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第 01 讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集
课程标准 学习目标
1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．
①不等式的定义 2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.
②不等式的基本性质 3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简
③不等式的解集 单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.
4.理解不等式的解与解集的意义.
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
【即学即练1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（ ）．
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【即学即练2】（23-24六年级下·上海松江·期中）用不等式表示“ 的倒数与2的差是非负数”：
．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【即学即练1】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知 ，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
【即学即练1】（23-24七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的解
C． 的解集是 D． 的解集就是 、 、
题型01 不等式的定义
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式： ； ； ；
； ．其中不等式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶ ⑤
．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 列不等式
例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于 ：
．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ．题型03 不等式的基本性质
例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）已知 ，那么下列各式中，不一定成立的是( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知 ，下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
题型04 不等式的解与解集
例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的唯一解
C． 是不等式 的解集 D． 是不等式 的一个解
【变式训练】
1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解是 B．不等式 的解是
C． 是不等式 的一个解 D． 是不等式 的一个解
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（ ）
① 不是不等式 的解；
②不等式 的解集是 ；
③不等式 的负数解有无限多个；
④不等式 的负数解有无限多个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型05 利用不等式的基本性质解不等式并在数轴上表示
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成 或 的形式，并将解集在数轴上表示
出来：
(1) ；
(2) ；
(3) ．【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化为“ ”或“ ”的形式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“ ”或“ ”
的形式．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3.（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－ .
一、单选题
1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列式子中，是不等式的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）解集在数轴上表示为如图所示的不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列命题中，正确的是 （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（24-25八年级上·广东江门·期中）三角形的三边长分别为5，8， ，则该三角形的周长 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A． 是不等式 的一个解 B． 是不等式 的解集
C． 是不等式 的唯一解 D． 不是不等式 的解
二、填空题
6．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ．
① ；② ；③ ；④ ．
7．（23-24七年级下·全国·期末）若 ，则 ， ．
8．（23-24六年级下·上海普陀·期中）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ．
9．（22-23七年级下·全国·课后作业）在 ， ， ，0，1，3中，是不等式 的解的有
，是不等式 的解的有 ．
10．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式 的解都是不等式 的解，则 的取值范围是
．
三、解答题
11．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是
不等式．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）52；（7） ．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）用适当的不等式表示下列关系：
(1)x的 与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元；
(4)小明的体重不比小刚轻．
13．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知 ，试比较 与 的大小．
解：因为 ，①
所以 ，②
故 ．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)
(2) ；(3)
(4)
15．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知 ．
(1)计算：当 时， ______， ______；当 时， ______， ______；当 时，
______， ______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
16．（2024九年级·河北·学业考试）有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位
置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或 ) 的顺序进
行运算，是将数据3经过“乘以 ”的运算得出结果 ．
(1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果；
(2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论．
