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专题 02 平行线中的拐点问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平行线中含一个拐点问题......................................................................................................................1
题型二、平行线中含两个拐点问题......................................................................................................................6
题型三、平行线中含多个拐点问题....................................................................................................................12
题型四、平行线中在生活上含拐点问题............................................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行线中含一个拐点问题
1.如图，已知 ， ， ，则 的度数为 °．
2.已知直线 ，直线 与直线 、 分别相交于C、D两点．
(1)如图 ，有一动点P在线段 之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，
又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段 之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出
新的结论并说明理由．
3.如图，直线 ，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线 与 之间，且 ， ，求 的度数；
(2)如图②，若点P在直线 上方，且 ， ．
①求 的度数；②如图③， 的平分线和 的平分线交于点G，求 的度数．
4.直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
题型二、平行线中含两个拐点问题
5.如图， ， 平分 ，CF平分 ，且 比 大 ，则 的度数为
度．
6.①如图1，AB CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若AB
EF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
7.（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．8.如图1， ，点 为直线 间一点，点E，F分别是直线 上的点，连接 .
(1)【证明推断】求证： ，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线 ，
（已作），
（______），
又 ， （已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若 的平分线与 的平分线交于点 .
①【类比探究】试猜想 与 之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若 ，求 的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线 ，点P，H为直线 间的点，请直接写出 ， ，
， 的数量关系：______.
题型三、平行线中含多个拐点问题
9.如图，已知 ，点 分别在 上，点 在两条平行线 之间， 与
的平分线交于点 ．若 ， ，则 ＝ ．
10.已知 ，点 在 连线的右侧， 与 的角平分线相交于点 ，则：
① ；② ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ；
以上说法正确的是 ．
11.如图，已知 ， 的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作 和 的平
分线，交点为 ，第二次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ，第三次操作，分别作
和 的平分线，交点为 ，…第 次操作，分别作 和 的平分线，交点
为 ，若∠ 度，则 度．
题型四、平行线中在生活上含拐点问题
12.小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：
， ， ，小明马上运用已学的数学知识得出了 的度数，聪明的你一定知道
．
13.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，
数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知 ， ， ，求 的度数．
(1)小明在解决问题时，过E点作 ，则可以得到 ，其理由是 ；(2)根据（1）中思路求 的度数．
14.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面 ，前支架 与后支架 分别
与 交于点 和点 ， 与 交于点 ， ．
(1)请对 说明理由；
(2)若 平分 ， ，求扶手 与靠背 的夹角 的度数．
15.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示
意图．已知台灯水平放置，当灯头 与支架 平行时可达到最佳照明角度，此时支架 与水平线
的夹角 ，两支架 和 的夹角 ．
(1)求此时支架 与底座 的夹角 的度数；
(2)求此时灯头 与水平线 的夹角 的度数．
一、单选题
1．如图，直线 ，等腰直角三角形 的直角顶点 在直线 上，点 在直线 上， ，则
的度数为（ ）
A． B．20° C． D．40°2．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若 ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ， ， ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，已知 ，则 ．
6．如图， ， ， ，则 ．7．如图， ，直线 平移后得到直线 ， ，则 ．
8．如图，直线 ， 平分 ， 平分 ，点 ， ， 在同一直线上，若
，则 ．
则 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
设 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
9．如图1， 为射线 上一点， ， ．根据以上条件解答下列问题：
(1)若 ， ， ．求证： ．
(2)如图2，点 在 上，过点 作 ．求 的度数．（用含 和 的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，过点 作射线 ，若 ， ，直接写出 的度数．
10．如图1， ，求 的度数．发现小明的思路是：过 作
，通过平行线性质来求 ．
（1）按小明的思路，求 的度数为___________，
理由如下：过点 作 ，
___________
（ ）
， ，
___________°， ___________°
___________°．
迁移
（2）如图2， ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、D两点之间运
动时，问 与 、 之间有何数量关系？请说明理由；应用
（3）在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接
写出 与 、 之间的数量关系．
11．综合与实践
如图1， ， 为直线 上的点， 和 交于点 ．
(1)若 ，则 的度数是______．
(2)写出 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2， 平分 ， 平分 ． ，直接用含 的代数式表示 的度数．
12．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
(1)【问题初探】如图1， ， ，求证： ．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问 ， 与 之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架 与吊线 平行，灯杆 与底部支架 所成
锐角度数为 ，顶部支架 与灯杆 所成锐角度数为 ， 的度数为______．（用含 ， 的式子
表示）
13．如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，
那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．(1)如图（2）所示，已知 ，请问 成立吗？并说明理由；
(2)如图（3）所示，已知 ，请问 又有何关系？并说明理由；
(3)如图（4）所示，已知 ．若 ，则 ．
14．已知 ，点 为直线 、 所确定的平面内一点．
(1)如图 ， ， ．求 的度数
(2)如图 ，直接写出 ， 和 的数量关系（不用写具体证明过程）
(3)如图 ，点 在直线 上，若 ， ， ，过点 作 ，求
的度数．
15．（1）如图1， ，点 在 ， 之间，连接 ， ．易证： ．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小强：如图2，过点 作 ．
小菲：如图3，延长AP交 于点 ．
请你选择一位同学的方法进行证明．
（2）如图4， ， 分别是射线 ， 上一点， 是线段 上一点，连接 并延长，交直线 于
点 ，连接 ， ，若 ，求证： ．
（3）如图5，在（2）的条件下， ， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ，
与 相交于点 ，若 ， ， ，求 的度数．
