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专题 14 垂径定理的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用垂径定理求线段长问题
类型二、利用垂径定理求平行弦问题
类型三、利用垂径定理求同心圆问题
类型四、利用垂径定理解实际应用问题
压轴专练
类型一、利用垂径定理求线段长问题
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，可拓展为“过圆心、垂直弦、平分弦（非
直径）、平分优弧、平分劣弧”知二推三。
l
2.关键公式：结合勾股定理，设圆半径为r、弦心距为d、弦长为l，则r2 = d2+ ( )2，用于关联未知线
2
段。
解题技巧
1.构造直角三角形：作圆心到弦的垂线，连接圆心与弦端点，将半径、弦心距、半弦长转化为直角三角
形三边。
2.方程思想：设未知量（如半径、弦心距），根据定理和勾股定理列方程，代入已知数据求解，避免漏
用半弦长条件。
例1．（2025·江苏泰州·三模）如图， 为 的直径， 为 的弦， 于 ，若 ，
，则 ．
【变式1-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知 为 的直径， 为 的弦，且
．若 ， ，则 的长是 ．【变式1-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知 的直径 ， 是 的弦， ，且
，垂足为M，则 的长为 ．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东·期末）如图， 为 的直径，点D是弧 的中点，过点D作
于点E，延长 交 于点F，若 ，则 的直径长为 ．
类型二、利用垂径定理求平行弦问题
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对弧，平行弦可共用同一条与它们垂直的直径（或弦心
距），该直径平分两条平行弦。
l l
2.关键关系：设圆半径r、弦心距分别为d 、d ，弦长l 、l ，则r2 = d2+ ( 1)2和r2 = d2+ ( 2)2，两弦
1 2 1 2 2 2
心距和或差需结合位置（同侧/异侧）确定。
解题技巧
1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直径，明确两弦与圆心的位置关系（同侧或异侧），确定弦心距是
相加还是相减。
2.列方程求解：利用半径相等建立等式，代入已知弦长或弦心距，设未知量求解，避免忽略位置对弦心
距关系的影响。
例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径 ，弦 ，且 ，
，则 与 的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知 的半径为 ，弦 ，弦 ， ，
则这两条平行弦 、 的距离为 ．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量
一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ， ，
．则纸杯的直径为 ．
【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在 中， ， ，点 为
上一点，作 交 于点 ，点 关于 的对称点为点 ，以 为半径作 恰好经过点 ，并
交直线 于点 ， ．
（1）点 到 的距离为 ；
（2） 的值为 ．
类型三、利用垂径定理求同心圆问题
知识点总结
1. 核心性质：同心圆半径不同（设为 R、r，R>r），若一条直线截两圆得弦 AB（大圆）、CD（小
圆），且直线垂直于过圆心的半径，则由垂径定理，半径平分两弦，即 OA=R，OC=r，AB=2AE，
CD=2CE。
2. 关键等式：结合勾股定理，得AE2 = R2- OE2，CE2= r2 - OE2（OE为圆心到直线的距离），可关联两
弦长或距离。
解题技巧
1. 作公共弦心距：过圆心作截线的垂线（公共弦心距OE），构建含大圆半径、小圆半径、弦心距的两
个直角三角形。
2. 用半径差列算：利用两直角三角形共弦心距的特点，通过勾股定理表示弦长一半，再根据所求（如弦
长差、距离）设未知量求解，避免混淆两圆半径。
例3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放
置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则
杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6 B． C． D．
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小
圆半径的2倍，大圆的弦 和小圆交于C，D两点，若 ，则小圆半径是 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以 为圆心，大圆的弦 交小圆于
两点．
(1)求证： ；
(2)若 ，小圆的半径为5，求大圆的半径 的值．
【变式3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交
于C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．类型四、利用垂径定理解实际应用问题
知识点总结
1.核心关联：实际问题（如隧道、拱桥、管道截面）常可抽象为圆或圆弧模型，垂径定理适用于此类圆
l
形截面，即垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理（r2 = d2+ ( )2，r为半径，d为弦心距，l为弦长）
2
建立等量关系。
2.关键转化：需将实际中的“跨度”“高度”“直径”等条件，对应为圆中的弦长、弦心距、半径，明
确已知量与未知量的几何意义。
解题技巧
1.建模画图：先根据题意画出圆形截面图，标注圆心、半径、弦（对应实际跨度）、弦心距（对应实际
高度相关量），将文字条件转化为几何元素。
2.设元列方程：设未知量（如半径r），用r表示弦心距（如r - 实际高度），代入勾股定理列方程，
求解后验证是否符合实际场景（如半径为正）。
例4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸
馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆中弦 的长为
．
【变式4-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的
上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门
的示意图，弦 长 ，拱高 长 ，则该拱门的半径是 ．
【变式4-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作
由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且 部分平分 部分．现将丁字尺放在一个
圆形工件上（圆心为 ），其示意图如图 所示，使得 、 、 分别落在 上，这样圆心 就会落在上，已知 ， ，请求出该圆形工件的半径 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以
为直径的半圆O， ， 为水面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)作 于点C，求 的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少？
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在半径为 的 中，弦长为 的弦所对的圆心角的度数为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川内江·模拟预测）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若
， ，则 的长为( )A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用
的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的
上方， 被水面截得的弦 长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，
则 的半径长为（ ）
A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米
4．（22-23九年级上·全国·期中）如图所示：两个同心圆，半径分别是 与 ，矩形 边
分别为两圆的弦，当矩形 面积取最大值时，矩形 的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图， 为 的直径，A、B是 上的两点，过A作
于点C，过B作 于点D， P为 上的任意一点，若 ，则 的最
小值为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图， ， ， 是半圆O的弦， 过圆心O，过O作 于
点D．若 ，则 ．
7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏
瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦 的长为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆的半径
为 ．
8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图， 为 的直径，弦 交 于点 ，且 ，
若 ， ，则 的半径为 ．
9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在半径为5的圆中，有 两条平行弦，已知 ，，则两条平行弦的距离为 ．
10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，长为定值的弦 在以 为直径的 上滑动（点 、点
都不与点 、 重合），点 是 的中点，过点 作 于 ，若 ， ．
（1）当 时， 的长为 ；
（2） 在滑动过程中， 的最大值是 ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·广东东莞·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小
聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交
于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为 ．请你帮忙计算纸杯杯口
的直径d．
12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，有一个圆形花园，圆心 处为一观光亭， 是一条横穿圆
形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于 、 两点，且两端点 、 与观光亭 距离相等．现在要从
观光亭 向小路 修一条小路 ，使 垂直于 ，与小路交于点 ，与外围栅栏交于点 ．
(1)试说明 ；
(2)若量得花园内的小路长 米， 米，求花园的半径．13．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽
为 ， 离地面的高度 为 ，连接 ，拱顶最高处C离地面的高度 为 ．在拱顶的M，
N处安装照明灯．
(1)求 的半径 的长；
(2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为 ，求M，N之间的水平距离．
14．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E， ，
(1)求 的半径长；
(2)连接 ，求 的长．
(3)作 于点F，求 的长．
15．（2025·广西钦州·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出
一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线 与“环花”从左到右依次交于点 ， ， ， ．
(1)如图2，当直线 经过中心 时，请直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图3，当直线 不经过中心 时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点 是这两个菱形对角线的公共交点，
且 ， ， ， 四点均在对角线 上），类似地形成了“方花”，直线 不经中心 时，与
“方花”从左到右依次交于点 ， ， ， ，求 的值．
