文档内容
专题 14 垂径定理的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用垂径定理求线段长问题
类型二、利用垂径定理求平行弦问题
类型三、利用垂径定理求同心圆问题
类型四、利用垂径定理解实际应用问题
压轴专练
类型一、利用垂径定理求线段长问题
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，可拓展为“过圆心、垂直弦、平分弦（非
直径）、平分优弧、平分劣弧”知二推三。
l
2.关键公式：结合勾股定理，设圆半径为r、弦心距为d、弦长为l，则r2 = d2+ ( )2，用于关联未知线
2
段。
解题技巧
1.构造直角三角形：作圆心到弦的垂线，连接圆心与弦端点，将半径、弦心距、半弦长转化为直角三角
形三边。
2.方程思想：设未知量（如半径、弦心距），根据定理和勾股定理列方程，代入已知数据求解，避免漏
用半弦长条件。
例1．（2025·江苏泰州·三模）如图， 为 的直径， 为 的弦， 于 ，若 ，
，则 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据已知易得： ，再根据垂径定理可得： ，然后在
中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：连接 ，
为 的直径， ，
，
，
，
在 中， ，
故答案为： ．
【变式1-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知 为 的直径， 为 的弦，且
．若 ， ，则 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出 的长是解此题的关键．根据垂径定理
即可求得 的长，然后利用勾股定理即可求得 的长，即可得出答案．
【详解】解： ，
，
在 中， ，
，
故答案为：2．
【变式1-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知 的直径 ， 是 的弦， ，且，垂足为M，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据题意正确作出辅助线、构造直角三角形成为
解题的关键．
如图，连接 ，由垂径定理可得 ，然后分当C点位于优弧 上和劣弧
上两种情况，分别根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 的直径 ， ， ，
∴ ，
如图1：当C点位于优弧 上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图2：当C点位于劣弧 上时，同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上， 的长为 或 ．故答案为 或 ．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东·期末）如图， 为 的直径，点D是弧 的中点，过点D作
于点E，延长 交 于点F，若 ，则 的直径长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知 ， ，
从而得到 ， ，得 ，得到 ，得 ，设
圆的半径为R，连接 ，根据勾股定理，得到 ，计算 的值即可．
【详解】解： 点D是弧 的中点，
，
为 的直径， ，
，
， ，
，
，
，
设圆的半径为R，连接 ，根据勾股定理，得到 ，
解得 ，
故答案为：15．
类型二、利用垂径定理求平行弦问题
知识点总结
1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对弧，平行弦可共用同一条与它们垂直的直径（或弦心
距），该直径平分两条平行弦。
l l
2.关键关系：设圆半径r、弦心距分别为d 、d ，弦长l 、l ，则r2 = d2+ ( 1)2和r2 = d2+ ( 2)2，两弦
1 2 1 2 2 2
心距和或差需结合位置（同侧/异侧）确定。
解题技巧
1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直径，明确两弦与圆心的位置关系（同侧或异侧），确定弦心距是
相加还是相减。
2.列方程求解：利用半径相等建立等式，代入已知弦长或弦心距，设未知量求解，避免忽略位置对弦心
距关系的影响。
例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径 ，弦 ，且 ，
，则 与 的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
【答案】A
【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦
在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当 在点 的两侧，作 于M，延长 交 于N，连接 ，
， ， ，
则 ，
，
， ，，
此时弦 与 的距离为17；
当 在点O的同侧，作 于Q，交 于P，连接 ，
同理， ，
， ，
，
此时弦 与 的距离为7，
弦 与 的距离为17或7．
故选：A．
【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知 的半径为 ，弦 ，弦 ， ，
则这两条平行弦 、 的距离为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论，即弦 和 在圆心 的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算
两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
， ，
．
， ， ，
， ．
在 中， ．
在 中， ．
当 ， 在圆心 的同侧时，；
当 ， 在圆心 的异侧时，
．
故答案为： 或 ．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量
一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条
的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ， ，
．则纸杯的直径为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出 ， 的长，设 ，由勾股定理
得到 ，求出x的值，得到的 长，由勾股定理求出 长，即可求出纸杯的直径
长．
【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O， 的中点为M， 的中点为N，
连接 ， ，则 ， ，且 过圆心O，∴ ， ，
由题意，得 ，设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴纸杯的直径为 ．
故答案为： ．
【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在 中， ， ，点 为
上一点，作 交 于点 ，点 关于 的对称点为点 ，以 为半径作 恰好经过点 ，并
交直线 于点 ， ．
（1）点 到 的距离为 ；
（2） 的值为 ．
【答案】 4
【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图，连接 并延长交 于点 ，先得出 ，求出 ，根据勾股定理即可得出
答案；
（2）连接 ．记 与 的交点为 ，设 ，根据勾股定理得出 ，得出，再求出 ，再根据勾股定理得出答案即可．
【详解】（1）如图，连接 并延长交 于点 ，
∵ ， 两点关于 对称，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为4；
故答案为：4；
（2）如图，连接 ．记 与 的交点为 ，
