按键的操作顺序,体验计算器强大的计 算功能,感受数学程序思想,通过做一做的活动,进一步熟练计算器的操作,经历用计算器探索 规律的过程,提高语言表达和说理能力.特别是把现代化信息技术作为学习数学和解决问题的 工具,使学生愿意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去,从而改变学生的学 习方式. 探究活动3 用计算器探索规律 师:了解了计算器的作用,并能用计算器进行计算,那么计算器还有没有其他的作用呢?下 面我们就来一起探索. 利用计算器计算,观察结果的结构特征,写出一个猜想,再用计算器验证. (1)72= , 672= ,6672= , 猜想66672的结果是 . (2)31= ,32= ,33= ,34= ,35= ,36= ,37= ,38= ,猜想32006的个位数字是 . 师:你们探索的结果如何?(小组合作) 生:72=49,672=4489,6672=444889, 猜想66672的结果是44448889. 师:非常正确,通过计算可知它们是有规律的. 生:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,猜想32006的个位数字是9. 师:今天同学们的表现都很棒,通过这组练习你们有什么体会? 生:计算器还可以帮助我们探索规律. 师:看来计算器的作用还真不小. [设计意图] 激发学生的学习兴趣,培养学生开拓创新的精神. 师:最后我们来进行一次比赛,分两组:一组用计算器计算,一组用笔计算.愿意用计算器的 同学请举手. 先出示: 3+7= , 2×5= , 25×4= , 198+2= ; 再出示: 28042+13208= , 172×56= , 25144÷449= . 师:从这次比赛中,你有什么感想? 生:对于一些可以直接看出结果的题目如果用计算器计算会比较慢,而对于一些大数目的 计算用计算器比较好. 师:因此,在实际应用时,我们应该根据需要合理使用计算器,不可过分依赖计算器. [设计意图] 培养了学生用辩证的思想去看问题. 1.认识科学计算器. 2.用科学计算器进行运算. 3.利用科学计算器探索规律.1.用计算器计算0.25+1.38时,按键顺序为 ,结果是 . 答案:0 · 2 5 + 1 · 3 8 = 1.63 2.用计算器求(0.802)3的按键顺序是 . 答案:0 · 8 0 2 x3 = 2 3.用计算器求(3.2+4.5)×33 - 的按键顺序是 . 5 ■ 答案:( 3 · 2 + 4 · 5 ) × 3 x3 - 2 5 = □ 4.在比例尺是1∶8000000的《中国政区》地图上,量得福州与上海之间的距离为7.5厘米, 那么福州与上海之间的实际距离是 千米. 图上距离 1 解析:因为图上距离∶实际距离=比例尺,所以实际距离= =7.5÷ 比例尺 8000000 =7.5×8000000=60000000(厘米),60000000厘米=600000米=600千米.故填600. 5.按键顺序为( ( - ) 1 · 2 ) x3 + 5的算式是 . 答案:( - 1.2)3+5 12 用计算器进行运算 1.认识计算器. 2.用计算器计算. 3.用计算器探索规律. 一、教材作业 【必做题】 教材第69页随堂练习的1题. 【选做题】 教材第70页随堂练习的2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.用计算器求35+12的按键顺序正确的是 ( ) ①输入数据35依次按数字键3 5; ②输入数据12依次按数字键1 2; ③按+键; ④按=键. A.①②③④ B.①③②④ C.①④②③ D.①③④② 2.用计算器求 - 22的按键顺序正确的是 ( ) A.( - ) 2 x2 = B.2 x2 ( - ) = C.2 ( - ) x2 = D.2 x2 = ( - )3.下列说法正确的是 ( ) A.用计算器进行混合运算时,应先按键进行乘方运算,再按键进行乘除运算,最后按键进行加减 运算 B.输入0.58的按键顺序是0 · 5 8 C.输入 - 5.8的按键顺序是5 · 8 ( - ) D.按键3 x2 = ( - ) × 2+2 ( - ) × 3 =能计算出( - 3)2×2+( - 2)×3的值 4.按键顺序1 - 3 x2 ÷ 2 × 3对应下面算式( ) A.(1 - 3)2÷2×3 B.1 - 32÷2×3 C.1 - 32÷2×3 D.(1 - 3)2÷2×3 5.在计算器上依次按键8 0 ÷ 8 - 3 0 × 3 =后,显示器显示的结果为 ( ) A. - 80 B. - 60 C.150 D.0 【能力提升】 6.