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第 04 讲 一元一次不等式组
课程标准 学习目标
①一元一次不等式组的定义 1.掌握一元一次不等式组的定义；
②解一元一次不等式组 2.掌握解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示；
③一元一次不等式组的应用 3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题。
知识点01 一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）下列不等式组：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：① 是一元一次不等式组；
② 是一元一次不等式组；
③ 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④ 是一元一次不等式组；
⑤ ，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【即学即练2】（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是
解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解： 是一元一次不等式组．
故选：B．
知识点02 解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【即学即练1】（24-25七年级下·全国·期中）解不等式组： 并把解集表示在数轴上．
【答案】 ，见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式
解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ．
所以原不等式组的解集为 ．
把解集表示在数轴上如图所示．
.
【即学即练2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解不等式组： ’并在数轴上表示
出不等式组的解集．
【答案】不等式组的解集为 ，数轴见解析
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是
解答此题的关键．
首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：【即学即练3】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）以下是小新解不等式组 的解答过程．
解：由①得 ，第一步
所以 ，第二步
由②得 ，第三步
所以 ，第四步
故原不等式组的解集是 ．第五步
小新的解答过程从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】四， ，见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别解出①②的解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中
间中，大大小小无解”的方法即可求解．
【详解】解：小新的解答过程从第四步开始出现错误，故答案为：四．
正确解答如下：
由①得 ，
所以 ，
由②得 ，
所以 ，
故原不等式组的解集是 ．解集在数轴上表示，如图所示，
知识点03 一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
【即学即练1】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式组 的整数解是 ．
【答案】0，1，2【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，由题意得不等式组 的解集是： ，
据此即可求解.
【详解】解：由题意得：不等式组 的解集是： ，
∴整数解是0，1，2
故答案为：0，1，2
【即学即练2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组 的整数解的和是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查解不等式组，求不等式组的整数解等知识，根据不等式组的解法，得到解集 ，
从而确定不等式组的整数解，求和即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解集为 ，则不等式组的整数解有 三个，
不等式组 的整数解的和是 ，
故答案为： ．
【即学即练3】（24-25八年级上·湖南衡阳·开学考试）若关于x的不等式组 ，恰好有三
个整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查不等式组的整数解问题，正确理解恰有3个整数解得意义是解题的关键．先解不等式组，
写出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解，可求出m的范围．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组有解，不等式组的解集是： ．
不等式组恰好有3个整数解，则整数解是 ，
．
，
故答案为： ．
知识点04 一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【即学即练1】（2025七年级下·全国·专题练习）认真阅读下面三个人的对话．
小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）．
售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你
买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱．
旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！
根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？
【答案】饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1.1元
【知识点】一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．设一盒饼干x元，则一袋牛奶为 元，
根据 元买一盒饼干有剩余的钱，买一盒饼干和一袋牛奶10元不够，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：设一盒饼干x元，则一袋牛奶为 元，根据题意得：
，
解得： ，
∵一盒饼干的价钱为整数元，
∴ ，
（元），
答：一盒饼干9元，则一袋牛奶为1.1元．
【即学即练2】（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总
进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多
少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元
(2)购进 副春联时销售利润最大，最大利润为 元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等
式组的其他应用
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问
题），一元一次不等式组的应用等知识点，读懂题意，利用题中的等量关系列出二元一次方程组、一次函
数解析式及一元一次不等式组，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键．
（1）设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，根据“购进40副春联和30对窗花共需410元，购
进60副春联和80对窗花共需720元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设批发春联a副，总利润为W元，根据“总利润 （售价 进价） 销售数量”即可得出W与a的函
数关系式，根据总进价和总销售额的条件列出不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围，然后根据一
次函数的增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，由题意可得：
，
解得： ，
每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元；
（2）解：设批发春联a副，总利润为W元，
∴ ，
由题意可得：
，
解得： ，
∵在 中，W随a的增大而增大，
∴当 时，W取得最大值，此时 ，
购进 副春联时销售利润最大，最大利润为 元．题型01 一元一次不等式组的定义
例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字
母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式
组．
【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合
题意；
B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：① 是一元一次不等式组；② 是一元一次不等式组；
③ 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④ 是一元一次不等式组；
⑤ ，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式
的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
题型02 求一元一次不等式组的解集