设 ，
在 中， ，
解得 ，
∴ ，
∵ ， 两点关于 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
类型三、利用垂径定理求同心圆问题
知识点总结
1. 核心性质：同心圆半径不同（设为 R、r，R>r），若一条直线截两圆得弦 AB（大圆）、CD（小
圆），且直线垂直于过圆心的半径，则由垂径定理，半径平分两弦，即 OA=R，OC=r，AB=2AE，
CD=2CE。
2. 关键等式：结合勾股定理，得AE2 = R2- OE2，CE2= r2 - OE2（OE为圆心到直线的距离），可关联两
弦长或距离。
解题技巧
1. 作公共弦心距：过圆心作截线的垂线（公共弦心距OE），构建含大圆半径、小圆半径、弦心距的两
个直角三角形。
2. 用半径差列算：利用两直角三角形共弦心距的特点，通过勾股定理表示弦长一半，再根据所求（如弦
长差、距离）设未知量求解，避免混淆两圆半径。
例3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放
置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则
杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运
用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小
圆半径的2倍，大圆的弦 和小圆交于C，D两点，若 ，则小圆半径是 ．
【答案】
【分析】过O点作 于H点，连接 、 ，如图，根据垂径定理得到 ，
，设 ，则 ，再利用双勾股得到 ，然后解方程求出r即
可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【详解】解：过O点作 于H点，连接 ，如图，则
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 或r （舍去），
即小圆半径是 ，
故答案为： ．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以 为圆心，大圆的弦 交小圆于
两点．
(1)求证： ；
(2)若 ，小圆的半径为5，求大圆的半径 的值．
【答案】(1)见解析
(2)大圆的半径为
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；
（1）作 于E，根据垂径定理得到 即可得到 ；
（2）连接 ，在 和 中根据勾股定理得到 ，代入求值计算即
可．
【详解】（1）证明：如图：作 于E，
由垂径定理，得：即 ；
（2）解：如图，连接 ，
，
，
在 和 中，由勾股定理，得：
，
，
即 ，
解得：
大圆的半径为 ．
【变式3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交
于C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作 于点E，由垂径定理可知E为 和 的中点，则可证得结论；
（2）连接 ，由条件可求得 的长，则可求得 和 的长，在 中，利用勾股定理可求得 的长，在 中可求得 的长；
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接 ，如图2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得 ，
在 中，由勾股定理可得
∴ ，即小圆的半径r为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，
注意辅助线的作法．类型四、利用垂径定理解实际应用问题
知识点总结
1.核心关联：实际问题（如隧道、拱桥、管道截面）常可抽象为圆或圆弧模型，垂径定理适用于此类圆
l
形截面，即垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理（r2 = d2+ ( )2，r为半径，d为弦心距，l为弦长）
2
建立等量关系。
2.关键转化：需将实际中的“跨度”“高度”“直径”等条件，对应为圆中的弦长、弦心距、半径，明
确已知量与未知量的几何意义。
解题技巧
1.建模画图：先根据题意画出圆形截面图，标注圆心、半径、弦（对应实际跨度）、弦心距（对应实际
高度相关量），将文字条件转化为几何元素。
2.设元列方程：设未知量（如半径r），用r表示弦心距（如r - 实际高度），代入勾股定理列方程，
求解后验证是否符合实际场景（如半径为正）。
例4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸
馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆中弦 的长为
．
【答案】24
【分析】本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理
得到直角三角形 ，通过半径和已知深度求出直角边 的长度，再计算弦长．
确定 ；在 中用勾股定理求 ；由垂径定理得 ．
【详解】由题意知， 的半径 ，且 于点C，根据垂径定理， 平分弦
，即 ．
已知液体最大深度 ，则 ．
在 中，由勾股定理：
代入数据： ，解得 ．
因此，弦 ．
故答案为：24．
【变式4-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的
上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门
的示意图，弦 长 ，拱高 长 ，则该拱门的半径是 ．【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接 ，设该拱门的半径 ，根据垂径定理
求出 ，将 用含r的代数式表示出来，在 中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
设该拱门的半径 ，
根据题意得 在 的直径上， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中利用勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴该拱门的半径是 ，故答案为： ．
【变式4-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作
由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且 部分平分 部分．现将丁字尺放在一个
圆形工件上（圆心为 ），其示意图如图 所示，使得 、 、 分别落在 上，这样圆心 就会落在
上，已知 ， ，请求出该圆形工件的半径 ．
【答案】该圆形工件的半径 ．
【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段 垂直平分线段 ，得出 ，连接 ，则
，再设 的半径为 ，可得 ，然后解方程即可．
【详解】解： 圆心 落在 上， 平分 ，
线段 垂直平分线段 ，
、 、 三点所在圆的圆心 在 上，
，
连接 ，则 ，
设 的半径为 ，
，
，，
解得： ，
该圆形工件的半径 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以
为直径的半圆O， ， 为水面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)作 于点C，求 的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少？
【答案】(1) 的长
(2)此时水面截线减少了
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．
（1）如图1：连接 ，由圆的性质可得 ，再利用垂径定理得出 ，再运用勾股定理
计算即可解答；