用计算器求下列各式的值: (1)( - 345)+421= ; (2)12.236÷( - 2.3)= ; (3)23×1.2= ; (4) - 1553= ; (5)(3.2 - 4.5)×32= . 7.已知圆环的大圆半径R=4.56 cm,小圆半径r=2.47 cm,试用计算器求圆环的面积(结果保留 一位小数, π≈3.14). 8.有人说:“如果将一张纸裁成2等份,把裁成的两张纸摞起来,再裁成2等份.如此重复下去, 第43次后所有纸的厚度已超过地球到月球的距离.”一张纸的厚度是0.006 cm,地球到月球 的距离是385000 km,你相信这个人的说法吗? 【拓展探究】 9.用计算器计算下列各式,将结果填写在横线上. 14×16= ; 27×23= ; 31×39= ; 42×48= . (1)你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律,直接写出下列各式的值并用计算器验证. 55×55= ; 63×67= ; 76×74= ; 82×88= ; 94×96= . 1 · · 10.有些循环小数具有一些奇特性质,如: =0.142857,循环节142857是个很有趣的数.用计算 7 □ 器完成下面算式,并把结果填入 内. □ 714285=142857× □ 857142=142857× □ 428571=142857×□ 571428=142857× □ 285714=142857× □ 142857=142857× 观察各式的运算结果,它是一个什么样的有趣的数? 11.利用计算器探索规律.任选1,2,3,…,9中的一个数字,将这个数乘7,再将结果乘15873,你发 现了什么规律?能试着解释一下理由吗? 12.写出一个三位数,它的各个数位上的数字都不相等,如637,用这个三位数各个数位上的数 字组成一个最大数和一个最小数,并用最大数减去最小数,得到一个新的三位数.对于新得到 的三位数,重复上面的过程,又得到一个新的三位数,一直重复下去,你发现了什么?请借助计算 器帮助你进行探索. 【答案与解析】 1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 6.(1)76 (2) - 5.32 (3)27.6 (4) - 3723875 (5) - 11.7 7.解:圆环的面积S=πR2 - πr2 ≈3.14×4.562 - 3.14×2.472≈46.1(cm2). 8.解析:第1次把纸裁成2等份并摞起来,纸的厚度是2×0.006 cm;第2次把摞起来的纸再裁成 2等份并摞起来,纸的厚度是2×2×0.006=22×0.006 cm.如此重复下去,第43次后所有纸的厚度 是243×0.006 cm,算出这个数并与地球到月球的距离进行比较,就可判断这种说法是否正确. 解 : 相 信 这 个 人 的 说 法 , 因 为 按 题 中 的 做 法 , 第 43 次 后 所 有 纸 的 厚 度 是 : 243×0.006≈5.3×1010(cm),5.3×1010 cm=530000 km,地球到月球的距离约为 385000 km,因为 530000 km>385000 km,所以第43次后所有纸的厚度已超过地球到月球的距离. 9.解:224 621 1209 2016 (1)规律:两个两位数相乘,如果这两个两位数的十位数字相同 且个位数字之和为10,那么所得的积的后两位等于原两位数的个位数字之积,前面的数等于 原两位数的十位数字与十位数字加1的乘积. (2)3025 4221 5624 7216 9024 10. 解 : 用 计 算 器 计 算 可 得 : 714285=142857×5,857142=142857×6,428571=142857×3,571428=142857×4,285714=142857×2, 142857=142857×1.观察上述各式运算结果,可以看出,142857这个6位数分别与1,2,3,4,5,6这 6个数的乘积仍是6位数,并且这个6位数的每个数字仍由1,4,2,8,5,7这6个数组成,尽管这6 个积在相同数位上的数都不相同,分别是1,4,2,8,5,7这6个数字,但从某个数位开始,仍按 142857这个顺序循环. 11.解:取数字3,乘7,再将结果乘15873,得(3×7)×15873=21×15873=333333.取数字5,乘7,再将结 果 乘 15873, 得 (5×7)×15873=35×15873=555555. 取 数 字 8, 乘 7, 再 将 结 果 乘 15873, 得 (8×7)×15873=56×15873=888888.