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第 04 讲 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题(7
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目录
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】............................................................................................1
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】....................................................................................................2
【考点三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】.............................................................................3
【考点四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】.........................................................................4
【考点五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】.................................................................8
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】........................................................................10
【考点七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】....................................................................12
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】
例题：（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式 是一元一次不等式，
那么m的值是 .
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式 是一元一次不等式，
∴ 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元
一次不等式．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
【答案】-3
【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,
∴k-3≠0且|k|-2=1,
解得k=-3.2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次不等式，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次
列式求解即可得到答案．
【详解】解： 是关于 的一元一次不等式，
，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题
的关键．
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】
例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值
范围是（ ）
A．m>0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．
【详解】解：根据题意得 ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号
的方向发生改变．
【变式训练】
1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式 的解集为 ，则a
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式 的解集为 ，可得： ，据此求出a
的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式 的解集为
∴
∴a的取值范围为：
故答案为： ．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．
2．（2023下·七年级课时练习）如果不等式 的解集是 ，那么a必须满足 ．
【答案】
【分析】根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0．
【详解】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，
∴a-2＜0，
解得，a＜2．
故答案为：a＜2．
【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，
当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．
3．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如果关于x的不等式 的解集为 ，那么a
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的基本性质2及解一元一次不等式．根据题意可得 ，然后进行计算
即可解答．熟练掌握不等式的基本性质2“给不等式两边同时乘（或除以）一个负数，不等号的方向要发生
改变”是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的不等式 的解集为 ，
，
，
故答案为： ．
【考点三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】
例题：（2023下·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）已知关于x的不等式 有且仅有2个
正整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解不等式得 ，再根据关于 的不等式 只有2个正整数解，得出不等式的正整数
解为1，2，据此得到答案 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于x的不等式 只有2个正整数解，
∴不等式 的正整数解为：1，2，
∴ ，即
故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
【变式训练】1．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）已知关于 的不等式 的正整数解有且只有2个，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先解不等式，再根据题意列出不等式组求解．
【详解】解：解关于 的不等式 得： ，
由题意得：不等式的正整数解为：1，2，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解不等式的方法是解题的关键．
2．（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知不等式 的正整数解只有1，
2，3，那么a的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】根据题目中的不等式可以求得x的取值范围为 ，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从
而得到 ，继而求得a的取值范围．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵原不等式的正整数解只有1，2，3，
∴ ，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查一元一次不等式的正整数解问题，能根据题意确定 的取值范围是解题的关键．
【考点四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（2023·浙江·模拟预测）已知关于 的不等式组 恰好有四个整数解，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式组 得 ，则 ，
∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，
∴四个整数解为4、5、6、7，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是
解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河南驻马店·七年级统考期末）不等式组 只有两个整数解，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】先解不等式组，得出 ，根据有两个整数解，得出 ，整数解为 ， ，进而即可求
解．
【详解】不等式组整理得： ，
∵不等式组 只有两个整数解，
∴ ，整数解为 ， ，
则m的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于 的不等式组 恰有 个整数解，那么 的取
值范围为
【答案】
【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组 恰有 个整数解，可以得到 的取值
范围．
【详解】解：
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，∵不等式组 恰有 个整数解，
∴这三个整数解为 、 、 ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
3．（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）关于 的不等式组 只有3个整数解，则
的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先求出 的不等式组的解集，然后根据 的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可．
【详解】解： ，
①： ， ，解得 ；
②：解得 ；
所以 的不等式组的解集为 ，
因为 的不等式组只有3个整数解，
即 ，4，5，
那么 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
4．（2023下·安徽滁州·七年级校考阶段练习）若实数 使关于 的不等式组 有且只有两个整
数解，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．
【详解】解： ，
解①得 ，
解②得 ，
∵不等式组有解集，∴ ，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）对x，y定义一种新运算M，规定： （其中m，
n均为非零常数）．例如： ，已知 ， ．
(1)求m，n的值；
(2)若关于t的不等式组 恰好有3个整数解，求a的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意得关于 ， 二元一次方程组，解之即可；
（2）根据题中新定义得不等式组 ，解不等式组后再根据不等式组恰好有3个整
数解，求出 的范围即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得 ，
， ；
（2）由（1）知 ，
由题意得， ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
不等式组的解集为 ，
恰好有3个整数解，
，
解得 ．【点睛】本题考查二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解决本题的关
键．
【考点五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（2023下·湖南永州·八年级校考期末）若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无
解即可得出结论．
【详解】解：解 得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）不等式组 的解集是 ，则a的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键．
根据口诀“同小取小”可知不等式组 的解集，解这个不等式组得到关于a的不等式进行求解即
可．
【详解】解：因为这个不等式组的解集为 ，
则 ，
解这个不等式得
故答案为： ．
2．（2023下·江西吉安·八年级校考期中）若关于 的一元一次不等式组 无解，则a的取值
范围 .
