文档内容
专题 01 一元一次不等式
目录
A题型建模・专项突破
题型一、不等式的基本性质......................................................................................................................................1
题型二、求一元一次不等式的解集..........................................................................................................................3
题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题......................................................................................................6
题型四、求一元一次不等式的整数解......................................................................................................................9
题型五、解|x|≥a型的不等式..................................................................................................................................11
题型六、用一元一次不等式解决实际问题............................................................................................................15
B综合攻坚・能力跃升
题型一、不等式的基本性质
1．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知 ，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若 ，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ， ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
题型二、求一元一次不等式的解集
5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式．
(1) ；
(2) ，并把解集表示在数轴上．
6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．
(1)
(2)
7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上．(1) ；
(2) ．
8．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程．
解不等式： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
移项，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
系数化为1，得 ．第五步
(1)以上解题过程从第________步开始出现错误．
(2)请写出该不等式的正确的解答过程．
10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式 的过程，请认真阅读并解答．
解： ．第①步
．第②步
．第③步
．第④步
．第⑤步
(1)第______步开始出现错误．
(2)请给出正确解答．
11．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完
成相应的任务．
解：去分母，得 ．第一步移项，得 ．第二步
合并同类项，得 ，第三步
系数化成 ，得 ，第四步
根据以上材料，解答下列问题：
(1)第一步去分母的依据是______；
(2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______；
(3)原不等式的正确解集为______．
12．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式 的解答过程，
请认真阅读并完成相应任务．
解： ，第一步
，第二步
，第三步
．第四步
(1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是
_______________________________；
②第______步开始出现错误．
(2)任务二：请直接写出正确的计算结果；
(3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议．
题型四、求一元一次不等式的整数解
13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式 的正整数解是 ．
14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于 的不等式 的最大正整数解是 ．
15．（24-25八年级下·上海·期末）不等式 的正整数解是 ．
16．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式 只有3个正整数解，则a的取值范围
．
题型五、解|x|≥a型的不等式
17．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式 和 的解集过程．
对于含绝对值的不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小于3，所以 的解
集为 ；对于含绝对值的不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于3的数的绝对值大于
3，所以 的解集为 或 ．(1)求含绝对值的不等式 的解集；
(2)已知含绝对值的不等式 的解集为 ，求a，b的值．
18．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于 而小于3的数，它们到原点的
距离小于3，所以 的解集是 ；
，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于 的数和大于3的数，它们到原
点的距离大于3，所以 的解集是 或 ．
解答下面的问题：
(1)解不等式 ．
(2)解不等式 ．
(3)直接写出不等式 的解集： ．
19．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我
们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．
例如求 和 的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义，
∵
∴ 的解集为 ，
∵
∴ 解集为 或 ．
根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式 的解集为______；
(2)解不等式 ；(3)求不等式 的解集．
20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如 表示数轴上表示
这个数的点到原点的距离，那么式子 可理解为：数轴上表示 这个数的点到表示1这个数的点的距离，
于是解不等式 则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数
轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在 和3之间（包含 和3两个点），这样我们就可以得到
不等式 的解集为 ．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式 的解集为___________．
(2)求不等式 的解集．
(3)求不等式 的解集．
题型六、用一元一次不等式解决实际问题
21．（25-26七年级上·河南开封·月考）为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公
司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入
100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）．
(1)设投放x辆共享单车，前期总投入为 元，每月总收益为 元，分别写出 ， 与x的函数关系式；
(2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？
(3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？
22．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐
易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10
元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件．
(1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解）
(2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，
商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润．
23．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产
的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果
的售价之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．(2)某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？
(3)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该
公司最少需花费多少元．
24．（25-26七年级上·广西南宁·期末）某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共 个，已知A品牌保
温杯的进价为 元/个，售价为 元/个；B品牌保温杯的进价为 元/个，售价为 元/个.
(1)若购进两种品牌保温杯的总费用为 元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？
(2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的 倍，设购进A品牌保温杯 个，
这批保温杯的总利润为 元，求 的最大值；
(3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠 元（ ）出售，B品牌保温杯售价不变，此
时总利润 的最大值为 元，求 的值．
一、单选题
1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末） 为何值时，根式 有意义（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租
用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，
但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．6．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足
，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于 的不等式 是一元一次不等式，那么
．
8．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为
．
9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是
．
10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式 恰有三个非负整数解，则b的取值范围
是 ．
11．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点 在点 的左侧，点 在数轴上表示的数分别为 和
，则 的值可能是 （写出一个正确的数字）
12．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于
21”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于21，则用得到的这个数进行下一次操作．
如果程序操作进行了一次就停止，那么输入的x的最大整数是 ．
三、解答题
13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解不等式 ，并将它的解集表示在数轴上．
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程．
解不等式： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步移项，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
系数化为1，得 ．第五步
(1)以上解题过程从第________步开始出现错误．
(2)请写出该不等式的正确的解答过程．
15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，
每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本 万元，如果每套软件定价 万元，那么至少需要售出多
少套软件才能不亏本？
16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算 ，例如： ．
(1)计算： ；
(2)请根据上述定义解不等式 ．
17．（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式 ．
(1)求它的非负整数解；
(2)若该不等式的最大整数解是方程 的解，求 的值．
18．（25-26九年级上·云南昆明·期末）
市场调查
昭通苹果，产自云南昭通这片海拔1800米以上的高原沃土，是“中国苹果之城”的璀璨名
资料查阅 片．依托低纬度高原独特的气候优势——年均1901小时充足日照、显著昼夜温差与微酸性
沙质土壤，孕育出“早熟、甜脆、香浓”的卓越品质．
1箱瑞雪苹果比2箱红富士苹果的售价总额多10元，2箱瑞雪苹果比3箱红富士苹果的售价
市场现状
总额多100元．
购买需求 某顾客欲购买12箱苹果，且红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍．
问题解决
任务1确定
请你计算瑞雪苹果和红富士苹果的单价．
单价
任务2拟定
请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低，并计算最低总价．
购买方案．
19．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）某农机租赁公司共有 台收割机，其中甲型 台，乙型 台，现
将这 台联合收割机派往 ， 两地区收割水稻，其中 台派往 地区， 台派往 地区，两地区与该
农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租 每台乙型收割机的租
金 金
地区 元 元
地区 元 元
(1)设派往 地区 台乙型联合收割机，租赁公司这 台联合收割机一天获得的租金为 元，求 关于 的
函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这 台收割机一天所获租金不低于 元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司 台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
20．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求
绝对值不等式 和 的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求 和 的解集．确定 的解集过程如图1：
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：
(1)请将小明的探究过程补充完整；
所以， 的解集是 或______①___________．
再来确定 的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的
数，请你在图2的数轴上确定 范围②；
所以， 的解集为：_______③________．
经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式 的解集为___________④___________，
的解集为___________⑤___________．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
(2)求绝对值不等式 的解集．