（2）如图2：过点O作 ，垂足为点D，连接 ，利用勾股定理求出 ，再利用垂径定理
得出 ，最后 与 相减即可解答．
【详解】（1）解：如图1：连接 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，∴ 的长 ．
（2）解：如图2：过点O作 ，垂足为点D，连接 ，
∴
由题意可知：
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴此时水面截线减少了 ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在半径为 的 中，弦长为 的弦所对的圆心角的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理并结合题意作出辅
助线．
根据题意画出图形，再根据线段长度相等得到等腰直角三角形，进而得到圆心角度数为 ．
【详解】解：由题意得：过点O作
是等腰直角三角形，
故选：B ．
2．（2025·四川内江·模拟预测）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若
， ，则 的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．
先根据垂径定理得出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可解决问题．
【详解】解∶∵ 是 的直径，且 ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
故选∶B．
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用
的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方， 被水面截得的弦 长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，
则 的半径长为（ ）
A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接 、
，交 于点 ，设 的半径长为 ，由垂径定理得 （米），再由勾股定理列方程求出
的值即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，交 于点 ，设 的半径长为 ，
∵点 是运行轨道的最低点，点 到弦 的距离为 米，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径长为 米．
故选：B．
4．（22-23九年级上·全国·期中）如图所示：两个同心圆，半径分别是 与 ，矩形 边
分别为两圆的弦，当矩形 面积取最大值时，矩形 的周长是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查矩形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
连接 ，作 于P， 于M， 于N．根据矩形的性质得出矩形的面积是三角
形 的面积的4倍，再由题意得出当 时，三角形的面积最大，利用勾股定理得出
，再由等面积法确定 ，结合图形即可求解．
【详解】解：连接 ，作 于P， 于M， 于N．
∴四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴矩形的面积是三角形 的面积的4倍．
∵ 的长是定值，
∴当 时，三角形的面积最大，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即∴ ，
∴ ，
∴矩形 的周长是 ，
故选：D．
5．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图， 为 的直径，A、B是 上的两点，过A作
于点C，过B作 于点D， P为 上的任意一点，若 ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据 ， ，用勾股定理计算得到 ；延长 与⊙O相
交于点G，推导得当点P在直线 上时， 取最小值；过G作 于点H，经证明四边形
是矩形，并经勾股定理计算即可得到 的值，即可完成求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵过A作 于点C，过B作 于点D，
∴ ， ，
∵ ，A、B是 上的两点，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
延长 与⊙O相交于点G，
∵MN为 的直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
当点P在直线 上时， 取最小值，且最小值 ，
过G作 于点H，
又∵ ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股
定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
二、填空题
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图， ， ， 是半圆O的弦， 过圆心O，过O作 于
点D．若 ，则 ．
【答案】6
【分析】由圆的性质可得 ，再根据垂径定理可得 ，则 是 的中位线，然后根据
中位线的性质即可解答．本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明 是
的中位线成为解答本题的关键．【详解】解：∵ 过圆心O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为6．
7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏
瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦 的长为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆的半径
为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，由垂径定理得 ，设球形的半径
，则 ，由勾股定理解 ，即可得出结论．
【详解】解：由题意知 ，
，
设球形的半径 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
故答案为：5．
8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图， 为 的直径，弦 交 于点 ，且 ，
若 ， ，则 的半径为 ．【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
是解题的关键．
过点 作 于点 ，连接 ，由垂径定理得出 ，再由 得出
，利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
∵ 是 的直径， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在半径为5的圆中，有 两条平行弦，已知 ，
，则两条平行弦的距离为 ．
【答案】1或7
【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情
况．连接 、 ，过点 作 于 ，交 于 ，则 ，根据垂径定理求出 ， ，
根据勾股定理求出 、 ，即可得出答案．【详解】解：连接 ， ．过点 作 于 ，交 于 ，
当 和 在圆心的同侧时，如图所示，
， ，
，
， ，
， ，
根据勾股定理，得
， ，
则 ．
当 和 在圆心的两侧时，如图所示，
， ，
，
， ，
， ，
根据勾股定理，得
， ，
则 ．
故答案为：1或7．