【答案】 /
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解即可．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
因为不等式组无解，
所以 ，解得 ；
故答案为：
【点睛】本题主要考查了不等式组无解的问题，正确求出两个不等式的解集，理解不等式组无解是关键．
3．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）若数 使关于 的不等式组 的解集为 ，则符合条件
的数 的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】先解不等式组，再根据已知解集确定出 的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组得： ，
不等式组的解集为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
4．（2023下·新疆伊犁·七年级统考期末）已知关于x的不等式组 的解集是 ，则
．
【答案】
【分析】分别解两个不等式，根据解集为 确定 和 的值，再代入求值即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集是 ，
， ，
， ．
．故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，根据解集确定参数的值是解题的关键．
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】
例题：（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）关于 、 的方程组 的解 与 满足条件
，则 的最大整数值是 ．
【答案】
【分析】解方程组得到 ，由 得出关于 的不等式，解之可得 的取值，即可得出
的最大整数值．
【详解】解：解方程组 ，
① ②得 ，即 ，
，
，
解得： ，
则 的最大整数值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组 的解满足 ，且
满足条件的正整数a仅有4个，则b满足的条件取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】首先解关于 ， 的方程组，求得 ， 的值，代入 ，即可解答．
【详解】解： ，
① ②得： ，
把 代入①得： ，
，
∵ ，
∴ ，
，
满足条件的正整数 仅有4个，∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答
本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
2．（2023下·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）若关于 和 的二元一次方程组
，满足 ，求整数 的最小值 ．
【答案】0
【分析】直接将方程组中两方程相减，进而得出关于m的不等式，进而得出答案．
【详解】解： ，
∴① ②得： ，
，
解得： ．
∴整数m的最小值为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题的关键．
3．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于 、 的方程组 的解 、 满足 ，
那么 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】先根据 ，得 ，再结合已知条件可得 ，解不等式即可．
【详解】 ，
，得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
【考点七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】
例题：（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组的解集是 ，且关于y的方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的
个数为 ．
【答案】5
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组 的解
集是 ，可以求得a的取值范围，再求出关于y的方程 的解，然后根据关于y的方程
有非负整数解，即可求出a的值，从而可以解答本题．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∵关于x的一元一次不等式组 的解集是 ，
∴ ，
由方程 可得 ，
∵关于y的方程 有非负整数解，
∴ 或 或 或 或 ，
∴符合条件的所有整数a的个数为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方
程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）若关于 的不等式组 的解集为 ，且关于
的方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】22
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据方程的解为非负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
由于不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得 ，
关于y的方程 的解为 ，
由于方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为 或3或8或13，
∴符合条件所有的整数a的和为： ．
故答案为：22．
2．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组 有4个整数解，
且使关于x、y的方程组 的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组求出 的范围，然后根据关于 的方程组 的解为整数得到
即可解答．
【详解】解： ，
解不等式①得，
解不等式②得， ，
不等式组 有4个整数解，
∴ ，
∴ ，
解方程组 ，
得： ，解得 ，将 代入②得： ，解得
方程组的解为： ，
∵ ，
∴ ，
关于 的方程组 的解为整数，
，
当 时， ， 符合题意；
所有满足条件的整数 的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次
方程组求出 的取值范围是解题的关键．
3．（2023下·全国·七年级专题练习）从 ， ，0，1，2这5个数中，选一个数 ，使关于 的不等式组
有解，且使关于 的一元一次方程 的解为负数，求 的值．
【答案】 或0或1
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有解确定出 的范围，再表示出方程的解，由方程的解为负
数确定出 的范围，找出 的具体范围，进而确定出 的值即可．
【详解】解：不等式组整理得： ，
要使不等式组有解，可得 ，
解得： ，
不符合题意，舍去；
此时不等式组的解集为 ，
方程去分母得： ，
解得： ，
方程的解为负数，，
解得： ，
不符合题意，舍去，
的范围是 ，
的值可以为 或0或1．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，正确根据不等式组的解集情况
和一元一次方程解的情况求出 的取值范围是解题的关键．
4．（2023下·全国·八年级专题练习）已知关于a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式 的解集为 ？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出
不等式组，从而求出m的范围．
（2）将不等式 进行求解，要得到解集为 ，则必须使 ，可以求出m的范围，
结合（1）中m的范围，即可求解．
【详解】（1）解：（1）解方程组 得：
∵a为负数，b为非正数
∴ ，
解得：
（2）
∵要使不等式 的解集为
必须
解得：
∵ ，m为整数
∴
所以当 时，不等式 的解集为 ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除
以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）已知方程组 的解 都小于1．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，当 为何整数时，关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】(1)
(2)在（1）的条件下，当 为 时，关于 的不等式 的解集为 ．
【分析】（1）先解方程组，根据解都小于1，得出a的取值范围；
（2）根据 解集为 ，得出 ，再在（1）的条件下，求出a的范围，即可得到a
的值．
【详解】（1）解：由 解得：
由题意得 解得：
（2）解： 不等式 的解集为 ，
且 ，
为整数
在（1）的条件下，当 为 时，关于 的不等式 的解集为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出a的
取值范围是解此题的关键．
