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专题 02 平行线中的拐点问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平行线中含一个拐点问题......................................................................................................................1
题型二、平行线中含两个拐点问题......................................................................................................................6
题型三、平行线中含多个拐点问题....................................................................................................................12
题型四、平行线中在生活上含拐点问题............................................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行线中含一个拐点问题
1.如图，已知 ， ， ，则 的度数为 °．
【答案】40
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点C作 ，则 ，由 ， ，得到 ，从而
，进而根据角的和差即可解答．
【详解】解：过点C作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40
2.已知直线 ，直线 与直线 、 分别相交于C、D两点．(1)如图 ，有一动点P在线段 之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，
又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段 之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出
新的结论并说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)不成立， ，理由见解析
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点 作 ，则 ，则 ， ，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下，
过点 作 ，
，
，
， ，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论： ，理由如下：
过点 作 ．
，
∴，
，
，即 ．
3.如图，直线 ，点P为平面内一点（不在两条直线上）．
(1)如图①，若点P在直线 与 之间，且 ， ，求 的度数；
(2)如图②，若点P在直线 上方，且 ， ．
①求 的度数；
②如图③， 的平分线和 的平分线交于点G，求 的度数．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作 ，根据平行线的性质，分别求出 和 的度数，即得答案；
（2）①过点P作 ，根据平行线的性质，分别求出 和 的度数，即可求得答案；
②过点G作 ，根据平行线的性质，分别求出 和 的度数，即可求得答案．
【详解】（1）解：过点P作 ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解:①过点P作 ，
，，
，
，
；
②过点G作 ，
是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
，
，
，
，
，
．
4.直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右 ，则 ，得出 ，进而求出结论；（2）过点P向右 ，则 ，得出 ，进而求出结论；
（3）过点P向左作 ，过N向左作 ，则 ，设
，则 ，得出
，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点P向右 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点P向左作 ，过N向左作 ，∵ ，
∴ ，
与（2）同理，得 ，
依题意，设 ，
则 ．
∴ ，
∴ ．
题型二、平行线中含两个拐点问题
5.如图， ， 平分 ，CF平分 ，且 比 大 ，则 的度数为
度．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作 ， 可得
；进而得 ， ， ；
结合 可推出
，即可求解．
【详解】解：作 ， ，如图所示：
∵ ，
∴
∴ ， ， ，
∴ ，
∴∵ 平分 ，CF平分 ，
∴
由①得：
∴
∵ 比 大 ，
∴ ,
解得： ，
故答案为： ．
6.①如图1，AB CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若AB
EF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EF AB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EF AB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CD AB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PF AB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EF AB，
∵AB CD，
∴AB EF CD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF AB，
∵AB CD，∴AB EF CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CD AB，延长AB到G，
∵AB EF，
∴AB EF CD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵ ，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴ ，故③正确；
④如图4，过点P作PF AB，
∵AB CD，
∴AB PF CD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
7.（1）如图①，如果 ，求证： ．（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）过P作 ，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作 ，如图，
∴ ，
∵ （已知），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
8.如图1， ，点 为直线 间一点，点E，F分别是直线 上的点，连接 .
(1)【证明推断】求证： ，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线 ，
（已作），
（______），
又 ， （已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若 的平分线与 的平分线交于点 .
①【类比探究】试猜想 与 之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若 ，求 的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线 ，点P，H为直线 间的点，请直接写出 ， ，
， 的数量关系：______.
【答案】(1)两直线平行，内错角相等； ；平行于同一直线的两直线平行；
(2)① ，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）过点P作直线 ，根据平行线的性质即可得到答案；（2）①分别过点P，Q作 ， ，由平行线的性质和角平分线的定义得
，进而即可求解；②结合平角的定义和
即可得到答案；
（3）过点P、H作 ，可得 ，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点 作直线 ，
（已作），
（两直线平行，内错角相等）
又 ， （已知），
，（平行于同一直线的两直线平行），
，
；
（2）解：① .
理由：如图1，分别过点P，Q作 ， .
的平分线与 的平分线交于点 ，
， .
.
同（1）可证得 ，
② ， ，
.
