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专题 02 有关数轴的三种探索问题
题型 01 数轴中的折叠问题
【典例分析】
【例1-1】（22-23七年级上·江苏盐城·期中）小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示 的
点与表示 的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为 在B的左侧 ，且A、B两点经上述折叠后重
合，则A点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，以 对应的点对折，根据数轴上点的位置判断即可得到结果．
【详解】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示 的点重合，得到以 对应的点对折，
∵数轴上A、B两点之间的距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，
∴A表示的数为 ，B表示的数为2．
故选：A．
【点睛】此题考查了数轴，得出关于 对应的点对折是解本题的关键
【例1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数
－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：（1）表示数－2的点与表示数 的点重合；表示数7的点与表示数 的点重合．
（2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则
点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．
【答案】 6 －3 －4 8
【分析】（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案；
（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，
∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称，
表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称，
故答案为：6，－3；
（2）∵折叠后点A与点B重合，
∴点A与点B关于表示数2的点对称，
∵A，B两点之间距离为12，
∴点A和点B到表示数2的点的距离都为6，
∴点A表示的数为2－6=－4，点B表示的数为2＋6=8，
故答案为：－4，8．
【点睛】本题考查了折叠的性质和数轴上两点间的距离，找出对称点是解题的关键
【例1-3】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，
第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024
次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示 的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），
则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是 、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，
若点M对应的点 落在点N的右边，并且线段 的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
【答案】(1) ；1012
(2)① ；② ；1013；③
【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．
（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．
（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．
【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，
它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是： ；
它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；
它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是： ；
它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；
它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是： ；
它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；
…，
由此可见，它跳完第 次时，落在数轴上的点表示的数是n，
它跳完第 次时，落在数轴上的点表示的数是 ；
当 ，即 时，
，
所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；
当 ，即 时，
可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；
故答案为： ，1012．
（2）①由表示 的点与表示3的点重合可知，
，
则折点所表示的数为1．
因为 ，
所以表示5的点与表示 的点重合．故答案为： ．
②因为折痕与①的折痕相同，
所以这次折叠的折点所表示的数也为1．
又因为 ，
所以点D表示的数为 ，点E表示的数为1013．
故答案为： ，1013．
③由折叠可知，
，
因为点M、N表示的数分别是 、8，
所以 ．
又因为点 落在点N的右边，并且线段 的长度为3，
所以 ．
因为 ， ，
所以点P表示的数为 ．
故答案为：
【变式演练】
【变式1-1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示 的点
和表示 的点重合，则表示 的点与表示（ ）的点重合．
A． B．6 C．3 D．
【答案】C
【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可．
【详解】解：∵表示 的点与表示 的点重合，
∴折痕处所表示的数为： ，
∴ 表示的点与数 表示的点重合．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键
【变式1-2】（21-22七年级上·江苏苏州·期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有A，B，C三点，其中
点A，点B表示的数分别为－8和＋5，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点 落在B的右边；如图2，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点 对应的点 落在B的左边．若 ，B两点之间的距离为
1，设B，C两点之间的距离为x，则x＝ ．
【答案】6
【分析】由折叠得， ，根据 ，B两点之间的距离为1，得出 ，再根据BC=
求解即可．
【详解】解：由折叠得： ，
∵ ，B两点之间的距离为1，
∴ ，
∵A表示-8，B表示+5，
∴AB=5-(-8)=5+8=13，
∴ ，
∴ ，
∴BC= ，
∴x=6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键．
【变式1-3】（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和
数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一
条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：(1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示 的点重合，则表示 的点与表示数______的点重合；
