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第 04 讲 实数
课程标准 学习目标
1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类;
2. 了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数
①了解实数的定义
轴上的位置比较大小;
②了解实数与数轴及实数的性质
3.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义
（同有理数的意义完全一样）.
知识点01 实数概念及分类
无理数：无限不循环小数统称为无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分
无理数常见的三种类型：（
数.
【即学即练1】
1.把下列各数分别填在相应的集合中： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
(每两个1之间依次多1个0)．
有理数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
【答案】 ， ， ， ， ， …； ， ， ， (每两个1之
间依次多1个0)
【分析】根据实数的分类完成填空即可求解．
【详解】解：
有理数集合：｛ ， ， ， ， ， …｝
无理数集合：｛ ， ， ， (每两个1之间依次多1个0)｝
故答案为： ， ， ， ， ， …； ， ， ， (每两个1
之间依次多1个0)．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类，无理数的定义是解题的关键．
知识点02 实数与数轴
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和
数轴上的点一一对应．
【即学即练1】
1.如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达 点，则下列实数与点 表示的数最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，滚动一周，在数轴上的长度为圆的周长，由圆周长公式计算得到 ，从
而 ，估计 ，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知， ，
， ，
，
结合题中四个选项可知， 与点 表示的数最接近，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，读懂题意，得到 的长度，掌握无理数估算的方法是解决问题的关键．
2.如图，在数轴上，点 与点 关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和 ，那么点 所对应的
实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程
求解．
【详解】解：设点C所对应的实数是x．
则有 ，
解得 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．题型01 实数概念理解
【典例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、 和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．
【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意；
B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意；
C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；
D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意；
故选：D．
【变式1】（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【答案】C
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数 和 ，它
们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数 ；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对
应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的
概念和性质。是解决问题的关键．
根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，
逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了❑√2还能表示有理数与其它无理数，故①项错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确；
实数与数轴上的点一一对应，故③项正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，∴无理数也有无限个，故④项错误．
∴正确的是②③．
故选：B．
【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④
；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可．
【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误；
②实数和数轴上的点一一对应，故错误；
③无理数都是无限小数，故正确；
④ ，故错误；
⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、 ，则平方根、立方根都等于它本身
的数为0，故错误；
正确结论的个数是1．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于
基础知识，要熟练掌握．
题型02 实数的分类
【典例2】（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【答案】 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是
解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可．
【详解】 ，
， ， ， ， ， ， ， 中，
有理数集合为： ， ， ， ；无理数集合为： ， ， ， ；
正实数集合为： ， ， ， ， ；
负实数集合为： ， ， ；
故答案为：① ， ， ， ；
② ， ， ， ；
③ ， ， ， ， ；
④ ， ， ．
【变式1】（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
，0 ， ， ， ， ，
整数集合{ }；
无理数集合{ }；
负实数集合{ }．
【答案】整数集合0， ， ；无理数集合 ， ， ；负实数集合 ，
【分析】本题主要考查了实数的分类，算术平方根，立方根，掌握整数、无理数、负实数的定义是解答本
题的关键．
根据整数、无理数、负实数的定义分类即可．
【详解】 ，
整数集合{ 0， ， }；
无理数集合{ ， ， }；
负实数集合{ ， }．
故答案为：0， ， ； ， ， ； ， ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试） ，3， ， ，0.1010010001…， ，0，
， ，
(1)正数集合：{ …}
(2)无理数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)非正整数集合：{ …}；【答案】(1)3，0.1010010001…， ，
(2)0.1010010001…，
(3) ， ， ，
(4) ，0，
【分析】本题考查了实数的分类、化简多重符号、求绝对值，熟练掌握实数的分类是解此题的关键．
（1）根据正数的定义即可解答；
（2）根据无理数的定义即可解答；
（3）根据分数的定义即可解答；
（4）根据非正整数的定义即可解答．
【详解】（1）解： ， ，
正数集合：{ 3，0.1010010001…， ， }
（2）解：无理数集合：{0.1010010001…， }
（3）解：分数集合：{ ， ， ， }
（4）解：非正整数集合：{ ，0， }．
【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内．
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之
间依次多 个 ）， ．
有理数： ；
无理数： ；
正数：
整数： ；
非负数： ；
分数： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解
答．【详解】解： ， ，
有理数： ， ， ， ， ， ， ， ；
无理数： ， ， ， （每相邻两个 之间依次多 个 ）， ；
正数： ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之间依次多 个 ），
；
整数： ， ， ， ；
非负数： ， ， ， ， ， ， ， （每相邻两个 之间依次多 个
）， ；
分数： ， ， ， ， ．
题型03 实数的性质
【典例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1） 的绝对值为 ； 的相反数为 ；
（2） 的绝对值为 ； 的相反数为 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝
对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解：（1） 的绝对值为 ； 的相反数为 ；
（2） 的绝对值为 ； 的相反数为 ．
故答案为：（1） ； ；（2） ；
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试） 的相反数是 ； 的绝对值是 ； 的相反数
是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝
对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ； 的绝对值是 ； 的相反数是 ；
故答案为： ； ； ．【变式2】（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ， 的相反数为 ，
的绝对值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了求一个数的平方根、立方根，实数的性质，根据平方根、立方根，以及相反数的定义，
绝对值，即可求解．
【详解】解： 的平方根是 ， 的相反数为 ， 的绝对值为
故答案为： ， ， ．
【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中） 的绝对值是 ， 的相反数是 ．
【答案】
【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反
数知识求解即可．
【详解】解： 绝对值是 ，
的相反数是： ．
故答案为： ；
题型04 实数与数轴
【典例4】（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无
滑动）一周到达点B，则 的长度为 ；若点A对应的数是 ，则点B对应的数是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出 ．运用圆的周长公式求出周长
即可 ．
【详解】解： 的长度为： ，
点 对应的数是 ，
故答案为： ， ．
【变式1】（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式
．【答案】 /
【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子
的符号，进行化简计算即可．
【详解】解：由图可知：
．
故答案为：
【变式2】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知 于点C，点C对应的数是
，那么数轴上点B所表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出 的长，进而得到 的长，即可得出
结果．
【详解】解：由题意，得： ，
∴点B所表示的数是 ；
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数 ， ，m在数轴上所对应的点分别为
A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ．
【答案】-3
【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解
等问题．先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为 ，
∴点D表示的数为 ，
∵A点表示 ，C点位于A、D两点之间，
∴ ，
∵m为整数，
∴ ；故答案为： ．
题型05 实数的大小比较
【典例5】（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“ ， ， ”表示）： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，
绝对值大的反而小，进行求解即可．
【详解】解： ， ， ，
，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数： ，其中小于 的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数大小的比较、无理数的估算，先估算出 ，再根据两个负数进
行比较，绝对值大的反而小即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数： 、 、 、 ，其中，最小的实数是
．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于
0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
根据负实数绝对值大的反而小即可比较．
【详解】解：∵ ，
∴ 最小，
故答案为： ．
【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数 、 、 满足 ，
则 、 、 的大小关系为 ．（用“ ”连接）．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键．
根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的
值，比较，得出答案．【详解】∵ ， ， ，且 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型06 实数的混合运算
【典例6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方根及立方根定义计算即可
得到结果．
【详解】解：原式
．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了实数的运算；
（1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；
（2）利用平方和立方根的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
=1．
【变式3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是∶
（1）利用立方根、算术平方根的定义，乘方法则计算即可；
（2）利用绝对值的意义，立方根的定义计算即可．
【详解】（1）解∶原式
；
（2）解∶原式
．
题型07 程序设计与实数运算
【典例7】（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的 时，输
出的 ．
【答案】【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转
换器，输入 ，进行计算，一直到是无理数则输出即可．
【详解】解：第1次计算得， ，而4是有理数，
因此第2次计算得， ，而2是有理数，
因此第3次计算得 ， 是无理数，则输出．
故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数
的运算程序如图所示，若输出的y值为 时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．
按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：若1次运算输出的值是 时，
，
，
解得： 或 ；
若2次运算输出的值是 时，
，
，
解答： 或 ；
若3次运算输出的值是 时，
，
，
解答： 或 ；
，且 取负整数，
或 ，
故答案为： 或 ．
【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的 时，输出的y等于 ．
【答案】
【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算
术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：当输入的 时，则取立方根为： ，
4是有理数，取算术平方根为： ，
2取立方根为： ，
是无理数，
即 ，
故答案为： ．
【变式3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：
当输入x的值是 时，输出的结果是
【答案】
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式 ，据此计算即可得到
答案．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
题型08 新定义下的实数运算
【典例8】（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数 ，定义一种新的运算如下，
如: ，那么 ．
【答案】 /0.4
【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算： ，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把 ， 代入 中计算即可．
【详解】解： ，
∴ ．
故答案为：6．
【变式2】（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数 ， ，新定义一种运算*如下：
那么 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的
关键．
根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：3．
【变式3】（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）我们用 表示不大于 的最大整数，如： ，
， .