例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组 请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______．
(2)解不等式②，得______．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析(4)
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）求出不等式的解集即可；
（2）求出不等式的解集即可；
（3）在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（4）根据数轴写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
，
故答案为： ；
（2）解：
，
，
故答案为： ；
（3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下：
（4）解：不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：由 得： ，
由 得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
（2）由 得： ，
由 得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】求不等式组的解集、不等式的性质
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的性质，根据不等式的性质进行变形是解题的关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ．（2）解： ，
解不等式①得： ；
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ．
题型03 求一元一次不等式组的整数解
例题：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组 的整数解有 个．
【答案】4
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是
解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解．
按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找
出所有整数解．
【详解】解： ，
由 解得： ，
由 解得： ，
不等式组的解集为： ，
它的整数解有： ， ， ， ，共 个，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组 的整数解是 ．
【答案】 ， ， ，
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的
方法与步骤”是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数
解即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组 的正整数解是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出
不等式组的解集，即可得到答案．
【详解】解： ，
解不等式①： ，
解不等式②： ，
故不等式的解集为 ，
故不等式组的正整数解是 ．
故答案为： ．
题型04 解一元一次不等式组中错解复原问题
例题：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组 ，的部分过程，请认真阅
读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，得 ．
去分母，得 ． 第一步
移项、合并同类项，得 ． 第二步
系数化为1，得 ． 第三步
……
任务一：
上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______；
任务二：请你写出解此不等式组的正确过程．
【答案】任务一：三；不等式的两边同时除以 时不等号的方向未改变；任务二： ．【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤成为解题的关键．
任务一：根据解一元一次不等式的步骤以及等式的基本性质即可解答；
任务二：先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可
【详解】任务一：
解：第三步出现了错误，不等式的两边同时除以 时不等号的方向未改变；
故答案为：三；不等式的两边同时除以 时不等号的方向未改变
任务二：
解：由①得， ，
，
，
；
由②得：即 ；
所以原不等式组的解集为 ．
【变式训练】
1．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组 的过程，请认真阅读
并完成相应的任务．
解：由①去分母，得 ．………………第一步
去括号，得 ．…………………………第二步
移项，得 ．………………………… 第三步
合并同类项，得 ．…………………………………第四步
系数化为1，得 ．…………………………………第五步
任务一：
（1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________；
（2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________；
任务二：
（1）解不等式②得___________________；
（2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________．
【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号；
任务二：（1） ；（2） ，在数轴上表示见解析
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质
【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．任务一：（1）根据不等式的性质作答即可；
（2）根据移项可判断第三步错误；
任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解．
【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质，
故答案为：不等式的性质；
（2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号，
故答案为：三，移项没变号；
任务二：解不等式②： ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
故答案为： ；
（2）由①去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图：
故不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，
请认真阅读，完成相应任务．
解：由不等式①得，
第1步
∴ 第2步
∴ 第3步
∴ 第4步
∴ 第5步
任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错
误的原因是 ；
任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ．任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条）
【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二： ，1；任
务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号
【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等
式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键．
根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可．
【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，
这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；
任务二：解： ，
，
，
解得 ，
解不等式①得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∴这个不等式组的整数解是1，
故答案为： ，1；
任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移
项要变号．
题型05 由一元一次不等式组的解集求参数
例题：（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组 的解为 ，则m的取值范围
为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定
不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组的解集为 ，
，
故答案为： ．
【变式训练】1．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组 有且仅有 个整数解，则实数 的取
值范围为
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，由关
于 的不等式组 有且仅有 个整数解，得出关于 的不等式组，再求出不等式组的解集，即可
得出答案．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
