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第二章 有理数及其运算（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了倒数的定义，掌握定义是解本题的关键．利用两个数乘积为1，这两个数互为
倒数，即可得出答案．
【详解】解： ，
是 的倒数．
故选：B.
2．自2024年2月10日（正月初一）起至2月13日（正月初四）16时30分，黄鹤楼公园累计接待游客
165000人次．将165000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】165000用科学记数法表示为 ．
故选：C
3．已知 ，b两个数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴和有理数大小的应用，根据数轴得出 ， ，再判断即可．
【详解】解：： ， ，
1A、由 ， ，知 ,故本选项错误；
B、从数轴可知， ，故本选项正确；
C、由 ， ，知 ，故本选项错误；
D、从数轴可知， ，故本选项错误；
故选：B．
4．计算 的结果是（ ）
A．2 B． C． D．8
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法．根据两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘计算即可．
【详解】解： ，
故选：C．
5．同学们在计算 时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键.
根据乘法分配律计算即可.
【详解】解：
故选：C.
6．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值
的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案．
2【详解】∵ ， ，且 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故选：D．
7．若a，b是互为倒数，m，n是互为相反数，则 的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．3
【答案】A
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得 ，互为倒数的两个数的积等于1可得 ，
然后进行计算即可得解．本题考查了代数式求值，主要利用了相反数与倒数的定义，比较简单．
【详解】由题意得：
∴
故选：A．
8．数轴上表示 与 这两个数对应的点之间的距离是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，利用较大的数减去较小的数即可得到答案.
【详解】解： ，
即数轴上表示 与 这两个数对应的点之间的距离是 ，
故选：A
9．下列说法中正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数
B．正整数、负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数
D．一个有理数不是正数就是负数
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的分类，解答本题的关键是注意 的特殊性， 是整数，但既不是正数，
也不是负数.
【详解】解：A. 正分数和负分数统称为分数，说法正确；
3B. 正整数、负整数和 统称为整数，原说法错误；
C. 零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误；
D. 不是正数，也不是负数，原说法错误；
故选A.
10．一种面粉的质量标识为“ 千克”，则下列面粉中合格的（ ）．
A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克
【答案】C
【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反
意义的量是解题的关键．
根据 的意义，进而求出符合题意的答案．
【详解】解： 一袋面粉的质量标识为“ 千克”，
一袋面粉质量合格的范围是： ，
故 在这个范围内，
故选：C．
11．李老师把发放《小学生交通安全常识》宣传册的任务平均分给甲、乙、丙三名学生．上午甲发了168
册，乙发了125册，丙发了127册，这时三人剩下的总册数与每人分到的册数相等．乙剩下（ ）册
没发完．
A．210 B．140 C．85 D．15
【答案】C
【分析】本题考查的是列式计算，由“这时三人剩下的总册数与每人分到的册数相等”，可知这时三
人发的本数是每人分到的册数的2倍，因此求出每人分到的册数为 （册），
再进一步解决问题即可．
【详解】解： （册）
（册）
答：乙剩下85册没发完．
故选：C．
12．为了求 的值，可令 ，则 ，因
此 ，所以 ．仿照以上推理计算出
4的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是乘方运算，理解阅读部分的求解方法是解本题的关键．令
，则 ，求出 ，即可解答．
【详解】解：令 ，则 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如果将上升2米记作 米，那么 米就表示 米．
【答案】下降3
【分析】本题考查了相反意义的量，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意
作答．
【详解】如果上升2米记作 米，那么 米表示下降3米．
故答案为：下降3．
14．如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴可以得到被盖住的整
数，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为 ，
∴被盖住的整数的个数为 ，
故答案为：
515．a、b是自然数，规定 则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题目所给的运算法则．按照题目所给运算
法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
16．若 ，则 ．
【答案】
【详解】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关
键．
根据偶次方和绝对值的非负数的性质得到 ， ，得到 ，解得
，代入计算即得．
【解答】∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
17．数轴上到点 的距离等于5个单位长度的数是 ．
【答案】 和4
【分析】本题考查数轴，注意在数轴上，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二
者互相补充，相辅相成．本题注意观察所有符合条件的点，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
【详解】解：数轴上与 距离等于5个单位的点有两个，
从表示 的点向左数5个单位是 ，
从表示 的点向右数5个单位是4．
6故答案为： 和4
18．已知m是有理数，则 的最小值是 ．
【答案】8
【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论．
根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数
式求值，比较得不难求得其最小值．
【详解】解：∵绝对值最小的数是0，
∴分别当 等于0时，有最小值．
∴m的值分别为2，4，6，8．
∵①当 时，原式 ；
②当 时，原式 ；
③当 时，原式 ；
④当 时，原式 ；
∴ 的最小值是8．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