（1） ；
（2）若 ，则 的取值范围是 .
【答案】 1 /
【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义：
（1）估算无理数 的大小，再根据 的意义进行计算即可；
（2）根据 的意义得到 ，进而得出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：1；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型09 与实数运算相关的规律题
【典例9】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列： ， ， ， ， ，……那么第6个数
是 ．
【答案】
【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键．
根据已知数据总结规律后即可求得．
【详解】解：第1个数： ；
第2个数： ；
第3个数： ；
第4个数： ；
故第6个数： ；
故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）将 ， ， ， ，…，按如图的方式排列．规定
表示第 排从左向右第 个数，若 表示的数为 时， ．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识．
【详解】第一排的个数为： ，前一排的总数为： ；
第二排的个数为： ，前两排的总数为： ，从右往左依次增大排列；
第三排的个数为： ，前三排的总数为： ，从左往右依次增大排列；
第四排的个数为： ，前四排的总数为： ，从右往左依次增大排列；
……，
∴第 排的个数为： 个，前 排的总数为： 个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左
依次增大排列，
∵ ， ，
∴ 在第 排，即 ；第 排为奇数排，从左往右依次增大排列；
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设 ．
(1) ；
(2) ，
求 ；
(3)求 的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
（1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律．
（2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
（3）根据（2）中的规律解答即可；
【详解】（1）解：∵ ，∴ ．
（2）∵
∴ ．
（3）结合（2）可得：
．
【变式3】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题
阅读下列解题过程：第1个等式为： ；第2个等式为： ；第3个等式为：
；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为________
(2)猜想：第n个等式为________（n为正整数）
(3)利用上面的解法，请化简：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索：
（1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可；
（2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可；
（3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案．
【详解】（1）解：第1个等式为： ；第2个等式为： ；
第3个等式为： ；
…
第4个等式为： ．
故答案为： ．
（2）解：解：第n个等式为： （n为正整数）；
故答案为： ．
（3）解：
．
一、单选题
1．（22-23八年级上·山东青岛·期末） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
2．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在数轴上表示实数 的可能是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的大小比较，先判断 ，从而可得答案；
【详解】解： ，
，
而点 在 ， 这两个数之间，
∴在数轴上表示实数 的可能是 ，
故选：B．
3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）数轴上表示 ， 的点分别为 ， ，点 是 的中点，则点
所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，根据 是 的中点，可得 ，用 点表示的数减去AB的距离，
可得 点表示的数．
【详解】 点 是 的中点，
，
点 表示的数是： ，
故选：C．
4．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为 的正方形 的顶点 在数轴上，且点 表示的
数为1，若点 在数轴上，(点 在点 的右侧)且 ，则点 所表示的数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到 ，根据实数与数轴的概念即可求解．
【详解】解： ， ，
，
点 表示的数为 ，且点 在点 的右侧，
点所表示的数为 ．故选：B．
5．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式： ，
依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
探究规律．利用规律即可解决问题．
【详解】解：∵ …
∴用含 的等式表示为 ，
∴第2021个等式为 ．
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）比较大小（填“ ”“ ”或“ ”）： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较， 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较
大小，其绝对值大的反而小．利用平方根的定义，以及实数性质判断即可．
【详解】解∶∵ ，
∴ ，即
又 ， ，
∴ ，
故答案为：
7．（22-23八年级上·吉林长春·期中）数轴上表示 ， 的对应点分别是 、 ，点 关于点 的对称点为
，则点 所表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，对称的性质，先结合数轴求出 之间的距离，然后根
据对称的性质得出 之间的距离，再求出 之间的距离即可求解．求出 的长是解题的关键．
【详解】解：如图，设数轴的原点为点 ，
∵数轴上表示 ， 的对应点分别是 、 ，