通过观察发现,任选1,2,3,…,9中的一个数字n,将这个数乘7, 再将结果乘15873,均得到一个6位数,每位上的数字相同,都是n,即(n×7)×15873=nnnnnn.因为 7×15873=111111,所以(n×7)×15873=n×(7×15873)=n×111111=nnnnnn. 12.用637进行尝试:637→763 - 367=396→963 - 369=594→954 - 459=495→954 - 459=495.最后 结果固定为495.再用258进行尝试:258→852 - 258=594→954 - 459=495→954 - 459=495.在教学中发现,一是从学生通过需要的地方引入,唤起学生的求知欲;二是学生是课堂的 真正主人,教师做“穿针引线”的工作,或者充当了他们的“秘书”.先由教师设计教学环节, 至于每一个流程要达到的效果,则完全由学生自己去实现.整节课让学生很积极地参与了各种 形式的交流中来,包括介绍自己的计算器的部分功能,说明操作计算器的过程、技巧. 学生体验到用科学计算器处理复杂计算的优越性后,必然会产生对计算器的依赖心理,在 今后的学习过程中,学生离不开计算器的现象普遍存在,影响了笔算、心算的能力的发展,所 以在本节课后,应控制计算器的使用,计算时不可过多地依赖计算器,而应根据学习要求,适当 使用计算器. 由于计算器的型号不同,所以使用方法也不一样,运用计算器计算时,首先要熟悉计算器 的使用方法. 随堂练习(教材第69页) 1.解:(1) - 5.32. (2)371293. (3) - 3723875. (4)190.46293. 习题2.17(教材第71页) 1.解:(1)9.9626. (2) - 1.164. (3)157.04099856. (4)94.4124. 2.提示:借助计算器尝试几次后会发现总能得到 6174这一结果,并固定在这一结果上,似乎掉 进了一个“黑洞”里. 4.提示:利用计算器不断尝试可以得到225=33554432,226=67108864,因此将这根绳子连续对折 26次后能使每段绳长小于1 m. 复习题(教材第72页) 1.提示:依次为 - 50,+60, - 30,+2. 2.解:图略.相反数依次为0.5,3.5, - 7,4.5,4;绝对值依次为0.5,3.5,7,4.5,4. 1 7 3 3.解:负数集合: - 5 , - 7, - , - 3, - ;整数集合:0,2, - 7, - 3. 2 3 4 1 8 7 2 3 1 4.解:(1) > - 0.009. (2) - < - . (3) > . (4) - 2 < - 2.3. 100 7 8 3 5 3 5.解:图略.汽车. 1 2 6.提示:(1) - 7. (2)15. (3)10. (4) . (5) - 10. (6) - 73. (7)10. (8) . (9)0.7. (10)1. 4 3 1 23 1 (11) . (12)22. (13)20. (14)0. (15) - 17. (16) - . (17) . (18) - 95. 4 4 7 7.解:5.8×107 1.1×108 1.5×108 2.3×108 7.8×108 1.5×109 2.9×109 4.5×109 5.9×109 8.提示: - 50. 1 19 19 9.解:(1) 个单位. (2) 个单位. (3) 个单位. 2 4 2 10.解:比准确时间快或慢都不会超过20 s. 11.解:(1)􀱇 (2)✕ - 2和3符号不同,但不互为相反数. (3)✕ 还有0. (4)✕ 当两个数 中存在负数或0时,就不满足. (5)✕ 当减数为负数时,差大于被减数. 12.解:(1)1. (2) - 1. (3) - 2, - 1,0,1. (4)0. (5) - 3, - 4. (6)1, - 3.13.(1) - 1 (2)1 6 7 14.解:(1) - 8 - 3 (2) - (3)32 - 64 (4)0 4 理由略. 128 256 15.提示: - 5. 16.提示:0. 17.解:(1)黑色牌,黑色牌. (2)两者总分和为零. (3)54分. 18.提示:盈余173万元. 19.提示:高92.4 m,高58.5 m,高33.9 m. 20.提示:159.875 cm. 21.解:1099989 1199988 1299987 1399986 (1)如果n是11,12,13,…,20中的任何一个数, 那么99999×n=(n - 1)9998(20 - n),其中(n - 1)9998(20 - n)是1个7位数,前2位是n - 1,个位是 20 - n,中间4个数字总是9998. (2)1899981. 22.解:从左向右依次为:伦敦,罗马,北京,纽约,悉尼. 23.