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第 01 讲 认识无理数、算术平方根与平方根
课程标准 学习目标
1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和
无理数的理解.
①理解无理数
②理解算术平方根和平方 2.理解数的算术平方根和平方根的概念，以及开平方的概
根，并掌握平方根的性质 念，会用根号表示一个数的平方根.
3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题.
知识点01 认识无理数无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数.
无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
【即学即练1】
1．（2023春·湖南长沙·七年级长沙市南雅中学校联考阶段练习）在0、 、 、 、 、 、
（它的位数无限且相邻两个“1”之间“0”的个数依次加1个）这七个数中，无理数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）在实数 ， ， ， ， ， ，
， 中，无理数有_______个．
知识点02 算术平方根的概念及性质
1.算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数x叫做 的算术平方根
（规定0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方
数.
【即学即练1】
1.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是 ．
2.（23-24七年级下·吉林松原·期中） 的算术平方根是 ．
知识点03 平方根的概念与性质
1.平方根的定义：如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方
与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.
2.平方根和算术平方根的区别与联系
区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为
0．
3.平方根的性质
【即学即练1】1．（2023春·安徽马鞍山·七年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．2是4的平方根 B． 的平方根是
C．4的平方根是2 D． 的算术平方根是
2.（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）144平方根是 ， 的算术平方根是 ， 的平
方根是 ， .
题型01 无理数的识别
【典例1】（23-24七年级下·天津滨海新·期末）在 ， ， ， ， ，
这六个数中，无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式1】（23-24七年级下·四川南充·期中）在 ， ， ， ， ， ， ，
， （每两个 之间依次增加一个 ）中，无理数的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知实数 ，0.16，3， ， ， ，其中为无理数的有
个．
【变式3】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列实数中：3.1416， ， ， ， ， ，
……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有 个．
题型02 算术平方根与平方根概念理解
【典例2】（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（ ）
A．4是 的算术平方根 B． 的平方根是
C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1
【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根C． 的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0
【变式2】（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的个数是（ ）
① 的平方根是 ；② 没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1
的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；② 是1的平方
根；③带根号的数都是无理数；④ 的平方根是 ；⑤ 的算术平方根2．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型03 求一个数的算术平方根
【典例3】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末） 的算术平方根是 ．
【变式1】（23-24七年级下·四川广安·期中） 的算术平方根是 ．
【变式2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是 ， ．
【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1） = ， = ， =
， = ， = ，对于任意实数0，猜想 = ．
（2） ， ， ， ，对于
任意非负数a，猜想 ．
题型04 利用算术平方根的非负性解题
【典例4】（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若 ，则 ．
【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）已知 ，则 的算术平方根为
．
【变式 2】（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数 ， 满足 ，则 的值是
．
【变式3】（23-24七年级下·四川广安·期中）已知，m、n是有理数，且 ，则
的算术平方根是 ．题型05 求算术平方根的整数部分和小数部分
【典例5】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ， ．
【变式1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习） 的整数部分是 ．小数部分是 ．
【变式2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则
， ．
【变式3】已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ．
题型06 与算术平方根有关的规律探索题
【典例6】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空：
（1）填表并观察规律：
0.0004 0.04 4 400
（2）根据你发现的规律填空：
已知： ，则 ______；
已知： ， ，则 ______．
【变式1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律：
a 0.0064 0.64 64 6400
___________ ___________ ___________ ___________
（2）根据你发现的规律填空：
①已知 ，则 ___________；
②已知 ，则 ___________．
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
【变式2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶a … 1 …
… x 1 y …
(1)表格中 ________， ________；
(2)从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶
①已知 ，则 ________；
②已知 ，若 ，用含m的式子表示b，则 ________；
(3)试比较 与a的大小．
【变式3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
， ； ， ；
， ．
(1)推算出 ______； ______．
(2)请用含 （ 是正整数）的式子填空：
______ ______
(3)求出 的值．
题型07 求一个数的平方根
【典例7】（22-23七年级下·全国·课后作业）（1）9的平方根等于 ；（2） 的平方根是 ；（3） 的平方根是 ．
【变式1】（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）81的算术平方根是 ； 的平方根是
．
【变式2】（22-23八年级上·河南驻马店·期中）25的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 的平方
根是 ．
【变式3】（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习） 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
题型08 已知一个数的平方根，求这个数
【典例8】（23-24七年级下·吉林长春·期末）一个正数的两个平方根分别是 与 ，则 的值是 ．
【变式1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果一个正数的平方根是 和 ，则这个正数是
．
【变式2】（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是 和 ，则这个正
数是 ．
【变式3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如果一个数的平方根是 和 ，则 的值为 ，
这个数为 ．
【变式4】（23-24七年级下·山东德州·期中）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，则
的值为 ．
题型09 求代数式的平方根
【典例9】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知 与 互为相反数，求 的平方根．
【变式1】（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b的平方根是 与 ，
(1)求a和b的值．
(2)求 平方根．
【变式2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知 的算术平方根是5， 的平方根是 ，c是
的整数部分，求 的平方根．
【变式3】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数 的两个不同的平方根分别是 和 ．
(1)求 和 的值．(2)求 的平方根．
题型10 利用平方根的定义解方程
【典例10】 （23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中 的值．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【变式1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x的值．
(1) ； (2) ．
【变式2】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是 与 ．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程 的解．
【变式3】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数 的两个平方根分别是 和 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
一、单选题
1．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，正确的是（ ）A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根 B． 是16的算术平方根
C． 是 的算术平方根 D．0.01是0.1的平方根
4．（23-24七年级下·广东广州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y
是（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数 …按以下方式进行排列：
第一行
第二行 2
第三行
… ……
则第八行左起第1个数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）81的算术平方根是 ，81的平方根是 ，
的算术平方根是 ．
7．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段练习）在实数∶ 中，无理数有 个．
8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正
数为 ；
9．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如果 ，则 的算术平方根为 ．
10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：① ，② ，③
，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值：
(1) ；(2) ；
(3)
12．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
13．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）已知正数x的平方根分别是 和 ，且 ．
(1)求x的值；
(2)求 的算术平方根．
14．（22-23七年级上·浙江·期中）①3.14159，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，
⑧1.232232223…（每两个3之间依次多一个2）
(1)整数集合：{ …}；
(2)分数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}．
15．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现：
1000
… 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．
（3）规律运用：①已知 ，则 ______；
②已知 ，则m＝______．
16．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当 时， ____；当 时， ____．
(2)当输入 的值小于100，且输出y的值是 时，输入 的值可以是______．
17．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点
B，点A表示的数为 ，设点B表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求 的值；
(3)在数轴上还有 两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
18．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 ；0的算
术平方根是0，即 ．所以被开方数a为非负数．
【探究新知】
（1）若 ，则a的取值范围是________．
【知识应用】
（2）若 ，求 的值．
【拓展应用】
（3）若 ，求 的值．