∴ ，∵点 关于点 的对称点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 在原点的左边，
∴点 所表示的数是 ．
故答案为： ．
8．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习） ， ， 在数轴上对应点的位置如图，化简：
．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据数轴得到 ，则
，据此求算术平方根和化简绝对值后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为 的小正方形能拼成一个面积
为 的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形
的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为 ，然后根据数轴上两点之间的距离
求解即可．
【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，
∴对角线的长为 ，∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是
故答案为： ．
10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义 的含义为：当 时，
，例如： ．已知 ， ，且a和b为两个连续正
整数，则 的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的
关键．
根据 的含义得到： 由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值．
【详解】解：
又a和b为两个连续正整数，
的立方根为 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·广东汕头·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，
再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解：
．
12．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）比较 与 的大小；
（2）比较 与 的大小．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了实数的大小比较产，做题关键是要掌握一些比较大小的方法。（1）先确定 的范围，再确定 的范围，即可比较；
（2）先确定 的范围，再确定 的范围，即可比较；
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
13．（22-23八年级上·全国·单元测试）当 ， 都是实数，且满足 ，就称点 为
“友好点”．
(1)判断点 是否为“友好点”，并说明理由；
(2)若点 是“友好点”，且 ， 为有理数，求 ， 的值．
【答案】(1)点 不是为“友好点”，理由见解析
(2) ，
【分析】本题考查新定义问题，点的坐标，
（1）根据“友好点”的定义判断即可；
（2）根据“友好点”的概念得到 ， ，得到 ， ，然后由
得到 ，然后根据 ， 为有理数求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ ，
∵ ， ，∴
∴点 不是为“友好点”；
（2）∵点 是“友好点”，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ， 为有理数，
∴ 为有理数，
∴
∴ ．
14．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1
(1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______；
(2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）．
【答案】(1)17，
(2)见解析
【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积
是解此题的关键．
（1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可；
（2）以 为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求．
【详解】（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的边长是 ，面积是 ，
故答案为：17， ；
（2）解：如图：点P表示的数为 .15．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的 ，则x的最小整数值是_______.
【答案】(1)
(2)0和1
(3)5
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）先得出输入的 ，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．
【详解】（1）解：当 时，取算术平方根 ，不是无理数，
继续取6算术平方根 ，是无理数，
所以输出的y值为 ；
故答案为： ；
（2）解：当 ，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；
故答案为：0，1；
（3）∵输出的 ，
∴ ，
∴输入的 ，
当 时，5的算术平方根是 ，是无理数，
所以输出的y值为 ，
∴x的最小整数值是 ．
16．（23-24八年级下·广东江门·期末）若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中 ， ，
， 都是整数，x为正整数），即 ，则称 为完美根式． 是 的完美平方根．例如：因为 ，所以 是 的完美平方根．
(1)已知 是 的完美平方根，求a的值；
(2)若 是 的完美平方根，用含 ， 的式子表示 ， ．
(3)已知 为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义“完美根式”与“完美平方根”，正确理解新定义是解题关键．
（1）根据完美平方根的定义，即可获得答案；
（2）根据完美平方根的定义，即可获得答案；
（3）根据完美根式的定义，可得 ，进而可得 ，
，确定合理的 ， 的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵ 是 的完美平方根，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 是 的完美平方根，
∴ ，
∴ ， ；
（3）∵ 为完美根式，
∴ ，
∴ ， ，
∴可取 ， ，
∵ 均为整数，
∴ ， 或 ， ，
∴ 的一个完美平方根是 ．