解: - a,a是负数. 24.解:(1)一定. (2)不一定. (3)不一定. (4)不一定. 25.解:(1)可能是正数或零,不可能是负数. (2)不可能是正数或零,一定是负数. (3)不可能. 26.解:距离=|a - 2|. 计算器和计算机的逐步普及,对数学教育产生了深刻的影响.因此《标准》强调,“把现 代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,致力于改变学生的学习方式,使学生 乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”.一方面计算器可以使学生从 繁琐的纸笔计算中解放出来,也为解决实际问题提供了有力的工具;另一方面,计算器和计算 机对学生的数学学习方式也有很大的影响.计算器可以帮助学生探索数学规律,理解数学概念 和法则.学生刚学了有理数的运算法则,可以将纸笔计算与计算器计算的结果相对照,因此学 好本节内容对于学生的发展起着举足轻重的作用,在探索现实问题和需要进行复杂的运算时, 应当鼓励学生使用计算器,慢慢养成像使用纸笔那样使用计算器的习惯. 按下面的按键顺序在某型号计算器上 1 ab/c 1 ab/c 4 - 0 · 8 = 按键:显示结果为 ( ) A.0.45 B.0.045 C.0.0045 D.0.00045 〔解析〕 根据题目的按键顺序计算可得0.45.故选A. (1)用科学计算器计算下列各式,将结果写在横线上. 9×9+19= ; 99×99+199= ; 999×999+1999= ; 9999×9999+19999= . (2)仔细观察上述各式,根据你所发现的规律直接写出下列算式的运算结果: 999999×999999+1999999= . 〔答案〕 (1)100 10000 1000000 100000000 (2)10000000000001.能正确求出一个数的相反数、绝对值以及与数轴有关的问题,提高学生解决问题的能 力. 2.熟练有理数的加、减、乘、除、乘方的一些运算,掌握解题的思路和方法. 3.在解决问题的过程中,提高学生对知识的综合运算能力. 1.在解决问题的过程中,让学生从基本概念出发,能利用数形结合的思想去解决问题. 2.能发现一些规律,并能正确利用一些运算规律进行简便计算. 1.体验数学知识与其他知识的联系性,培养积极的学习态度. 2.在探讨问题的过程中,让学生通过尝试、探究来发现事物存在的规律,从而树立学习数 学的信心. 【重点】 有理数的分类以及相关计算. 【难点】 相关知识的综合应用. 正数 } 零 有 理 数 负数数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 { 相反数:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个是另一个的相 {有关概念 反数,也称这两个数互为相反数 } 绝对值:在数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 倒数:乘积为1的两个有理数互为倒数 数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大 { 比较有理数的大小 正数大于0,负数小于0,正数大于负数 两个负数,绝对值大的反而小 加法:a+b { } { 减法:a - b 含义 乘法:ab 混合运算——用计算器计算 除法:a÷b(b≠0) 乘方:an 加减 { 有理数的运算 运算法则 乘除 乘方 {交换律 {加法:a+b=b+a 乘法:a×b=b×a 运算律 {加法:(a+b)+c=a+(b+c) 结合律 乘法:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:a×(b+c)=ab+ac 科学记数法 专题一 利用相反数、倒数、绝对值的意义进行运算 1.求一个数的相反数的方法,就是在这个数的前面添加“ - ”,如a的相反数是 - a,m+n 的相反数是 - (m+n),此时m+n是一个整体,在整体前加负号时,要加小括号. 2.互为倒数的两个数的乘积为1,倒数不改变数的正负,0没有倒数. 3.对绝对值意义的理解可以从两方面去想:(1)几何意义:即数轴上表示a的点到原点的距 离,由距离一词可以体现绝对值的非负性;(2)代数意义:|a|≥0,即当a>0时,|a|=a;当a=0时,|a| =0;当a<0时,|a|= - a. 【专题分析】 中考经常考查这些概念与其他知识的综合运用,需要熟练掌握. 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,|x|=2,试求x2 - (a+b+cd)x+(a+b)2012+( - cd)2013 的值. 