又 ，
（3）过点P、H作 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即
故答案为：
【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．
题型三、平行线中含多个拐点问题
9.如图，已知 ，点 分别在 上，点 在两条平行线 之间， 与
的平分线交于点 ．若 ， ，则 ＝ ．
【答案】 /32度
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点 ， ， 作 ， ，
，根据平行公理，则 ，再根据平行线的性质， ，
， ；根据角平分线的性质，则 ，推出
，则 ，根据平行线的性质，等量代换，则
，即可．
【详解】过点 ， ， 作 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 分别是 ， 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
10.已知 ，点 在 连线的右侧， 与 的角平分线相交于点 ，则：
① ；
② ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ；
以上说法正确的是 ．
【答案】①②④
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断
①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出 的度数不等于 ，故
③不正确，根据 和 的关系及 ，可判断④正确．
【详解】解：如图，作 ，，
，
， ，
，即 ，故①正确；
如图，作 ，
，
，
， ，
，
即 ，故②正确；
若 ，则 ，
平分 ， 平分 ，
，
，故③不正确；
同理可证： ，
若 ，
则 ，
， ，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
11.如图，已知 ， 的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ，第二次操作，分别作 和 的平分线，交点为 ，第三次操作，分别作
和 的平分线，交点为 ，…第 次操作，分别作 和 的平分线，交点
为 ，若∠ 度，则 度．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题
的关键．先过 作 ，根据 ，得出 ，再根据平行线的性质，得出
，进而得到 ；同理得出 ， ，
， ，据此得到规律 ，最后求得 的度数．
【详解】解：过 作 ，
，
，
，
，
和 的平分线交点为 ，
．
和 的平分线交点为 ，
；
和 的平分线，交点为 ，
；
；
以此类推， ，
当∠ 度时， 等于 ．故答案为： ．
题型四、平行线中在生活上含拐点问题
12.小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：
， ， ，小明马上运用已学的数学知识得出了 的度数，聪明的你一定知道
．
【答案】30°/30度
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，如图，过点E作 ，则 ，再求出
，证明 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点E作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
13.为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，
数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知 ， ， ，求 的度数．(1)小明在解决问题时，过E点作 ，则可以得到 ，其理由是 ；
(2)根据（1）中思路求 的度数．
【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行
(2)30°
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行公理推论得到 即可；
（2）根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：过E点作 ，
∵ ，
∴ （平行于同一直线的两直线平行），
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；
（2）由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
14.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面 ，前支架 与后支架 分别
与 交于点 和点 ， 与 交于点 ， ．
(1)请对 说明理由；
(2)若 平分 ， ，求扶手 与靠背 的夹角 的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】（ ）结合题意，根据对顶角相等推出 ，根据“同位角相等，两直线平行”即可
得解；（ ）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质
是解题的关键．
【详解】（1）解：理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 与底座 都平行于地面 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
15.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示
意图．已知台灯水平放置，当灯头 与支架 平行时可达到最佳照明角度，此时支架 与水平线
的夹角 ，两支架 和 的夹角 ．
(1)求此时支架 与底座 的夹角 的度数；
(2)求此时灯头 与水平线 的夹角 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平行线的性质在生活中的应用
【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点 作 ，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
．
一、单选题
1．如图，直线 ，等腰直角三角形 的直角顶点 在直线 上，点 在直线 上， ，则
的度数为（ ）
A． B．20° C． D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识，过点 作 ，则
，得到 ， ，由等腰直角三角形的性质得到 ，即可求解，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若 ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作
，则可证 ，则 ， ，则题目可解．
【详解】解：作 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ．
故选：A．
3．如图， ， ， ， ，则 为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设 ，
，则 ， ， ， ，过点 作 ，过点 作
，根据平行线的性质可得 ， ，再根据平行公理推论可得
， ，根据平行线的性质可得 ， ，然后根据角的
和差可得 ，由此即可得．
【详解】解：设 ， ，则 ， ，
∴ ， ，
如图，过点 作 ，过点 作 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．如图， ， ， ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点 作 ，得到 ，再根据平行
线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
5．如图，已知 ，则 ．【答案】 /540度
【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点 ，
分别作 ，进而利用同旁内角互补得出结论．
【详解】解：如图，过点 ， 分别作 ，
∵ ，
∴ ，
则 ， ， ，
∴
．
故答案为： ．
6．如图， ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点 作 ，由两直线平行得出同旁内角互补
， ，结合 ， ，得出 ，再根据角的差
关系列式计算，即可求出 的度数．
【详解】解：过点 作 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．如图， ，直线 平移后得到直线 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，如图，过 作 ，证明 ，再进一步利用平行线的性质
求解即可.
【详解】解：如图，过 作 ，
∴ ，
∵直线 平移后得到直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ .
