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第 05 讲 二次根式的概念
课程标准 学习目标
1. 掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式．
①二次根式的定义
2. 掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟
②二次根式有无意义的条件
练求值．
知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
【即学即练1】1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如 的式子叫做二次根式．
根据二次根式的定义，形如 的式子，判断即可．
【详解】解：A． 是二次根式，故本选项符合题意；
B． 的被开方数是负数 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C． 是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D． 的被开方数 时，该代数式无意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
知识点02 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开
方数不小于 ，依此即可解答．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故选C．
2．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知 ， 则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得 ，结合
题意可得 ， ，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵ ，
∴x与y异号，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
知识点03 二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
2.二次根式 的性质： （ ）
3.二次根式 的性质：
【即学即练3】
1．（23-24八年级下·吉林·期末）若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据 可得 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
题型01 判断是否为二次根式
【典例1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）要使 在实数范围内有意义，x可以取的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 根据二次根式的定义求字母的值
【典例2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知 是整数， 是正整数，则 的所有可能的取值的
和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【变式1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【变式2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【变式3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是
（ ）
A．0 B．4 C．5 D．20
题型03 求二次根式的值
【典例3】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．2
题型04 根据二次根式有意义条件求范围
【典例4】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使 有意义的字母 的取值范围（ ）
A．全体实数 B． C． D．
题型05 根据二次根式有意义求值
【典例5】（23-24八年级下·吉林松原·期中）若 ，则 ．
【变式1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知 为实数，且 ，则 的值为
．
【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则 的小
数部分是 ．【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知 ，则 ．
题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【典例6】 （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ．
【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）当 时，化简： ．
【变式2】（2024·四川乐山·模拟预测）已知 的三边分别为 ，化简
．
【变式3】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所
示：
化简： ．
题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【典例7】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式 化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·天津·期中）已知， ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ．
题型08 复杂的复合二次根式化简
【典例8】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：(1)填空： ______， ______．
(2)
【变式1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个
数 、 ，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【变式3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如： ，再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当x取以下哪个值时， 的值最小（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列各式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简二次根式 ，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·全国·假期作业）化简： ．
7．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）使式子 有意义，则x的值为 ．
8．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若 是整数，则正整数 的最小值是 ．
9．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则
10．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知x、y是实数，且满足 ，则 的
值为 ．三、解答题
11．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ；
(2) ；
(3) ．
12．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若 求 的值．
13．（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足 ．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
14．（23-24八年级下·广西崇左·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1) _______， _______；
(2) _______；
(3)化简： ．
15．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式： ，
第二个等式： ，
第三个等式： ……
(1)第四个等式为： ；(2)请用正整数 来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
16．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ，
．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】
（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（3）已知 为 的三边长．化简： ．
