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第 02 讲 一元一次不等式及与一次函数(9 类热点题型讲练)
1.经历一元一次不等式概念的形成过程.
2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
3.初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；初步感知实际问题对不等
式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验.
4.应用一元一次不等式解决实际问题.
知识点01 一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点02 解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点03 一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的
条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非
常容易的解决问题．
知识点04 由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负
数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点05 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点06 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b0是关于x的一元一次不等式,
∴k-3≠0且|k|-2=1,
解得k=-3.
【变式训练】
1．（2023下·广西河池·七年级统考期末）如果 是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解
集是 ．
【答案】
【分析】由一元一次不等式的定义即可得出关于 的一元一次方程，解方程即可得出 的值，将其代入原
不等式中即可得出关于 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ ，解得： ，
∴原不等式为： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义以及解一元一次不等式，解题的关键是根据一元一次不等式的
定义确定 的值及熟练掌握一元一次不等式的解法．
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）若 是关于 的一元一次不等式，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次
列式求解即可得到答案．
【详解】解： 是关于 的一元一次不等式，
，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题
的关键．
题型03 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集
【例题】（2023下·七年级课时练习）解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，数轴表示见解析(2) ，数轴表示见解析
【详解】（1）去括号，得 ，
移项，得 ．
合并同类项，得
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得
系数化为1，得
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ．
(2) ．
【详解】（1）去括号，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）去分母，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
2．（2023下·七年级课时练习）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）去括号，得 ．移项，得 ．
合并同类项，得 ．其解集在数轴上表示为
（2）去分母，得 ．去括号，得 ．
移项，得 ．合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．其解集在数轴上表示为
（3）去括号，得 ．移项及合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．其解集在数轴上表示为
题型04 求一元一次不等式的整数解
【例题】（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）解不等式 ，并写出其非负整数解．
【答案】 ，非负整数解为：0，1，2
【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解．根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而
求出其非负整数解即可．正确的计算，是关键．
【详解】解：
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
∴非负整数解为：0，1，2．
【变式训练】1．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）解不等式： ，并求出最小整数解．
【答案】 ，最小整数解为8
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再找出最小的整数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最小整数解为8．
2．（2023上·浙江·八年级专题练习）求不等式 的非负整数解．
【答案】0，1
【分析】根据去分母，移项，合并同类项，求出不等式的解集，即可求出．
【详解】解：去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ．
∴不等式的非负整数解是0，1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记运算法则是关键．
题型05 解|x|≥a型的不等式
【例题】（2023下·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
【答案】(1)① ；② 或(2) 或
【分析】（1）分为两种情况：①当 时，②当 时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当 时，②当 时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当 时，
原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，
原方程可化为： ，
解得： ，
所以原方程的解为 或 ；
（2）解：分情况讨论：
①当 时，
解得： ；
②当 时，
解得： ，
所以不等式解集为 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，
用了分类讨论思想．
【变式训练】
1．（2021下·七年级课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1） 或 ；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当 时，则 ，解得 ，
，
当 时，则 ，解得 ，
，
综上， 或 ；
（2）当 ，即 时， ，解得 ，
，
当 时，则 ，解得 ，
，
综上， ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
2．（2020上·重庆·七年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）阅读：我们知道， 于是要解不
等式 ，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以
下解法：
解：（1）当 ，即 时：
解这个不等式，得：
由条件 ，有：
（2）当 ，即 时，
解这个不等式，得：
由条件 ，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）|x+1|≤2，
①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，
解这个不等式，得：x≤1
由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2