关于 的不等式组 有且仅有 个整数解，
整数解为 ， ， ，
，
．
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了根据不等式组无解的求参数，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．解一元一次
不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别解不等式组的两个不等式，结合该不等式组无解，可得
关于 的不等式，，然后求解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，可得
解不等式②，可得 ，
∵该不等式组无解，
∴ ，
解得 ，∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型06 一元一次不等式组和方程组结合的问题
例题：（23-24七年级下·北京·期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
则 的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得
是解题关键．利用加减消元法求得 ，再建立不等式求m即可；
【详解】解：
由① ②，得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知 ，且 ，则k的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题
【分析】先解方程组得出 ，然后根据 得出 ，解关于k的不等式组即可．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是根据方程组求出 ，得
出关于k的不等式组 ．
2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于 的一元一次不等式组 的解集是
，且关于 的方程 有正整数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】3
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、由不等式组解集的情况求参数、不等式组和方程组结合的
问题
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组 的解
集是 ，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程 的解，然后根据关于y的方程
有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∵关于x的一元一次不等式组 的解集是 ，
∴ ，由方程 可得 ，
∵关于y的方程 有正整数解，
∴ 或 或 ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方
程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
题型07 列一元一次不等式组
例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增
购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球
150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球 个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．
设购买篮球 个，则购买排球 个，再结合题意列出不等式组即可．
【详解】解：设购买篮球 个，则购买排球 个，
由购买资金不超过3600元，可列 ，
由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列 ，
即可列不等式组为 ．
故选C．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按
每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为 千米，则 应
满足的关系式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式组
【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为 千米，则付费 ，根
据不足1千米按1千米计算，可得答案．
【详解】解：设他行驶的路程为 千米，
∴ ，
故选A
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每
人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x
名学生，则可列不等式组为 ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式组
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则
多10本，共 本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是 ，可列出不等式
组．
【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为：
．
故答案为： ．
题型08 用一元一次不等组解决实际问题
例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，
生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元．
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的
生产方案有哪几种？
【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元
(2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，
B产品50个．
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式 ，再解出 ，即可
作答．
（2）设生产B产品a件，生产A产品 件，依题意，列式
，然后解出 ，再结合a的值为非负整数，即可
作答．
【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，
依题意得： ，
解得 ．
答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元．
（2）解：设生产B产品a件，生产A产品 件．
根据题意，得 ．
解得： ．
∵a的值为非负整数，
∴ ，
则 分别等于12、11、10．
∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；
方案3：A产品10个，B产品50个．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，
文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书
法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格
比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求
购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？
【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元
(2)有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进
甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是
解答的关键．
（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为 元，根据
“买5套甲型号和10套乙型号共用1100元”列方程求解即可；
（2）设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝” 套，根据题意列不等式组求解
即可．
【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为
元，
根据题意，得 ，
解得 ，
，
答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元；
（2）解：设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝” 套，
根据题意，得 ，
解得 ，又x为正整数，
∴x可取31或32，
∴有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲
型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套．
2．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安
全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售 ， 两种头盔，
批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
种头
名称 种头盔
盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
(1)该商店第一次批发 ， 两种头盔共120个，用去5600元钱，求 ， 两种头盔各批发了多少个；
(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发 种头盔不高
