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第 02 讲 一元一次不等式及应用
课程标准 学习目标
①一元一次不等式的概念 1.掌握一元一次不等式概念；
②会解一元一次不等式 2.会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
③一元一次不等式的应用 3.利用一元一次不等式解决实际问题。
知识点01 一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．【即学即练1】（23-24七年级下·北京顺义·阶段练习）下列是一元一次不等式的有（ ）
， ， ， ， ，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本
题的关键．
根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．
【详解】解： ， 是一元一次不等式，共2个，
故选：B．
【即学即练2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知 是关于 的一元一次不等式，
则 ．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式
的步骤．
先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
知识点02 解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
【即学即练1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式： ，将解集在数轴上表示出来，
并写出符合条件的x的非负整数解．
【答案】 ，见解析，非负整数解为0，1
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据，去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求整数解即可，
本题考查了，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．熟练掌握解一元一次不
等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解是解题的关键．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项及合并同类项，得： ，
其解集在数轴上表示如下所示：
，
∴该不等式的非负整数解为0，1．
【即学即练2】（2024八年级上·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的
解集即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出
不等式的解集即可．
【详解】（1）解：
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
不等式两边都除以2，得 ，
原不等式的解集在数轴上表示如图所示．
（2）解：
去分母，得 ，去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
不等式两边都除以 ，得 ．
原不等式的解集在数轴上表示如图所示．
知识点03 一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的
条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非
常容易的解决问题．
【即学即练1】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）写出一个满足不等式 的正整数 的值：
．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解
一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴该不等式的正整数解为： ，
故答案为： （答案不唯一）．
【即学即练2】（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式 的正整数解．
【答案】正整数解为1，2
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，该不等式的正整数解：2，1．
知识点04 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【即学即练1】（2024·湖南·模拟预测）为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习
的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分．
(1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？
(2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能
获评“答题能手”？
【答案】(1)17
(2)无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题．
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设该团员答对了x道，则答错了 道，根据题意，得
，解答即可．
（2）设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答 道，根据题意，得
，解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，
【详解】（1）解：设该团员答对了x道，则答错了 道，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：该团员答对了17道题．
（2）解：设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答 道，
当参赛团员必须每题都得解答时，则 即 ，
根据题意，得 ，
整理，得 ，又x是非负整数，
故x的最小值为18，
答：参赛团员最少需要答对18道题才能获评“答题能手”．
当参赛团员不是每题都得解答时，则 ，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
又y是非负整数，
当 时， ，
又x是非负整数，
故x的最小值为17，
即至少答对17道，答错0道，不答3道，才能获评“答题能手”．
当 时， ，
又x是非负整数，
故x的最小值为18，
即至少答对18道，答错1道，不答1道，才能获评“答题能手”．
当 时， ，
又x是非负整数，
故x的最小值为18，
即至少答对18道，答错2道，不答0道，才能获评“答题能手”．
当 时， ，
又x是非负整数，
故x的最小值为19，
不符合题意，舍去．
故无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题．
题型01 一元一次不等式的识别例题：（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】根据一元一次不等式的概念，由含有一个未知数的，且未知数的次数为1的整式构成的不等式，
依次判断，即可求解，
此题主要考查了一元一次不等式的概念，解题时，明确概念内容：一元一次不等式：含有一个未知数，未
知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，然后据此判断即可．
【详解】解： A是一元一次不等式，符合题意，
B没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
C含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
D含有分式，不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
； ； ； ； ； ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是 的不等式，叫做一元一
次不等式，依此即可求解，正确理解一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】 是一元一次不等式； 是一元二次不等式，不是一元一次不等式；
不是一元一次不等式； ，整理得 是一元一次不等式；
是一元一次不等式； 不是一元一次不等式；
综上可知： 是一元一次不等式，共 个，
故选： ．
2．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个
未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．
【详解】解：① 未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
② 含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
③ 是一元一次不等式，符合题意；
④ 不是不等式，不符合题意；
⑤ 是一元一次不等式，符合题意；
∴一元一次不等式一共有2个，
故选：A．
题型02 利用一元一次不等式的定义求参数的值
例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知 是关于 的一元一次不等式，则 ．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一
元一次不等式，据此列式计算即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知不等式 是关于x的一元一次不等式，则
．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一
次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解
答．
【详解】解：由题意得： ， ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知 是关于 的一元一次不等式，则
．
【答案】
【知识点】绝对值方程、一元一次不等式的定义【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到 ，解不等式即可得到答案，熟
记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
【详解】解： 是关于 的一元一次不等式，
，则 或 ，且 ，解得 ，
故答案为： ．
题型03 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ，解集在数轴上表示见解析；
(2) ，解集在数轴上表示见解析．
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】（ ）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为 求出不等式的解