10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，长为定值的弦 在以 为直径的 上滑动（点 、点
都不与点 、 重合），点 是 的中点，过点 作 于 ，若 ， ．（1）当 时， 的长为 ；
（2） 在滑动过程中， 的最大值是 ．
【答案】 3 3
【分析】（1）如图所示，连接 ，可得 是等边三角形，可证四边形 是矩形，则
，即可求解；
（2）如图所示，延长 交 于点 ，连接 ，可证 是 的中位线，当 为直径时，即
， 的值最大，则 的值最大，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 是等边三角形，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
（2）如图所示，延长 交 于点 ，连接 ，
∵ ， 是直径，
∴ ，即点 是 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当 为直径时，即 ， 的值最大，则 的值最大，
∴ 的最大值是 ；
故答案为：① ；② ．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌
握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
三、解答题
11．（24-25九年级上·广东东莞·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小
聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交
于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为 ．请你帮忙计算纸杯杯口
的直径d．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理求出 ， 的长，设 ，由勾股定理得到 ，求出 的值，得到
的长，由勾股定理求出 长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，取点 为圆心，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵纸条宽 为 ， ， ．
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴纸杯的直径长为 ．
12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，有一个圆形花园，圆心 处为一观光亭， 是一条横穿圆
形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于 、 两点，且两端点 、 与观光亭 距离相等．现在要从
观光亭 向小路 修一条小路 ，使 垂直于 ，与小路交于点 ，与外围栅栏交于点 ．(1)试说明 ；
(2)若量得花园内的小路长 米， 米，求花园的半径．
【答案】(1)见解析
(2)花园的半径为50米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理．
（1）根据等腰三角形的性质求得 ，根据垂径定理求得 ，再利用线段的和差计算即可得
到 ；
（2）连接 ，设 的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；
（2）解：连接 ，
设 的半径为r，则 米， 米，
∵ ，
∴ 米，
在 中， ，
解得 ，即花园的半径为50米．
13．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽
为 ， 离地面的高度 为 ，连接 ，拱顶最高处C离地面的高度 为 ．在拱顶的M，N处安装照明灯．
(1)求 的半径 的长；
(2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为 ，求M，N之间的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）设 、 交于点G， 、 交于点 ，设 的半径 的长为 ，根据垂径定理求出 ，
用含r的代数式将 表示出来，在 中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可；
（2）连接 ，求出 ，在 中利用勾股定理求出 ，再根据垂径定理求出 即可．
【详解】（1）解：如图，设 、 交于点G， 、 交于点 ，
设 的半径 的长为 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 中利用勾股定理，得： ，
即 ，解得 ，
的半径 的长是 ．
（2）解：连接 ，
，
，
，
，
在 中利用勾股定理，得：
，
，
，N之间的水平距离是 ．
14．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E， ，
(1)求 的半径长；
(2)连接 ，求 的长．
(3)作 于点F，求 的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．（1）连接 ，设的半径长为r，先根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理得到 ，
然后解方程即可；
（2）先求出 ，利用勾股定理计算出 ，
（3）由 和垂径定理得 ，然后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】（1）解：连接 ，如图，
设 得半径为r，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径长为5；
（2）解： ∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，即 的长 ；
15．（2025·广西钦州·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出
一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线 与“环花”从左到右依次交于点 ， ， ， ．
(1)如图2，当直线 经过中心 时，请直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图3，当直线 不经过中心 时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点 是这两个菱形对角线的公共交点，
且 ， ， ， 四点均在对角线 上），类似地形成了“方花”，直线 不经中心 时，与
“方花”从左到右依次交于点 ， ， ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据 ， ，再利用线段的和差即可求解；
（2）过点 作 于点 ，利用垂径定理得到 ， ，再利用线段的和差即可证明；
（3）连接 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，利用平行四边形的判
定得到 是平行四边形，得出 ， ，同理可得 ， ，再
利用菱形的性质证明 ，推出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：如图，过点 作 于点 ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，连接 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
同理可得， ， ，
∵四边形 与四边形 均为菱形， 为它们的中心，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的
性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