解这个不等式，得：x≥-3由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1
∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1
①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1
解这个不等式，得：x≥3
由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，
解这个不等式，得：x≤1，
由条件x＜2，有：x≤1，
∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
题型06 列一元一次不等式
【例题】（2023上·浙江衢州·八年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校考期末）
根据数量关系列不等式： 与 的 倍的和是负数 ．
【答案】
【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意列出不等式即可，正确得出不等关系是解
题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江大庆·八年级校联考阶段练习）一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4
分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），设小明答对了n道
题，则根据题意可列不等式： ．
【答案】
【分析】设小明答对了n道题，则答错了 道题，根据“答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1
分，小明被评为优秀”列出不等式即可．
【详解】解：设小明答对了n道题，则答错了 道题，
则根据题意可列不等式： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关
系，列出不等式．
2．（2023下·四川成都·八年级校考期末）今年植树节时，小川同学在学校花园栽种了一棵树，此树的树围
（树干的周长）为 ，已知以后此树树围每年增长 ，若生长x年后此树树围超过 ，则x满足的
不等式为 ．【答案】
【分析】直接利用生长年数 大于100，进而得出答案．
【详解】解：根据题意可得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是正确表示树围增加的长度．
题型07 用一元一次不等式的解决实际问题
【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习） 中计划购买排球、篮球，
已知购买1个排球与1个篮球的总费用为 元；3个排球与2个篮球的总费用为 元．
(1)求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？
(2)若该学校计划购买此类排球和篮球共 个，且该学校购买排球和篮球的总费用不超过 元，求至少
需要购买多少个排球？
【答案】(1)每个排球价格是 元，每个篮球价格是 元
(2)最少购进排球 个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，
一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设每个排球价格是x元，每个篮球价格是y元，由题意得： ，计算求解然后作答即可；
（2）设购买排球m个，则购买篮球 个，由题意得： ，计算求解然后作答
即可．
【详解】（1）解：设每个排球价格是x元，每个篮球价格是y元，
由题意得： ，
解得 ．
答：每个排球价格是 元，每个篮球价格是 元．
（2）解：设购买排球m个，则购买篮球 个，
由题意得： ，
解得， ．
答：最少购进排球 个．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每
把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全
部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和 把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？
【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算
【详解】根据题意，得 ，解得 ．
答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某中学计划为生物兴趣小组购买大、小两种显微镜，若
购买1个大显微镜和3个小显微镜需用 元；若购买2个大显微镜和1个小显微镜需用 元．
(1)求每个大显微镜和每个小显微镜各多少元；
(2)学校决定购买以上两种显微镜共30个，总费用不超过 元，那么该中学最少可以购买多少个小显微
镜？
【答案】(1)每个大显微镜 元，每个小显微镜 元；
(2)该中学该中学最少可以购买 个小显微镜．
【分析】（1）根据购买1个大显微镜和3个小显微镜需用 元；若购买2个大显微镜和1个小显微镜需
用 元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果、购买以上两种显微镜共30个，总费用不超过 元，可以写出相应的不等式，
然后求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的方程组，找出不等关系，列出相应的不等式．
【详解】（1）解：设每个大显微镜x元，每个小显微镜y元，
由题意可得 ，
解得： ，
答：每个大显微镜 元，每个小显微镜 元；
（2）解：设该中学可以购买m个小显微镜，则购买大显微镜 个，
根据题意得
解得 ，
答：该中学该中学最少可以购买 个小显微镜．
题型08 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【例题】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图象（如图），当 时，y
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题
可根据图象直接进行求解．
【详解】解：由图象可知：当 时，y的取值范围是 ；
故选：A．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级期中）在平面直角坐标系中，若一次函数 的图像如图所示，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形得出 和直线与 轴交点的坐标为 ，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵从图像可知： ，直线与y轴交点的坐标为 ，
∴不等式 的解集是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解题的关键．
2．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）如图，一次函数 的图象经过 、 ．则当
时， 的取值范围是 ．
【答案】【分析】 时求自变量的范围即为函数图象在x轴下方对应的x的取值范围，即可解答．
【详解】解：由函数图象可得：当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题关键．
题型09 根据两条直线的交点求不等式的解集
【例题】（2023下·湖北十堰·八年级统考期末）如图，已知直线 与直线 相交于点
，则关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】结合函数图象，写出直线 在直线 下方且直线 在 轴的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：对于直线 ，令 ，得 ，
解得 ，
直线 与 轴的交点为 ，
∴由图可知，当 时， ，
∵直线 与直线 相交于点 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于） 的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，直线 ： 与直线 ： 交于
点 ，则不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过函数图像判断两条函数的大小关系．根据函
数图像，要使 ，则表示 在 上方的部分，读图可得答案．
【详解】解：∵
∴在函数图像上反映为 在 上方的部分
∴
故答案为：
