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第 07 讲 章节复习专题：一元一次不等式与一元一次不等式组
目录
【考点一 不等式的基本性质】................................................................................................................................4
【考点二 不等式的解与解集】................................................................................................................................6
【考点三 一元一次不等式（组）的定义】............................................................................................................8
【考点四 解一元一次不等式（组）】..................................................................................................................11
【考点五 求一元一次不等式（组）的整数解】..................................................................................................15
【考点六 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】..................................................................................19
【考点七 根据一元一次不等式的解集求参数】..................................................................................................25
【考点八 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】...........................................................................27
【考点九 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】.......................................................................29
【考点十 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】...............................................................31
【考点十一 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】.......................................................33
【考点十二 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】...........................................................................35
【考点十三 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】...............................................................................38
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．
2.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点06 一元一次不等式（组）的整数解
1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要
的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而
非常容易的解决问题．
2.一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点07 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点08 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
【考点一 不等式的基本性质】
例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知 ，下列结论： ； ； 若 ，则
； 若 ，则 ，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（23-24八年级下·广东河源·期中）下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【考点二 不等式的解与解集】
例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的唯一解
C． 是不等式 的解集 D． 是不等式 的一个解
【变式训练】1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解是 B．不等式 的解是
C． 是不等式 的一个解 D． 是不等式 的一个解
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（ ）
① 不是不等式 的解；
②不等式 的解集是 ；
③不等式 的负数解有无限多个；
④不等式 的负数解有无限多个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点三 一元一次不等式（组）的定义】
例题1：（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列式子：① ，② ，③ ，④ ，
⑤ 中是一元一次不等式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例题2：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若 是关于 的一元一次不等式，则该不等式的解
集是 ．
4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知 是关于x的一元一次不等式，则m的值
为 ．
5．（23-24七年级下·重庆江津·期末）已知 是关于x的一元一次不等式，则 ．【考点四 解一元一次不等式（组）】
例题：（23-24七年级下·全国·期末）解不等式（组），并在数轴上表示它们的解集．
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式（组）：
(1)解不等式： ；
(2)解不等式组 ，并求该不等式组的非负整数解．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）计算:
(1)解不等式 ，并写出满足该不等式的负整数解．
(2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上．
4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（ ）解不等式 ，并在数轴上表示不等式的解集．
（ ）解不等式： ，并将它的解集在数轴上表示出来．
（ ）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
（ ）解不等式组 ，并求出它的所有整数解．
【考点五 求一元一次不等式（组）的整数解】例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式 的正整数解为 ．
例题2：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组 的整数解有 个．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式 的最小整数解是 ．
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）不等式 的正整数解的个数是 ．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组 的整数解为 ．
4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 的非负整数解是 ．
5．（23-24七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组 的最大整数解是 ．
6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）不等式组 的所有整数解的和为 ．
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）不等式组 的所有整数解的和为 ．
【考点六 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】
例题1：（23-24七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式 的部分解答过程．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
移项，得 ，第三步…
(1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第________步开始出现错误．
(2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集．
例题2：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组 ，的部分过程，请认真阅
读并完成相应任务．解：令
解不等式①，得 ．
去分母，得 ． 第一步
移项、合并同类项，得 ． 第二步
系数化为1，得 ． 第三步
……
任务一：
上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______；
任务二：请你写出解此不等式组的正确过程．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）下面是小淇同学解一元一次不等式 的过程，请认真
阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 ． 第四步
系数化为1，得 第五步
任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是______．
②第______步开始出现错误，这一步正确的应是______．
任务二：请你直接写出正确的结果
2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）圆圆解不等式 的过程如下：
解：去分母得 …第一步，
去括号得 …第二步，
移项得 …第三步，
合并同类项得 …第四步，
系数化为1得 …第五步，
(1)以上运算步骤中，去分母的依据是__________；
(2)以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的；(3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；
(4)写出正确的解题过程
3．（23-24七年级下·山西长治·期末）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，
完成相应的任务．
解：由不等式①，得 ． 第一步
解得 ． 第二步
由不等式②，得 ． 第三步
移项，得 ． 第四步
合并同类项，得 第五步
解得 第六步
所以，原不等式组的解集是 ． 第七步
任务一：
（1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________；
（2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________；
任务二：
（3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________．
4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）以下为小颖在解不等式组 时草稿纸上演草的过程：
解不等式②， …………………………第一步
…………………………第二步
…………………………第三步
………………………第四步
(1)小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 步开始出现错误；
(2)请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示：
所以原不等式组的解集为 ．
5．（2024·宁夏银川·二模）在解不等式组 时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得 ……第1
步
去括号，得 ……第2步
移项，得 ……第3步
合并同类项，得 ……第4步
两边都除以3，得 ……第5步
任务一：填空：
（1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________；
（2）第3步移项的依据是________；
（3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集．
【考点七 根据一元一次不等式的解集求参数】
例题：（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于x的不等式 的解集为 ，则a的取值范围
是 ．
2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式 的解集是 ，那么关于
x的不等式 的解集是 ．
3．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于 的不等式 的解集在数轴上的表示如图，则
a的值是 ．
【考点八 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】
例题：（23-24七年级下·广东广州·期末）若关于 的不等式 的正整数解是1，2，3，则整数 的最小
值是 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于 的一元一次不等式 只有2个正整数解，则 的取值范围是 ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于 的不等式 至少有3个负整数解，则 的取值范围
是 ．
3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如果关于 的不等式 的正整数解仅为 ，那么整数 的
所有取值之和是 ．
【考点九 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于 的不等式组 有且只有 个整数解，则符
合条件的所有整数 的和为 ．
【变式训练】
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围
是 ．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于x的不等式组 只有3个整数解，则a
的取值范围是 ．
3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）若实数 使关于 的不等式组 有且只有两个整数解，
则实数 的取值范围是 ．
【考点十 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组 的解集为 ，则 的值是
．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果不等式组 的解集为 ，则 的取值范围为
．
2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是
．3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）关于 的不等式组 的解为 ，则 的取值范围是
．
【考点十一 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于 的不等式组 有解，且关于 的方程
有正整数解，那么符合条件的所有整数 的和为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足
，则a的取值范围是 ．
2．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 且关于
的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
3．（2024·山东东营·二模）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范
围为 ．
【考点十二 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】
例题：（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线 与直线 交点的横坐标是4，则不等
式 的解集是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当 时，
，当 时， ，当 时， ．2．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）一次函数 中两个变量x，y的部分对应值如下表
所示：
x … 0 1 …
y … 7 5 3 1 …
那么关于x的不等式 的解集是 ．
3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数 （ 、 是常数，且 ），
的图像交于点 ，则关于 的不等式 的解集为 ．
【考点十三 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】
例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某中学计划购买 型和 型课桌凳共200套，经招标，购买一套
型课桌凳比购买一套 型课桌凳少用40元，且购买4套 型和5套 型课桌凳共需1820元．
(1)求购买一套 型课桌凳和一套 型课桌凳各需多少元？
(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买 型课桌凳的数量不
能超过 型课桌凳数量的 ，学校购买 型课桌凳x套，总费用为 元．
①求出 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
②该校本次购买 型和 型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零
件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？
2．（2024八年级上·全国·专题练习）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部
甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资
金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种
型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某校准备在某超市为学生购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和
100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元．
(1)求毛笔和宣纸的单价；
(2)该超市给出以下两种优惠方案．
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
若该校准备购买毛笔50支，宣纸 张 ，则选择哪种方案（只能选择其中一种）更划算？请说明理
由．