集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；
（ ）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 先求出不等式的
解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可；
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
∴解集在数轴上表示如图，
；
（2）解：，
∴解集在数轴上表示如图，
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ；数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题
的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
将解集表示在数轴上，如图所示：
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】 ，图见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握一元
一次不等式的解法及数轴是解题的关键．
首先按照解一元一次不等式的一般步骤求解：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ，得出答
案后再将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为 ，得： ，将不等式的解集在数轴上表示出来如下：
题型04 求一元一次不等式的整数解
例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的不等式 的非负整数解为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴不等式 的非负整数解为 ；
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）不等式 的正整数解是 ．
【答案】1，2
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．求出不等式
的解集，找出解集中的正整数解即可．
【详解】解：不等式 ，
移项合并同类项得： ，
解得： ，
则不等式的正整数解为：1，2．
故答案为：1，2．
2．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）不等式 的负整数解的和等于 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到非负整数解．
【详解】解： ，去分母，得： ，
移项、合并，得： ，
系数化为1，得： ，
∴不等式的负整数解有 ， 这2个，
∴负整数解的和等于 ，
故答案为： ．
题型05 一元一次不等式求解中错解复原问题
例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式 的过程：
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题
(1)航航的解题过程从第 步开始出现错误；
(2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)一
(2) ，数轴表示见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解
集即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等
式左边的数字3没有乘以6，
故答案为：一；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
数轴表示如下所示：【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式 的过程，请认真阅读并完
成相应的任务．
解：去分母，得 ……第一步
去括号，得 ……第二步
移项，得 ……第三步
合并同类项，得 ……第四步
两边都除以5，得 ……第五步
(1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ．
(2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上．
【答案】(1)一； ；不等式的性质2
(2)过程见解析，数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可；
（2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一
步正确的结果为 ，此步骤的依据是不等式的性质2，
故答案为：一； ；不等式的性质2；
（2）
，
，
，
，
，
在数轴上表示为：
．
2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务．解不等式：
解： 第一步
第二步
．第三步
．第四步
第五步
任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这
一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以 ，不等号的方向没有改变；任务二： ，数
轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解
集，即可完成任务一与任务二．
【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以 ，不等号的方向没有改变；
任务二：该不等式的解集为： ，用数轴表示如下：
题型06 解|x|≥a型的不等式
例题：（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
【答案】(1)① ；② 或
(2) 或
【知识点】绝对值的意义、一元一次方程解的综合应用、解|x|≥a型的不等式【分析】（1）分为两种情况：①当 时，②当 时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当 时，②当 时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当 时，
原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，
原方程可化为： ，
解得： ，
所以原方程的解为 或 ；
（2）解：分情况讨论：
①当 时，
解得： ；
②当 时，
解得： ，
所以不等式解集为 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，
用了分类讨论思想．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解：
例1．解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程 的解为 ．
例2．解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2
的点对应的数为 或3，所以方程 的解为 或 ，因此不等式 的解集为 或
．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程 的解为________
(2)解不等式： ．
(3)解不等式： ．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式【分析】（1）利用在数轴上到 对应的点的距离等于5的点对应的数为5或 ，求解即可；
（2）先求出 的解，再求 的解集即可；
（3）先在数轴上找出 的解，即可得出不等式 的解集．
【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为 或5，
∴方程 的解为： 或 ，
故答案为： 或 ．
（2）解：在数轴上找出 的解，如图：
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程 的解为 或 ，
∴不等式 的解集为 ．
（3）解：在数轴上找出 的解，
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和 对应的点的距离之和等于8的点对应的 的值，
∵在数轴上4和 对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或 的左边，
若x对应的点在4的右边，可得 ；
若x对应的点在 的左边，可得 ，
∴方程 的解是 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解 表示在数
轴上数 与数 对应的点之间的距离．
2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的
探究，首先对 和 进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式 的解集表示在数轴上（如图1），可得 的解集是： ；将
不等式 的解集表示在数轴上（如图2），可得 的解集是： 或 ．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式 （ ）的解集为______，不等式 （ ）的解集为______；(2)解不等式 ；
(3)求不等式 的解集．
【答案】(1) ， 或
(2) 或
(3)
【知识点】绝对值的意义、求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出
的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问
题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于 的解集是 ， 的解集是 或 ，根据它们即可确定 和
的解集；
（2）把 当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出 的取值范围，然后就可以求出 的取值范
围；
（3）先在数轴上找出 的解，即可得出不等式 的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式 （ ）的解集为 ；
不等式 （ ）的解集为 或 ；
（2）由（1）得：由于 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 的解集为 或 ；
（3）由绝对值的意义得方程 的解就是求在数轴上到1和 对应点的距离之和等于5的点
对应的x的值，
因为数轴上1和 对应点的距离为3，
所以满足方程 的x对应的点在1的右边或 的左边．
若x对应的点在1的右边，可得 ；
若x对应的点在 的左边，可得 ；
所以方程 的解为 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
题型07 列一元一次不等式
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生 眼镜，他已经存有60元，从