19．（8分）（1） 请把下列各数填入相应的大括号里：
， ， ， ， ， ，0 ， ， ．
负数集{ …}；
分数集{ …}；
整数集{ …}．
（2）列式并计算：在（1）的各数中，最大数与最小数的差．
【答案】（1） ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ，
0，
（2）
【分析】此题考查了有理数的分类、有理数的减法运算，
（1）根据有理数的分类进行解答即可；
（2）找到最大数和最小数，作差即可．
7【详解】（1）由题意可得，
负数集{ ， ， ， ， …}；
分数集{ ， ， ， ， …}；
整数集{ ， ，0， …}．
故答案为： ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ，0，
（2）在（1）的各数中，最大数是 ，最小数是 ，
．
∴最大数与最小数的差为 ．
20．（12分）（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）12；（2） ；（3）8；（4）
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方的有理数
的混合运算．
（1）去括号后进行加减运算即可；
（2）利用有理数加法运算律计算即可；
（3）先计算乘方，然后进行乘除法运算，最后进行加减运算即可；
（4）利用乘法运算律计算求解即可．
【详解】解：（1）解：
；
8（2）
；
（3）
；
（4）
．
21．（8分）（1）画数轴并在数轴上表示下列各数：0，3， ， ，1， ；
（2）按从小到大的顺序用“ ”号把（1）中的这些数连接起来；
（3）直接填空：数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是 ，数轴上 点表示的数为 ， 点
表示的数为 ，则点 ， 两点之间的距离是 ．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）2，3
【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
（1）先在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答；
（2）利用（1）的结论，即可解答；
（3）根据数轴上两点间距离公式进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）如图：
9（2）由（1）可得： ；
（3）数轴上表示3和表示1的两点之间的距离 ，数轴上 点表示的数为1.5， 点表示的数
为 ，则点 ， 两点之间的距离 ，
故答案为：2；3．
22．（8分）某检修小组乘汽车检修公路道路．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程
（单位：千米）为： ．问：
(1)最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
(2)若每千米耗油 升，则今天共耗油多少升？
【答案】(1)最后他们没有回到出发点，在A地的东边，距离A地 千米
(2) 升
【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性．
（1）计算 即可求解；
（2）计算出检修小组行驶的总路程即可求解．
【详解】（1）解： （千米），
答：最后他们没有回到出发点，在A地的东边，距离A地 千米．
（2）解： （千米），
（升）
答：今天共耗油 升．
23．（8分）若定义一种新的运算“ ”，规定有理数 ，如 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（ ）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可；
10（ ）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可；
本题考查了新定义运算，有理数的有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意得，
，
则
，
∴ ．
24．（8分）小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过 分．以
分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：
， ， ， ， ， ．
(1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？
(2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少？
【答案】(1)小明最高分比最低分高 分；
(2)他这六次数学测验的平均成绩是 分．
【分析】（ ）根据小明记录了六次测验的成绩最大值减最小值即可；
（ ）根据小明记录了六次测验的成绩之和除以 ，再加上 即可求出他这六次数学测验的平均成绩；
本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的除法运算，掌握正负数的意义是解题的
关键．
【详解】（1）解：根据小明记录了六次测验的成绩最大值为 ，最小值为 ，
∴小明最高分比最低分高 ；
11（2）解：
，
答：他这六次数学测验的平均成绩是 分．
25．（10分）观察下列各式的计算结果：
(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：
× ；
× ．
(2)用你发现的规律计算：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目中的规律解答即可；
（2）根据题目中的规律解答即可；
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题．
【详解】（1）解：依题意， ，
；
12故答案为： ；
（2）解：
．
26．（10分）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和 的两点之间的距离是_________；表示 和 两点之间的距离是_________；一
般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________．
(2) ，求x；
(3)若 ，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离
是_________；
(4)若数轴上表示数a的点位于 与5之间， ________；
(5)求 的最小值．
【答案】(1)5，1， ；
(2) 或 ．
(3)12；
(4)8；
(5)最小值为9
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据绝对值可得： ，即可解答；
（3）根据绝对值分别求出 ， 的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据 表示数 的点到 与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
13【详解】（1）数轴上表示3和 的两点之间的距离是 ；表示 和 两点之间的距离是
；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
故答案为：5，1， ；
（2） ，
或 ，
或 ．
（3） ， ，
或 ， 或 ，
当 ， 时，则 、 两点间的最大距离是12，
则 、 两点间的最大距离是12，
故答案为：12；
（4）若数轴上表示数 的点位于 与5之间，
．
故答案为：8；
（5）当 时，原式 ，这时的最小值为
当 时，原式 ，这时的最小值为
当 时，原式 ，这时的最小值接近为
当 时，原式 ，这时的最小值为
综上可得当 时，式子的最小值为9
【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，
应牢记且会灵活应用．
14