于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批
发方案．
【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个
(2)该商店第二次有3种批发方案
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式组．
（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用
去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了 个B种头盔，根据“批发A种头盔不高
于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不
等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可．
【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得： ，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；
（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了 个B种头盔，根据题
意得，
，
解得： ，
又∵m， 均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案．
一、单选题
1．（24-25八年级上·重庆·期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集并
在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①得x>1，
解不等式②得 ，
故不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为：
故选：C．
2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若点 在第二象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，根据第二象限内点的横坐标小于零，
纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴
解得： ，
故选：D．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，
则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【分析】设有x间宿舍，根据“每间住4人，2人无处住”可得学生有 人，再根据“每间住6人，
空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，
关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
【详解】解：设有x间宿舍，则学生有 人，由题意得：
．
故选：C．
4．（24-25八年级上·重庆·期末）关于x的方程 的解是非负整数，且关于y的不等式组
有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．18
【答案】A
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程，熟练掌握不等式组和方程的解法是解题关键．先
求出不等式组的解集，从而可得 的取值范围，再解一元一次方程可得方程的解，根据方程的解是非负整
数可得出满足条件的所有整数 的值，由此即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵这个不等式组有解，
∴ ，
又∵这个不等式组有且仅有3个整数解，
∴ ，
解得 ，
，
，
，∵这个方程的解是非负整数，
∴满足条件的所有整数 的值为3和5，
∴满足条件的所有整数 的和为 ，
故选：A．
5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值 ”到“结
果是否 ？”为一次操作，如图操作四次才停止，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】程序流程图与代数式求值、求不等式组的解集
【分析】该题考查数学逻辑思维和一元一次不等式组，题中的程序是一个循环的操作程序，可将每次循环
的结果先算出来，由循环停止的条件列出不等式是解题的关键．
输入x的值后，程序进行操作，结果为 ，当该值大于487时，程序结束，否则将 看成x，再进
行程序的操作，如此循环，直到结果大于487．
【详解】解：先列表
操作次
1 2 3 4
数
输出结
果
由题意得 ．
解得： ．
故选：D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 的解集为 ．
【答案】 /
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组
的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
【详解】解： ，
由①，得： ；由②，得： ，
∴不等式组的解集为： ；
故答案为： ．
7．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④
⑤ ．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：① 是一元一次不等式组；
② 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③ 是一元一次不等式组；
④ 不是一元一次不等式组；
⑤ ，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在
一起，就组成了一个一元一次不等式组．
8．（24-25八年级上·全国·期末）若方程组 的解 满足 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组；先解二元一次方程组，得出 ，
根据已知建立不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：由解得 ，
．
，
．
解得 ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·浙江·期中）如果一元一次不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是
．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
解：∵一元一次不等式组的解集为 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段 ， ， 能构成三角形，且使关于 的不等式组
有解的所有整数 和为 ．
【答案】3
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、构成三角形的条件
【分析】此题考查三角形的三边关系和解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得到 ，再解不
等式组得到 ，进而求出所有整数 的值，再相加求解．
【详解】解： 线段 ， ， 能构成三角形，
．
在 中
解不等式 得 ，，
解得 ，
，
所有整数 有 和 ，
所以所在整数 的和为 ．
故答案为：3．
三、解答题
11．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识点，正确求出不等式
组的解集是解题的关键．
首先分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定
该不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解： ，
解不等式①，可得： ，
解不等式②，可得 ： ，
该不等式组的解集为： ，
将该解集在数轴上表示出来，如下图所示：
12．（2023·江苏扬州·一模）解不等式组： 并求出它的所有整数解的和．
【答案】 ，
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的
和即可．
【详解】解：不等式组 ，
由①得 ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ，即整数解为 ， ， ，0，1，
则整数解的和为 ．
13．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】 ，数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与
步骤是关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到来确定不等式组的解集即可．
【详解】 ，
由①得， ，
解不等式①得， ，
由②得， ，
解不等式②得， ，
所以不等式组的解集是 ．
在数轴上表示出它的解集如图：
14．（22-23九年级下·四川攀枝花·阶段练习）解不等式组： ，在数轴上表示它的解集，
并写出所有整数解．
【答案】 ，在数轴上表示不等式组的解集见解析，所有整数解为 ，0，1
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，找满足要求的整数解．先
求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集，即可找到满足要求的整数
解．【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为： ，
将解集在数轴上表示如解图：
则所有整数解为 ，0，1．
15．（23-24七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】