现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱 个月，不等式可列为．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存 元，与已存的60元之和大于等于480元即可．
【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元，
因此 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺
的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，
可列不等式为 ．（只列式不计算）
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元
购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的
关键．
【详解】解：设老师买了x副圆规，
由题意得： ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，
笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可．
【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，
根据题意得： ，
故答案为： ．
题型08 用一元一次不等式的解决实际问题
例题：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为
“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对
一题得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛
者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】(1)22道
(2)24道【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应
的方程和不等式．
（1）设小明一共答对了x道题，则答错了 道题，根据总得分 答对题目数 答错题目数，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可．
【详解】（1）解：设小明一共答对了x道题，则答错了 道题，
由题意可得： ，
解得 ，
答：小明一共答对了22道题；
（2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，
由题意可得： ，
解得 ，
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，
B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元．
(1)求A，B两种型号电脑每台多少元？
(2)若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？
【答案】(1)4800元，3200元
(2)10台
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题关
键．
（1）设A，B两种型号电脑每台分别为x元，y元，根据题目意思列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）设购买A型电脑m台，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：（1）设A，B两种型号电脑每台分别为x元，y元，
由题意可列：
解得：
答：A，B两种型号电脑每台分别为4800元，3200元．
（2）（2）设购买A型电脑m台，由题意可列：解得：
答：最多可购买A型电脑10台．
2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可
支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、
重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台．
(1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？
(2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？
(3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？
【答案】(1)北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台
(2)3种
(3)总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86
元
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题；
（2）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出不等式即可解决问题；
（3）算出（2）中每一种调运方法的费用，然后比较即可求解．
【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆 台，北京运往汉口 台，北京运
往重庆 台，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ， ， ，
答：北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台；
（2）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆 台，北京运往汉口 台，北京运往重庆
台，
由题意得： ，
解得： ，
又x为非负整数，
∴非负整数x的值为0，1，2，
∴共有3种调运方法；
（3）解：由（2）知：一共有三种调运方法，分别为：
①北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台，运费为 万元；
②北京运往汉口9台，重庆3台；上海运往汉口1台，重庆5台，运费为 万元；
③北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，运费为 万元；
∵ ，∴总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86
元．
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知
数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A、 未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、 不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意；
C、 是一元一次不等式，符合题意；
D、 不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先求出不等式解集，再表示在数
轴上即可．
【详解】解：解不等式 得 ，
表示在数轴上如图所示：
故选：C．
3．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程 的解为正数，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次不等式，解方程 得 ，由解为正数
知 ，解之即可得出答案．
【详解】解：解方程 得： ，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式 的解集表示在数轴上如图所示，则被
墨迹污染的数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为 ，求
出 ，的解集为 ，根据解集在数轴上表示可得 ，解方程即可．
【详解】解：设被墨迹污染的数字为 ，
解不等式 ，得 ，
由题图可知该不等式的解集为x<1，
所以 ，解得 ．
故选：C．
5．（23-24七年级下·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不
到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键．由题意知顺水速度为每小时 千米，逆水速度为每小时 千米， 间的距离为 千米，根
据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式．
【详解】 水流速度是每小时 千米，船在静水中的速度是每小时 千米，
顺水速度为每小时 千米，逆水速度为每小时 千米， 间的距离为 千米，
∴ ．
故选C．
二、填空题
6．（24-25八年级上·浙江·期中）用不等式表示“2与 的3倍的和是正数”： ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文
字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等
式即可．
【详解】解：根据题意，得： ．
故答案为： ．
7．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于 的不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则
的值是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、求一元一
次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知识点，熟
练掌握在数轴上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解题的关键．
由题图得不等式的解集为 ，解不等式得 ，因而 ，于是得解．
【详解】解： ，
移项，得： ，
解得： ，
由题图得不等式的解集为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的方程 解为负数，则实数a的取值范围是【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，能得出关于a的
不等式是解此题的关键．
根据解方程，可得x的值，根据方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【详解】解：由 ，解得 ，
由关于x的方程 解为负数，得 ．
解得 ，
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·全国·期末）两个实数 ， ，规定 ，则不等式 的解集
为
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．根据不等式的性
质求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
10．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式 的解集是 ，那么关于
x的不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题是一个方程与不等式的综合题目．由关于x的不等式 的解集是 ，知