(2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示 的点与表示数______的点
重合，表示数 的点与表示数______的点重合（用含 的代数式表示）；
(3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从 到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，
剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为 个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到
三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)6，
(3)图③剪切处对应的点所表示的数为 或 ．
【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题．
（1）折叠纸面，若表示1的点与表示 的点重合，中心点表示的数为0，即0与 之间的距离等于0与1
之间的距离，于是可得表示 的点与表示 的点重合；
（2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可；
（3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值．
【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示 的点与表示 的点重合；
故答案为： ；
（2）解：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，
与2之间的距离为： ，则表示与 的点重合的点为： ；
m与2之间的距离为： ，则表示与m的点重合的点为： ；
故答案为：6， ；
（3）解：如图，由题意得 ， ，∴ ，
∴剪切处D对应的点所表示的数 ；
剪切处C对应的点所表示的数 ；
综上：图③剪切处对应的点所表示的数为 或 ．
题型 02 数轴上循环规律问题
【典例分析】
【例2-1】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上四个等分点为P，Q，M，
N，点P落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上 的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】B
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据圆的周长为4，且 ， ， ， 为圆的四等分点，可得 ，
， ， 四点依次循环，求得 到2的距离，然后计算即可．
【详解】解：根据题意可得： ， ， ， 四点依次循环，
∵数轴上表示 的点到2的距离为 ，
，
所以圆上落在数轴上 的点是N，
故选：B．
【例2-2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）等边 在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为 和 ，若 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点 所对应的数为 ；则翻
转2024次后，点 所对应的数是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴上的规律题，关键是通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规
律求解即可．结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是： , , ；1,1, ；4,4,5.5……
即第一次和第二次对应的都是 ，第四次和第五次对应的都是1，第七次和第八次对应的都是4，根据这
一规律即可求解2024次后B对应的数字．
【详解】解：因为第一次和第二次对应的都是 ，第四次和第五次对应的都是 ，第七次和
第八次对应的都是 ，
……
，
所以2024次翻折对应的数字和2023次翻折对应的数字相同，都是 ；
故选D．
【例2-3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）长方形 在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分
别为 和 ， ．若长方形 绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的
数为2；绕点D翻转第2次；继续翻转，则翻转2023次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是
．
【答案】
【分析】本题考查了数轴的应用，解题的关键是找出题目中的规律，根据发现的规律可以计算出数轴上对
应的数．由题意知，每4次翻转为一个循环组依次循环，且矩形周长为8，计算2023被4除的余数即可求
得答案．
【详解】解：由题意得：
第一次翻转，右边的点移动3个单位，
第二次翻转，右边的点移动1个单位，第三次翻转，右边的点移动3个单位，
第四次翻转，右边的点移动1个单位，
翻转4次，为一个周期，
一个周期，右边的点移动8个单位，
，
右边的点移动 ，
，
故答案为：
【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图，在正方形的四个顶点处标上“平”，“安”，
“临”，“海”四个字，将正方形放置在数轴上，其中“临”，“海”对应的数分别为 和 ，现将正
方形绕顶点顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚（例如，第 次翻滚后，“平”所对应的数为 ）．则连
续翻滚后，数轴上数 所对应的字是（ ）
A．平 B．安 C．临 D．海
【答案】D
【分析】本题考查了找规律，根据规律可知，数轴上的数字与字的对应关系，临字是数字除以 余 的，
海是除以 余 的，平是能被 整除的，安是除以 余 的，由此可得连续翻滚后数轴上数 对应的字，
根据翻转的变化规律确定出每 次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．
【详解】由题意可知：临字是数字除以 余 的，海是除以 余 的，平是能被 整除的，安是除以 余
的，
∵ ，
∴数轴上数 所对应的字是海，
故选：
【变式2-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）等边 在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的
数分别是0、 ，若 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后点B所对应的数为1，则
连续翻转2024次后，点C所对应的数为 ．【答案】2024
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，2024除以3余数为2，根据余数可知
点B在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，
由题意可得，
每3次翻转为一个循环组依次循环，
，
∴翻转 次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是 ．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
【变式2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形 ，其顶点A、B在数轴上，
且点A对应的数为 若将长方形 沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达
数轴上的点P，请求出P点所对应的数.