〔解析〕 因为a,b互为相反数,所以a+b=0.因为c,d互为倒数,所以cd=1.由|x|=2可知 x=±2.分别把x=2和x= - 2及a+b=0,cd=1代入原式即可求值. 解:因为a,b互为相反数,所以a+b=0. 因为c,d互为倒数,所以cd=1. 由|x|=2可知x=±2.当x=2时,原式= 22 - (0+1)×2+02012+( - 1)2013=1;当x= - 2时,原式= ( - 2)2 - (0+1)×( - 2)+02012+( - 1)2013=4+2 - 1=5. [注意事项] ①互为相反数的两数的和为0.②互为倒数的两数积为1.③绝对值问题 要注意分类讨论.绝对值相等的两数相等或互为相反数.任何一个有理数的绝对值、偶次幂都 是非负数.若几个非负数的和为0,则每个非负数都为0. 【针对训练1】 若m与n互为相反数,则|m+n - 2|= . 〔解析〕 根据互为相反数的两个数的和等于0可得m+n=0,所以|m+n - 2|=2.故填2. 【针对训练2】 5的相反数是 - 5, - 5的相反数是5,那么数x的相反数是 ,数 12 1 - x的相反数是 ,数 - a+ 的相反数是 ,数m+ n的相反数是 . b 2 〔解析〕 求一个数的相反数就是给整体添一个负号. 12 1 〔答案〕 (1) - x x a - - m - n. b 2 专题二 利用绝对值、平方的非负性进行运算 任何一个有理数的绝对值都是非负数.求一个数绝对值的方法就是给这个数带上符号 “| |”,任何一个数只要带上这个符号,其结果就不可能是负数. 一个负数的偶次方是正数,一个正数的偶次方是正数,0的偶次方是0,所以任何数的偶次 方都是非负数. 【专题分析】 若用字母表示的有理数的绝对值、平方等非负数的和等于0,则每个加数都等于0,求出 字母的值. (a - 3)2+|b+2|=0,则(a+b)2013的值是 ( ) A.0 B.1 C. – 1 D.2007 〔解析〕 因为(a - 3)2≥0,|b+2|≥0,所以a - 3=0,b+2=0,所以a=3,b= - 2,a+b=3 - 2=1,所以 (a+b)2013=12013=1.故选B. 【针对训练3】 已知|a| - a=0,则a是 数. 〔解析〕 | - a| - a=0,即| - a|=a,所以a≥0.故填非负. [解题策略] 任何一个数的绝对值都大于或等于0,任何一个数的偶次方都大于或等于0, 即|a|≥0,a2n≥0(n为正整数). 专题三 科学记数法 科学记数法是一个简便易行的表示数的方法,在实际生活中表示一些较大的数时,经常采 用这种记数法,要注意在把一个数用科学记数法表示为a×10n的形式时,a的小数点在左边第 一位数字的后边,n是这个数所有的整数位数减1.还原时n是几就把a的小数点向右移动几 位. 【专题分析】 中考重点考查用科学记数法表示一个较大的数,需要熟练掌握科学记数法的表示形式. 节约是一种美德,节约是一种智慧.据不完全统计,全国每年浪费的食物总量折合 成粮食可养活约3亿5千万人.350000000用科学记数法表示为 ( ) A.3.5×107B.3.5×108 C.3.5×109D.3.5×1010 〔解析〕 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错 点,由于350000000有9位,所以n=9 - 1=8.故选B. 【针对训练4】 为节约水资源,某初中环保宣传小组做了一个调查,得到了如下的一组 数据:我们所在的城市大约有160万人,每天早晨起来漱口,如果大家都有一个坏习惯,漱口时 都不关水龙头,那么我们每个人漱口时要浪费56毫升的水. (1)按这样计算,我们全市一天早晨要浪费多少升水?请用科学记数法表示最后的结果,并 精确到千位. (2)如果我们用500毫升的纯净水瓶来装浪费的水,可以装多少瓶? 〔解析〕 先根据题意将160万化成1600000,然后利用有理数的乘除法列式进行计算.解:(1)1600000×56÷1000=89600≈9.0×104. 答:我们全市一天早晨要浪费约9.0×104升水. (2)89600×1000÷500=179200. 答:大约可以装179200瓶. [解题策略] 在将较大的数四舍五入到千位时,应该首先将其化成科学记数法的形式,然 后再利用四舍五入法取近似值.如89600精确到千位不能写成90000,因为90000最后一位是 个位,也不能写成90,因为90不约等于90000. 