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第01讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)
1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．
2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.
3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”
的形式.
4.理解不等式的解与解集的意义.
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
题型01 不等式的定义
【例题】（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列数学式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；其中是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
【详解】解：① ，是不等式，符合题意；
② ，是不等式，符合题意；③ ，是等式，不符合题意；
④ ，是多项式，不符合题意；
⑤ ，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ．其中不等式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】略
2．（2023下·河北保定·八年级统考阶段练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ，
不等式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：① 没有不等号，不是不等式；
② 是不等式；
③ 是不等式；
④ 是等式；
∴不等式的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键
是要识别常见不等号： 、 、 、 、 ．
题型02 列不等式
【例题】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）“ 的 倍与 的和不小于 ”可以用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】根据字母表示数及数量关系的书写规则，不等式的概念即可求解．
【详解】解：根据题意得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查运用字母表示数（或数量关系），不等式的概念，掌握其书写规程，数量关系，不
等式的概念的知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）某市某天的最高气温是 ，最低气温是 ，则当天该市气温 的变化范围用不等式表示为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意列出不等式组即可得到答案．
【详解】解： 某市某天的最高气温是 ，最低气温是 ，
当天该市气温 的变化范围用不等式表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的意义，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）将“ 与1的差不大于 与4
的和”用不等式表示为 .
【答案】
【分析】根据题意选准不等号列出不等式即可．
【详解】由题意可得， ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于
（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
题型03 不等式的基本性质
【例题】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到
答案．
【详解】解：若 ，则 ，故选项A正确；
若 ，则 ，故选项B正确；
若 ，则 ，故选项C 不正确；
若 ，则 ，故选项D正确．
故选C．
【变式训练】
1．（2023上·浙江杭州·八年级统考期末）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的性质1， ，再由性质3得， ．主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式
两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵ ，
∴由不等式的性质1，得 ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，灵活运用不等式的基本性质是解答本题的关键．
根据不等式的基本性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．∵ ，∴ ，选项正确，不符合题意；
B．∵ ，∴ ，选项正确，不符合题意；
C．当 时，由 得到 ，选项错误，符合题意；
D．∵ ，∴ ，选项正确，不符合题意
故选：C．
题型04 利用不等式的基本性质解不等式
【例题】（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式 的解集是 B． 是不等式 的一个解
C．不等式 的整数解有无数个 D．不等式 的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为 ，故错误，不符合题意；
B、∵ ，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为 ，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式训练】
1．（2023下·八年级课时练习）下列说法错误的是（ ）A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的解
C． 的解集是 D． 的解集就是 、 、
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项， 的解集是 ，解不等式 得 ，故正确；
D选项， 的解集就是 、 、 ， 不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023下·七年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式 的解是3 B．3是不等式 的解
C．不等式 的解集是 D． 是不等式 的解集
【答案】A
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式
的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
【详解】解∶A、3是不等式 的解，但是不等式 的解集不是3，故本选项错误，符合题
意；
B、3是不等式 的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式 的解集是 ，说法正确，故本选项不符合题意；
D、 是不等式 的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．
题型05 不等式的解集
【例题】（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）将下列不等式化成“ ”或“ ”的形式：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用不等式的性质求解即可；
（2）利用不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：两边同时减去 ，
得 ，
即 ；
（2）解：两边同时加上2，得 ，
两边同时乘 ，
得 ．
【点睛】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边
同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除
以)同一个正数,不等号的方向不变； 不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向变．
【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“ ”或“ ”的形式．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）不等式的两边都加上1即可；
（2）不等式两边都减去 即可；
（3）不等式两边都乘以2即可；
（4）不等式两边都除以 即可．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2） ，
，
；
（3） ，
，
；
（4） ，
，
．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）将下列不等式化成“ ”或“ ”的形式：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据不等式的性质进行运算，即可得答案；
（2）根据不等式的性质进行运算，即可得答案；
（3）根据不等式的性质进行运算，即可得答案；
（4）根据不等式的性质进行运算，即可得答案．
【详解】（1）两边同时减去 得： ，
即 ；
（2）两边同时加上2得： ，
两边同时乘 得： ；
（3） ，
两边同时除以 得： ；
（4） ，
两边同时减去 得： ，
合并同类项得： ，
两边同时乘2得： ．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于
0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