下面是某同学解不等式组 的部分解答过程，请认真阅读并完成任务．
解：解不等式①：
移项，得 第1步，
合并同类项，得 第2步，
两边都除以 ，得 第3步．
【任务一】
（1）该同学的解答过程中第______步出现了错误，错误的原因是______，不等式①的正确解集是______；
【任务二】
（2）解不等式②；
（3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】（1）3，不等式两边都除以负数，不等号的方向没有改变， ； （2） ；（3）不等式
组的解集为 ，不等式组的非负整数解为0，1
【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是不等式的性质、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据不等式的性质，不等式两边都除以负数，不等号的方向改变即可得出答案；
（2）根据 一元一次不等式的步骤计算即可得出答案；
（3）由（1）（2）即可得出不等式组的解集，再写出非负整数解即可．
【详解】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号
的方向没有改变，正确解集为：
（2）解不等式②：（3）不等式组的解集为 ，
故不等式组的非负整数解为0，1．
16．（24-25八年级上·全国·期末）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，求 的取
值范围．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集 即可得出a的取值范围．
【详解】解：．不等式 可化为 ，
∴ ．
；
不等式 可化为 ，
∴ ．
∴ ，
∵关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，
∴ ．
．
17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组 ，且满足 的值大于
且小于2，求m的取值范围．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到 ，
然后得到不等式组求解即可．
【详解】解： ，
由 得 ，
，
∴满足 的值大于 且小于2，
∵
∴
解得 ．
18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买 、 两种品牌的足球，购买 种品牌的
足球50个， 种品牌的足球 个，共花费 元，已知购买一个 种品牌的足球比购买一个 钟品牌的
足球多花 元．
(1)求购买一个 种品牌、一个 种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 、 两种品牌足球共50个，正好赶上商
场对商品价格进行调整， 品牌足球售价比第一次购买时提高 元， 品牌足球按第一次购买时售价的
折出售，如果学校此次购买 、 两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的 %，且保证这次购买的
种品牌足球不少于21个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元
(2)见解析
(3)学校在第二次购买活动中最多需要 元资金
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式
组的其他应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，
（1）设A种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，根据“总费用 买 种足球费用 买
种足球费用，以及 种足球单价比 种足球多花 元”可得出关于 、 的二元一次方程组，解方程组即
可得出结论；
（2）设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，根据“总费用 买 种足球费用 买 种
足球费用，以及 种足球不小于 个”可得出关于 的一元一次不等式组，解不等式组可得出 的取值范
围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时， 、 种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结
论．
【详解】（1）解：设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，
依题意得： ，解得： ．
答：购买一个 种品牌的足球需要50元，购买一个 种品牌的足球需要 元．
（2）解：设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，
依题意得： ，
解得： ．故这次学校购买足球有五种方案：
方案一：购买A种足球 个，B种足球 个；
方案二：购买A种足球 个，B种足球 个；
方案三：购买A种足球 个，B种足球 个．
方案四：购买A种足球 个，B种足球 个．
方案五：购买A种足球 个，B种足球21个．
（3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为 (元)，B种足球单价为 (元)，
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴ (元)．
答：学校在第二次购买活动中最多需要 元资金．
19．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙
两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售
B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元．
(1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？
(2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于
甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的 型产品的每件利润不变，问该公司又如何设
计分配方案，使总利润达到最大？
【答案】(1)有四种不同的分配方案
(2)见解析
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关键．
（1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，
那么总利润等于每件相应商品的利润 相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自
变量的取值范围；
（2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得到相应
的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可．
【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有 件；乙店A型有 件，B
型有 件．公司总利润为W元，根据题意得：
．
由 ，
，
由 ，解得，
为整数，
，
∴有四种不同的分配方案；
（2）解：依题意： ，
，
，
当 时， 越大，W越大，得出 即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B
型60件，能使总利润最大，
当 时， 为定值， 符合题意的各种方案使总利润最大，
当 时， 越小，W越大，得出 即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，
B型0件，使总利润最大．
20．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物 吨和
乙种货物 吨，准备租用A、B两种型号的汽车共40辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任
务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：
一汽 二汽
A型每辆费用（元）
B型每辆费用（元）
(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多 元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5
辆B型汽车的总费用为 元．求表格中 ， 的值；
(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙
种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有
多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．
【答案】(1)表格中 的值为 ， 的值为
(2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的分配问题
【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键.
（1）依题意得： ，即可求解；
（2）设需租用 辆A型汽车，则租用 辆 型汽车，依题意得： ，即可求解
【详解】（1）解：依题意得： ，解得： ．
答：表格中 的值为 ， 的值为 ．
（2）解：设需租用 辆A型汽车，则租用 辆 型汽车，
依题意得： ，
解得： ，
取整数，
．
共有3种租车方案．
每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用，
租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱．
选择一汽公司所需总费用为： （元）；
选择二汽公司所需总费用为： （元）．
，
选择二汽公司来运输这批货物，安排 辆A型汽车，10辆B型汽车时，总费用最少．
