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专题 02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型
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题型一：平面直角坐标系中动点移动问题..............................................................................................................1
题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题......................................................................................................6
题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题............................................................................................................11
题型四：平面直角坐标系中新定义型问题............................................................................................................14
题型一：平面直角坐标系中动点移动问题
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形 四个顶点的坐标分别为：
，动点 从点 位置出发，沿着 路线不停地运动，若点 的运动速
度为每秒2个单位长度，则第 秒时，点 的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，
每次移动一个单位长度，得到点 ， ， ， …，那么点 的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点 以每秒2个单位长度，从点 出发，沿凸形的边顺时针运动；点 以
每秒3个单位长度，从点 出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点 、 在凸形边上第1次相遇时的点为
，第2次相遇时的点为 ， ，则点 的坐标为 ．4．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点 ，
第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，第4次从 运动到 ，第5次从 运动
到 ……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动 个单位，依次得到
点 ， ， ， ， ， ， …，则点 的坐标是 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即
，…，按这样的运动规律，完成
下列任务：
(1)点 的坐标为______，点 的坐标为______，点 的坐标为______，点 的坐标为______；(2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点 ， ， ， ，请直接写出 ， ，
， 之间满足的数量关系为______， ， ， ， 之间满足的数量关系为______．
7．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点 出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移
动，第1次移动到点 ，第2次移动到点 ，第3次移动到点 ，第4次移动到点
，…．
(1)第5次移动到点 的坐标为__________；第12次移动到点 的坐标为__________；
(2)第 次移动到点 的坐标为__________，第 次移动到点 的坐标为__________；（用含自然
数 的代数式表示）
(3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母 及下标表示出该点，并写出其坐标．
题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题
8．如图，已知 ，
依此规律，则点 的坐标为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“ ”方向排列，如
……根据这个规律，第 个点的横坐标为 ，第 个点的坐标
为 ．10．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为顶点作正方形 ，
正方形 ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分
别为 ， ， ， ，则顶点 的坐标为 ．
11．如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标
系中．已知小正方形的边长为 ，且点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)点 的坐标为___________，点 的坐标为___________（用含 的式子表示）；
(2)要制作 长的护栏，需要两种正方形各多少个？
12．在如图所示的平面直角坐标系 中，按规律排列的 ， ， ， ，…，
都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点 与坐标原点O重合）．(1)写出点 的坐标：______；
(2)根据点 ， ， ， ，…，求出点 的坐标；
(3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为 ？若存
在，请说明理由．
题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题
13．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点 ， ， ，…，
的位置，则 的坐标为 ， 的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点A 按顺时针方向旋转到 的位置，点 B、O分别落
在点 、 处，点 在x轴上．再将 绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上．
将 绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A
，B ，则点 的横坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中放一矩形 ， ， ，现将矩形 沿x轴的正方向无滑
动翻转，每次翻转 ，连续翻转2025次，点B的落点依次为 ， ， ， ， ，则 的坐标为.
16．长方形 的两边 分别平行于 轴， 轴，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．如
图1，将长方形 绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形 ，称为一次
操作；如图2，接着将长方形 继续绕图形右下侧顶点 顺时针旋转 ，再沿 轴翻折得到长方形
，称为第二次操作；以此类推，…
（1）经过3次操作后，点 的坐标为 ：
（2）经过2025次操作后，点 的坐标为 ，
17．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将 变换成 ，第
三次将 变换成 ，已知 ．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将 变换成 ，则 的坐标
是______， 的坐标是______．
(2)若按第（1）题的规律将 进行了 次变换，得到 ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变
化，找出规律，请推测 的坐标是______， 的坐标是______．
题型四：平面直角坐标系中新定义型问题
18．在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫作点 的“友好点”．已知点 的“友好点”为 ，点 的“友好点”为 ，点 的“友好点”为 ，这样依次得到各点．若点
的坐标为 ．
（1）点 的“友好点” 的坐标为 ．
（2）设 ，则 的值为 ．
19．在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 ，其中 为常数，则称点
是点 的“ 级关联点”．例如，点 的“3级关联点”为 ，即 ．若点
的5级关联点为 ，则点 坐标为 ．
20．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 的伴随点．已知点 的
伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ，若点
的坐标为 ，则 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
21．在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫做点P的伴随点．已知点 的伴随
点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ， ， ，…， ，…．
(1)如果点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________，点 的坐标为___________
(2)如果点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 的算术平方根与 的立方根的差的绝对值
是多少？
22．对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为 （其中 为常数， ），
则称点 为点 的“ 系友好点”；例如： 的“3系友好点”为 ，即
请完成下列各题：
(1)求点 的“2系友好点” 的坐标为 ；
(2)若点 的“ 系友好点” 的坐标为 ，求 和 的值；
(3)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 系友好点”为点 ，若在 中， ，求 的值．