专题四 有理数的运算 单独的加、减、乘、除、乘方运算都是先确定结果的符号,再确定结果的绝对值;减法和 除法可转化为加法和乘法运算;混合运算要注意运算顺序,要先算乘方,再算乘除,最后算加减, 有括号的要先算括号里的.在进行混合运算时,除了遵守上面的原则外,还需要注意灵活运用 运算律,使运算准确、迅速. 【专题分析】 应正确地运用各种法则进行有理数的混合运算,有理数的运算应特别注意正、负问题 及运算顺序,提高运算准确率. 有下列等式:2 - ( - 2)=0,( - 3) - (+3)=0,( - 5) - | - 5|=0,0 - ( - 1)=1.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 〔解析〕 2 - ( - 2)=2+2=4,( - 3) - (+3)=( - 3)+( - 3)= - 6,( - 5) - | - 5|=( - 5)+( - 5)= - 10,0 - ( - 1)=0+1=1.故选A. 【针对训练5】 下列运算错误的是 ( ) A. - 8 - 2×6= - 20 B.( - 1)2014+( - 1)2013=0 C. - ( - 3)2= - 9 4 3 D.2÷ × =2 3 4 〔解析〕 A.原式= - 8 - 12= - 20,正确;B.原式=1 - 1=0,正确;C.原式= - 9,正确;D.原式=2× 3 3 9 × = ,错误.故选D. 4 4 8 专题五 数形结合的问题 数轴是数形结合最好的工具,使抽象的知识变得形象、直观、易于理解.利用数轴时,依 据点在数轴上的位置可确定两个条件:(1)由点在原点的左右边的位置可以确定相应的数的符 号;(2)由点离原点的远近确定数的绝对值的大小. 【专题分析】 用数轴上的点表示有理数就是最简单的数形结合思想的体现,它有利于理解相反数、绝 对值的概念及比较有理数的大小. 如图所示,A,B两点在数轴上表示的数分别为a,b,下列式子成立的是 ( ) A.ab>0 B.a+b<0 C.(b - 1)(a+1)>0 D.(b - 1)(a - 1)>0 〔解析〕 由A,B两点在数轴上的位置可知 - 11,∴ab<0,a+b>0,故A,B错误;∵ - 11,∴b - 1>0,a+1>0,a - 1<0,故C正确,D错误.故选C. 【针对训练6】 a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列选项正确的是( ) A.abc<0 B.a+c<0 C.a+b<0 D.a - c<0 〔解析〕 由图可知c0,故A错误;根据有理数的加法法则得a+c<0,a+b>0,故B正确,C错误;根据a>c得到a - c>0,D错误.故选B. 【针对训练7】 实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是 ( ) A.a - b>0 B.a - b=0 C.|a - b|=b - a D.a+b=|a|+|b| 〔解析〕 由图可知 - 11,所以a - b<0,故选项A,B错误;C.a - b<0,故|a - b|=b - a,故选项C正确;D.|a|>a,b=|b|,故a+b≠|a|+|b|,故选项D错误.故选C. [解题策略] 对于数形结合的题,首先要先根据数在数轴上的位置,得出各字母的值的取 值范围、数的大小关系以及从数轴上所体现出来的绝对值的大小关系,再由相反数、绝对值 的定义以及有理数的加减法、乘除法法则得出结果. 本章质量评估 (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如果一个数的平方与这个数的差等于0,那么这个数只能是 ( ) A.0 B. - 1 C.1 D.0或1 2.绝对值大于或等于1且小于4的所有正整数的和是 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.计算( - 2)100+( - 2)101的结果是 ( ) A. 2100 B. - 1 C. - 2 D. - 2100 4.两个负数的和一定是( ) A.负数 B.非正数 C.非负数D.正数 5.已知数轴上表示 - 2和 - 101的两个点分别为A,B,那么A,B两点间的距离等于( ) A.99B.100 C.102 D.103 1 6. - 的相反数是( ) 3 1 1 A. - 3 B.3 C. D. - 3 3 7.若x>0,y<0,且|x|<|y|,则x+y一定是 ( ) A.负数 B.正数 C.0 D.无法确定符号 8.一个数的绝对值是3,则这个数可以是 ( ) A.3 B. - 3 1 C.3或 - 3 D. 3 9.