故答案为：
8．如图，直线 ， 平分 ， 平分 ，点 ， ， 在同一直线上，若
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作 ，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出 和
，再结合 即可求出 ．
【详解】如图，作 ， ，
则 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
设 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
9．如图1， 为射线 上一点， ， ．根据以上条件解答下列问题：
(1)若 ， ， ．求证： ．(2)如图2，点 在 上，过点 作 ．求 的度数．（用含 和 的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，过点 作射线 ，若 ， ，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题．
（1）根据角的和差关系得出 ，再根据同位角相等两直线平行即可证明．
（2）如图，根据角的和差关系得出 ，根据平行线的性质得出
，代入计算即可．
（3）过点 作 ，则 ， ，由平行线的性质得出
，由垂直的定义得出 ，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可．
【详解】（1）证明： ，
．
，
，
；
（2）解：如图：
过点B作 ，
，
，
．
∵ ，
；
（3）解：过点 作 ，
则 ，
，
由（2）知 ，
则 ，．
①如图，当点 在 内部时， ；
②如图，当点 在 外部时， ．
综上， 的度数为 或 ．
10．如图1， ，求 的度数．发现小明的思路是：过 作
，通过平行线性质来求 ．
（1）按小明的思路，求 的度数为___________，
理由如下：过点 作 ，
___________
（ ）
， ，
___________°， ___________°
___________°．
迁移
（2）如图2， ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、D两点之间运
动时，问 与 、 之间有何数量关系？请说明理由；应用
（3）在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接
写出 与 、 之间的数量关系．
【答案】（1） ； ；两直线平行，同旁内角互补；50；60；110；（2） ，见解析；
（3）当P在 延长线上时， ；当P在线段 上，
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的
题目，解题时注意分类思想的运用．
（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出 ， 度数，利用 ，进行
求解即可；
（2）过点 作 ，得 ，得到 ， ，进而得到 ；
（3）分点 在 的延长线上，和在线段 上，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）按小明的思路，求 的度数为 ，
理由如下：过点 作 ，
，
，
（两直线平行，同旁内角互补）
， ，
，
；
（2） ，
理由如下：过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
（3）如图所示，当 在 的延长线时，
由（2）可知 ， ，
，
如图所示，当 在线段 上时，
由（2）可知 ， ，
．
11．综合与实践
如图1， ， 为直线 上的点， 和 交于点 ．
(1)若 ，则 的度数是______．
(2)写出 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2， 平分 ， 平分 ． ，直接用含 的代数式表示 的度数．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造平行线解决问题，属于中考常考题型．（1）过点E作直线 ，进一步利用平行线的性质求解即可．
（2）如图，过点 作 ，进一步利用平行线的性质求解即可．
（3）由（2）可知 ，进一步结合角平分线的定义求解即
可．
【详解】（1）解：过点E作直线 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ．
理由：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
即 ．
（3）解： ．理由如下：
由（2）可知 ，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
∴ ．12．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
(1)【问题初探】如图1， ， ，求证： ．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问 ， 与 之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架 与吊线 平行，灯杆 与底部支架 所成
锐角度数为 ，顶部支架 与灯杆 所成锐角度数为 ， 的度数为______．（用含 ， 的式子
表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 得 ，继而得 ，结合 ，得
即可证明 ．
（2）根据平行线的性质，等式性质解答即可．
（3）过E作 ，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）证明：如图，过E作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，
那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．
(1)如图（2）所示，已知 ，请问 成立吗？并说明理由；
(2)如图（3）所示，已知 ，请问 又有何关系？并说明理由；
(3)如图（4）所示，已知 ．若 ，则 ．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键；
（1）过E作 ，根据平行公理可证 ，再利用平行线的性质可得结论；
（2）过E作 ，根据平行公理可证 ，再利用平行线的性质可得结论；
（3）分别过E，F，G作 的平行线，根据平行公理可证 ，再利用平行线的性质可
得 ，即可得解．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
如图，过E作 ，，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
如图，过E作 ，
，
，
，
．
（3）解：如图，分别过E，F，G作 的平行线，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14．已知 ，点 为直线 、 所确定的平面内一点．
(1)如图 ， ， ．求 的度数(2)如图 ，直接写出 ， 和 的数量关系（不用写具体证明过程）
(3)如图 ，点 在直线 上，若 ， ， ，过点 作 ，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，
（1）如图，过点 作 ，根据平行线的性质及平行公理的推论得 ， ，
继而得到 ，再由 可得结论；
（2）如图，过点 作 ，根据平行线的性质及平行公理的推论得 ， ，继而得
到 ，可得结论；
（3）如图，设 交 于点 ，由（2）知得 ，根据平行线的性质得
， ， ，再代入 计算即
可．
解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行）．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， 和 的数量关系为 ；
（3）如图，设 交 于点 ，
∵ ， ， ，
由（2）知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
15．（1）如图1， ，点 在 ， 之间，连接 ， ．易证： ．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小强：如图2，过点 作 ．
小菲：如图3，延长AP交 于点 ．
请你选择一位同学的方法进行证明．
（2）如图4， ， 分别是射线 ， 上一点， 是线段 上一点，连接 并延长，交直线 于
点 ，连接 ， ，若 ，求证： ．
（3）如图5，在（2）的条件下， ， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ，
与 相交于点 ，若 ， ， ，求 的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上
知识点是解答本题的关键．
（1）小强的方法：先证 ，根据平行线的性质得 ， ，据此即
可得出结论；小菲的方法：先由 ，得 ，再根据三角形的外角定理，得
，据此即可得出结论；
（2）先根据三角形的外角定理得 ，再根据 ，得
，然后根据平行线的判定可得出结论；
（3）设 ，则 ，进而可得 ，根据在（2）
的条件下， ，得 ，由此解出 ，设 ，则
，再根据 得， ，进而得 ，然
后根据在（2）的条件下，得 ，则 ，由此得 ，据此求出
即可得到 的度数．
【详解】（1）解：小强的证明如下：
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ；
小菲的证明如下：
延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，∴ ，
即 ；
（2）证明：∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
在（2）的条件下，知 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