2．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，经过点 ， ，则不
等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的交点求不等式的解集，理解一次函数图象的性质，掌握交点坐标求不等
式的方法是解题的关键．
根据图示及交点 可知，当 时， ，由此即可求解．
【详解】解：∵经过点 的直线 与直线 相交于点 ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
3．（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于 的不等式 的解集；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 时，
(3)当 时，
【分析】（1）利用直线 与x轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解
集．
（2）结合两条直线的交点坐标为 来求得 解集．
（3）结合函数图象直接写出答案．
【详解】（1）解：∵直线 与y轴的交点是 ，
∴当 时， ，
即不等式 的解集是 ；
（2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是 ，当函数 的图象在 的下面时，有 ．
∴当 时， ；
（3）解：由图可知，两条直线的交点坐标是 ，当函数 的图象在 的上面时 ，
则 ，
又 时， ，
当 时， ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要具备一定的读图能力，体现了数
形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．一、单选题
1．（2023上·浙江·八年级校联考期末）一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；因此此题可根
据每个选项得出不等式的解集，然后问题可求解．
【详解】解：由数轴可知不等式的解集为 ，
A、由 可得 ，故不符合题意；
B、由 可得 ，故符合题意；
C、由 可得 ，故不符合题意；
D、由 可得 ，故不符合题意；
故选B．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）下列式子：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，其中一元一次不等式有（ ）
个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整
式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【详解】解：① ，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；
② ，属于一元一次不等式，符合题意；
③ ，属于一元一次不等式，符合题意；
④ ，属于一元二次不等式，不合题意；
⑤ 属于方程，不合题意；
⑥ ，属于一元一次不等式，符合题意．
综上所述，一元一次不等式有3个．
故本题选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
3．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要
用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键．
4．（2023下·四川眉山·七年级校考期中）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么
的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3：
不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于 的不等，求解即可．
【详解】解：∵关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
5．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果
前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有 瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得 ．
【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有 瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级兵团二中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，若直线 与
直线 相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程 的解是
B．不等式 和不等式 的解集相同
C．不等式组 的解集是
D．方程组 ，的解是
【答案】D
【分析】由图象交点坐标可得方程组 的解，根据图象及点 坐标可得不等式 和
的解，由点 坐标可得 的值，从而可得直线 与 轴的交点，从而可得
的解集．
【详解】由图象可得直线 与直线 相交于点 ，
方程 的解是 ，
故选项A正确；
由图象可得当 时， ，
和 的解都是 ，
故选项B正确；
将 代入 得 ，
解得 ，
，
将 代入 得 ，解得 ，
时，直线 在 轴下方且在直线 上方，
的解集是 ．
故选项C正确；
直线 与直线 相交于点 ，
方程组 的解为 ，
选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题
7．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）用不等式表示：x与2的和大于6，则这个不等式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，
才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【详解】解：列不等式为： ，
故答案为： ．
8．（2023上·江苏·八年级校考周测）一次函数 中，y随x的增大而减小，则m的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了根据一次函数的增减性求参数．根据 随 的增大而减小，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵一次函数 中， 的值随 值的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式 的解集如图所示，则a的值是
．
【答案】2
【分析】先解一元一次不等式，然后结合数轴x的取值范围，建立一元一次方程，求得a的值．
【详解】解：解不等式 得： ，
图中x的解集是 有 ，解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式的解，解一元一次不等式的步骤是：去分母，
移项，合并同类项，系数化为1；注意同除以负值，不等式的符号要发生改变．
10．（2023下·重庆江津·七年级统考期末）已知 是关于x的一元一次不等式，则 ．
【答案】2
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等
式，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ， ，
解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
11．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）一次函数 与 的图
象如图所示，则关于x的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答关键是应用数形结合思想解答问题．
写出一次函数 图象与 的图象相交或在 的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可得，
当 时， ，当 时， 的图象在 的图象的下方，
∴ 的解集是 ，
即不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
12．（2023上·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考期中）若三角形的三边长分别是 ，且 是不
等式 的正偶数解，则该三角形的周长为 ．
【答案】26
