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第 04 讲 实数
课程标准 学习目标
1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类;
2. 了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数
①了解实数的定义
轴上的位置比较大小;
②了解实数与数轴及实数的性质
3.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义
（同有理数的意义完全一样）.
知识点01 实数概念及分类
无理数：无限不循环小数统称为无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分
无理数常见的三种类型：（
数.
【即学即练1】
1.把下列各数分别填在相应的集合中： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
(每两个1之间依次多1个0)．
有理数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
知识点02 实数与数轴
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和
数轴上的点一一对应．
【即学即练1】
1.如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一
点由原点到达 点，则下列实数与点 表示的数最接近的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在数轴上，点 与点 关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和 ，那么点 所对应的
实数是（ ）
A． B． C． D．题型01 实数概念理解
【典例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、 和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【变式1】（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数 ；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对
应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④
；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 实数的分类
【典例2】（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【变式1】（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
，0 ， ， ， ， ，
整数集合{ }；
无理数集合{ }；
负实数集合{ }．【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试） ，3， ， ，0.1010010001…， ，0，
， ，
(1)正数集合：{ …}
(2)无理数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)非正整数集合：{ …}；
【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内．
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之
间依次多 个 ）， ．
有理数： ；
无理数： ；
正数：
整数： ；
非负数： ；
分数： ．
题型03 实数的性质
【典例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1） 的绝对值为 ； 的相反数为 ；
（2） 的绝对值为 ； 的相反数为 ．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试） 的相反数是 ； 的绝对值是 ； 的相反数
是 ．
【变式2】（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ， 的相反数为 ，
的绝对值为 ．
【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中） 的绝对值是 ， 的相反数是 ．
题型04 实数与数轴
【典例4】（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则 的长度为 ；若点A对应的数是 ，则点B对应的数是 ．
【变式1】（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式
．
【变式2】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知 于点C，点C对应的数是
，那么数轴上点B所表示的数是 ．
【变式3】（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数 ， ，m在数轴上所对应的点分别为
A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ．
题型05 实数的大小比较
【典例5】（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“ ， ， ”表示）： ．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数： ，其中小于 的数是 ．
【变式2】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数： 、 、 、 ，其中，最小的实数是
．
【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数 、 、 满足 ，
则 、 、 的大小关系为 ．（用“ ”连接）．
题型06 实数的混合运算
【典例6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算： ．
【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）计算： ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：(1) ．
(2) ．
【变式3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
题型07 程序设计与实数运算
【典例7】（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的 时，输
出的 ．
【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数
的运算程序如图所示，若输出的y值为 时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的 时，输出的y等于 ．
【变式3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是 时，输出的结果是
题型08 新定义下的实数运算
【典例8】（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数 ，定义一种新的运算如下，
如: ，那么 ．【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算： ，则 ．
【变式2】（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数 ， ，新定义一种运算*如下：
那么 ．
【变式3】（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）我们用 表示不大于 的最大整数，如： ，
， .
（1） ；
（2）若 ，则 的取值范围是 .
题型09 与实数运算相关的规律题
【典例9】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列： ， ， ， ， ，……那么第6个数
是 ．
【变式1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）将 ， ， ， ，…，按如图的方式排列．规定
表示第 排从左向右第 个数，若 表示的数为 时， ．
【变式2】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设 ．
(1) ；
(2) ，
求 ；
(3)求 的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数)
【变式3】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题
阅读下列解题过程：第1个等式为： ；第2个等式为： ；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为________
(2)猜想：第n个等式为________（n为正整数）
(3)利用上面的解法，请化简：
一、单选题
1．（22-23八年级上·山东青岛·期末） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．3
2．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在数轴上表示实数 的可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）数轴上表示 ， 的点分别为 ， ，点 是 的中点，则点
所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为 的正方形 的顶点 在数轴上，且点 表示的
数为1，若点 在数轴上，(点 在点 的右侧)且 ，则点 所表示的数为( )
A． B． C． D．
5．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式： ，
依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
6．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）比较大小（填“ ”“ ”或“ ”）： ．
7．（22-23八年级上·吉林长春·期中）数轴上表示 ， 的对应点分别是 、 ，点 关于点 的对称点为
，则点 所表示的数是 ．
8．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习） ， ， 在数轴上对应点的位置如图，化简：
．
9．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为 的小正方形能拼成一个面积
为 的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形
的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ．
10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义 的含义为：当 时，
，例如： ．已知 ， ，且a和b为两个连续正
整数，则 的立方根为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·广东汕头·期末）计算： ．
12．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）比较 与 的大小；
（2）比较 与 的大小．
13．（22-23八年级上·全国·单元测试）当 ， 都是实数，且满足 ，就称点 为
“友好点”．
(1)判断点 是否为“友好点”，并说明理由；
(2)若点 是“友好点”，且 ， 为有理数，求 ， 的值．14．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1
(1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______；
(2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）．
15．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的 ，则x的最小整数值是_______.
16．（23-24八年级下·广东江门·期末）若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中 ， ，
， 都是整数，x为正整数），即 ，则称 为完美根式． 是 的完
美平方根．例如：因为 ，所以 是 的完美平方根．
(1)已知 是 的完美平方根，求a的值；
(2)若 是 的完美平方根，用含 ， 的式子表示 ， ．
(3)已知 为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