( - 4)3等于 ( ) A. - 12 B.12 C. - 64 D.64 10.a2=16,则a是 ( ) A.4或 - 4 B. - 4 C.4 D.8或 - 8 二、填空题(每小题4分,共32分) 2 2 2 11. - 的绝对值是 , - 的相反数是 , - 的倒数是 . 5 5 5 12.某水库的水位下降1 m,记作 - 1 m,那么+1.2 m表示 . 13.数轴上表示有理数 - 3.5与4.5两点的距离是 . 14.已知|a - 3|+(b+4)2=0,则(a+b)2003= . 15.已知点P是数轴上的一点,表示 - 4,把点P向左移动3个单位长度后,再向右移动1个单位长度,那么此时点P表示的数是 . 16.最大的负整数与最小的正整数的和是 . 17.( - 1)2003+( - 1)2004= . 18.若x,y是两个负数,且x0,y<0,|x|<|y|,所以y在数轴上的位置离原点远些,所以x+y一定是负数.故选 A.) 8.C(解析:根据绝对值的定义可知绝对值等于3的数有2个,为±3.故选C.) 9.C(解析:根据乘方运算法则可知( - 4)3等于 - 64.故选C.) 10.A(解析:平方等于16的数有2个,为±4.故选A.) 2 2 5 11. - 5 5 2 12.该水库的水位上升1.2 m 13.8 14. - 1 15. - 6 16.0 17. 0 18.> 19.解:(1)原式 = (+26)+(+8)+( - 14)+( - 16)=34+( - 30)=4. (2)原式 = - 5.3 - 3.2+2.5 - 4.8= - 1 5 5.3+2.5 - 4.8 - 3.2 = - 2.8 - 8= - 10.8. (3)原式 =200×( - 0.02)= - 4. (4)原式 = ×( - 36) - 5 7 2 9 ×( - 36)+ ×( - 36) - ×( - 36)= - 18+20 - 30+21= - 48+41= - 7. (5)原式 = 0 - 8× ( 1 )6 1 1 12 1 - - = - =0. (6)原式 =100÷4 - 3=25 - 3=22. 64 8 8 8 20.解:因为|m|=2,所以m=±2,因为|n|=3,所以n=±3,当m=2,n=3时,m+n=2+3=5,当m=2,n= - 3 时, m+n=2 - 3= - 1,当m= - 2,n=3时,m+n=( - 2)+3=1,当m= - 2,n= - 3时,m+n=( - 2)+( - 3)= - 5. 21.解:因为a,b互为相反数,所以a+b=0,因为c,d互为负倒数,所以cd= - 1,因为x是最小的正整 数,所以x=1,所以x2 - (a+b+cd)x+(a+b)2008+( - cd)2008=12 - [0+( - 1)]×1+02008+[ - ( - 1)]2008=3. 22.解:(1)将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的出发点的距离是15+( - 2)+5+( - 1)+10+( - 3)+( - 2)+12+4+( - 5)+6=(15+5+10+12+4+6)+[( - 2)+( - 1)+( - 3)+( - 2)+( - 5)]=52+( - 13)=39(千米),即将最后一名乘客送到目的地时,小李在下午出车时的出发点的东向,且相距39 千米. (2)这天下午小李共走了|15|+| - 2|+|5|+| - 1|+|10|+| - 3|+| - 2|+|12|+|4|+| - 5|+|6| =15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65(千米),耗油0.15×65=9.75(升). 23.解:(1)星期日的实际水位是73.40+0.20=73.60(米); 星期一的实际水位是73.60+0.81=74.41(米); 星期二的实际水位是74.41+( - 0.35)=74.06(米); 星期三的实际水位是74.06+0.03=74.09(米); 星期四的实际水位是74.09+0.28=74.37(米); 星期五的实际水位是74.37+( - 0.36)=74.01(米); 星期六的实际水位是74.01+( - 0.01)=74.00(米); 综上,本周星期一水库的水位最高,星期日水库的水位最低,它们都位于警戒水位之上. (2)由(1)可知本周末水库的水位是74.00米,而上周末水库的水位是73.40米,所以本周末水库 的水位是上升了. 1 1 1 24.解:(1)13+23+33+43+…+103= ×102×(10+1)2= ×100×121=3025. (2)13+23+33+43+…+n3= 4 4 4 n2(n+1)2.