且 ，据此得出 ，且 ，再代入求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵关于x的不等式 的解集是 ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
关于x的不等式 可化为 ，
解得：
故答案为： ．
三、解答题
11．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解．
【答案】 ， ．
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元
一次不等式的求解方法．
【详解】解：
，
∴不等式的非负整数解为 ．
12．（23-24九年级上·全国·单元测试）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ；数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，
如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最
后系数化为1即可．【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∴表示在数轴上为：
13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）移项合并同类项进行计算即可；
（2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）解下列不等式，并把解表示在数轴上．
(1) ；
(2) ．【答案】(1)x<2；数轴见解析
(2) ；数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法和解集在数轴上的表示等知识点，
（1）根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集；
（2）根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集；
熟练掌握数轴上的点的表示用空心还是实心圆圈是解决此题的关键．
【详解】（1） ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
解在数轴上的表示如图：
（2）
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
解在数轴上的表示如图：
15．（23-24七年级下·山西朔州·期末）下面是小明同学解一元一次不等式 的过程，请认真
阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 ．……第一
步
移项，得 ．…………第二
步
合并同类项，得 ．………………第
三步
化系数为1，得 ．……………………第
四步
任务一：
（1）去分母的依据是_______；（2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，
错误的原因是______；
（3）请写出不等式 的正确解答过程，并把解集表示在数轴上；
任务二：
请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议．
【答案】任务一：（1）不等式的性质2；（2）三，四，不等式的两边同除以 时不等号方向未改变；
（3）见解析；任务二：移项要变号
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查解不等式，并用数轴表示不等式的解集：
任务一：（1）根据不等式的性质，进行作答即可；
（2）根据解不等式的步骤，进行判断即可；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，进而在数轴上表示出解集即可．
任务二：根据解不等式的常见错误，提出合理建议即可．
【详解】解：任务一：（1）去分母的依据是：不等式的性质2；
故答案为：不等式的性质2；
（2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现三次错误，分别是第一步，第二步，第四步，最后
一次出现在步骤四，原因是不等式的两边同除以 时不等号方向未改变；
故答案为：三，四， 不等式的两边同除以 时不等号方向未改变；
（3）去分母，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
化系数为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上表示如下图：
任务二： （1）移项要变号；（2）去分母时，不能漏乘常数项（答案不唯一，只要合理即可）．
16．（23-24七年级下·广东湛江·期末）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，
规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或
90分以上），求这个队至少要答对多少道题？
【答案】这个队至少答对13道题
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．设这个队答对了x道题，则答错或放弃 道题，利用得分 答对题目数 答错或放弃题
目数，结合得分不低于90分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃 道题，
根据题意得： ，
解得： ，
∴x的最小值为13，
∴这个队至少答对13道题．
17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知，在 中， ，且 ．
(1)求a的取值范围；
(2)若 为等腰三角形，求a的值．
【答案】(1)
(2)10
【知识点】求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的
性质，解不等式；掌握这些知识是关键．
（1）由 ，解不等式即可求解；
（2）由等腰三角形知， 或 ，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定
a的值．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
故a的取值范围为 ；
（2）解： 为等腰三角形， 或 ，
则 或 ，
∵ ，
∴ ．
18．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）数学活动课上，老师让同学们用长度分别是 ， ，
的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把 的木棒折去了 ，他发现：用折断后剩下
的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形．
(1)你知道为什么吗？
(2) 长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？
【答案】(1)见解析
(2) 长的木棒至少折去 后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、一元一次不等式的应用．
（1）先求出剩下的木棒长度，再由三角形三边关系判断即可得解；（2）设木棒折去 后，剩下的木棒不能与另两根木棒搭成三角形，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：把 的木棒折去了 还剩 ，
∵ ，
∴不能搭成三角形；
（2）解：设木棒折去 后，剩下的木棒不能与另两根木棒搭成三角形，
由题意可得： ，
解得： ，
∴ 长的木棒至少折去 后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形．
19．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州
杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土
志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅
主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在
试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，
乌梅4千克，共需172元．
(1)求台梅和乌梅每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？
【答案】(1)台梅每千克36元，乌梅每千克16元
(2)50千克
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千
克，乌梅4千克，共需172元人民币，再建立方程组即可；
（2）设最多能购买台梅 千克，，根据顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，再建立不等式
即可．
【详解】（1）解：设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，则
，
解得： ，
答：台梅每千克36元，乌梅每千克16元；
（2）设最多能购买台梅 千克，则
，
∴ ，
解得： ，
答：最多能购买台梅50千克．
20．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题，材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为
．例如：数轴上 与3对应的点之间的距离为 ．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x， ，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C
的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时， 有最小值，最小值是多少?
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或 ；绝对值不等式 的解集，是 ，则：
不等式 的解集是______；
②利用数轴解不等式 ，并加以说明．
【答案】(1)3，
(2) ，最小值为1
(3)①；②
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出 的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为 ；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ；
（2） 表示数轴上x与3和x与2的距离之和，
故当 时， 取最小值，且为 ；
（3）① 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
②当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴x无解；当 时， ，
∴ ；
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
