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第 02 讲 立方根
课程标准 学习目标
1.了解立方根的含义；了解立方根的性质.
①了解立方根的概念
2.会用开立方运算求一个数的立方根，与立方
②理解立方根的性质
互为逆运算.
知识点01 立方根的概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果
，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【即学即练1】1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的立方根 B． 是 的立方根
C． 是 的立方根 D． 是 的立方根
2.（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（ ）
A． 的立方根是 B． 是27的负的立方根
C． 的立方根是2 D． 的立方根是
知识点02 立方根的性质
【微点拨】
1.第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【即学即练2】
1．（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：
．
知识点03 立方根的应用
利用立方根的定义解方程和求解实际问题.
【即学即练3】
1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是 ，将它锯成8块同样大小的小正方体
木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块．
(1)求每个小正方体木块的棱长；
(2)求这个大长方体木块的表面积．题型01 立方根概念理解
【典例1】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（ ）
A． 的立方根是 B． 没有立方根
C．立方根等于本身的数是 D．
【变式1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（ ）
A．64的平方根是8 B． 的立方根是
C． 的立方根是 D．只有非负数才有立方根
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． 的立方根是 B． 的立方根是
C． 的立方根是 D． 的立方根是
【变式3】（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零
B．任何数的立方根都只有一个
C．负数没有立方根
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
题型02 求一个数的立方根
【典例2】（2024七年级下·云南·专题练习） ．
【变式1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简 ； ； ；
；
【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末） 的立方根是 ； 的平方根是 ．
【变式3】（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习） 的算术平方根是7； 的立方根是 ；
的平方根是 ．
题型03 已知一个数的立方根，求这个数
【典例3】（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ．
【变式1】（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知 的立方根是 ， 是 的算术平方根，则．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是5．则 的平
方根为 ．
【变式3】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知 的平方根是 的立方根是2，则
的立方根是 ．
题型04 立方根的性质
【典例4】（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23七年级下·河南商丘·期中）若 ， ， ，则a，b，c的大小
关系是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ．
题型05 开立方运算中小数点移动规律
【典例5】（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知： ，则 ．
【变式1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知 ， ， ，则
．
【变式2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知 ，若
，则 ．
【变式3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果 ， ，
那么 ； ．题型06 利用开立方解方程
【典例6】（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）求式子中 的值： ．
【变式1】（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
【变式2】（23-24七年级下·河北保定·期中）求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的 的值．
(1)
(2)
题型07 平方根与立方根的综合
【典例7】（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知 的算术平方根为3， 的立方根为4．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．
【变式1】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ，
是 的整数部分，求：
(1) 、 、 的值；
(2) 的立方根．
【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是2，c是
的相反数．(1)求a，b，c的值；
(2)求 的算术平方根．
【变式3】（22-23七年级下·重庆江北·期末）已知 的算术平方根是2， 的立方根是3．
(1)求 的值；
(2)求 的算术平方根．
题型08 立方根的应用
【典例8】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为 的长方体工件，其中 表示的是
它的长、宽、高，且 ，请你求出这个工件的表面积（结果精确到 ）．
【变式1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为 cm2．
(1)求这个正方体的棱长和体积；
(2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方
体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
我有一个正方体的魔方，它的体积是
我有一个长方体的纸盒，它的体积是 ，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与
高相等．
(1)求该魔方的棱长．
(2)求该长方体纸盒的长．
一、单选题
1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）实数 的立方根是（ ）
A．4 B． C．8 D．
2．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A． 的平方根是 B．3是9的算术平方根
C． 的立方根是2 D．立方根等于本身的实数有两个
3．（23-24七年级下·吉林白山·期末）下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若 ， ，则 等于：（ ）
A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8
5．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是 时，
输出y的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）计算： ．
7．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）若 ，则 的立方根是 .
8．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知 ，则 ．
9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4，求 的
立方根 ．
10．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
的结果为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
12．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知 的平方根是 ， 的立方根是 ，求 的算术
平方根．
13．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为 高为
的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体
的棱长．14．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，请化简：
．
15．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知 ， 是64的立方根．
(1)求 、 、 的值；
(2)求 的平方根．
16．（23-24七年级下·江西赣州·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是 和 ．
(1)求a和x的值；
(2)若 的立方根是2，求 的算术平方根．
17．（23-24七年级下·江西赣州·期末）根据下表回答问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
(1)275.56的平方根是___________， ___________， ___________；
(2)设 的整数部分为a，求 的立方根．
18．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 ，
点 表示的数为 ，设点 所表示的数为 ．
\
(1)求实数 的值；(2)求 的值；
(3)数轴上有 、 两点分别表示实数 和 ，且有 ，求 的立方根．