一、单选题
1．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C
【分析】由不等号（ ， ， ， ， ）连接的式子叫不等式，据此进行判断．
【详解】不等式有：① ；② ；④ ；⑤ ．
所以共有4个
故选择：C．
【点睛】本题考查来了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
2．（2021下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞ ，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础
题．
3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列表示的不等关系中，正确的是（ ）
A． 不是负数，表示为 B． 比3至少多1，表示为
C． 与1的和是非负数，表示为 D． 不大于3，表示为
【答案】B
【分析】由不是负数即为正数或0可判断A，由至少表示大于或等于可判断B，由非负数表示正数或0可判
断C，由不大于即小于或等于可判断D，从而可得答案．
【详解】解： 不是负数，表示为 ，故A不符合题意；
比3至少多1，表示为 ，表示正确，故B符合题意；
与1的和是非负数，表示为 ，故C不符合题意；
不大于3，表示为 ，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是根据语句的描述列不等式，理解语句的含义是解本题的关键．
4．（2023上·浙江·八年级校考期中）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，“不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)
同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
变”．
【详解】解：A. 当 时， ， ，故选项错误，不符合题意；
B. 当 ， ， ，故选项错误，不符合题意；
C. 当 ，由 ，得 ，故选项错误，不符合题意；
D. 由 ，得 ，故选项正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题
5．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式．
【详解】解：由题意得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序
和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
6．（2023下·七年级课时练习）根据不等式的基本性质填空：
（1）已知 ，则 ；
（2）若 ，则 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】略
7．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列各数：0， ，4， ， ， ， ．
其中 是不等式 的解； 是不等式 的解．
【答案】 6.0，4， ， ，
【解析】略
8．（2021上·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）以下说法正确的是： .
①由 ，得 ；②由 ，得
③由 ，得 ；④由 ，得
⑤ 和 互为相反数；⑥ 是不等式 的解
【答案】②③④
【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．
【详解】解：①由 ，当 时，得 ，故结论①错误；②由 ，得 ，故结论②正确；
③由 ，得 ；故结论③正确；
④由 ，得 ；故结论④正确；
⑤ 和 互为相反数，当 为奇数时， ，故结论⑤错误；
⑥ 是不等式 的解，故结论⑥错误；
故正确的结论为：②③④．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．
三、解答题
9．（2023下·全国·七年级假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？
(1)x=1．
(2)x=3．
(3)x=10．
(4)x=12．
【答案】(1)不是
(2)不是
(3)是
(4)是
【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可
【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)
＞25的解．
（2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的
解．
（3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的
解．
（4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的
解．
【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关
键．
10．（2021下·湖北十堰·七年级统考期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式．
（1） x-1＜5 （2）x＜3x-12
【答案】（1）x＜12；（2）x＞6．
【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质2即可求解；
（2）根据不等式的性质1和不等式的性质3即可求解．【详解】解：（1）
（2）
【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方
向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变．
11．（2023下·江苏·七年级专题练习）用适当的符号表示下列关系：
(1)x的 与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于 ；
(5)小明的体重不比小刚轻．
【答案】(1)
(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有
(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有
(4)用P表示明天下雨的可能性，则有
(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有
【分析】（1）非正数用“ ”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【详解】（1） ；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有 ；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 ；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有 ；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 ．
【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关
键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
12．（2023下·全国·八年级假期作业）说出下列不等式的变形依据．
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)若 ，则 ．
【答案】(1)根据不等式的性质 ，不等式的两边同时减去
(2)根据不等式的性质 ，不等式的两边同时除以
(3)不等式的性质 ，不等式的两边同除以
【分析】（1）根据不等式的性质 变形；
（2）根据不等式的性质 变形；
（3）不等式的性质 变形．
【详解】（1）解：根据不等式的性质 ，不等式的两边同时减去 ．
（2）解：根据不等式的性质 ，不等式的两边同时除以 ．
（3）解：不等式的性质 ，不等式的两边同除以 ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的
式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的
两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．（2023下·七年级课时练习）阅读下面解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
所以 ．③
问：
(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②；
(2)错误地运用了不等式的基本性质3
(3)见解析
【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误；（2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；
（3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）（1）如果 ，那么
______ ；如果 ，那么 ______ ；如果 ，那么 ______ ．（填“ ”、“ ”或“
”）
（2）试用（1）提供的方法比较 与 的大小．
【答案】（1） ， ， （2）
【分析】（1）分别将 移项，即可求解；
（2）作差： ，判断结果，即可求解．
【详解】解：（1） ， ，
， ，
， ，
故答案： ， ， ；
（2）由题意得
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了作差法比较大小，整式加减，掌握比较方法是解题的关键．