【答案】7082
【分析】本题主要考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键．
根据长方形的周长及 的长求出 、 的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为
2，再计算 ，最后计算P点所对应的数．
【详解】解：∵长方形 的周长为14，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵四边形 为长方形，
∴ ，
∵点A对应的数为 ，
∴点 对应的数为5，
翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为 ；
翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为 ；
翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为 ；
翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为 ；
∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，
∴ ，
∴翻滚2022次有1011个周期，
∴ ，
∴P点所对应的数为 ．
故答案为：7082．
题型 03 数轴上数的变化规律问题
【典例分析】
【例3-1】（23-24七年级上·湖北恩施·期中）如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动 个单位长
度，并且规定：每向左运动 秒就向右运动 秒，则该动点运动到第 秒时所对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据每向左运动 秒就向右运动 秒，可得每经过 秒就向左移动 个单位，根据
可得答案．正确得出数轴上动点的运动规律是解题关键．
【详解】解：∵动点每向左运动 秒就向右运动 秒，
∴每经过 秒就向左移动 个单位，
∴ ，即经过 个 秒后，又向左移动 秒，
∴ 个单位，∴动点运动到第 秒时所对应的数是 ，
故选：B．
【例3-2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表
示原点的位置 点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路
线如图所示，第1次移动到 ，第2次移动到 ，第3次移动到 ，…，第 次移动到 ，则
的面积是 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查了坐标系中规律计算，根据题意， 在轴上，且 ，不是4的倍数的偶数点为
正方形的上方右侧顶点，根据规律计算即可．
【详解】根据题意， 在轴上，且 ，不是4的倍数的偶数点为正方形的上方右侧顶点，
，
的面积为 ，
故答案为： ．
【例3-3】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、 在数轴上对应的数分别用 、 表示，且
， 是数轴上的一个动点．动点 从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二
次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度， ．点 在移
动过程中，第 次移动与点A重合．
【答案】15
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．
求出每次移动后点P对应点所表示的数，从而得到这些数的规律，再结合点A、B表示的数即可解答．【详解】第一次移动P的对应点 表示的数为 ，
第二次移动点P所得的对应点 表示的数为 ，
第三次移动点P所得的对应点 表示的数为 ，
第四次移动点P所得的对应点 表示的数为 ，
第五次移动点P所得的对应点 表示的数为 ，
第六次移动点P所得的对应点 表示的数为 ，
第n次移动点P所得的对应点 表示的数为 ，
观察发现：当n为奇数时，点P对应的数为奇数n；
当n为偶数时，点P对应的数为偶数 ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，解得
∴点A表示的数是15，点B表示的数是 ，
∴当仅当 时，点 表示的数为15，第15次移动点P所得的对应点P与点A重合．
【变式演练】
【变式3-1】（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，一个动点从原点 开始向左运动，每秒运动1个单
位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2022秒时所对应的数是（ ）
A．-405 B．-406 C．-1010 D．-1011
【答案】B
【分析】一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运
动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，2022÷5＝404…2，即可求解．
【详解】解：∵一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，
∴该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，
∵2022÷5＝404…2，
∴该点运动到2020秒时对应的数为−404，
∴第2022秒再向左运动2个单位得−406，
故选：B．
【点睛】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒
【变式3-2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右
移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移
动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
【详解】解：如图所示：
点 表示的数为4，
故答案为：
【变式3-3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为 ，在数轴上有 、 两点，点 对
应的数是 ，点 对应的数是1，动点 、 同时从 、 出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速
度沿着数轴正方向运动，设运动时间为 秒（ ）．
(1) 两点间的距离是 ；
(2)当 时，动点 对应的数是 ，动点 对应的数是 ；
(3)当运动时间为 秒时，用含 的代数式表示出点 和点 所对应的数；
(4)当 时，点 是否为线段 的中点？
【答案】(1)
(2) ，
(3) ，
(4)是，理由见解析
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键．
（1）根据 即可求解；
（2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解；
（3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解；
（4）表示出线段 的中点对应的数即可求解；
【详解】（1）解： ，
故答案为：
（2）解：当 时，动点 对应的数是： ；
动点 对应的数是： ，
故答案为： ，
（3）解：当运动时间为 秒时，动点 对应的数是： ；
动点 对应的数是：
（4）解：线段 的中点对应的数是：
令 ，
解得：
∴当 时，点 是否为线段 的中点