【分析】本题考查三角形的三边关系、解一元一次不等式，先解不等式求得 ，再根据三角形的三边关
系可得 ，从而可得 ，即可确定x的值，再计算三角形的周长即可．【详解】解： ，
解得 ，
三角形的三边长分别是 ，
，
，
，
是不等式 的正偶数解，
，
该三角形的周长为 ，
故答案为：26．
三、解答题
13．（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）解不等式 ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】 ，非负整数解有0，1，2
【分析】先求解不等式，即可找到所有非负整数解．
【详解】解：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
∴非负整数解有0，1，2
【点睛】本题考查求一元一次不等式的整数解．正确求解不等式是解题关键．
14．（2023下·河南漯河·七年级统考期末）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，见解析
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把 的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
在数轴上表示为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
15．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）小英解不等式 的过程如下，其中有一个步骤
出现错误，并写出正确的解答过程．
解：去分母得： ；①，
去括号得： ；②，
移项得： ；③，
合并同类项得： ；④，
两边都除以 得： ；⑤．
【答案】见解析
【分析】观察题目中的解答过程，可以发现第①步出错了，然后根据解一元一次不等式的方法解答即可．
【详解】解：由题目中的解答过程可知，第①步出错了，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项及合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式的方法，不等式两边同时
除以一个负数时，不等式要变号．
16．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）画出函数 的图象，结合图象：
（1）求方程 的解；
（2）求不等式 的解集；
（3）若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】图见解析；（1） ；（2） ；（3）【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式；利用两点法作图即可作出函
数的图象，（1）图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解；（2） 就是函数的图象位于x
轴的下方的部分对应的自变量的取值范围；（3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围
即可．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
函数 的图象如图所示：
（1）观察图象知：该函数图象经过点 ，
故方程 的解为 ；
（2）观察图象知：当 时， ，
故不等式 的解集为 ；
（3）解：当 时， ，解得：
当 时， ，解得： ；
如图所示，
观察图象知：当 时， ．
17．（2023上·甘肃兰州·八年级校考期中）已知函数 ，(1)当m为何值时，该函数图象经过原点；
(2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
(3)若该函数图象经过一、二、四象限，求m的取值范围．
【答案】(1)2；
(2) 且 ；
(3) ．
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式（方程或不等式组）以及一次函数图
象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出 ，解之即可得出结论；
（2）由函数图象与y轴交点在x轴上方即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（3）由函数图象经过一、二、四象限结合一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式
组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵函数 的图象经过原点，
∴ ，
解得： ．
∴当m为2时，该函数图象经过原点；
（2）解：∵函数 的图象与y轴交点在x轴上方，
∴ ，
解得： 且 ．
∴若该函数图象与y轴交点在x轴上方，m的取值范围为 且 ；
（3）解：∵函数 的图象经过一、二、四象限，
∴ ，
解得： ．
∴若该函数图象经过一、二、四象限，m的取值范围为 ．
18．（2023下·辽宁营口·七年级统考期末）某学校准备购买若干台 型电脑和 型打印机．如果购买一台
型电脑， 台 型打印机，一共需要花费 元；如果购买 台 型电脑， 台 型打印机，一共需要花
费 元．(1)求每台 型电脑和每台 型打印机的价格分别是多少元？
(2)如果学校购买 型电脑和 型打印机的预算费用不超过 元，并且购买 型打印机的台数要比购买
型电脑的台数多 台，那么该学校至多能购买多少台 型打印机？
【答案】(1)每台 型电脑的价格为 元，每台 型打印机的价格为 元；
(2)该学校至多能购买 台 型打印机．
【分析】（ ）根据等量关系列出方程组，再解即可；
（ ）列出不等式，再解即可；
此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系
和不等关系，列出方程组和不等式．
【详解】（1）设每台 型电脑的价格为 元，每台 型打印机的价格为 元，
根据题意，得： ，解得： ，
答：每台 型电脑的价格为 元，每台 型打印机的价格为 元；
（2）设学校购买 台 型打印机，则购买 型电脑为 台，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：该学校至多能购买 台 型打印机．
19．（2023下·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）阅读理解： 表示5与 之差的绝对值，
实际上也可理解为5与 两数在数轴上所对的两点之间的距离．
例1. 解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程 的解为 ；
例2. 解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2
的点对应的数为 或3，所以方程 的解为 或 ，因此不等式 的解集为 或
．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1) 的解为____________；
(2)找出所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数是____________；
(3)不等式 的解集为____________．
【答案】(1) 或
(2) ， ， ，0，1，2(3) 或
【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为 表示的数，从而求解；
（2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到 的距离之和为5点即为 表示的数，由此结合数轴
求解即可；
（3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到 的距离之和大于7的 的范围即可．
【详解】（1）解： ，
或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）解：要使得 ，
即：数轴上 到2的距离与到 的距离之和为5，
∵数轴上 和2之间的距离恰好为5，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ ， ， ，0，1，2，
故答案为： ， ， ，0，1，2；
（3）解：要使得 ，
即：数轴上 到2的距离与到 的距离之和大于7，
首先在数轴上找出 的解（如图），
由（2）可知数轴上 和2之间的距离恰好为5，
∴要使得 到2的距离与到 的距离之和等于7，则 或 ，
∴ 的解集为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几
何意义和数轴分析是解题关键．
